(SKKN 2022) Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến sự tương giao giữa các đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Tổ phó tổ chun mơn Tốn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Mở đầu… 1.1 Lí chọn đề tài……………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu……………………………………… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……………………… 2.1.1.Hàm số bậc hai.……… 2.1.2 Đồ thị hàm số bậc hai ………………………… 2.1.3 Chiều biến thiên hàm số 2.1.4 Sự tương giao đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành 2.1.5 Phép biến đổi đồ thị 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng vấn đề 2.2.2 Về phía học sinh 2.2.3 Về phía giáo viên 2.2.4 Kết thực trạng.……………………………… 2.3 Giải vấn đề …………………………………………… 2.3.1 Dạng Sự tương giao đồ thị hàm số tường minh số liệu 2.3.2 Dạng Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m 2.3.3 Dạng Bài toán tương giao đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh…………………………………….……… 2.4.2 Về phía giáo viên…………………………………………… Kết luận, kiến nghị………… …… 3.1 Kết luận .………………………………………… 3.2 Kiến nghị……………….…………………………………… Tài liệu tham khảo… Một số từ viết tắt Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá cấp Sở GD & ĐT xếp loại từ C trở lên Phụ lục Trang 1 1 2 2 3 4 4 5 19 19 19 19 19 20 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Năm học 2021-2022 bắt đầu bối cảnh nhiều tỉnh thành phải thực phong tỏa, giãn cách Lần lễ khai giảng tiến hành online, mở đầu cho năm học đảo lộn gián đoạn Covid-19 làm thay đổi hoàn toàn cách thức dạy học Bên cạnh việc học, việc thi cử, tuyển sinh phải thay đổi hình thức, chí cách thức để phù hợp với đại dịch Năm 2022 năm tiếp tục thực cơng đổi bản, tồn diện giáo dục đào tạo theo tinh thần Nghị 29 Nghị Quyết Đại hội Đảng lần thứ XIII, đó, Bộ Giáo dục Đào tạo ưu tiên triển khai 11 nhóm nhiệm vụ trọng tâm Chính đòi hỏi người dạy học phải linh hoạt hợp tác trang bị kiến thức, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học, mơn Tốn nói chung chương trình mơn Tốn lớp 10 nói riêng; Đặc biệt phần hàm số bậc hai chương Đại số lớp 10 mà Sách giáo khoa(SGK) chưa sâu vào khía cạnh khai thác đồ thị vào số dạng toán liên quan nhận dạng, đọc đồ thị, tương giao, giá trị lớn (GTLN) – giá trị nhỏ (GTNN), giải phương trình dựa vào đồ thị, ứng dụng thực tế, Như biết phần hàm số nói chung hàm số bậc hai nói riêng chun đề quan trọng chương trình tốn Trung học phổ thông đặc biệt em học sinh lớp 10 Đây kiến thức tảng để học khai thác toán hàm số lớp 12 dạng toán chắn xuất nhiều kì thi kiểm tra đánh giá định kì kì thi khác, chiếm số điểm lớn nên lưu ý để khai thác làm tốt dạng toán Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chun mơn, q trình nghiên cứu lí thuyết đúc rút từ thực tế giảng dạy thân, muốn chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm lựa chọn đề tài " Rèn luyện kĩ giải toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông" mong muốn giúp em có kĩ năng, kiến thức vững vàng, tự tin giải tập, làm thi kiểm tra, làm tảng vững để tiêp cận với hàm số lớp 12 sau này, tài liệu tham khảo giúp đồng nghiệp có thêm kinh nghiệm dạy cho học sinh phần 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu rõ chất, thấy mối liên hệ đồ thị hàm số khai thác số dạng liên quan đến đồ thị hàm số đặc biệt bậc hai - Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm rèn luyện kĩ khai thác, giải tập trắc nghiệm đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 trường THPT Triệu Sơn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu vận dụng số lý thuyết chương SGK Đại số lớp 10 với nội dung câu hỏi tập trắc nghiệm ngắn gọn, vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 10 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu tài liệu - Phươg pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thốg kê, phân tích, so sánh số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai cho công thức y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) Tập xác định hàm số D = R Hàm số y = ax ( a ≠ ) học lớp trường hợp riêng hàm số 2.1.2 Đồ thị hàm số bậc hai Đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) đường parabol có ∆ b  b đỉnh điểm I  − ;−  , có trục đối xứng đường thẳng x = − , Parabol 2a  2a 4a  quay bề lõm lên a > , xuống a < Cách vẽ Để vẽ parabol y = ax + bx + c ( a ≠ ) , ta thực bước: ∆  b 1) Xác định tọa độ đỉnh I  − ;−   2a 4a  b 2) Vẽ trục đối xứng x = − 2a 3) Xác định tọa độ giao điểm parabol với trục tung (điểm ( 0; c ) ) trục hồnh (nếu có) Xác định thêm số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm ( 0; c ) qua trục đối xứng parabol, để vẽ đồ thị xác 4) Vẽ parabol Khi vẽ parabol cần ý đến dấu hệ số a ( a > bề lõm quay lên trên, a < bề lõm quay xuống dưới) 2.1.3 Chiều biến thiên hàm số Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0) , ta có bảng biến thiên hai trường hợp a > a < sau: a>0 a hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c nghịch biến khoảng b    b   − ∞;−  ; đồng biến khoảng  − ;+∞  2a    2a  * Nếu a < hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c đồng biến khoảng b    b   − ∞;−  ; nghịch biến khoảng  − ;+∞  2a    2a  2.1.4 Sự tương giao đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hồnh nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm f ( x) = Ví dụ minh hoạ: Hàm số có đồ thị hình bên y = f ( x) y O x Suy phương trình f ( x) = có hai nghiệm ( x = 1; x = 3) Chú ý: Muốn tìm giao điểm hai đồ thị y = f ( x ) y = g ( x ) Ta xét phương trình hoành độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) (1) + Nếu phương trình (1) có n nghiệm hai đồ thị có n điểm chung + Để tìm tung độ giao điểm ta thay nghiệm x vào y = f ( x ) y = g ( x ) để tính y 2.1.5 Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C) Khi đó, với số a > ta có: 1) Hàm số y = f ( x ) + a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy lên a đơn vị 2) Hàm số y = f ( x ) − a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy xuống a đơn vị 3) Hàm số y = f ( x + a ) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua trái a đơn vị 4) Hàm số y = f ( x − a ) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua phải a đơn vị  f ( x ) x > 5) Hàm số y = f ( x ) =  có đồ thị (C’) cách: f ( − x ) x ≤  + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy  f ( x ) f ( x ) > 6) Hàm số y = f ( x ) =  có đồ thị (C’) cách: − f ( x ) f ( x ) ≤ + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm trục Ox 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thực trạng vấn đề - Trong chương trình tốn THPT nói chung, phần Đại số lớp 10 nói riêng hàm số nội dung quan trọng để khai thác nhiều toán liên quan ứng dụng vào thực tế, SGK; SBT; chí số sách đọc thêm chưa khai thác hết ưu điểm - Nhiều học sinh nắm vững kiến thức tốn học mặt lí thuyết gặp dạng toán lúng túng vận dụng nào; Đặc biệt học sinh lớp 10 từ lớp lên bỡ ngỡ tiếp cận với nội dung hàm số khai thác đồ thị hàm số đặc biệt đồ thị hàm số bậc hai để giải tập trắc nghiệm đọc yếu tố đồ thị, tương giao, GTLN – GTNN dưạ vào đồ thị hay bảng biến thiên nó, - Thực tế cách đổi thi cử việc đưa toán đồ thị chiều hướng đa dạng từ nhận biết đến vận dụng cao, gặp tốn địi hỏi học sinh ngồi việc thành thạo cơng thức tốn học mà nên có móng kiến thức tốt từ lớp 10; hiểu biết luyện nhiều để có kinh nghiệm suy luận giải cách đầy đủ xác Trước thực trạng nói tơi băn khoăn tự đặt câu hỏi làm để giúp học sinh lớp 10 lên đứng trước tốn làm để em có kiến thức vững sau lớp 12 2.2.2 Về phía học sinh - Các em chưa linh hoạt việc sử dụng kiến thức hàm số đặc biệt bậc hai để khai thác giải số dạng toán liên quan - Thời gian để làm dạng chưa nhanh, lúng túng - Nắm kiến thức cách máy móc, hình thức hay mắc sai lầm cách xác định dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số, hàm số bậc hai 2.2.3 Về phía giáo viên Bộ sách giáo khoa hành tập 90% tự luận, tập thiết kế dạy học theo kiểu truyền thống Các tập kiểu khai thác giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đề thi theo hướng thi THPT lại khơng có SGK, SBT Vì thế, chúng tơi dạy phần theo cách sau: - Tham khảo tài liệu, đáp án thi kiểm tra kì, cuối kì, khảo sát chất lượng theo định hướng thi Tốt nghiệp THPT năm trường trao đổi kinh nghiệm đồng nghiệp để hình thành chuyên đề dạng toán khai thác đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0) làm nên tảng cho em sau khai thác đồ thị hàm số lớp 12 cách dễ dàng - Tranh thủ thời gian lớp, khóa học thêm để hướng dẫn kĩ khai thác đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a ≠ 0) số toán liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống tập để học sinh thực hành Tuy nhiên, tập dạng chưa nhiều, thời lượng cịn ít, chủ yếu tích lũy tập rải rác đề thi toàn quốc nên giáo viên gặp khơng khó khăn trình giảng dạy 2.2.4 Kết thực trạng Từ thực tế ấy, tiến hành khảo sát học sinh lớp dạy 10B5, 10B6 sau dạy xong chương – Đại số lớp 10 "Hàm số bậc bậc hai " với thời gian làm 45 phút để kiểm tra em kĩ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc hai cụ thể toán tương giao hai đồ thị hàm số (đề dạng câu hỏi trắc nghiệm từ nhận biết đến vận dụng cao, có yêu cầu em trình bày lời giải để tránh việc em lụi đáp án) Kết sau: Bảng thống kê điểm kiểm tra Điểm Lớp 8-10 6,5-dưới 5,0-dưới 6,5 Dưới 5,0 10B5 (42HS) 11 18 12 10B6 (41HS) 16 19 2.3 Giải vấn đề Sự tương giao parabol với đồ thị hàm số khác 2.3.1 Dạng Sự tương giao đồ thị hàm số tường minh số liệu Phương pháp: Giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hồnh nghiệm phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = Chú ý: Muốn tìm giao điểm hai đồ thị y = f ( x ) y = g ( x ) Ta xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) (1) + Nếu phương trình (1) có n nghiệm hai đồ thị có n điểm chung + Ta thay nghiệm x vào y = f ( x ) y = g ( x ) để tìm tung độ giao điểm y Ví dụ Giao điểm parabol (P ) : y = x2 − 3x + với đườg thẳng y = x − A ( 1;0) ;( 3;2) B ( 0; −1) ;( −2; −3) C ( −1;2) ;( 2;1) D ( 2;1) ;( 0; −1) Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm:  x =  x = 1⇒ y = Chọn A 2 ⇔ ⇒ x − 3x + = x − ⇔ x − 4x + =   x =  x = 3⇒ y = Ví dụ Hồnh độ giao điểm đườg thẳg y = − x với ( P ) : y = x − x + A x = 0; x = B x = C x = 0; x = D x = Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm: x = − x = x2 − 2x + ⇔ x2 − x = ⇔  Chọn A x = Ví dụ Gọi A ( a; b ) B ( c; d ) tọa độ giao điểm ( P ) : y = x − x ∆ : y = 3x − Giá trị b + d A B −7 C 15 D −15 Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm: x = ⇒ y = x − x = 3x − ⇔ x + x − = ⇔  ⇒ b + d = −15 Chọn D x = − ⇒ y = − 15  Ví dụ Cho parabol ( P ) có phương trình y = f ( x ) thỏa mãn f ( x − 1) = x − x + ∀x ∈ ¡ Số giao điểm ( P ) trục hoành A B C D Hướng dẫn 2 Ta có f ( x − 1) = x − x + = ( x − 1) − ( x − 1) + Suy f ( x ) = x − 3x + Phương trình x − x + = có ∆ = 32 − 4.1.1 = > nên có hai nghiệm phân biệt Vậy ( P ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt Chọn C Ví dụ Cho hai parabol có phương trình y = x + x + y = x − x − Biết hai parabol cắt hai điểm A B ( x A < xB ) Tính độ dài đoạn thẳng AB A AB = B AB = 26 C AB = 10 D AB = 10 Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol:  x = −1 x2 − x − = x2 + x + ⇔ x2 − x − = ⇔  x = x = −1 ⇒ y = 1; x = ⇒ y = 13 Do hai giao điểm A ( −1;1) B ( 3;13) Từ AB = ( + 1) + ( 13 − 1) = 10 Chọn C 2.3.2 Dạng Biện luận tương giao đồ thị theo tham số m Phương pháp: - Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) để xác định số nghiệm phương trình f ( x ) = f ( m ) - Số nghiệm phương trình f ( x ) = f ( m ) số giao điểm đồ thị y = f ( x ) với đường thẳng y = f ( m ) (đường thẳng y = f ( m ) đường thẳng song song với trục hồnh, cắt trục tung điểm có tung độ y = f ( m ) Chú ý: Có thể dùng phương pháp giải biện luận phương trình theo biệt số ∆ Ví dụ Giá trị m đồ thị hàm số y = x + 3x + m cắt trục hoành hai điểm phân biệt ? 9 9 A m < − B m > − C m > D m < 4 4 Hướng dẫn Cho x + 3x + m = (1) Để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ − 4m > ⇔ m < Chọn D Ví dụ Hàm số y = x + x − có đồ thị hình bên Tìm giá trị m để phương trình x + x + m = vô nghiệm A m < −2 B m < −1 C m < D m > 2 Hướng dẫn x + x + m = ⇔ x + x − = − m − ( *) Số nghiệm phương trình ( *) số giao điểm parabol y = x + x + đường thẳng y = − m − Yêu cầu đề ⇒ m > Chọn D Ví dụ Hỏi có giá trị m nguyên nửa khoảng [ −10; −4 ) để đường thẳng d : y = − ( m + 1) x + m + cắt parabol ( P ) : y = x + x − hai điểm phân biệt nằm phía trục tung? A B C D Hướng dẫn Phương trình hồnh độ giao điểm d ( P ) : x + x − = − ( m + 1) x + m + ⇔ x + ( m + ) x − m − = ( *) d cắt ( P ) hai điểm phân biệt nằm phía trục tung ( *) có hai nghiệm phân biệt đấu m + 8m + 20 > ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ m < −4 Vậy có giá trị m nguyên − m − > P >  nửa khoảng [ −10; −4 ) thỏa mãn đề Chọn A Ví dụ Cho parabol ( P ) : y = x − mx đường thẳng ( d ) : y = ( m + ) x + , m tham số Khi parabol đường thẳng cắt hai điểm phân biệt M, N, tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN A parabol B đường thẳng C đoạn thẳng D điểm Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) : x − mx = ( m + ) x + ⇔ x − ( m + 1) x − = (*) ( P ) : y = x2 − 4x + m cắt trục Ox hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn A T = −9 B T = OA = 3OB Tính T C T = −15 D T = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) trục Ox là: x2 − 4x + m = (1) ( P ) cắt trục Ox hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 = x2 ∆ ' > 4 − m > m <    ⇔   x1 = x2 ⇔   x1 = x2 ⇔   x1 = x2   x = −3 x   x = −3 x   x = −3 x 2     x1 + x2 = Mặt khác, theo định lý Viet cho phương trình (1) thì:   x1.x2 = m Với x1 = 3x2 ⇒ x1 = , x2 = ⇒ m = thỏa mãn Với x1 = −3x2 ⇒ x1 = , x2 = −2 ⇒ m = −12 thỏa mãn Có hai giá trị m m = m = −12 Vậy T = −9 Chọn A 2 Câu 11 Tìm m để Parabol ( P ) : y = x − ( m + 1) x + m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho x1.x2 = A m = B Không tồn m C m = −2 D m = ±2 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) với trục hoành: x − ( m + 1) x + m − = ( 1) ( P ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ ⇔ ( 1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1.x2 = 2  m > −2 ∆′ = ( m + 1) − ( m − 3) > x1 , x2 cho x1.x2 = ⇔ ⇔ ⇔ m = Chọn A m = ±  m − =   Câu 12 Cho parabol ( P ) : y = ax + bx + c Tìm a − b + c , biết đường thẳng y = −2,5 có điểm chung với ( P ) đường thẳng y = cắt ( P) hai điểm có hồnh độ −1 A a − b − c = −2 B a − b − c = C a − b − c = D a − b − c = −1 Lời giải Vì đường thẳng y = −2,5 có điểm chung với ( P ) đường thẳng y = cắt ( P ) hai điểm có hồnh độ −1 nên suy tọa  −1 +  ;2,5 ÷ = ( 2; 2,5 ) độ đỉnh ( P ) là:    Vậy ( P ) qua ba điểm ( 2; 2,5 ) , ( −1;2 ) ( 5;2 ) Từ ta có hệ:  a = 10 a − b + c =  −4   Vậy a − b − c = −1 Chọn D 25a + 5b + c = ⇔ b = 10 4a + 2b + c = 2,5    15 c = 10  Câu 13 Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Hỏi có giá trị nguyên tham số mđể phương trình ax2 - bx + c = m có nghiệm phân biệt A < m Để x − x −5 = m ( 1) có hai nghiệm phân biệt ⇔  m = m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 10;11;12; ;2022} Chọn B Mà  m ∈ ( 0;2022] Câu 19 Tìm tất giá trị m để phương trình x − x − − m = có nghiệm x ∈ [ 0;4] A m ∈ ( −∞;5] B m ∈ [ −4; −3] C m ∈ [ −4;5] D m ∈ [ 3; +∞ ) Lời giải Phương trình cho tương đương m = x − x − Đặt y = f ( x ) = x − x − Ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) sau: y −1 O x −4 Dựa vào đồ thị Để phương trình y = f ( x ) = x − x − = m có nghiệm x ∈ [ 0;4] −4 ≤ m ≤ Chọn C Câu 20 Cho parabol y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Phương trình có điều kiện xác định là: x ≠ A  x ≠  x ≤ B  x ≥  C ≤ x ≤ f ( x) = D ∀x ∈ ¡ Lời giải Điều kiện: f ( x ) ≥ nhìn đồ thị ta thấy: ≤ x ≤ đồ thị nằm phía trục hoành hay hàm cho f ( x ) ≥ Chọn C Câu 21 Tìm tất giá trị thực m để phương trình x − x + + 3m = có hai nghiệm thuộc đoạn [ 1;5] ? 2 11 11 A −1 ≤ m ≤ − B −1 ≤ m < − C − ≤ m ≤ − D − ≤ m ≤ −1 3 3 2 Lời giải x − x + + 3m = ⇔ x − x + = −3m Xét hàm f ( x ) = x − x + đoạn [ 1;5] : Để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [ 1;5] thì: 2 < −3m ≤ ⇔ −1 ≤ m < − Chọn B Câu 22 Cho hàm số y = x − x + có đồ thị hình vẽ Đặt f ( x ) = x − x + ; gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x ) = m có nghiệm phân biệt Số phần tử S A B C D Lời giải Số nghiệm phương trình f ( x) = m số giao điểm đồ thị hàm số y = g ( x ) = f ( x ) đường thẳng y = m Xét ( P2 ) : y = f ( x ) = x − x + ;có y = f ( x) hàm số chẵn;nên ( P2 ) nhận trục Oy làm trục đối xứng Từ đồ thị hàm số y = x − x + ( P1 ) ;ta vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x + ( P2 ) sau: + Giữ nguyên phần đồ thị ( P1 ) bên phải trục Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị ( P1 ) bên phải trục Oy qua trục Oy (Bỏ phần đồ thị ( P1 ) bên trái trục Oy ) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x + ( P2 ) ta vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) = x − x + ( P3 ) sau + Giữ nguyên phần đồ thị ( P2 ) nằm trục Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị ( P2 ) nằm trục Ox qua trục Ox (Bỏ phần đồ thị ( P2 ) nằm phía trục Ox ) Dựa vào đồ thị hàm số y = g ( x ) = x − x + ( P3 ) ta có phương trình f ( x) = m có nghiệm phân biệt < m < Vậy khơng có giá trị ngun m thỏa mãn toán Chọn A Câu 23 Với giá trị m phương trình m = x − x + có nghiệm thực phân biệt 9 A m ≤ B m ≥ C m = D m = 4  x − 5x + x − 5x + ≥ Lời giải Ta có: y = x − 5x + =  (C) −( x − 5x + 4) x − 5x + < Giữ nguyên đồ thị ( P ) ứng với y ≥ ta đồ thị (C1) Lấy đối xứng phần đồ thị ( P ) ứng với y < ta đồ thị (C2) Vậy (C ) = (C1) ∪ (C2 ) y y=m x -2 -1 -1 Số nghiệm phương trình số giao điểm có đồ thị hàm số y = x − x + ( C ) đường thẳng y = m (d) Yêu cầu ⇔ (d) cắt (P) điểm phân biệt Từ đồ thị hàm số ta suy (d) cắt (P) điểm phân biệt m = Chọn C Câu 24 Điều kiện cần đủ để phương trình x + + x − − x − = m ( với m tham số thực) có hai nghiệm phân biệt là: A m > B m > C m > −1 D m > −2 Lời giải Chọn C Đặt f ( x ) = x + + x − − x −  − x − − x + + x − , x ≤ −1 − x − , x ≤ −1 x + − x + + x − , − < x ≤ x , −1 < x ≤   = Ta có: f ( x ) =  x + + x − + x − , < x ≤ 3x − , < x ≤  x + + x − − x + , x >  x + , x > Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m Ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt m > −1 Câu 25 Hàm số y = x + x − có bảng biến thiên hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để phương trình − x − x + = m có nghiệm phân biệt A B Vô số C Lời giải 2 Ta có − x − x + = m ⇔ x + x − = m (1) Khi số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số f ( x ) = − x − x + đường thẳng y = m D Dựa vào bảng biến thiên y = x + x − ta suy bảng biến thiên hàm ( )  x + x − 1khi x ∈ −∞; − −  ∪  −2 + 5; + ∞    số f ( x ) = x + x − =  − ( x + x − 1) x ∈ −2 − 5; −2 +  Do đó, ta có bảng biết thiên sau: ( ) Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có nghiệm phân biệt < m < Vậy có giá trị nguyên tham số m Chọn C Câu 26 Có giá trị nguyên m để phương trình x − x + = m có nghiệm phân biệt? A B C D Lời giải Số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số y = x − x + Đồ thị hàm số y = x − x + hàm số chẵn nên nhận trục Oy trục đối xứng bao gồm đồ thị hàm số y = x − x + phía bên phải trục Oy phần lấy đối xứng qua trục Oy 2 Đồ thị hàm số y = x − x + bao gồm đồ thị hàm số y = x − x + phía bên trục Ox lấy đối xứng phần bên trục Ox qua trục Ox hình vẽ bên Để phương trình x − x + = m có nghiệm phân biệt đường thẳng y = m đồ thị hàm số y = x − x + cắt điểm < m < Mà m ∈ Z nên m ∈ { 1; 2;3} Vậy có giá trị nguyên m để phương trình x − x + = m có nghiệm phân biệt Chọn A Câu 27 Tìm m để phương trình có nghiệm x − x − 2m = x − A m ≤ Lời giải Chọn D B m ∈ ( 1; +∞ ) C m > D m ≥  x − ≥  x ≥ 2 x − x − 2m = x − ⇔  ⇔  2 x + x − = m * x − x − m = x − ( ) ( )    Xét hàm số f ( x ) = x + x − , ( x ≥ ) BBT: Phương trình cho có nghiệm ⇔ ( *) có nghiệm x ≥ ⇔ 2m ≥ ⇔ m ≥ Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x − x + 3x − x = m có nghiệm A m ∈ ( −∞;0] ∪ [2; +∞) B m ∈ [0; +∞) C m ∈ ¡ D m ∈ [ 0;2]  x  2 Lời giải Xét y = x − x + 3x − x =   −2 x + x  hình vẽ bên x ≥  có đồ thị x ≤ < x < Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng y = m ln cắt đồ thị vói ∀m ∈ ¡ 2 Vậy phương trìn x − x + 3x − x = m có nghiệm với ∀m ∈ ¡ Chọn C Câu 29 Cho phương trình x − x + m = x − Tìm m để phương trình có nghiệm A m > B < m < C < m < D m < Lời giải  x ≥  x ≥ 2x − 6x + m = x − ⇔  ⇔  2  x − x − = − m ( 1) 2 x − x + m = ( x − 1) Phương trình cho có nghiệm ⇔ ( 1) có nghiệm x ≥ Số nghiệm (1) số giao điểm đường thẳng y = −m đồ thị hàm số f ( x ) = x2 − 4x −  −m = −5 m = ⇔ Dựa vào bảng biến thiên ta có:  Chọn D  −m > −4 m < Câu 30 Tìm m để phương trình 2x − x − 2m = x − có nghiệm Đáp số sau đúng? 25 25 A m ≥ − B m ≥ C m ≥ D m ≥ − x ≥ Lời giải x − x − 2m = x − ⇔  x + x − = m  Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + x − với đường thẳng y = m tập [ 2;+∞ ) Ta có đồ thị sau Dựa vào đồ thị suy phương trình có nghiệm 2m ≥ ⇔ m ≥ Chọn B Câu 31 Cho phương trình x − x + m = x − Tìm tất giá trị tham số để phương trình cho vơ nghiệm 15  1  15   15    A m ∈  − ; ÷ B m ∈  − ; ÷ C m ∈  −∞; ÷ D m ∈  −∞; − ÷ 4 3  4  4   Lời giải Phương trình cho  2 x − ≥ x ≥ ⇔ 2 ( *) ⇔   x − x + m = ( x − 1) m = 3x + x +  Phương trình cho vô nghiệm (*) vô nghiệm Ta có bảng biến thiên hàm số y = x + x + sau 15 Chọn C Câu 32 Cho phương trình: − x + + x + − x + m = Có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C vô số D 10 Lời giải Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Đặt t = − x + + x ⇒ t = + ( − x ) ( + x ) ≥ ⇒ t ≥ Từ BBT suy pt vô nghiệm m < Lại có: ( 2− x + 2+ x ) ≤ ( − x + + x ) ( 12 + 12 ) ⇒ t ≤ 2 Khi phương trình cho chuyển về: t + t − + m = ⇔ t + t − = − m ( 1) u cầu tốn ⇔ tìm m để phương trình (1) có nghiệm t ∈  2;2  ⇔ đồ thị hàm số f ( t ) = t + t − cắt đường thẳng y = −m  2; 2  (*) Bảng biến thiên f ( t ) = t + t −  2; 2  Từ BBT ta có (*) ⇔ ≤ m ≤ + 2 Mà m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 2;3; 4;5;6} Chọn B Câu 33 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm dương: x + x3 + (m − 1) x + x + = (1) A m ≤ −5 B m ≤ C m ≤ −4 D m ≤ Lời giải Ta có x = khơng nghiệm phương trình cho Chia hai vế phương trình (1) cho x ta phương trình: x + + x + + ( m − 1) = 0(2) x x 1 1  Đặt t = x + , với x > ⇒ t ≥ x = , t =  x + ÷ = x + + x x x x  (3) với t ≥ Phương trình (2) trở thành t + 2t − = −m Xét hàm số f (t ) = t + 2t − [ 2;+∞ ) Ta có bảng biến thiên: Phương trình (1) có nghiệm dương phương trình (3) có nghiệm t ≥ ⇔ đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm y = f (t ) [ 2;+∞ ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có u cầu tốn thỏa mãn −m ≥ ⇔ m ≤ −5 Vậy với giá trị m ≤ −5 phương trình cho có nghiệm Chọn A Câu 34 Số giá trị nguyên âm m để phương trình x + x3 + 3x + x − m = có nghiệm A B C 2018 D 2019 Lời giải Ta có x + x3 + 3x + x − m = ⇔ ( x + x ) + ( x + x ) − m = Đặt t = ( x + x ) , t ≥ − Phương trình trở thành: t + 2t − m = ⇔ t + 2t = m (*) Để phương trình dã cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm lớn − Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm y = t + 2t đường thẳng y = m Xét hàm số y = t + 2t có đồ thị hình vẽ Dựa vào đồ thị hàm số, để phương trình cho có nghiệm phương trình (*) 1 có nghiệm lớn − suy m ≥ − Vậy giá trị nguyên 16 m âm để phương trình cho có nghiệm Chọn A Câu 35 Cho hàm số f ( x) = ax + bx + c có đồ thị hình bên Hỏi với giá trị tham số m phương trình f ( x ) − = m có nghiệm phân biệt? A m = B −2 < m < C m = D m > Lời giải Đồ thị y = f ( x ) f ( x ) − = m ⇔ f ( x ) = m + Từ đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm m + = ⇔ m = Chọn C ... trình dạy học rèn luyện kĩ giải toán khai thác đồ thị rèn luyện kĩ giải toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số, hàm số bậc hai y = ax + bx + c ( a ≠ 0) cho học sinh lớp 10 THPT dạy học Tốn,... chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm lựa chọn đề tài " Rèn luyện kĩ giải toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thông" mong muốn giúp em có kĩ năng, kiến... dạy học năm học 2021 - 2022 lớp 10B5, 10B6 Tôi thực ôn tập rèn luyện kĩ giải toán liên quan đến tương giao đồ thị hàm số, hàm số bậc hai y = ax + bx + c ( a ≠ 0) cho học sinh kết thu khả quan