Phân phối nhị thức và ứng dung

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ XUÂN NƯƠNG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ XUÂN NƯƠNG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn TS TƠN THẤT TÚ Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Hồ Xuân Nương TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: TÍNH CHẤT CỦA PHÂN PHỐI NHỊ THỨC VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Họ tên học viên: Hồ Xuân Nương Người hướng dẫn khoa học: TS Tôn Thất Tú Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tóm tắt Phân phối nhị thức phân phối rời rạc thường gặp sống có nhiều ứng dụng Trong số điều kiện (định lý giới hạn tích phân Moivre-Laplace) phân phối xem phân phối rời rạc xấp xỉ phân phối chuẩn (một phân phối quan trọng lý thuyết xác suất thống kê toán học) Nhằm làm rõ khái niệm, nghiên cứu tính chất ứng dụng phân phối nhị thức chọn đề tài “Phân phối nhị thức ứng dụng” để nghiên cứu Mục tiêu đề tài cung cấp cho học sinh đồng nghiệp nhìn tổng quan phân phối nhị thức, tính chất ứng dụng để giải tốn xác suất, tổ hợp, tối ưu bất đẳng thức khác Đề tài “Phân phối nhị thức ứng dụng” có ý nghĩa khoa học thực tiễn Với hệ thống kiến thức trình bày chi tiết kèm theo tập phong phú phân phối nhị thức ứng dụng, luận văn tài liệu tham khảo bổ ích dành cho sinh viên ngành tốn, giáo viên phổ thơng giảng dạy tốn đối tượng quan tâm đến lí thuyết xác suất nói chung phân phối nhị thức nói riêng Trong thời gian tới, mong muốn tiếp tục nghiên cứu sâu tìm hiểu nhiều ứng dụng phân phối nhị thức vào giải toán sáng tạo toán kỳ thi học sinh giỏi Đề tài kỳ vọng cở sở để xây dựng chuyên đề dạy học theo định hướng hình thành phát triển phẩm chất, lực chương trình giáo dục phổ thơng 2018 Từ khóa: phân phối nhị thức, tính chất, bất đẳng thức, đẳng thức, tổ hợp Xác nhận giáo viên hướng dẫn TS Tôn Thất Tú Người thực đề tài Hồ Xuân Nương INFORMATION PAGE OF MASTER THESIS Name of thesis: Properties of Binomial Distribution and Its Applications Major: Methodology in Elementary Mathematics Full name of Master Student: Ho Xuan Nuong Supervisor: Ton That Tu, PhD Training institution: The University of Danang - University of Science and Education Abstract The binomial distribution is a discrete distribution, which is widely used in practice with various applications Under some certain conditions (De Moivre–Laplace theorem) this distribution is considered to be a discrete distribution approximating the normal distribution (a distribution, which is very important in probability theory as well as in mathematical statistics) In order to clarify the concept, study the properties as well as applications of the binomial distribution, I dicided to choose the topic "Binomial distribution and its applications" to study The goal of the thesis is to provide students and colleagues with a better overview about the binomial distribution, its properties and application to solve problems on probability theory, combinatorics, optimization and other inequalities The topic "Binomial distribution and applications" has scientific and practical meaning With a system of knowledge presented clearly with a rich system of illustrative examples on binomial distribution and applications, the thesis can be considered as a useful reference for students of mathematics, high school teachers of mathematics and for those, who are interested in probability theory in general and binomial distribution in particular In the future, we hope to continue researching and learning more about the application of binomial distribution in solving math problems and creating new problems in exams for excellent students The topic is also expected to be the basis for building teaching topics in the direction of forming and developing the quality and competence of the new general education program in 2018 Keywords: binomial distribution, property, inequality, equality, combination Supervior’s confirmation PhD Ton That Tu Master Student Ho Xuan Nuong MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức sở Xác suất 1.1 Định nghĩa 1.2 Xác suất có điều kiện 14 1.3 Các cơng thức tính xác suất 16 Biến ngẫu nhiên 17 2.1 Định nghĩa 17 2.2 Phân phối rời rạc 18 2.3 Phân phối liên tục 19 Các số đặc trưng 21 3.1 Kỳ vọng 21 3.2 Phương sai 24 3.3 Số mốt 26 Phân phối thường gặp 26 4.1 Phân phối Bernoulli 26 4.2 Phân phối Poisson 26 4.3 Phân phối chuẩn 28 Vectơ ngẫu nhiên chiều rời rạc 29 5.1 Bảng phân phối đồng thời 29 5.2 Phân phối biên 32 5.3 Hiệp phương sai hệ số tương quan 32 Chương Tính chất phân phối nhị thức 35 Phân phối nhị thức chiều 35 1.1 Các tính chất 38 1.2 Định lý giới hạn 43 Phân phối nhị thức hai chiều 49 2.1 Phân phối Bernoulli hai chiều 49 2.2 Xây dựng phân phối nhị thức hai chiều 51 Ứng dụng phân phối nhị thức 54 3.1 Bài toán tối ưu 54 3.2 Sáng tạo bất đẳng thức hệ số tổ hợp 56 3.3 Sáng tạo đẳng thức hệ số tổ hợp 60 KẾT LUẬN 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết xác suất phận toán học, nghiên cứu sâu tượng ngẫu nhiên ứng dụng chúng vào thực tế Lý thuyết xác suất sở để nghiên cứu Thống kê – môn học nghiên cứu các phương pháp thu thập thông tin, xử lý thông tin, nhằm rút kết luận định cần thiết Ngày nay, với hỗ trợ tích cực máy tính điện tử công nghệ thông tin, lý thuyết xác suất thống kê không dành cho việc dạy học Tốn mà cịn được ứng dụng rộng rãi hiệu lĩnh vực khoa học tự nhiên xã hội Trong chương trình Tốn phổ thông năm 2018, mạch kiến thức xác suất thống kê ý chiếm thời lượng đáng kể tồn chương trình Các kiến thức xác suất chủ yếu giới thiệu biến cố ngẫu nhiên, định nghĩa xác suất, công thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên số đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên giới thiệu, có nhắc đến phân phối Bernoulli phân phối nhị thức Phân phối nhị thức phân phối rời rạc thường gặp sống có nhiều ứng dụng Trong số điều kiện (định lý giới hạn tích phân Moivre-Laplace) phân phối xem phân phối rời rạc xấp xỉ phân phối chuẩn (một phân phối quan trọng lý thuyết xác suất thống kê toán học) Nhằm làm rõ khái niệm, nghiên cứu tính chất ứng dụng phân phối nhị thức chọn đề tài “Phân phối nhị thức ứng dụng” để nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu hệ thống kiến thức lý thuyết xác suất - Nghiên cứu tính chất ứng dụng phân phối nhị thức Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Xác suất, biến ngẫu nhiên, số đặc trưng, phân phối thường gặp, định lý giới hạn, vectơ ngẫu nhiên hai chiều rời rạc - Tính chất ứng dụng phân phối nhị thức Phương pháp nghiên cứu - Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến xác suất thống kê, phân phối nhị thức - Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh phổ thơng trung học, học sinh giỏi tốn, giáo viên phổ thơng trung học sinh viên tìm hiểu nội dung Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn dự kiến chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Tính chất phân phối nhị thức ứng dụng Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Tôn Thất Tú, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học K39 Quảng Nam dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện 62 KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực công việc sau Hệ thống lại lý thuyết xác suất, cơng thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên dạng phân phối, số đặc trưng vectơ ngẫu nhiên chiều rời rạc Nghiên cứu tính chất phân phối nhị thức chiều: phân phối tổng biến ngẫu nhiên, phân phối có điều kiện, định lý giới hạn Nghiên cứu việc xây dựng phân phối nhị thức hai chiều từ phân phối Bernoulli hai chiều Nghiên cứu ứng dụng phân phối nhị thức toán tối ưu, sáng tạo đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến hệ số tổ hợp Mặc dù cố gắng thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 63 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [2] GS Nguyễn Tiến Dũng GS Đỗ Đức Thái (2015), Nhập môn đại xác suất thống kê, Tủ sách Sputnik [3] Đinh Văn Gắng (2009), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng: Mơn Tốn (Ban hành kèm theo Thơng tư số 32/2018/TT-BGDĐT), Hà Nội [6] Allan Gut (2013), Probability: A Graduate Course, Springer-Verlag, New York [7] Kazutomo Kawamura (1973), The structure of bivariate Poisson distribution, Kodai Mathematical Seminar Reports, Vol 25 (3), p.246 – 256 [8] https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution D�I HOC DA NANG TRUONGB�IHQCSUPH�M S6: J.9f/QD-DHSP CQNG HOA XA H