giải tích 2 Bài tập

giải tích 2,trần ngọc diễm,dhbkhcm ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 CuuDuongThanCong com https fb comtailieudientucntt http cuuduongthancong com https fb comtailieudientucntt Đạo hàm theo hướng Định nghĩa Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector a  Đạo hàm của f theo hướng tại M0 a  0 0 0 0 m l i t f M f t M a f M a t   0 a f M  chỉ tốc độ thay đổi của f theo hướng a  CuuDuongThanCong com https fb comtailieudientucntt http cuuduongthancong com https fb comta.

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định lân cận M0  hướng cho vector a  Đạo hàm f theo hướng a M0: f f M  a M  a f li m t M  t a f M t tốc độ thay đổi f theo hướng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  a Ý nghĩa hình học đạo hàm theo hướng Xét đường cong f M  a f li m t z t M f  t a M f M t z li m t L :z t  ta z t hệ số góc tiếp tuyến đường cong L M0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến S :z f x, y , M  ,a x0 , y0 a1 , a Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 M0 Vẽ đường cong x x0 ta1 , y L :z t y0 f ta , z M f x0  ta ta1 , y ta Vẽ tiếp tuyến với L M0 Lưu ý: tiếp tuyến qua M0 nhận  u a1 , a , z làm vector phương CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng)  Nếu hàm f khả vi M0, e e1 , e  vector đơn vị, đạo hàm theo hướng e M0 tồn tại, đó: f M  e f M x f e1 M y e2 Hàm biến tính tương tự CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Cơng thức tổng quát  a vector tùy ý: f M  a f M x f a1  a M y a2  a (hàm biến) f M  a f M x CuuDuongThanCong.com a1  a (hàm biến) f M y a2  a f https://fb.com/tailieudientucntt M z a3  a Ví dụ Tìm đạo hàm theo hướng dương trục Ox điểm (-2,1) hàm số f (x, y) xy 2 2x y Vector đơn vị theo hướng dương Ox là:  e f ,1  e fx 1, ,1 CuuDuongThanCong.com fy ,1 https://fb.com/tailieudientucntt Tìm đạo hàm theo hướng M ,1,  a  a f f 1,1, fx M CuuDuongThanCong.com x xz 3y z e1 , e , e e1 1,1, x, y, z M  a  a fy M e fz M e 15 https://fb.com/tailieudientucntt 3 Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy fx yx f xx , fy y(y f yy d y x y ln x 1) x y y , ln x f xy d f (1,1) x y x yx y x f (1,1) CuuDuongThanCong.com x 2 x y y https://fb.com/tailieudientucntt y ln x , d f (1,1) d z x f (1,1) y x f (x, y) 2 x y d f (1,1 ) f (1,1) y d 1! z x 1! (x x y o( f (1,1) 2! ) 2! 1) CuuDuongThanCong.com (x 1) ( y 1) o( ) https://fb.com/tailieudientucntt o( ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp cho z f (x, y) x y xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 z 1 u u 2 o (u ) u (x x y y CuuDuongThanCong.com xy ) x (x y xy y xy ) o( 2 o (u ) ) https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (0,1) cho z f (x, y) e x xy Đặt X = x, Y = y – 1, z e X X XY X (X X X 2 CuuDuongThanCong.com XY XY ) (X X XY ) https://fb.com/tailieudientucntt o( ) z X (X X X XY XY ) (X X X z x CuuDuongThanCong.com XY ) o( ) X XY X X Y o( ) x x( y 1) x x (y https://fb.com/tailieudientucntt 1) o( ) Ví dụ 4/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (1,2) cho z f (x, y) x s in ( y ) Suy f”xy(1, 2) Đặt X = x – 1, Y = y – 2, z trở thành z (X (X 1) s i n Y Y 1) Y 3 o (Y ) Y Y XY o( ) (y 2) (x CuuDuongThanCong.com 1) ( y 2) (y 2) o( ) https://fb.com/tailieudientucntt f (x, y) (y 2) (x 1) ( y 2) (y 2) o( ) d f (1, ) (x 1) ( y 2) x y dxdy 2! f x x (1, ) x 2 f x y (1, ) x y f y y (1, ) y f”xy(1, 2) = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt x y PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Cho mặt cong S: F(x, y, z) = 0, M(x0,y0,z0)  n S •L đường cong S qua M Tiếp tuyến L M gọi tiếp tuyến S M •Các tiếp tuyến thuộc mặt phẳng gọi tiếp diện S M CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt PHÁP TUYẾN – TIẾP DIỆN CỦA MẶT CONG Giả sử L S có pt: x = x(t), y = y(t), z = z(t) M = (x(t0), y(t0), z(t0)) L Vector phương tiếp tuyến M :  u x (t0 ), y (t0 ), z (t0 ) M S: F(x,y,z) = 0, ta có: F x ( M ) x (t0 ) CuuDuongThanCong.com F y ( M ) y (t0 ) F z ( M ) z (t0 ) https://fb.com/tailieudientucntt F x ( M ) x (t0 ) F y ( M ) y (t0 ) x (t0 ), y (t0 ), z (t0 )  u gradF M F z ( M ) z (t0 ) F x ( M ), F y ( M ), F z ( M ) (với đường cong S qua M) grad F(M) pháp vector tiếp diện S M • Pháp vector tiếp diện gọi pháp vector mặt cong S CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình pháp tuyến S : F x, y, z x xM Fx M S : z f x 0, M y yM Fy M x, y , M xM fx M CuuDuongThanCong.com y xM , yM , zM z zM Fz M xM , yM , zM yM fy M S z S zM https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình tiếp diện S : F Fx M x, y, z x S : z xM f z 0, M xM , yM , zM Fy M y x, y , M zM CuuDuongThanCong.com fx M yM Fz M xM , yM , zM x xM S fy M z zM S y https://fb.com/tailieudientucntt yM Ví dụ 1/ Tìm phương trình tiếp diện mặt cầu: x y z a M 0,0, b M 1, F x, y, z gradF 3,0 x x, y, z CuuDuongThanCong.com y z x,2 y,2 z https://fb.com/tailieudientucntt a gradF T 0,0, : x 0,0, 0 z CuuDuongThanCong.com y 0 z https://fb.com/tailieudientucntt a g r a d F 1, T : x 3,0 x CuuDuongThanCong.com y 2, y 3,0 z 0 https://fb.com/tailieudientucntt ... f https://fb.com/tailieudientucntt M z a3  a Ví dụ Tìm đạo hàm theo hướng dương trục Ox điểm (-2 ,1) hàm số f (x, y) xy 2 2x y Vector đơn vị theo hướng dương Ox là:  e f ,1  e fx 1, ,1 CuuDuongThanCong.com