(SKKN 2022) Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Hàm số bậc hai được cho bởi công thức y  f   x  ax 2  bx  c  a  0.

Tập xác định của hàm số này là D  R

Hàm số y  ax 2  a  0 đã học ở lớp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này.

2.1.2 Đồ thị của hàm số bậc hai. Đồ thị của hàm số y  f   x  ax 2  bx  c  a  0 là một đường parabol có đỉnh là điểm 

2 , có trục đối xứng là đường thẳng x   2 b a , Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a  0 , xuống dưới nếu a  0

Cách vẽ Để vẽ parabol y  ax 2  bx  c  a  0, ta thực hiện các bước:

1) Xác định tọa độ của đỉnh 

3) Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm  0 ; c ) và trục hoành (nếu có).

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm

 0 ; c  qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn.

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a ( a  0bề lõm quay lên trên, a  0 bề lõm quay xuống dưới).

2.1.3 Chiều biến thiên của hàm số.

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  ax 2  bx  c  a  0 , ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a  0 và a  0 như sau: a  0 a  0 x   a b

Từ đó, ta có định lí dưới đây Định lí

* Nếu a  0 thì hàm số y  f   x  ax 2  bx  c nghịch biến trên khoảng 

* Nếu a  0 thì hàm số y  f   x  ax 2  bx  c đồng biến trên khoảng 

2.1.4 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f x ( ) và trục hoành.

Giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x ( ) = 0.

( ) y = f x có đồ thị như hình bên

Suy ra phương trình f x ( )= 0 có hai nghiệm  x  1 ; x  3

Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y  f   x và y  g   x Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f   x  g   x (1).

+ Nếu phương trình (1) có nnghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

+ Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y  f   x hoặc y  g   x để tính y

2.1.5 Phép biến đổi đồ thị.

Cho hàm số y  f   x có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:

1) Hàm số y  f   x  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.

2) Hàm số y  f   x  a có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

3) Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

4) Hàm số y  f  x  a  có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

 x x có đồ thị (C’) bằng cách: x y

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy

 x f x f có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thực trạng của vấn đề

Trong chương trình toán THPT, đặc biệt là phần Đại số lớp 10, hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết nhiều bài toán và ứng dụng thực tiễn Tuy nhiên, sách giáo khoa, sách bài tập và một số tài liệu tham khảo chưa khai thác triệt để những lợi ích của hàm số.

Nhiều học sinh, mặc dù nắm vững kiến thức toán học lý thuyết, vẫn gặp khó khăn khi áp dụng vào thực tiễn, đặc biệt là học sinh lớp 10 mới chuyển từ lớp 9 Các em thường bỡ ngỡ khi tiếp cận nội dung hàm số và khai thác đồ thị, nhất là đồ thị hàm số bậc hai Việc giải các bài tập trắc nghiệm như đọc yếu tố đồ thị, xác định điểm tương giao, giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên là những thách thức lớn đối với các em.

Trong bối cảnh đổi mới thi cử hiện nay, việc giải quyết các bài toán đồ thị với độ khó đa dạng từ nhận biết đến vận dụng cao đòi hỏi học sinh không chỉ thành thạo công thức toán học mà còn cần có nền tảng kiến thức vững chắc ngay từ lớp 10 Học sinh cần hiểu biết sâu rộng và luyện tập thường xuyên để tích lũy kinh nghiệm, từ đó có khả năng suy luận và giải quyết các bài toán một cách đầy đủ và chính xác.

Trước thực trạng hiện nay, tôi lo lắng và tự hỏi làm thế nào để hỗ trợ học sinh lớp 10 mới vào học đối mặt với những bài toán khó khăn, đồng thời giúp các em xây dựng nền tảng kiến thức vững chắc để chuẩn bị cho lớp 12.

Các em cần cải thiện khả năng linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức về hàm số, đặc biệt là hàm bậc hai, để giải quyết hiệu quả các dạng toán liên quan.

- Thời gian để làm dạng này còn chưa nhanh, đang còn lúng túng.

Việc nắm vững kiến thức một cách máy móc và hình thức có thể dẫn đến những sai lầm trong việc xác định dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số, đặc biệt là hàm số bậc hai.

Bộ sách giáo khoa hiện tại chủ yếu bao gồm các bài tập tự luận, được thiết kế theo phương pháp truyền thống Tuy nhiên, các bài tập liên quan đến đồ thị hàm số, thường thấy trong đề thi THPT, lại không có trong sách giáo khoa và sách bài tập Để khắc phục điều này, chúng tôi đã xây dựng một phương pháp giảng dạy riêng cho phần nội dung này.

Để xây dựng một chuyên đề hiệu quả về khai thác đồ thị hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0), giáo viên cần tham khảo tài liệu, đáp án thi giữa kỳ và cuối kỳ, cũng như khảo sát chất lượng theo định hướng thi tốt nghiệp THPT hàng năm Bên cạnh đó, việc trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp cũng rất quan trọng, giúp học sinh có nền tảng vững chắc để dễ dàng khai thác đồ thị các hàm số ở lớp 12.

Trong thời gian học chính khóa và các giờ học thêm, giáo viên cần tận dụng cơ hội để hướng dẫn học sinh kỹ năng khai thác đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) và giải quyết các bài toán liên quan Đồng thời, xây dựng một hệ thống bài tập phong phú để học sinh có thể thực hành hiệu quả.

Mặc dù bài tập dạng này vẫn còn hạn chế và thời lượng chưa đủ, nhưng việc tích lũy các bài tập từ các đề thi trên toàn quốc đã tạo ra không ít khó khăn cho giáo viên trong quá trình giảng dạy.

2.2.4 Kết quả của thực trạng.

Để đánh giá kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai của học sinh, tôi đã tiến hành khảo sát tại các lớp 10B5 và 10B6 ngay sau khi hoàn thành chương 2 Đại số lớp 10 Bài kiểm tra bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm từ nhận biết đến vận dụng của bài toán tương giao giữa hai đồ thị hàm số, yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết trong thời gian 45 phút.

Kết quả như sau: Bảng thống kê điểm kiểm tra

Giải quyết vấn đề

Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác.

2.3.1 Dạng 1 Sự tương giao đồ thị của các hàm số tường minh số liệu

Phương pháp: Giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f x ( ) = 0.

Chú ý: Muốn tìm giao điểm của hai đồ thị y  f   x và y  g   x Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f   x  g   x (1).

+ Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung.

+ Ta thay nghiệm x vào y  f   x hoặc y  g   x để tìm tung độ giao điểm y

Ví dụ 1 Giao điểm của parabol ( ) :P y x 2  3x2 với đườg thẳng y x  1 là

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:

Ví dụ 2 Hoành độ giao điểm của đườg thẳg y   1 x với ( ) :P y x 2  2x1 là

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:

Ví dụ 3 Gọi A a b  ;  và B c d  ;  là tọa độ giao điểm của   P : y  2 x x  2 và

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:

Ví dụ 4 Cho parabol   P có phương trình y  f x   thỏa mãn

 1  2 5 5 f x x  x   x Số giao điểm của   P và trục hoành là

Ta có f x   1   x 2  5 x   5  x  1  2  3  x  1   1 Suy ra f x    x 2  3 x  1. Phương trình x 2  3x 1 0 có   3 2  4.1.1 5 0   nên có hai nghiệm phân biệt Vậy   P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt Chọn C.

Ví dụ 5 Cho hai parabol có phương trình y x 2  x 1 và y 2x 2  x 2 Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B (x A x B ) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol:

1 1; 3 13 x   y  x   y  Do đó hai giao điểm là A   1;1  và B  3;13 .

2.3.2 Dạng 2 Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m

- Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x hoặc bảng biến thiên của hàm số y  f   x để xác định số nghiệm của phương trình f   x  f   m

Số nghiệm của phương trình f(x) = f(m) tương ứng với số giao điểm giữa đồ thị y = f(x) và đường thẳng y = f(m) Đường thẳng y = f(m) là đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm có tung độ y = f(m).

Chú ý: Có thể dùng phương pháp giải và biện luận phương trình theo biệt số 

Ví dụ 1 Giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y x 2 3x m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ?

Hướng dẫn Cho x 2 3x m 0(1) Để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0 3 2 4 0 9 4 0 9 m m m 4

Ví dụ 2.Hàm số y x 2 2x 1 có đồ thị như hình bên Tìm các giá trị m để phương trình x 2 2x m 0 vô nghiệm. x y

Số nghiệm của phương trình   * chính là số giao điểm của parabol

2 2 1 y x  x và đường thẳng y m 1 Yêu cầu đề bài  m1 Chọn D.

Để tìm số giá trị m nguyên trong nửa khoảng   10; 4   sao cho đường thẳng d y :   m  1  x m   2 cắt parabol   P : y  x 2   x 2 tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung, chúng ta cần tìm các giá trị m thỏa mãn điều kiện này Điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt là phương trình     2 2 2 m x m x        0 có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của d và   P :

2 2 1 2 2 2 4 0 * x  x  m x m   x  m x m   d cắt   P tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và chỉ khi   * có hai nghiệm phân biệt cùng đấu

Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng   10; 4   thỏa mãn đề bài Chọn A.

Cho parabol \( P : y = x^2 - mx \) và đường thẳng \( d : y = (m + 2)x + 1 \), với \( m \) là tham số Khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt M và N, trung điểm I của đoạn thẳng MN được xác định.

A một parabol B một đường thẳng C một đoạn thẳng D một điểm.

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của   P và   d :

(*) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do đó   P và

  d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m Khi đó x x M , N là hai nghiệm phân biệt của (*).

Theo Viet ta có x M  x N 2  m1  Ta có 1

Vậy I luôn thuộc parabol y x 2  x 1 với mọi m Đáp án A.

Chú ý: Cho hai điểm A x y ,  A ; A  B x y Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng  B ; B 

Ví dụ 5 Cho hàm số y x 2 3x có đồ thị   P Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để đường thẳng d y x m:   2 cắt đồ thị   P tại hai điểm phân biệt ,

A B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên đường thẳng d y: 2x3. Tổng bình phương các phần tử của S là

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của d và   P là:

2 3 2 2 2 2 0 x  x x m   x  x m  (1). Đề d cắt   P tại 2 điểm phân biệt   0 1 m 2 0,  m

Gọi x x 1; 2 là 2 nghiệm của phương trình (1), khi đó A x x  1 ; 1  m 2  ,

Theo Viét ta có x 1 x 2 2; x x 1 2 m 2 nên I   1; m 2  1 

2.3.3 Dạng 3 Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp:

 x x có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy

 x f x f có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox

Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2 2 1 0 x  x   m có bốn nghiệm phân biệt?

Cách 1: x 2  2 x   1 m   0 x 2  2 x   1 m   * Số nghiệm của   * là số giao điểm của đồ thị hàm số y x 2  2 x 1 và đường thẳng y m 

Dễ thấy hàm số y x 2  2 x 1 là một hàm số chẵn, do đó có đồ thị đối xứng qua trục Oy Mặt khác ta có y x 2  2 x  1 x 2  2x1 với x0.

Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y x 2  2 x 1 như sau:

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y x 2  2x1;

- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái trục tung (ứng với x0) của đồ thị hàm số

- Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải trục tung (ứng với x0) của đồ thị hàm số y x 2  2x1 qua trục tung.

Quan sát trên đồ thị ta thấy đường thẳng y m  cắt đồ thị hàm số

2 2 1 y x  x  tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0m1 Suy ra không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Cách 2: Đặt t x t, 0 Phương trình đã cho trở thành t 2  2t 1 m0 (**).

Ta thấy với t 0 thì x0, với t 0 thì x  t

Do đó để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì (**) phải có hai nghiệm dương phân biệt

Do đó không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2 Cho hàm số f x    ax 2  bx c  có đồ thị như hình vẽ Với những giá trị nào của tham số m thì phương trình f x    m có đúng 4 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình f x    m là số giao điểm của đồ thị y  f x   và đường thẳng y m  Ta có đồ thị hàm số y  f x   như hình vẽ dưới đây.

Do đó phương trình f x    m có đúng 4 nghiệm phân biệt  0m1.

Ví dụ 3 Biết S   a b ;  là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đườg thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x 2  4x3 tại bốn điểm phân biệt Tìm a b

Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y x 2  4x3;

- Bước 2: Giữ nguyên phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số y x 2  4x3;

- Bước 3: Lấy đối xứg phần nằm dưới trục Ox của đồ thị hàm số y x 2  4x3.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y m  cắt đồ thị hàm số y x 2  4x3 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0m1 Vậy S   0;1  Suy ra a b 1.

Ví dụ 4 Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 4 4 x x  x  m có 6 nghiệm phân biệt là khoảng  a b ;  Tính a b

Phương trình x x   2   m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x x   2  và đường thẳng y m 

Vẽ đồ thị hàm số y  x x   2  :

- Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y  x x   2 .

- Bước 2: Từ đồ thị hàm số y  x x   2  suy ra đồ thị hàm số y  x x   2 

- Bước 3: Từ đồ thị hàm số y  x x   2  suy ra đồ thị hàm số y  x x   2 

Quan sát đồ thị ta thấy phương trình x x 2  4 x 4 m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m   0;1  Vậy a b 1 Chọn C.

Ví dụ 5 Cho hàm số y  f x    ax 2  bx c  có đồ thị   C (như hình vẽ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Hướng dẫn Từ đồ thị   C suy ra đồ thị  C '  của hàm số y  f x   gồm 2 phần: Phần 1 giữ nguyên phần   C bên phải trục Oy; phần 2 lấy đối xứng phần

Từ đồ thị  C '   phương trình   1 có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình   2 có 4 nghiệm phân biệt, khác hai 2 nghiệm của phương trình   1   * x y

Từ đồ thị  C '  , ta có   *    1 3 m  3 0 m 4

Do đó có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn B.

Cho hàm số f(x) = ax² + bx + c có đồ thị như hình vẽ Câu hỏi đặt ra là với những giá trị nào của tham số thực m, phương trình f(x) + m = 1 sẽ có đúng 3 nghiệm phân biệt x, y.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số cắt Oy tại (0;3) ị c=3. Đồ thị hàm số nhận ( 2; 1 - ) làm đỉnh nên ta có 2

1 4 a b ỡ =ùù Û ớù =-ùợ Ta cú f x ( ) + = Û 1 m y = f x ( ) = - m 1

Ta có đồ thị hàm y = f x ( ) ( ) C như hình vẽ.

Số nghiệm của phương trình f x ( ) + = 1 m là số giao điểm của đồ thị hàm số

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y x 2  9 x cắt đường thẳng y m  tại 4 điểm phân biệt.

Để xét phương trình hoành độ giao điểm x^2 - 9x = m, ta chuyển đổi thành x^2 - 9x - m = 0 Đặt t = x với t ≥ 0, ta có phương trình t^2 - 9t - m = 0 Đồ thị hàm số y = x^2 - 9x sẽ cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt.

Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số y  x 2  9 x

Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số y  x 2  9 x cắt đường thẳng y m  tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi 81 0

Ví dụ 8 Cho phương trình x 2  2 x  2 x m    1 0 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm thực?

Vẽ đồ thị hàm số y  x 2 4x 1 và y x 2 1 trên cùng 1 hệ trục tọa độ: x y

Từ đồ thị suy ra để phương trình có 3 nghiệm thì

Ví dụ 9 Cho hàm số f x    ax 2  bx c  có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Dựa vào BBT ta thấy hàm số f x    ax 2  bx c  đạt GTNN bằng 1 tại x 2 và có hệ số a0 Ta biểu diễn được: f x    a x   2  2  1  ax 2  4 ax  4 a  1

Vậy GTNN của y  f  2021 x  2022   2 bằng 3 tại 2024 x 2021. BBT của hàm số y  f  2021 x  2022   2 có dạng: x   x 1 2024

Số nghiệm của phương trình f  2021 2022    2  m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  2021 x  2022   2 và đường thẳng y m 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f  2021 x  2022   2  m có đúng ba nghiệm khi m3 Chọn B.

Để xác định các giá trị của tham số m cho hàm số y = f(x) sao cho đồ thị cắt đường y = m + 1 tại 4 điểm phân biệt trên cùng một hệ trục tọa độ, cần phân tích đồ thị hàm số và điều kiện cắt Việc này yêu cầu tìm hiểu mối quan hệ giữa hàm số và đường thẳng, từ đó xác định các giá trị thích hợp của m.

Từ đồ thị hàm số y  f x  , ta suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y  f x   như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f x   ở phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục hoành qua trục hoành.

- Xóa phần đồ thị phía dưới trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số y  f x   ta có đường thẳng y mx 1 cắt đồ thị hàm số y  f x   tại 4 điểm phân biệt  0m    1 3 1 m2.

Ví dụ 11 Cho hàm số y  f x    ax 2  bx c  có đồ thị   C (như hình vẽ):

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Hướng dẫn vẽ đồ thị hàm số \( C' \) của hàm số \( y = f(x) \): Giữ nguyên phần đồ thị \( C \) nằm phía bên phải trục \( Oy \), loại bỏ phần đồ thị \( C \) bên trái trục \( Oy \), và thực hiện phép đối xứng phần đồ thị \( C \) phía bên phải trục \( Oy \) qua trục \( Oy \).

* Từ đồ thị  C '  , ta có:

- Phương trình f x    1có hai nghiệm là x 2,x 2.

- Yêu cầu đề bài  phương trình f x     3 m có bốn nghiệm phân biệt khác 2

 suy ra đường thẳng :d y  3 mcắt đồ thị  C ' tại bốn điểm phân biệt khác ,

Ví dụ 12 Cho hàm số y  f x   có đồ thị như hình vẽ.

Phương trình f 2   x  f x    2 0  có bao nhiêu nghiệm?

Vẽ đồ thị hàm số y  f x  

Số nghiệm của   1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x   và đường thẳng y 1, từ đồ thị hàm số y  f x   ta suy ra   1 có 2 nghiệm phân biệt.

Số nghiệm của phương trình \( f(x) = 2 \) tương ứng với số giao điểm giữa đồ thị hàm số \( y = f(x) \) và đường thẳng \( y = -2 \) Từ đồ thị hàm số, ta nhận thấy rằng phương trình này có 4 nghiệm phân biệt, khác với 2 nghiệm của phương trình \( f(x) = 1 \) Do đó, tổng số nghiệm phân biệt của phương trình đã cho là 6.

Ví dụ 13 Cho đồ thị hàm số f x    ax 2  bx c  như hình bên Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong đoạn  0;2022  để phương trình

2 | | 0 ax b x  c m có hai nghiệm phân biệt?

Gọi   C : y ax  2  bx c  ;   C 1 : y ax 2 b x c C ; 2 :y ax 2 b x c

Từ   C suy ra   C 1 như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị của   C bên phải trục tung.

- Lấy đối xứng phần đồ thị   C bên phải trục tung qua trục tung.

Từ   C 1 suy ra  C 2  như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị   C 1 phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng phần đồ thị   C 1 phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta có phương trình ax 2  b x | |   c m   0 ax 2  b x | |   c m   *

Khi đó số nghiệm của phương trình   * bằng số giao điểm giữa  C 2  và đường thẳng y m  Vì vậy đề phương trình   * có hai nghiệm phân biệt 0

. Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài Chọn A.

Ví dụ 14 Cho hàm số

( m : tham số) Số giá trị của m để đồ thị (C m ) nhận trục Oy làm trục đối xứng là

Hướng dẫn Tập xác định: D  2022;2022 \ 0   ,m1 Đồ thị y  f x   nhận trục Oy làm trục đối xứng khi f   x   f x   ,   x D

Ví dụ 15 Số các giá trị nguyên của tham số m    2021;2021  để phương trình:

Với x0 không phải là nghiệm của phương trình.

Với x0phương trình (1)trở thành  

Phương trình (2) trở thành: t 2  4 t   2 m  0  t 2  4t2m (*) Để pt(1) có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm y t 2  4t2và đường thẳng y m  Xét hàm số y t 2  4t2có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 suy ra m2.

Suy ra số các giá trị nguyên của tham số m    2021;2021  để phương trình có nghiệm là 2024 Chọn D.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Xem phần phụ lục).

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong năm học 2021 - 2022, tôi đã áp dụng các giải pháp dạy học tại các lớp 10B5 và 10B6, tập trung vào ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số, đặc biệt là hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) Kết quả kiểm tra đánh giá cho thấy sự tiến bộ rõ rệt của học sinh từ mức độ dễ đến khó trong phần này.

Theo điều tra, đa số học sinh lớp 10 đã nắm vững cách giải các bài toán liên quan đến đồ thị, đặc biệt là đồ thị hàm số bậc hai Các em tự tin thực hành làm bài tập và luyện đề cả trên lớp lẫn ở nhà Những kỹ năng này không chỉ giúp các em chuẩn bị tốt về kiến thức mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học tập và tiếp thu kiến thức mới, đặc biệt là trong việc áp dụng đồ thị vào các bài toán Điều này sẽ hỗ trợ các em trong quá trình ôn luyện cho kỳ thi lớp 12 sắp tới.

Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm về việc rèn luyện kỹ năng giải các bài toán khai thác đồ thị, đặc biệt là mối quan hệ giữa các đồ thị hàm số, như hàm bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) với các đồng nghiệp môn Toán trong và ngoài trường Nhiều giáo viên đã đánh giá cao tính khoa học và thực tiễn của đề tài này.