Bài tập giải phương trình, hệ phương trình môn Toán lớp 10 - Giáo viên Việt Nam

www thuvienhoclieu com Công Phá Toán Lớp 10 More than a book Chủ đề 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNHVấn đề cần nắm 1 Khái niệm phương trình 2 Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất 3 Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai 4 Hệ phương trình Chủ đề 3 Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải và biện luận phương trình và hệ phương trình b[.]

Chủ đề Giaovienvietnam.com PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề cần nắm: Khái niệm phương trình Phương trình bậc quy bậc Phương trình bậc quy bậc hai Hệ phương trình Qua chủ đề ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình cách xác theo quan điểm mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải biện luận phương trình hệ phương trình bậc hai ẩn, phương trình hệ phương trình bậc hai Kiến thức chủ đề bổ sung hoàn chỉnh kiến thức THCS, yêu cầu học sinh gồm điểm: Biết giải biện luận phương trình, hệ phương trình trường hợp có tham số Biết giải số hệ phương trình bậc hai đặc biệt hệ đối xứng loại 1, loại hệ đẳng cấp  §1 Khái niệm phương trình A Lý thuyết I Phương trình ẩn Điều kiện xác định phương trình điều kiện ẩn để biểu thức phương trình có nghĩa Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Hai phương trình vơ nghiệm tương đương Nếu nghiệm phương trình trình f1  x   g1  x  phương trình phương trình f  x  g  x f  x  g  x f1  x   g1  x  Ta viết: nghiệm phương gọi phương trình hệ f  x   g  x   f1  x   g1  x  Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu ta gọi nghiệm ngoại lai II Các phép biến đổi phương trình Nếu hàm xác định với giá trị x mà f  x  g  x  f  x  h  x  g  x  h  x nghĩa thì: Nếu hàm nghĩa h  x h  x thì: Đối với hàm g  x có f  x g  x có xác định với giá trị x mà h  x   0, x f  x f  x   g  x   f  x  h  x   g  x  h  x  f  x g  x n số tự nhiên ta có: f  x   g  x    f  x     g  x   n n Đặc biệt: f  x   g  x    f  x     g  x   + Nếu n số tự nhiên lẻ thì: n + f  x   0; g  x   f  x   g  x    f  x     g  x   thì: n  f  x  g  x f  x  g  x    f  x    g  x  + Dạng B Các dạng tốn điển hình Tìm điều kiện phương trình x2   3x Ví dụ 1: Tìm điều kiện phương trình sau: x  x   A  x  B x  C x  D x  Lời giải x   Để phương trình có nghĩa ta phải có:  x  STUDY TIP + Điều kiện để Đáp án A A có nghĩa A  f  x g  x Giaovienvietnam.com x2  Ví dụ 2: Điều kiện xác định phương trình A x  B  x  x2   x là: C  x  D x  Lời giải x   x    x  Phương trình xác định khi: 7  x  Đáp án C Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định phương trình: A x  x   B  x  x 1 0 x 4 x   C  x  4 D x  Lời giải  x   x  x  x      x    x   x  4  x  Điều kiện:  Đáp án B x2 1 0 1;1 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x  m  xác định  m   A  m  m   B  m  m   C  m  D  m  Lời giải Phương trình xác định khi: x  m  Khi để phương trình xác định  1;1 thì:  m   1  m  m    1;1    m   m  Đáp án C Ví dụ 5: Cho phương trình: trình xác định  0;1 A  m  STUDY TIP Điều kiện biểu thức thứ là: x  m   thức nằm mẫu B  m  C  m  D  m  Lời giải Điều kiện xác định phương trình là:   x  2m    x  2m    m   x  2m   x  m   x  m  Hay phương trình xác định xác định Dạng 0 xm2 Tìm m để phương  x  2m    0;1 là:  m  2; 2m  1 điều kiện để phương trình  0;1   m  2; 2m  1 m   m     2m    m  hay  m  Đáp án B Phương trình tương đương, phương trình hệ Ví dụ 1: Phương trình sau tương đương với phương trình: x   ?  x    x  x  1   A C x    x  3x     B D x  x   x2   Lời giải Ta có phương trình: x    x  2 tập nghiệm phương trình STUDY TIP Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm cho là: S0   2; 2 Xét đáp án: - Đáp án A: Giải phương trình:   x    x  x  1   x  2 x      x  x   x  1 Giaovienvietnam.com STUDY TIP f  x  g  x  f  x   g  x    g  x   Do tập nghiệm phương trình là:   S1  2;1  2;1   S0 x   x    x  3x      x  1  x  2 - Đáp án B: Giải phương trình: Do tập nghiệm phương trình là: - Đáp án C: Giải phương trình: S   2; 1; 2  S0 x    x    x  2 Do tập nghiệm S3  S0 nên chọn đáp án C - Đáp án D: Có S   2  S0 Đáp án C Ví dụ 2: Phương trình sau tương đương với phương trình: x  3x  ? x2  1  3x  x3 x 3 A x  x   x  x  B C x x   x x  2 D x  x   x  x  Lời giải x  x2  3x     S  0;3 x   Giải phương trình cho: Tập nghiệm   Xét đáp án: - Đáp án A:  x   x  3x  x  x   3x  x       x   x   S1   3  S x  x   - Đáp án B:  x    x  3x    x   x   S   0  S0 1 x   3x   x  x 3 x 3 x   - Đáp án C: x2   x  3x  x    x   x x     x      x   x   S3   3  S0  x   x  - Đáp án D: x  x  x   3x  x     S   0;3  S0 x  Đáp án D Ví dụ 3: Khẳng định sau đúng? 2 A 3x  x   x  x  x  x  2 B x  x   x  x   3x  x C x   3x  x   x 2x   x   x    x  1 D x  Đáp án A Ví dụ 4: Khẳng định sau sai? A x 1  x 1  x 1  x   x    x     x  1 C B x2    x 1 0 x 1 D x   x  Lời giải Chọn đáp án D x   x  1 Còn khẳng định khác Đáp án D Giaovienvietnam.com Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: A x  x    x  x  x x 1 0 x  B x  C x    x x     x  D x  x    x  x  Lời giải Xét đáp án: x  2x  x   1 x     x  x   - Đáp án A: + Phương trình + Phương trình 2x   x  Do cặp phương trình đáp án A khơng tương đương khơng tập nghiệm x 1  x x 1 0  x0 x0 x   - Đáp án B: + Phương trình + Phương trình x  STUDY TIP A  B AB B  Vậy chọn đáp án B - Đáp án C: + Phương trình  x     x  x 1   x   2  x  x   x2  5x    13     13  x  x  x   x     x   x2  5x    x  + Phương trình  13 Do hai phương trình đáp án C khơng tương đương x   x  x   1 x     x   - Đáp án D: Tập nghiệm rỗng Do phương trình x  x    x  x  khơng phải hai phương trình tương đương Đáp án B Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương: 2 x  x   (1) x   m  1 x  m  m   (2) A m  3 B m  3 C m  6 D m  6 Lời giải STUDY TIP Hai phương trình vơ nghiệm tương đương với Dễ thấy phương trình (1) vơ nghiệm Để hai phương trình tương đương phương trình (2) phải vô nghiệm, tức  '   m  1   m  m     m    m  3 là: Đáp án A Ví dụ 7: Hai phương trình sau khơng tương đương với nhau: A x   x  x  1 x   x  x  1 B  x  1   x  2x C D  x  1  x2 x 1 x2  x  2  0  x  x  2x  x2 x  x x2 0 Lời giải Ta xét đáp án: - Đáp án A: Điều kiện hai phương trình x  Giaovienvietnam.com Khi x   nên ta chia vế phương trình thứ hai cho x  nên hai phương trình tương đương - Đáp án B: Hai phương trình có tập nghiệm STUDY TIP Điều kiện phương trình là: f  x  g  x    f  x    g  x    1; 2 nên tương đương - Đáp án C: Điều kiện hai phương trình x  1 nên ta nhận phương trình thứ với x   ta phương trình thứ hai Vậy hai phương trình tương đương - Đáp án D: Phương trình x2  x  2  có nghiệm x  x  thỏa mãn x   điều kiện  x  Còn phương trình x x2  có nghiệm x  x  khơng thỏa mãn điều kiện x  Vậy hai phương trình khơng tập nghiệm nên không tương đương Đáp án D Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 x  mx   x   m   x   m  1 x   (2) A m  B m  C m  2 D m  3 Lời giải  x  2    x    x  mx     x  mx   Ta có: Phương trình (2) Do hai phương trình tương đương nên x  2 nghiệm phương trình (1), thay vào ta có m  Khi m  hai phương trình cho có tập nghiệm nên tương đương Đáp án B Ví dụ 9: Tìm tất giá trị thực m để hai phương trình sau tương đương: mx   m  1 x  m   A m  5 (1) B m  5; m   m   x  3x  m2  15  C m  (2) D m  Lời giải x 1   x  1  mx  m       mx  m   Phương trình (1) Do phương trình tương đương nên x  phải nghiệm (2) nên thay x  vào phương trình (2) ta có: m  m    m  15   m  m  20     m  5 + Với m  : x   1 x  6x      S1  1;  x   2  Phương trình (1) trở thành: x   1 x  3x      S2  1;   S1 x   2  Phương trình (2) trở thành STUDY TIP Với câu hỏi trắc nghiệm ta thử đáp án Vậy hai phương trình tương đương + Với m  5 :  x 7   5 x  12 x     T1   ;1  5  x 1  Phương trình (1) trở thành: 10  x  10   7 x  x  10   ;1  T2      x 1 Phương trình (2) trở thành: Vậy T1  T2  Hai phương trình khơng tương đương Vậy m  thỏa mãn đề Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing  x  x  x  1  13 x  x  1  36  x  1    x  x  1  x  13 x  36    x  x  1  x  1   x  x     x      x  x  1  x  1  x    x    x  3  x  3  Vậy phương trình cho có nghiệm số là: x  ; x  1; x  2; x  3 Câu 25: Đáp án D Gọi A, B, C số học sinh nhóm A, B, C   A, B, C  36; A, B, C  ¥  Theo đề ta có  A  B  C  36  B   A  A  C  2B   A  B  C  36  A  10    B  A    B  12  A  B  C  C  14   Câu 26: Đáp án D Đặt t  x  x  28 , (với t  ) Ta có: t  5t  24    t  3  t     t  Với t   x  x  28  x    T  42   9   97  x  9 Câu 27: Đáp án C LOVEBOOK.VN | 109 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book x  x     1  21 x  x   x   ĐK (*) Với điều kiện (*) ta đặt y x2  x   x   y  1 x   x (1) Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*) x    1  21  y  x   (**) Với điều kiện (**), phương trình cho trở thành: y 40 y  y  1  y2  y      y  3 Với y  1 , ta có:  x  1   x2  2x      x  1  (1) Với y  3 , ta có: x   x  5  1  x  x     Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: x  1  6, x  1  6, x  1; x  5 Câu 28: Đáp án B    2m    m  4m  1  16m  0m LOVEBOOK.VN | 110 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai Theo The Best or Nothing  m   2; 1; 0 Câu 29: Đáp án A x  2mx  m  m   có nghiệm phân biệt dương  m   m  m  1   '     S    2 m  P  m2  m     m     m   m  m   m  ¡   m  1   m  1 m  Câu 30: Đáp án B   4m  1;    4m    m   x12  x22    x1  x2   x1 x2    2m     m  2m    m   n   2m  8m     m  4  l  Câu 31: Đáp án A Gọi vận tốc trung bình Thảo x (km/h), x  Gọi vận tốc trung bình Châu x  (km/h) 30 Thời gian Thảo từ A đến B x (h) LOVEBOOK.VN | 111 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book 30 Thời gian Châu từ A đến B x  (h) 30 30   Ta có phương trình: x x   x  12  n   x  x  180     x  15  l  Vậy Vận tốc trung bình Châu 15km/h, Thảo 12km/h Câu 32: Đáp án C Gọi A, B, C số đo góc tam giác (  A, B, C  180 ), đơn vị độ Khơng tính tổng qt ta giả sử A  B Theo đề ta có  A  B  C  180  A  B C  A   A  B  C  180  A  B  A  2C   A  B  C  180  A  B  2 A  C    A  B  C  180  A  B  2C  A    A  45    B  45 C  90   A  72   B  72 C  36  Câu 33: Đáp án B Đặt t  x ( t  ) (1) thành at  bt  c  (2) Phương trình (1) vơ nghiệm LOVEBOOK.VN | 112 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing  phương trình (2) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm âm       S  P   Câu 34: Đáp án C 2x 1  x    2x 1   x    x  1  16  x    x  3 2  x  x   16  x   x  x   x  10 x  24  x  3x  10 x  24   x  3 + Nếu x  3 phương trình trở thành  x  2  3x  18 x  48    x   x  2  Kết hợp với x  3 có nghiệm  x  x  10 x  24  8  x  3 + Nếu x  3 phương trình trở thành x   3x  x    x   Kết hợp với x  3 ta có phương trình vơ nghiệm Kết luận phương trình có nghiệm x  2; x  Câu 35: Đáp án A ĐKXĐ: 1  x   x  1   1  x    x  x  x    LOVEBOOK.VN | 113 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book Với điều kiện ta có: 1 1 x  1 x  1 x   x x 2x 1 1 x 1 x 1 x  1 x 1 x    0 x x  1 x x  1 x 2x    x2     x     x   2  x  3  x2     x  Vậy phương trình có nghiệm x  3; x  Câu 36: Đáp án D  x  1 x  mx  1  x 1 mx  3 m   m  m0       m  3     1  m Câu 37: Đáp án D Điều kiện: x    x   1  x   2m  3 x  6m  (2), phương trình ln có nghiệm x  x  2m , để phương trình (1) có nghiệm 2m   m   m   2; 1;0;1 Câu 38: Đáp án D    4m  3  4.2   2m    4m  1 2  x  x    4m  3  x  x    2m  LOVEBOOK.VN | 114 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing  x  x   1     x  x  2m     1  x  x  0  2    3;0 x    2    3;0 x       x  1  2m Phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 3;0 phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn   3; 0 2  khác m   2m      3  1  2m   m    3  1  2m  m  0m Không có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 39: Đáp án C  '   m  1   2m  3m  1   m  m Để phương trình có hai nghiệm   '    m  (*) Theo định lí Viet, ta có  x1  x2   m  1   x1.x2  2m  3m  Khi P  x1  x2  x1 x2   m  1  2m2  3m  LOVEBOOK.VN | 115 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book  m2  m 1    m   2  16  1  m 1   m   4 Vì 1    m    16  1   m     16   1    m    16   16 1 9    m     16 16  2 9  1 1    P  m      m     16    16  1    2 m    4  Dấu “=” xảy m : thỏa mãn (*) Câu 40: Đáp án D Đồ thị y f  x hình vẽ: LOVEBOOK.VN | 116 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing  m  f  x  x   4; 4  m   m   2;3; 4;5 Câu 41: Đáp án B D 2m  m   2m  3 Dx  3m  m  6  m2  1   2m   Dy  2m  3m   5  m  1 5 m  1    m  1  4m      m  Với   m  1  x  4m   y   4m  hệ có nghiệm  Ta có x  y  27  12  m  1 15   27 4m  4m    m  1   9  4m    m  Câu 42: Đáp án A Vì c, d hai nghiệm phương trình x  ax  b  suy c  d  a Vì a, b hai nghiệm phương trình x  cx  d  suy a  b  c Khi đó, ta có hệ c  d   a a  c  d  bd   a  b  c a  c  b LOVEBOOK.VN | 117 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book c  ac  b   a  ca  d  Lại có  a  c  c2  a2  b  d   a2  c2    a  c - Với a  c từ c  d  a  d  : mâu thuẫn giả thiết - Với a  c từ c  d  a  d  2c từ a  b  c  b  2c Ta có: c  ac  b  c   l   2c  2c     c  1 t / m  Khi S  a  b  c  d  c  2c  c  2c  2c  2.1  2 Câu 43: Đáp án B Ta có mx  x   x   mx  x   x    mx  x     x  1  m  1 x   1   m  3 x    Xét (1), ta có: + m  1 phương trình nghiệm với x  ¡ + m  1 có nghiệm x  Xét (2), ta có: + m  3 phương trình vơ nghiệm + m  3 phương trình có nghiệm x m3 LOVEBOOK.VN | 118 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing  0, m  3 Vì m  nên phương trình có hai nghiệm, phân biệt x  0, x Mà m  m  1 m  3 m   5;5 m  ¢  m   5; 4; 2; 0;1; 2;3; 4;5 có giá trị m Câu 44: Đáp án D ĐKXĐ: x  x2 t Đặt x  1  t  t   x     t  t  4t  x  tx  t   * t  t    t  (*) có hai nghiệm x phân biệt Với t thỏa mãn   t  1   m Mặt khác phương trình cho trở thành: t  2t  m  (**) m      t  1   m    t  1   m k Phương trình cho có nghiệm (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa điều kiện m     1   m    t  hay   1   m  m  0  m     1  m     m  24  1  m  25  LOVEBOOK.VN | 119 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book  Có vơ số giá trị m Câu 45: Đáp án C ĐK: x  x   x   x   x 1  x   x3  3x  x   x3  x  x        x 1      15  x   x      2    x 1     x x 2 23 x 3   x  6     x   x  (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 46: Đáp án D u  12  x  v  4 x + Đặt  Khi ta có: u  v  u  v    3 u  v  16 u  uv  v  u  v  u  v      u  v   3uv  uv     21 u    v   21  + Sử dụng định lí Viet đảo phương pháp ta được:  LOVEBOOK.VN | 120 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai + Vì vai trị u, v nên ta cần xét 12  x  The Best or Nothing u  21 ta có: 72  16 21 36  16 21 x 9 Câu 47: Đáp án B  x  3   x    3x   Điều kiện:  (*) Ta thấy x  thỏa mãn điều kiện (*) Nếu x   x  5  3x     x 3x   x   (*) Do điều kiện xác định phương trình x  Thay x  x x 5 vào phương trình thấy có x  thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 48: Đáp án B Hệ phương trình tương đương với  x  y    x  y    x  y    x  y      x  y   x  y    x  y    x  y   3x  y  a  Đặt  x  y  b , hệ phương trình cho trở thành  a  b  a  b  a  b  2ab    ab  a  b     2ab   a  b   LOVEBOOK.VN | 121 Cơng Phá Tốn - Lớp 10 More than a book a  b a  b a  b     a     2a  2a    a  1  a  b    3x  y  x    y  Với a  b  ta có  x  y  Với a  b  1 ta có  x 3 x  y  1     x  y  1  y   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   0;   1  ;   5  Câu 49: Đáp án A Điều kiện: x, y  2 x3  x y   2 y  y x  Hệ   x  y   xy  x  y     x  y   x  3xy  y    x y 2 (Do x  xy  y     x  y   y  x, y    ) Thay vào hệ ta được: 3x3   x   y Vậy hệ có nghiệm: x  y  LOVEBOOK.VN | 122 Chủ đề 2: Hàm số bậc bậc hai The Best or Nothing Câu 50: Đáp án B Ta thấy x  không nghiệm hệ nên ta biến đổi hệ trở thành  1   y x  x  y         2y   x Đặt a  y, b  , ab  x3 ta có hệ:   ab  a  b   a  b  ab   2  a  b   a  b   2ab     ab  a  b    ab a  b   2a 3b3  5a 2b  36   a   a    b  b  1  y  a     b   x   * a   y    b   x  * Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm:  1 ;   2  x; y    1,1 ,  LOVEBOOK.VN | 123 ... Lời giải STUDY TIP Phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) tập nghiệm phương trình (2) chứa tập nghiệm phương trình (1) x  2x  x      1 x  S0  0;   2  Giải phương trình. .. đương Vậy m  thỏa mãn đề Giaovienvietnam.com Đáp án C Ví dụ 10: Cho phương trình x  x  Trong phương trình sau phương trình khơng phải phương trình hệ phương trình cho: A 2x   2x C x 0 1 x...  9x  m nghiệm B có C m  10  m9 D Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình Dạng www.thuvienhoclieu.com §4 Hệ phương trình A Các dạng tốn điển hình Hệ phương trình bậc hai ẩn  a1 x  b1