BÁO cáo lý THUYẾT xác SUẤT 1 đề tài báo cáo THREE PRISONERS PARADOX (tạm DỊCH NGHỊCH lý BA kẻ tù NHÂN)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - LUẬT ĐHQG TP HCM - BÁO CÁO LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Đề tài báo cáo: THREE PRISONERS PARADOX (TẠM DỊCH: NGHỊCH LÝ BA KẺ TÙ NHÂN) Thành phần tham gia: STT Tp Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 04 năm 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời mở đầu Lý thuyết xác suất ngành tốn học chun nghiên cứu xác suất, có lịch sử phát triển lâu đời Lý thuyết xác suất mơn tốn học nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính tốn xác suất tượng biến cố ngẫu nhiên Sự đời lý thuyết xác suất thư từ trao đổi hai nhà khoa học vĩ đại người Pháp Pascal (1623 - 1662) Fermat (1601- 1665) xung quanh cách giải đáp số vấn đề rắc rối nảy sinh trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc Pháp đặt cho Pascal Ngày lý thuyết xác suất trở thành ngành toán học quan trọng phương diện lý thuyết ứng dụng Các mơ hình xác suất thống kê thực ứng dụng rộng rãi khoa học tự nhiên khoa học xã hội, thuộc nhiều lĩnh vực khác từ âm nhạc tới vật lý, từ văn học tới thống kê xã hội, từ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết tới kinh tế, y học Nhằm nghiên cứu, tính tốn xác suất nhiều tượng biến cố ngẫu nhiên nên Lý thuyết xác suất cho đời nhiều công thức, định lý Chẳng hạn công thức cộng xác suất, cơng thức nhân xác suất có điều kiện, công thức Bernoulli, công thức Bayes, … Sau đây, nhóm tiến hành tìm hiểu phân tích toán tiếng xác suất gây nhiều tranh luận ban đầu giới toán học- Bài toán Nghịch lý ba kẻ tù nhân (Three Prisoners Problem) để xem đâu công thức cho tốn này, đưa nhìn tổng quan toán Do điều kiện khả có hạn, thảo luận nhóm khơng tránh khỏi khiếm khuyết Chúng em mong nhận chia sẻ góp ý từ phía giảng viên để báo cáo nhóm hồn thiện TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục L ời mở đầu I Mở đầu 1 Nguồ n gốc Nộ i dung củ a nghịch lý II Nội dung Phân tích tình 2 Giải toán góc độ tốn học 3 Giải thích trực quan 4 Tại lại có nghịch lý vậy? III Ứng dụng mở rộng Tài liệu tham khảo 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com I MỞ ĐẦU: Nguồn gốc: Nghịch lý Ba kẻ tù nhân (Three Prisoners Paradox) xuất vào năm 1959 chuyên mục “Mathematical Games” nhà toán học Martin Gardner, tạp chí khoa học tiếng có tên “Scientific American” Nó vấn đề liên quan đến xác suất, bàn luận xuất nhiều cách lý giải khác Nghịch lý Ba kẻ tù nhân có tương đồng mặt toán học với Monty Hall problem (vấn đề Monty Hall) Bertrand's box paradox (nghịch lý Bertrand) Nội dung nghịch lý: Có ba tù nhân tên A, B C Cả ba người bị kết án tử bị giam giữ phòng giam riêng biệt Tuy nhiên, thời gian ba tù nhân bị giam giữ, thống đốc định lựa chọn tù nhân ngẫu nhiên ba tù nhân ân xá cho người đó, hai người cịn lại bị xử tử theo án họ Người biết xác chọn ân xá quản ngục, nhiên, ơng khơng phép nói Tù nhân A cố gắng thuyết phục người quản ngục tiết lộ tên người (ngoại trừ A, trường hợp A hai người không ân xá) bị xử tử Theo đó, quản ngục đồng ý với thỉnh cầu A có trường hợp sau xảy ra: - Nếu B ân xá, quản ngục tiết lộ tên C - Nếu C ân xá, quản ngục tiết lộ tên B - Nếu A ân xá, quản ngục tiết lộ tên B C Theo ba biến cố này, A tính tốn dự đốn xác suất ân xá thân Quản ngục đồng ý, tiết lộ cho A biết B hai tù nhân bị xử tử Sau biết Điều này, A cho xác suất hội ân xá TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com tăng từ lên người giành hội sống sót A C A bí mật kể chuyện với C, nhiên khác với ý kiến A, C cho xác suất để A ân xá lên , xác suất ân xá thân C lại tăng Câu hỏi đặt là: Suy luận đúng? A hay C? NỘI DUNG CHÍNH: AI Phân tích tình huống: Theo giả thiết, tù nhân A hỏi người quản ngục việc người ân xá, nhiên người hỏi A nên dĩ nhiên khơng thể có thơng tin số phận Anh ta yêu cầu người quản ngục trả lời theo yêu cầu để giữ ngun tắc khơng tiết lộ người ân xá cho người tù nhân biết Ban đầu, biết người có người ân xá, A ước tính tù nhân B C người có khả ân xá Tuy nhiên sau nghe câu trả lời quản ngục B A nghĩ khả ân xá tăng từ lên A nghĩ C có người phải chết Về phần C, sau nghe nói chuyện A quản ngục lại khơng nghĩ vậy, C nghĩ hội tăng lên lần lên Nhìn cách trực quan, nhìn nhận vấn đề thường nghĩ theo cách A, nhiên, A có sai lầm cách tính C thực người Ta có xác suất A ân xá , kết hợp với xác suất B gọi tên tung đồng xu định từ quản ngục Suy ra, xác suất A ân xá B gọi tên (từ 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com việc tung đồng xu) × 1 = Trong đó, xác suất C sống có kiện B Suy xác suất C sống gấp đôi xác suất A Nếu không tung đồng xu, A nói B bị xử tử, hội sống A C Tuy nhiên, với việc lật đồng xu, A biết B bị tử hình, việc A sống tung đồng xu trúng C khơng xảy ra, xác suất , đó, xác xuất sống C không đổi gấp đơi A Giải tốn góc độ toán học: Đối với vấn đề áp dụng Định lý Bayes để giải tốn Nhưng trước hết cần tìm hiểu Định lý Bayes gì? Định lý Bayes nhà thống kê học Thomas Bayes nghiên cứu phát triển thành định lý mang tên ông Định lý cho phép tính xác suất xảy kiện ngẫu nhiên A biết kiện liên quan B xảy Xác suất ký hiệu P(A|B), gọi Xác suất có điều kiện Theo định lý Bayes, xác suất xảy A B phụ thuộc vào yếu tố: - Xác suất xảy A riêng nó, khơng liên quan đến B, ký hiệu P(A) Đây gọi xác xuất tiên nghiệm (nghĩa khơng quan tâm đến thông tin B) - Xác suất xảy B riêng nó, khơng liên quan đến A, ký hiệu P(B) Đại lượng gọi số chuẩn hóa (normalizing constant), giống nhau, không phụ thuộc vào kiện A muốn biết - Xác suất xảy B biết A xảy ra, ký hiệu P(B|A), đọc xác suất B có A Đại lượng gọi Khả (likelihood) xảy B biết A xảy Lưu ý, không nhầm lẫn khả xảy B biết A xác suất xảy A biết B Từ đại lượng này, ta có cơng thức tính xác suất A biết B: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Áp dụng cơng thức Bayes vào tốn Ba tù nhân: Lần lượt gọi A, B C biến cố mà tù nhân A, B, C ân xá Gọi b biến cố mà quản ngục nói với A B bị xử tử Sử dụng định lý Bayes để chứng minh xác suất sống sót A C: ( ∣ ) = ( ∣ ( ∣ )×()+ ( ∣ = ( ∣ ) )×() )×()+ ( ∣ )× = ( ∣ )×()+ ( ( ∣ ∣ )×() )×()+ ( ∣ )×() () Điều làm nên khác biệt câu trả lời A C P (b | A) = xác suất biến cố b xảy A chắn sống người quản ngục tung đồng xu lựa chọn gọi tên B C xác suất B gọi tên Trong P (b | C) = biến cố b xảy biến cố C chắn xảy 100% C sống B chắn phải chết TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giải thích trực quan: Dù cho người quản ngục gọi tên B hay C tù nhân A có hội ân xá Nhưng anh lại cho B bị xử tử C người có nửa hội sống sót Điều gần giống với vấn đề Monty Hall Có khả xảy ra: A ân xá người quản ngục gọi tên B bị xử tử: xác suất A ân xá người quản ngục gọi tên C bị xử tử: xác suất B ân xá người quản ngục gọi tên C bị xử tử: xác suất C ân xá người quản ngục gọi tên B bị xử tử: xác suất Cho điều kiện mà người quản ngục chọn ngẫu nhiên, A có xác suất ân 1 xá , có hợp hội gọi tên B hội gọi tên C Vì thế, xác suất trường ( xác suất A ân xá × xác suất B gọi tên) B gọi tên A ân xá, kết tương tự với A ân xá C gọi tên Suy xác suất A sống 1 ( + ) Điều có nghĩa trường hợp trên, hội B gọi tên trường hợp 1 4, trường hợp có xác suất , hội C ân xá A bị xử tử (trường hợp 4), có 1 hội A ân xá B gọi tên (trường hợp 1) Do đó, hội C × = A × Mấu chốt vấn đề quản giáo khơng nói tên người tù nhân bị xử tử Nếu vấn đề giải theo chiều hướng hồn tồn khác Thay đổi ví dụ A yêu cầu tiết lộ số phận tù nhân khác, quản giáo lật đồng xu chọn hai B C để tiết lộ số phận họ Các trường hợp sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com • A ân xá, quản ngục nói: B bị xử tử ( • A ân xá, quản ngục nói: C bị xử tử ( ) ) • B ân xá, quản ngục nói: B ân xá ( • B ân xá, quản ngục nói: C bị xử tử ( 1 ) ) 6 • C ân xá, quản ngục nói: B bị xử tử ( • C ân xá, quản ngục nói: C ân xá ( ) ) Từ trường hợp vấn đề nhìn theo cách sau: người quản ngục ví dụ có tình xảy ra, có xác suất Tuy nhiên, vấn đề ban đầu người quản ngục khơng thể tiết lộ số phận tên tù nhân ân xá Cho nên loại tình quản ngục nói trực tiếp tên người ân xá Tại lại có nghịch lý vậy? Theo cách nghĩ A người quản ngục có gọi tên B hay C A cho hội sống Tuy nhiên, vấn đề tính cách cẩn thận cách tính C Vì xác suất tùy thuộc vào câu trả lời người quản ngục, nêu người quản ngục khơng cần tiết lộ số phận B Thật khó để xác định A sai đâu, nhiên xem xét trường hợp sửa đổi, đó: P(A) = , P(B) = P(C) = giữ nguyên yếu tố khác, sử dụng lại định lý Bayes ta được: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Một trường hợp khác đặt A đơn giản hỏi B có bị xử tử hay không, câu trả lời từ người quản ngục “Có”, xác suất A sống là: Kết luận: Do người thường nhìn vào vấn đề theo trực giác, dễ dàng cho câu trả lời mà khơng suy xét đến trường hợp xảy Vì vậy, vấn đề đưa lại gây nên nhiều luồng tranh luận trái chiều Nhưng xét phương diện logic, thực bước việc điều có ý nghĩa Từ câu chuyện nghịch lý trên, dễ dàng hiểu xác suất cung cấp nhìn sâu sắc cách tỉ lệ mà người ta thường nghĩ theo xu hướng trực giác BI ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG: Một vài vấn đề toán học liên quan đến toán “Ba tù nhân” kể đến vấn đề Monty Hall (Monty Hall Problem), nghịch lý hộp Bertrand (Bertrand's box paradox), nghịch lý Trai hay Gái (Boy or Girl Paradox), Dưới sơ lược vấn đề Monty Hall Vấn đề Monty Hall (Câu chuyện hai dê xe hơi): Bài toán xuất phát từ trị chơi truyền hình thực tế Mỹ Thí sinh đứng trước cánh cửa, phía sau cánh cửa xe hơi, phía sau cánh cửa cịn lại dê Thí sinh phải chọn cánh cửa nhận giải thưởng phía sau cánh cửa Lẽ dĩ nhiên, thí sinh mong muốn chọn cánh cửa mà phía sau có xe TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khi thí sinh chọn cánh cửa, người điều khiển chương trình khơng mở cánh cửa lại mở cánh cửa khác có dê phía sau cho phép thí sinh thay đổi ý kiến, giữ cánh cửa chọn chọn cánh cửa khác Vậy, nên giữ nguyên lựa chọn hay đổi cánh cửa khác, lựa chọn có lợi hơn? Nhận xét: Mới đầu, nhiều người cho lựa chọn lần không cần thiết, xác suất 50-50 (1 cánh cửa có xe cánh cửa có dê) Tuy nhiên, việc thay đổi định, tốn này, lại tăng xác suất trúng xe bạn lên gấp đôi, từ 3 lên Giải thích: Giả sử thí sinh chọn cửa Đặt A biến cố xe ô cửa (ô cửa chọn ban đầu), B biến cố người điều khiển mở cửa số Khi đó: P(A) = Lại có P(B|A) xác suất người điều khiển mở cửa số (biến cố B) xe ô cửa số (biến cố A xảy ra) Xác suất đó, người điều khiển chương trình mở cửa số số Xác suất để người điều khiển mở cửa số P(B) = (Theo luật phải mở hai cửa lại, khác cửa ta chọn) Áp dụng công thức Bayes: (∣)= Tức xác suất xe nằm ô cửa (biến cố A) người điều khiển mở ô cửa (biến cố B xảy ra) Đặt C biến cố xe nằm ô cửa số Ta thấy A C hai biến cố xung khắc (do xe ô cửa ô cửa 3) nên P(C) = 1- P(A) = TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy thực thay đổi ô cửa chọn tăng xác suất trúng xe Sự khác biệt vấn đề Ba kẻ tù nhân so với vấn đề Monty Hall Trở lại với vấn đề “Ba kẻ tù nhân”, có lẽ A nghĩ tình Monty Hall, thực chất sai Sự khác biệt hai tình Monty Hall, người chơi có quyền lựa chọn cánh cửa khác sau có kiện từ việc người điều khiển chương trình mở cánh cửa có dê phía sau Cịn A khác, khơng có quyền lựa chọn làm tù nhân khác Anh ta khơng đem cho kiện có lợi vậy, xác suất ân xá giữ nguyên số ban đầu Ứng dụng từ công thức Bayes Nhờ có cơng thức Bayes mà nhân loại giải nhiều tốn khơng lĩnh vực tài Cơng thức Bayes sử dụng để xác định độ xác kết xét nghiệm y tế cách xem xét khả mắc bệnh người độ xác chung xét nghiệm Định lý Bayes dựa vào việc kết hợp phân phối xác suất cho trước để tạo xác suất cần tìm Thực tế, công thức Bayes bị bỏ qua thời gian gần đây, nguyên nhân chủ yếu kết phát triển 200 năm trước, có ứng dụng thực tế cho chúng Tuy nhiên, thời đại chúng ta, nhờ tiến công nghệ tuyệt vời, nhà khoa học tìm cách để ứng dụng kết vào thực tế TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo Three prisoner problem (n.d.) Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Three_Prisoners_problem Bài toán xác suất Monty Hall (n.d.) Https://Blogm4e.Wordpress.Com/2017/07/10/Bai-Toan-Xac-Suat-MontyHall/ Vsauce2 (2020, March 10) The Easiest Problem Everyone Gets Wrong [Video] YouTube https://youtu.be/ytfCdqWhmdg Math Easy Solutions (2015, May 14) Three Prisoners Problem [Video] YouTube https://www.youtube.com/watch?v=8vY66MD7nsM&t=41s 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... nhiều cách lý giải khác Nghịch lý Ba kẻ tù nhân có tương đồng mặt tốn học với Monty Hall problem (vấn đề Monty Hall) Bertrand's box paradox (nghịch lý Bertrand) Nội dung nghịch lý: Có ba tù nhân... đầu Lý thuyết xác suất ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất, có lịch sử phát triển lâu đời Lý thuyết xác suất môn tốn học nghiên cứu tìm quy luật chi phối đưa phương pháp tính tốn xác suất. .. = 1- P(A) = TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy thực thay đổi ô cửa chọn tăng xác suất trúng xe Sự khác biệt vấn đề Ba kẻ tù nhân so với vấn đề Monty Hall Trở lại với vấn đề ? ?Ba kẻ