„9
Pap [2/74 BO GIAO DUC VA DAO TAO
NHA XUAT BAN GIAO DUC s“ i SỐ 6 2 8-2003 AC) PARI eters AU THIEN NEN Ki - Ga O % ve = Of UỘC THỊ VUI HÈ ©
(6) DUONG DAY NONG VE SACH GIAO KHOA TOAN 7 MỚI
Trang 2
Chúng emcóthể gửi đề về TTT2 được không? NGUYÊN THỊ HƯƠNG: (8D, THOS Y én Lae, Yén Lac, Vĩnh Phúc) * Tất cả mọi loại bài vở các bạn đều có thể gửi về TTT2 Nhưng nhớkhi gửi để phải gửi theo tời giải nhé !
Thật là lạ, hôm nay giờ truy bài lớp em im phăng
phác Trên mặt bàn các bạn là những quyển báo
Bạn này thì đang chăm chú, suy ngẫm điều gì đ Ban kia thi dang viết lia lia ra giấy nháp Một vài bạn khác xúm xít lại thì thẩm bàn luận vấn đề gì đó Thì
ra trên bàn các bạn là những cuốn TTT2 Chúng
em đã từng ao ước có riêng một tờ báo và đáp ứng đúng yêu cầu đó, TTT2 đầy líthú và bổich đã ra đời ! NGUYEN THI THU TRANG (7A, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc) * Rat mong TTT2 sé tạo ra những giờ bổ ch va li
thú như trên với tất cả các lớp ở các trường THCS
Mong các thầy cô giáo tổ chức các Câu lạc bộ Toán cho các bạn học sinh trao đổi và viết bài cho TTT2
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ Tổng biên tập: PGS TS NGUT Vũ Dương Thụy
Phó tổng biên tập : TS Lê Thống Nhat
Ủy viên Hội đồng biên tập Toán Tuổithơ2:
@S Nguyễn Khắc Phí, PGS TS Trần Kiều, PGS TS Tôn
Than, TS Nguyễn Văn Trang, PQS TS Vũ Nho, TS Trinh
Thị Hải Yến, ThS Nguyễn Khắc Minh, Ông Phạm Đỉnh
Hiến, PS TS Ngô Hữu Dũng, TS Trần Đình Châu, NGND Vũ Hữu Bình, TS Nguyễn Minh Hà, TSKH Vũ Đình
Hòa, TS Nguyễn Minh Đức, TS Lê Quốc Hán, Ông Đào
Ngọc Nam, Ông Nguyễn Đức Tấn, TS Nguyễn Đăng
Quang, TS Trần Phương Dung, TS Ngô Ánh Tuyết, Ơng
Trương Cơng Thành,
Nhiều bạn đọc : Thời gian gửi bài dự thi ở các
chuyên mục trong TTT2 là bao lâu 2 Chúng em ở: xa có thiệt thòi gì không 2 Bài giải có phải làm
bằng thơkhông?'
* Tính tử ngày ra báo chính thức là ngày 15 thì
các bạn cứ cộng thêm 45 ngày nữa là hết hạn
Như vậy các bạn ở xa vẫn hoàn toàn yên tâm Lưu ý các bạn là mỗi bài sẽ do các cán bộ khác
nhau chấm nên không viết chung các bài giải
trên cùng một tờ giấy, nhưng có thể gửi chung
trong một phong bì Bài giải không bắt buộc giải ằng thơ, nhưng nếu cao hứng mà giải bằng thơ
thì càng tốt Rất mong các bạn tiếp tục hưởng
ứng các cuộc thi trên TTT2 Cảm ơn các bạn sˆ
Em rất vui khi TTT2 ra đời tạo cho chúng em sân chơi lí thú bổ ích, giúp chúng em học
tập được tốt hơn và có cơ hội trao đổi, tham khảo những kiến thức tốt
NGUYÊN THỊ THANH HƯƠNG
(9A, THCS Nguyễn Gia Thiều, Thuận Thành, Bắc Ninh)
* Cảm ơn bạn và rất nhiều bạn đã viết thư
về cổ vũ TTT2 Tòa soạn sẽ ngày càng tăng
cường chất lượng nội dung và hình thứ tạp chí
để các bạn ngày càng yêu TTT2 hơn Rất vui cùng các bạn
CHIU TRÁCH NHIEM XUẤT BẢN
Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
Tổng biên tập VŨ DƯƠNG THUY
*Biên tập : Anh Quân, Phan Hương * Mĩthuật: Ngọc Yến
* Kithuat vi tính : Đỗ Trung Kiên
* Trị sự - phát hành : Trần Đức Hùng, Trịnh Đình Tài,
Trịnh Thị Tuyết Trang,
n lac : 57 Giang V6, Hà Nội
42648
* Buéng day nong (24 gid/ngay): 0903436757
ay phép xuat ban : 31/GP-BVHTT ngay 23/1/2003 -
Bộ Văn hóa và Thông tin
“In tại: Nhàïn Sách giáo khoa Đông Anh
Trang 3
© %Z quá : RI KHÉO ? ñI BIỎI ? đa s2 Lời giải của các bạn tham gia thử í toán kì này đều “có IP, tuy nhiên một
vài bạn còn đưa ra lời giải một cách cảm tính mà chưa giải thích rõ ràng 'Với một chút kiến thức về hình học không gian lớp 9 (các công thức tính thể tích hình hộp, hình lăng trụ và hình chóp), các bạn có ngay một cách đong hiệu quả : Gọi chiếc ca hình hộp chữ nhật có dung tích 1 lít đồ là ABCDEFGH, miệng ca là ABCD
Đong đầy ca nước rồi từ từ đổ nước ra ngoài sao cho mặt nước là hình chit nhật ABGH (hình 1), như vậy phần nước còn lại trong ca có thể tích bằng với thể tích của lăng trụ AEHBFG (kí hiệu V là thể tích còn S là điện tích) :
HG x§, V,
SHG%S AEH 082 2 AEHD _ VABCDEFGH 5 (tit) lí)
Tương tự, đong đầy ca nước rồi từ từ đổ nước ra ngoài để mặt
Lo nước là tam giác AFH (hình 2), phần nước còn lại trong ca có thể tích bằng thể tích của hình chóp FAEH : VAEHarG 1 4
WẸ =SFE x Sagi = ~FE x S, = A H TAEHT2 AEH = & "AEHD
As
Sascpecn = & (it)
Hình 1 ' G chữ nhật để đong nước phải được hiểu : cái ca là dụng cụ duy nhất để Lưu ý các bạn : Đối với dạng toán này, việc cho một ca hình hộp
đong nước Nếu sử dụng thêm các dụng cụ khác như thước, compa E để vạch chia chiều cao của ca thì bài toán sẽ trở nên tầm thường
Các bạn được thưởng kì này : Hoàng Phúc Hưng, 8;, THCS D [> @ _ Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa, Đồng Nai ; Võ Huy Phong, thôn Đỗ | Thượng, xã Quang Vinh, Ân Thi, Hưng Yên ; Phạm Thành Thái, 8A,, THCS Lê Thanh Nghị, TT Gia Lộc, Gia Lộc, Hải Dương ;
Nguyễn Thị Lâm Ngọc, |9, xã Yên Nam, Duy Tiên, Hà Nam ; Hình 2 Phạm Văn Huy, 61A Lê Lợi, TX Tuy Hòa, Phú Yên
E
eJÖnàu : O CHU:
DU LICH TREN CAO
Trong ô chữ này có 9 “địa chỉ" du lịch nằm
Trang 4
ï HHÔNð chi DUNG Lal ỞVIỆC GIẢI TOÁN I
LÊ TRỌNG CHAU
6 NGS CH,
(GV trường THCS Bình An, Can Lộc, Hà Tĩnh)
Trond học toán, việc tạo được thói quen Š A
chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các
bài toán sẽ giúp người học hiểu sâu sắc
kiến thức đã học, phát triển tư duy sáng se
tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới
© Ching ta sẽ bắt đầu từ một bài toán
quen thuộc
Bài toán 1: -
Cho AABC có B = 90° ; đường cao BH
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH
và HC Chứng minh : AM L BN
Lời giải Hate
Từ giả thiết ta có : Bài toán 2 :
MN là đường 4 Cho AABC œ6 Ö = 90° ; đường cao BH
trung bình của ø Gọi M là trung điểm của BH và K là điểm AHBC (hình 1) = MN// BC, mặt đối xứng với C qua B Chứng minh : KH + AM khác BC + AB Lời giải : => MN LAB Xét AABN có © Goi Na trung điểm của HC, theo chứng H minh trên, ta có đọcm
e Hoàn toàn là bài toán 2 nhưng với cách
phát biểu khác đi, ta có bài toán 3 Bài toán 3 : Cho AABC cân tại A, đường cao AH Hạ MN.LAB ; BM.L © AN = M là trực VI VN tâm của AABN D2277 => AM 1 BN h c
(đpem) Hình 1 HI 1L AC, M là trung điểm của HI Chứng
s Có rất nhiều hướng phát triển bài tốn ¢ minh rang BI _L AM
1, cho ta những bài toán mới khá thú vị Từ ® _ s Tiếp tục phát triển theo hướng trên :
suy nghĩ nếu tạo được đường thẳng song tạo ra đường thẳng song song với AM,
song với AM hoặc BN thì đường thẳng đó °_ đường thẳng đó ắt vuông góc với BN
sẽ tương ứng vuông góc với BN hoặc AM, Bài toán 4 :
ta cho thêm điểm K mà B là trung điểm § Cho hình chữ nhật ABCD Goi H là hình của KC (hình 2), dé dàng nhận thấy BN là e chiếu của B trên AC, I và N lần lượt là
đường trung bình của ACKH = BN // KH © trung điểm của AD và HC Chứng minh
Trang 5Lời giải : Gọi M là trung điểm của BH (hình 3) "Ta có AM L BN (bài toán 1) Ta còn phải chứng minh AM//ÌN, thật vậy : Do MN là đường trung bình của AHBC nên Hình 3 MN/ = 8€, mặt khác, ABCD là hình chữ nhật và l là trung điểm của AD nên lAI=BC Do đồ IA // = MN = MNIA
là hình bình hành = AM // IN, bài toán
được chứng minh xong
Bai toán 4 còn nhiều cách giải khác Kết hợp bài toán 3 và bài toán 4 ta có bài
toán mới khó hơn chút xíu Bài toán 5 : Cho AABC cân tại A, đường cao AH Dựng hình chữ nhậtAHCK ; HI LAC.M và N lần lượt là trung điểm của IC và AK Chứng mình rằng MN LL Bl Lời gi
Gọi J là trung điểm của HI (hình 4) Áp
bài toán 3 ta có BỊ L AJ ; mặt khác, theo chứng minh của bài toán 4, tứ giác AJMN là hình bình hành và AJ / MN, vậy :
MN 1L BI (đpcm)
s Tương tự như bài toán 4 (dựng hình
chữ nhật ABCD rồi tạo AM // IN), ta sẽ tạo A N K EF // BN dé duge bai toan sau Bài toán 6 : A D E \ N/ ` Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của B trên AC ; E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, BH Chứng minh rằng AM 1 EF b Lời giải : B 5 Cc Goi N là trung PON điểm của CH (hình 5) Áp dụng chứng
mình tứ giác AMNI là hình bình hành (bài toán 4), ta chứng minh được tứ giác BEFN cũng là hình bình hành, suy ra EF // NB Mặt khác BN L AM (theo bài toán 1) Vậy ta có AM L EF s Lại kết hợp bài toán 4 và bài toán 6, cho ta một kết quả khác Bài toán 7 : Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của B trên AC ; E, F, M, N lan lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD Chứng — minh rang EF 1 MN Lời giải :
Goi | là trung điểm của BH (hình 6)
Lần lượt theo các bài toán 1, 4, 6 ta có
các kết quả sau : AI L BM, AI / MN,
BM // EF => EF 1 MN (đpcm)
e Tiếp tục khai thác, phát triển bài
toán 1 chắc chắn còn nhiều điều thú vị Qua đây, tác giả mong muốn các bạn
luôn có thói quen chủ động tìm tòi, khai
tháo, phát triển các bài tốn, thơng qua
© đó tự rèn luyện tư duy và tích lũy được
Š nhiều kiến thức bổ ích Chúc các bạn
® thành công
Trang 6
7 awe TÊN vóc eos, 0:0 (o1016:07019184419961802169'6/9187610'aelS?9'0319747619187eT
HOON TAM Gidc TUY Y LA TAM GIÁO ĐỀU:
NGUYEN ANH HOANG 6
(GV truéng THCS Nguyén Du, quan |, TP Hồ Chi Minh) : Thật vậy, giả sử cho AABC tùy ý (hình dưới) có đường 2
phân giác Bx của ABC cắt đường trung trực Dy của cạnh AC Bị SAI Ở ĐÂU? tại O Lần lượt nối OA, OC ; hạ OK L AB, OM L BC Dễ dàng s
SỬACHOĐUNG chứng minh được AOKB = AOMB (cạnh huyền, góc nhọn) s
CS =OK=OM,BK=BM, mặt khác OA = OC (tính chất đường °
trung trực) = AAOK = ACOM (cạnh góc vuông, cạnh huyền) °
=> AK = CM = AB =AK + KB = CM + MB = CB = AABC lao
tam giác cân tại B Tương tự, ta chứng minh được AABC cũng s cân tại C và suy ra AABC là tam giác đều Vậy “mọi tam giác 2
tùy ý là tam giác đều” :
Theo ban suy luận trên sai lâm ở đâu ? ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° © ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
'.# „4 : TĨNH Abe BONG CHUA? a,
Tất cả các bạn đều nhìn ra lời giải mới 'ehÏ xót trường hợp AB < AC Nếu AB > AC:
thì ta vẫn có :
ẨMH =60°, nhưng ABC ~ ZAM =30°
Một số bạn lại mắc sai lầm khi xét
AB =AC và dẫn đến ABC = 46° ()
Dễ dàng chứng minh được : không thể ,xây ra tình huống AB = AC, bởi nếu xây ra
AH 1 AHP
Sẽ 3 =F tal vo ga thi
Tóm lại : Với giã thiết của bài toán thì ABC 60° khi ae <AC va ABC Soe khi
thi
AB > AC
Xin trao tặng phẩm cho các bạn phân
tích đầy đủ nhất : Võ Thái Thông, 714, THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghia, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Lương #lồng Tâm (con
me Nguyén Thi Tan, GV THCS Ngoc Thién, Ngoc Ly, Tan Yén) ; Tran Hong Nhung, thôn Phúc Bé, Song Mai, tx‹ Bắc
Giang, Bắc Giang ; Phạm Kim Phượng,
9A, THCS Nguyễn Bình Khiêm, Vĩnh Bảo, Hải Phòng ; Nguyễn Văn Huy, 7A, THCS Nam Quang, Hồng Quang, Nam Trực,
Nam Định ; Nguyễn Thành Trung, 7C,
THCS Ky ‘Anh, Ky Anh, Ha Tinh
Trang 7e Kindy: Bài 1: Nếu 2 là 4 ; 3 là 6; 6 là 7 thì1x2x3x4x5x6x7x8x9=? Bài 2: Kia Vịt, Chó, Thỏ, Mèo, Gà
Điểm thi đạt được thật là khác nhau
Điểm Thỏ gấp năm Vịt bầu
Ga chỉ nữa Chó, còn lâu mới bằng
Chẳng ai được điểm hơn 5
Điểm của mỗi chú, hỗi rằng bao nhiêu ? _
NGUYEN DANG QUANG
cuéc tH! VUI HE BAU THIEN NIEN Ki - 2003 Dé thi vong bén Bài 1 : Đây là một câu trong lời của một bài hát, nhưng chỉ viết các phụ âm đầu : ĐVTTTLĐVƯM Bạn có đoán ra không ? Bài 2 : Chỉ dùng ba chữ số 2 và các dấu phép tính, dấu ngoặc biểu diễn các số tự nhiên từ 1 đến 11
Bài 3 : Số bạn tham gia cuộc thi “Vui hè đầu thiên niên kỉ - 2003” là một số có nhiều
Trang 8
"Trong chương trình số học lớp 6, sau khi
học các khái niệm ước chung lớn nhất
(ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN),
các bạn sẽ gặp dạng toán tìm hai số
nguyên dương khi biết một số yếu tố trong
đó có các dữ kiện về ƯCLN và BCNN
Phương pháp chung để giải :
1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu
diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố
đã cho để tìm hai số
2! Trong một số trường hợp, có thể sử
dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN,
BCNN và tích của hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, bỊ, trong đó (a, b)
là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b Việc
chứng minh hệ thức này không khó :
Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) =a=md;b=nd với m,n e Z” ; (m,n) = 1 (*) Từ () = ab = mnd? ; [a, b] = mnd => (a, b).{a, b] = d.(mnd) = mnd? = ab = ab = (a, b).[a, b] (**)
Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa
Bài toán 1 : Tìm hai số nguyên dương
a, b biết [a, bị = 240 và (a, b) = 16
Lời giải : Do vai trò của a, b là như:
nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a<b Từ (*), do (a, b) = 16 nén a = 16m ; b= Tôn (m<n do a < b) với m,n e Z” ; (m,n) =1 Nhà giáo ưu tú VÕ NGỌC PHAN (THCS Đặng Thai Mai, TP, Vĩnh) @ D2 904020016) VOIIDOGĐ TA dụ hoc co GA SE Co 2C ch 2 0, ala sata ale ale ste ale sie ale ae Ws AS AS AS ON AS WN Theo dinh nghia BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 = mn = 15 m=1,n=15 a=16,b=240 = = m=3,n=5 a=48,b=80 Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức () để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 = mn = 15 Bài toán 2 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6
Trang 9=60 => d= (a, b) = Bài toán 4: He hai số eal dương a, b biết D28 và (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 = a = 5m ; b =ðn với m, n e Z” ; (m, n) = 1 OM
: phân số tương ứng với 2,6 phải
chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1 Bài toán 5 : Tìm a, b biết 2-3 va fa, b] = 140 a 4 : Dat (a,b) =d Vi ==_, at (a, b) = d lS 5 mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 Lời giải oán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 Lập luận như bài 1, giả sử a < b Ta có : a = 16m ; b = 1ôn với m, n e Z† ; (m,n)=1;m<n Vi vay : a+b = 128 <> 16(m +n) = 128 œm+n=8 eo ° a =48;b=80 Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 Lời giải : Gọi d = (a, b) > a= md; b = nd với m, n e Z” ; (m, n) = 1 Không mất tính tổng quát, giả sử a < b =m«sn Do đó : a + b = d(m +n) =42 (1) fa, b] = mnd = 72 (2) = dla u6c chung của 42 va 72 ade {i;2;3; 6} Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có trường hợp màu màn cư m=3 mn =12 (thỏa mãn các điều kiện của m, n) a=3.6=18 t2) H16 và đ Bài toán 8 : Tim a, b biết a - b = 7, fa, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) = a = md ; b =nd với m, n e Z” ; (m, n) = 1 Do đó: a- d(m-n)=7 [a, b] = mnd = 140 2) = d Ìà ước chung của 7 và 140 =de(1;7)
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1') và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất : d7 Jm-n= ti m=5 mn=20 a=5.7=35 b=4.7=28 Bài tập tự giải : 1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 2/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 448, ƯCLN của chúng bằng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống nhau
3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất cả
các số tự nhiên c sao cho trong ba số, tích của hai số luôn chia hết cho số còn lại
Vayd= và |
Trang 10Cuộc thi được hình thành từ năm 1997, do Hội Toán học Canada bảo trợ, tổ chức vào tháng 3 hàng năm, trong phạm vi học sinh các trường trung học tai New Brunswick,
Nova Scotia va quan
ao Prince Edward, véi
mục đích nuôi dưỡng
niềm say mê Toán học,
phát triển kĩ năng giải
toán của học sinh Bài
thi gồm 6 câu hỏi, làm
trong 3 giờ, kiến thức
được sử dụng tương
ứng với trình độ khá, gidi của học sinh
THCS nước ta Tại mỗi tỉnh, người ta chọn 5 em xuất sắc nhất để trao giải thưởng trị giá 1200 USD Sau đây, chúng tôi giới thiệu cùng bạn đọc
5 trong 6 bai toán của
kì thi được tổ chức vào
ngày 16 tháng 3 năm
đi thin CUOC THỊ TOÁN AMMC MIEN SUYEN AAI CANADA
(Annual Maritime Mathematics Competition)
ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD)
@ HỘ, NGUYÊN VAN NGỊDLUÀ XD GD)
Ava B (nguyên văn Bài 1
: Alice and Bob) đang so nhau về
những đồng xu họ có A nói rằng : "Nếu bạn cho tôi một
số đồng từ túi của bạn, tôi sẽ có gấp 6 lần số tiền của
bạn Còn nếu tôi cho bạn cũng một số như thế, tiền của
bạn sẽ bằng 1/3 tiền của tôi Vậy số bé nhất những đồng
xu mà A có thể có là bao nhiêu ? Bài 2
Dãy số 123456789101112131415161718192021
được thiết lập bằng cách viết kề nhau các số tự nhiên liên tiếp Hỏi chữ số thứ 2001 trong dãy trên là chữ số nào ? Bài 3 Trong hai số sau đây số nào lớn hơn ? 20000004 100000042+200000042 20000002 40000002? +2.0000002° A= B= : Bài 4
Ava B (nguyên văn : Alice and Bob) tiến hành một trò
chơi với 2001 hạt đậu A đi trước và luân phiên nhau Một
Người nào đi nước cuối (hn đậu trong đống), người ấy
thắng Vậy người nào có chiến thuật để luôn chiến thắng
và chiến thuật đó như thế nào ?
Bài 5
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y, biểu thức
N=xŠ~ xếy ~ 13x32 + 13x2y3 + 36xy* ~ 36yP không bao
giờ nhận giá trị bằng 77
Đáp số các bài toán : (xem hướng dẫn giải ở kì tới)
1 45 2.Chữsố3 3.A<B 4 A luôn chiến
Trang 11HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI KÌ TRƯỚC
ThS NGUYEN VAN NHO (NXBGD) CLC THI WNCONSI KK I Bài 1 Giả sử nÝ + n + 1 là số chính s phương Vì nÝ + nŠ + 1 > n# = (n2)? nên ta có nẾ + nŠ + 1 = (n2 + k)? = nÝ + 2kn2 + k2, với k là một số nguyên dương nào đó = nỔ(n - 2k) = kÊ - 1 >0
Đặc biệt, k2 - 1 chia hết cho n2, do đó
k2 = 1 hoặc nÊ < kÊ - 1
Nếu kÊ = 1 thì k = 1, n2(n - 2) = 0, ta có
n= 2 Thử lại, 2 + 23 + 1 = 52, thỏa mãn Ngoài ra, khi k # 1 thì k? > k2 - 1 > n2
=k>n=n- 2k <0, mâu thuẫn với đi
kién n(n - 2k) = k2 - 1 > 0
Vậy ta chỉ tìm được n = 2 thỏa mãn bài
toán
Bài 2 Dễ thấy hai tam giác EDC và
BDC có diện tích bằng nhau vì có chung
DC và EB // DC Tương tự như thế cho các
cặp tam giác khác, ta đi đến kết luận rằng
tất cả 6 tam giác EDC, BDC, CBA, EBA,
AED đều có diện tích bằng nhau và ta kí
hiệu diện tích đó là a Từ các hình bình hành EDCY va XDCB ta suy ra EX= EY - XY = XB - XY = YB, do đó dt AAEX = dt AAYB
Cũng vậy cho các cặp tam giác khác, ta suy ra 5 tam giác AEX, BAY, CBZ, DCV,
EDW đều có diện tích bằng nhau và ta kí
hiệu diện tích đó là b Từ đó, ta suy ra 6 tam iác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX đều có
diện tích bằng nhau và bằng a - 2b
Sau cùng, ta có dt ADCW = dt ADCZ
= a- b nên suy ra hai tam giác này có
đường cao ứng với đáy DC bằng nhau, suy
ra WZ II DC, tức là WZ /! XY Tương tự như thế với các cặp cạnh khác, ta có XYZVW cũng là ngũ giác đặc biệt Bải 3 Kí hiệu 10 số dương đã cho là x Xạ, Xạ, Xạo Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski với n = 10 ta có : »B = (x, +X) + ea ded at] XX Xo 107
Vay giá trị nhổ nhất của AB là 100, giá
ri nay đạt được khi Xị “Xa =X;= 40:
Bài 4 Giả sử cặp số nguyên không âm , y thỏa mãn y(x + 1) = 1576 + x2 Khi d6 : y2(x + 1) = 1577 + x2 - 1 = (y?-x + 1)(x +1) = 1877 = 19.83 Chi xay ra các khả năng sau : Nếu x + 1= 1 thì x = 0, yŸ = 1576 Nếu x + 1= 19 thì x = 18, y2 = 100 Nếu x + 1= 83 thì x= Nếu x + 1 y? = 1576 Do 1576 không phải là số chính phương nên ta có nghiệm là : (x = 18, y = 10) va (x = 82, y = 10) Bài 5 Cho a = 1,b =0 Vì 1*= 1 nên ta có : 1*0°= 1* + 1* © 1.0*= 1*+ 1* c0=2 Tiếp theo, cho b = 1 và a tùy ý ta được a*.1*=(a + 1)* + (a - 1)* =(a+f1)*=a" - (a - 1)" Ap dung những cn thức trên ta có : 7*=6*-6*=1; Để ý thấy 6* = 7*= 1*= 1 và từ các
Trang 12ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 HỆ CHUYÊN @ Mén thi: Toan (chung) e Thời gian : 150 phút e Khóa thí : 2003 - 2004 Bài 1 :(2 điểm) Cho biểu thức : P=|—=—— is -1 với x> 0; x z 1 1) Rút gọn P 2) Tìm x sao cho P < 0 Bài 2 : (1,5 điểm)
Cho phương trình : mxÊ + (2m - 1)x + (m - 2) = 0
Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Xị, Xa thỏa mãn : x;2 + x;2 = 2003
Bài 3 : (2 điểm) :
Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dòng nước),
'và một ca nô cùng dời bến A để xuôi dòng sông Ca nô xuôi dòng
được 144 km thì quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ
Trên đường ca nô trở về bến A, khi còn cách bến A 36 km thì gặp bè nứa nói ở trên Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của
dòng nước
Bài 4 : (3,6 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung
điểm của đoạn thắng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường
thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I K là một điểm bất kì
nằm trên đoạn thang Cl (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa
đường tròn đã cho tại M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại
điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, ©, M, D cùng nằm trên một
đường tròn
2) Chứng minh AMNK cân
3) Tính diện tích AABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm
Trang 13ĐỀ THỊ TUYỂN SINH LỚP 10
tường THPT duyên (ý Jùy ftur(IIMIBINMJ
© Mơn : Tốn (chun) © Thời gian : 150 phút @ Khóa thi : 2003 - 2004
Bài 1 : (1,6 điểm)
Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 Chứng minh rằng phương
trình có hai nghiệm trái dấu Gọi x; là nghiệm âm của phương trình Hãy tính gi P= xo +10x, +13 +x, Bài 2 : (2 điểm) Cho biểu thức P=xv5~x+(3-x).V2+x Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P khi 0 < x < 3 Bài 3 : (2 điểm) a) Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho a2 + bˆ + c2 = 2007, b) Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + x + 3y + 5z + 7 =0 Bài 4 : (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường cao AH Gọi (O)
là đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC Trên cung nhỏ AH
của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A Trên tiếp tuyến
tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD = BE = BA Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N
af Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp
b/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE
và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau
Bài 5 : (2 điểm)
Có n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng
Hai điểm bất kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi
đoạn thẳng được tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng Biết rằng
có ít nhất một đoạn màu xanh, một đoạn màu đỏ và một
đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất
phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu
a/ Chứng minh rằng không tổn tại ba đoạn thẳng cùng
màu xuất phát từ cùng một điểm
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất bao nhiêu điểm thỏa mãn để bài
Trang 14%# guả : TRÌ GIAI TOAN QUA THU
Bai 1(4) : Cho s6 A= 111 111 111+333 333 gồm 2003 chữ số 1 ở bên trái dau * va
2003 chữ số 3 ở bên phải dấu z Hãy thay dấu + bằng chữ số nào để được một số chia hết cho 7 ` A= 114 114 102% ¿ (s),102003 + 333 333 =(9.10% + 0% +9312 : ‘) tp 2003chữ số 3 Mặt khác 108 = -1 (mod 7) suy ra : 102003 = 5 (mod 7) 2003 0N =i = 102003 - 1 = 4 (mod 7) > =2 (mod 7) (2) 402004 = 4 (mod 7) => 107004 + 3 = 4 (mod 7) (3) Để A chia hết cho 7, từ (1), (2), (3) = A= (*).8 + 24 = (#).5 + 1= 0 (mod 7) Chú ý rằng 0 < + < 9, từ đó suy ra ngay + = 4 Vậy số cần tìm là : 111 1114333 333 Nhận xét : Một số bạn đặt vấn đề hãy tìm số z sao cho 411 111+333 333 : 7 6nchữsối 6nchữsố3
Các bạn có lời giải tốt, gửi bài sớm nhất : Đặng Linh Côn, 6A„, THCS Chu Văn An ; Nguyễn Thanh Tùng, 6A, THCS Quang Trung, Hà Nội ; Nguyễn Văn Nguyên, 7c, THCS
Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh ; Đỗ Đình Khanh, 8A, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Phạm
Ngọc Hà, 219 phố Đông Thái, TT Vĩnh Bảo, Hải Phòng ; Vũ Xuân Dương, 8E, THCS Bình
Minh, Hi ương ; Phan Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy Hòa, Phú Yên ; Võ Thái Thông, 7/4 THCS Ngô Gia Tự, Cam Nghĩa ; Nguyễn Đan Huy, 81, THCS Cam
Trang 15Suy ra ; a2001 + p2092 + 2003 = 22003 4 52008 4 „2003 = 4 Nhận xét : 1/ Từ lời giải trên, kết hợp với (1) hoặc (2) có thể suy ra trong ba số a, b, c có đúng một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0 2/ Một số bạn từ (1) suy ra 0 < a < 1 là sai Một số bạn fự thêm giả thiết a, b, c là các Số nguyên dương
3/ Hoan nghênh nhiều bạn đã tổng quát hóa bài toán đúng Các bạn có lời giải tốt và
phát triển thêm bài toán là : Phạm Thành Thái, 8A;, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải
Dương ; Trần Thị Đoan Trang (con bố Trần Văn Trường, phòng GD huyện Ý Yên, Nam
Định) ; Phạm Ngọc Hưng, 37A Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Bùi Hoàng Vượng,
9B, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An ; Nguyễn Thị Kim Thoa, tổ 2, KVI, phường Bùi
Thị Xuân, TP Quy Nhơn, Bình Đi ê Xuân Quý, 9D, THCS Vạn Hà, Thanh Hóa ;
Nguyễn Thị Lâm Ngọc, 7B, THCS Nguyễn Hữu Tiến, Duy Tiên, Hà Nam ; Nguyễn Thị
Minh Hằng, 8A, THCS Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội ; Hà Kim Dung (con bố Hà Văn Diên, Điện lực Phú Thọ) ; Phan Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, tx Tuy Hòa,
Phú Yên ; Trần Mỹ Linh, 714 THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Hoàng Phúc
Hưng, 82, THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa, Đồng Nai 3 < Z LÊ THỐNG NHẤT Bài 3(4) : Cho x, y, Z là các số thực không âm bất kì, chứng minh : X(x - z}” + y(y - z)” > (X - 2)(V - Z)(X + y - 2) (1)
Lời giải : (của bạn Phan Thành Việt)
Lần lượt gọi vế phải và vế trái của (1) là F và T, ta có :
T-F =x(x - z}? + y(y - z)Ê - (&x - 2)(y - Z)(x + y - 2)
= (x(X - 2)? - (K- Z)(y - z)x) + (ly - z}Ÿ - (& - 2)(y - 2)Y) + (x - 2)Wy - z)Z = x(X - Z)(x - y) + ly - Z)(y - x) +z(x - Z)(y - Z)
= (X= y)(x? - xz - yŸ + yz) + z(x - 2)(y - Z)
= (K-y)? + y-Z) + z(x - 2)(y - Z) (2)
+ Nếu F <0, ta có T > 0 > F, vậy (1) đúng
+ Nếu F > 0, ta sẽ chứng minh khi đó (x - z)(y - z) > 0 và x + y -z > 0 (3)
That vậy, phản chứng (x - Z)(y - z) < 0 và x + y -z < 0, ta có :
(x-Z)(y -z) <0 => x> z hoặc y >z = x * y >z=X + y - z > 0 mâu thuẫn với giả thiết
phần chứng Vậy (3) đúng, từ (2) = T - F > 0 = (1) đúng
Bất đẳng thức (1) được chứng minh
Đẳng thức xây ra <>
Nhận xét : Đây là bài toán đòi hỏi người giải phải có một chút nhận xét sắc sao Cac
bạn có lời giải tốt : Phan Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy Hòa, Phú Yên ;
Trang 16Nguyễn Tiến Lộc, 98, THCS Hải Hậu, Nam Định ; Đỗ Đình Khanh, 8A, THCS Yên Lạc ;
Đặng Trân Sơn, 8C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Vũ Xuân Dương, 8E, THCS Bình Minh,
Hải Dương ; Lê Xuân Quý, 9, THCS Vạn Hà, Thanh Hóa ; Lê Viết Ân, 9,4, THCS Pha Thuận, Thừa Thiên Huế ; Trần My Linh, 7/4, THCS Trần Huỳnh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu
NGUYEN MINH BUC
Bài 4(4) : Cho AABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tai H Qua A vé cac
đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến AM của AABC
Lời giải :
Vì AABC nhọn nên trực tâm H nằm trong
AABC (hình bên)
Lần lượt đặt I = AH ¬ PQ ;K =AM.¬ PQ
Từ giả thiết suy ra tứ giác APHO là hình bình
hành, nên I là trung điểm của AH
Cũng từ giả thiết => AP L AC ; AQ L AB =
BAC = ÁGH; ACB = AHQ (các cặp góc có
hai cạnh tương ứng vuông góc) = AABC œ AQAH (g.g) > AB - BS _ AC QA AH QH” LỘ 2 sứ, AM_BC MC_ AM_MC_AC Mặt khác M, ặt khác M, I lần lượt là trung điểm của lượt là tr điể ủa BC, AH nên : T—=—=—— nên Qi AHH mi Ql = HGH = = AAMC © AQIH (c.c.c)
= CAM =HGI hay EAK =EQK_ = tứ giác KAQE nội tiếp
= AKQ = AEQ = 90° (cling chan cung AQ, BQ L AC) = PQ 1AM (dpem)
Nhận xét : Các bạn tham gia giải bài toán nay đưa ra đến 5 lời giải khác nhau, đều
đúng Tuy nhiên tất cả các bạn đều quên mất một dữ kiện quan trọng, đó là AABC nhọn
Phải chăng bài tốn khơng cần dữ kiện này ?
Các bạn có lời giải tốt hơn cả là : Phan Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy
Hòa, Phú Yên ; Phạm Ngọc Hà, 219 phố Đông Thái, tt Vĩnh Bảo, Vĩnh Bảo ; Nguyễn Tiến
Cường ; Phạm Thành Luân, 3A - 81 Lê Lai, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Đỉnh Quốc Lộc, 7A, THCS Nam Hồng, TX Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Trần Mỹ Linh, 7/4 THCS Trần Huỳnh, TX Bac
Liêu, Bạc Liêu ; Nguyễn Thị Lúa, 8A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh ; Nguyễn Tiến Lộc,
9B, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ; Nguyễn Anh Tú, 8D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Phạm Trang Nhung, 21 Hoàng Hoa Thám, phường Ba Đình, Bỉm Sơn,
Thanh Hóa ; Vũ Thị Thu Hương, 7A, THCS Ngô Gia Tự, TP Hải Dương
NGUYEN ANH QUAN Se
Bài 5(4) : Cho ABC vuông tại A, Mi là điểm bất kì Chứng minh rang: MB”, MC +— 21
Khi nào xảy ra đẳng thức 2
Trang 17
Lời giải :
Theo bất đẳng thức BunhiacØpski ta có :
(M8? MB MC
(AB?2+AC2)|—=—+——= |>|AB—— sacle =(MB+MC)? = BC? (1
( ae? Ap TACAc | =(MB+MO) @®
Vì AABC vng tại A nên theo định lí Py-ta-go, ta có : AB2 + AC? = BC? (2) MB MC
Từ (1) và (2) = te: te) Đẳng thức xây ra AB - AC „„ MB _ ABP AB? AC? AB AC MC AC?
Gọi H là hình chiếu của A trên BC, ta thấy :
HB _ HBBC _ AB? My a
HC” HCBC AC?
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Lại chú ý rằng : trên đoạn BC chỉ có duy nhất :
một điểm M thỏa mãn điều kiện MB _ AB MC AC? 5
Vậy : đẳng thức xảy ra © M =H
Nhận xét : Bài này không khó nhưng có ít bạn tham gia giải Phải chăng chúng ta chưa biết vận dụng các kiến thức đại số trong việc giải các bài toán hình học 2 Các bạn nên nhớ
rằng : trong chương trình phổ thông, sau khi học định lí Talét.và định lí Py-ta-go, đại số đã
thâm nhập vào hình học một cách rất sâu sắc
Các bạn sau đây có lời giải tương đối tốt : Vũ Xuân Dương, 8E, THCS Bình Minh ; Phạm
Thành Thái, 8A+, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương ; Phạm Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy Hòa, Phú Yên ; Lê Viết Ân, 9¿, THCS Phú Thuận, Phú
'Vang, Thừa Thiên Huế ; Đỗ Đình Khanh, 8A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc
NGUYEN MINH HA
đđ@/â@âââđââ@â@ââ@âââ@â@6@o6â@ââ6âââââ6âo6â6â6â6ââ6666
CAC BAN BUOC THUONG Ki NAY
Phan Thành Việt, 9D, THCS Lương Thế Vinh, TX Tuy Hòa, Phú Yên ; Vũ Xuân Dương, 8E, THCS Bình Minh, Hải Dương ; Trần Mỹ Linh, 7/4, THCS Tran Huynh, TX Bạc Liêu, Bạc Liêu ; Nguyễn Tiến Lộc, 9B, THCS Hải Hậu, Hải Hậu, Nam Định ; Lê Viết Ân, 9„, THCS Phú Thuận, Phú Vang, Thừa Thiên Huế ; Đỗ Đỉnh Khanh, 8A,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Lê Xuân Quý, 9D, THCS Vạn Hà, Thanh Hóa ;
Phạm Ngọc Hưng, 37A Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng ; Bùi Hoàng Vượng, 9B,
THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An ; Nguyễn Thị Kim Thoa, tổ 2, KVI, phường Bùi
Trang 18DAU VET TRÊN TUYẾT Phan-Ti-Xô (Bạn của Sê-Lốc-Cốc)
- Thưa sếp, chỗ này mùa hè đẹp lắm đấy ạ - Trung úy
'Vet-xi vừa lái xe vừa cố nói bằng một giọng hào hứng
Thám tử Sê-Lốc-Cốc vẫn im lặng, chẳng hưởng ứng gì
Ông chăm chú nhìn qua cửa kính ô tô Ngoài kia, trời tối
đen, tuyết rơi rất dày Biết là Vet-xi thích vùng núi này lắm, nhưng thám tử còn đang mải suy nghĩ về vụ trộm vừa xảy ra
chiều nay ở một siêu thị lớn Khi bị phát hiện, bọn trộm đã
lên xe chạy về phía Nam thành phố Mọi người trông thấy và
đã đuổi theo được một đoạn Nhưng ra tới ngoại ô, chúng
đột ngột rẽ vào một cánh rừng rồi trốn thoát Đang cùng đồng đội truy tìm ở khu vực đó thì thám tử Sê-Lốc-Cốc nhận
được tin báo : Một ông chủ trang trại ở phía Bắc thành phố
tên là Các-tơ đã nhìn thấy ô tô của bọn kẻ gian đi qua nhà
ông ta Thế là thám tử cùng Vet-xi tức tốc đi lên hướng này
- Trang trại của Các-tơ ở tít trên núi cao kia sếp ạ ! -
Trung úy Vetxi vừa nói vừa quặt tay lái, rẽ vào một con
đường nhỏ Thám tử Sê-Lốc-Cốc cảm thấy mừng vì mình
không phải lái xe Tuyết dày thế này khó mà nhận ra đường
được Hình như ở chỗ rẽ, dọc theo con đường duy nhất dẫn
lên núi này, mọi khi vấn có một vài con mương nhỏ Nhưng
bây giờ tuyết đã lấp đầy chúng và chẳng ai còn nhìn thấy gì
ngoài một bãi tuyết bằng phẳng, rộng Day là chưa kể
người lái xe thường bị chói mắt vì tuyết trắng, khó mà cầm
chắc được là xe mình có đi đúng giữa đường hay không Bất chợt, trung úy Vet-xi phanh xe đột ngột Một ngôi
nhà cao, sáng rực ánh đèn như từ đâu mọc ra trước mặt hai
người, chẳng khác gì ảo ảnh bất ngờ xuất hiện trên sa mạc
- Khi quay về, chúng ta sẽ đỡ vất vả hơn, sẽ đi theo vết
bánh xe cũ - Thám tử Sê-Lốc-Cốc nhận xét khi bước ra khỏi
Trang 19
xe và đưa mắt ngắm nhìn con đường vừa đi
Ông Các-tơ đón hai người tại cửa ngôi
nhà của mình Nhìn ông ta thật to cao, vạm
vỡ Vita hu hus soi chiếc đèn pin trong tay,
Các-tơ vừa nói :
- Thưa thám tử, chúng đi qua nhà tôi
khoảng 20 phút trước đây Đêm tối và tuyết
nhiều thế này hiếm xe qua lại lắm Đang yên
tính thì tôi nghe thấy tiếng ô tô Tôi đến bên
cửa sổ và nhìn thấy xe của chúng đang bò
lên dốc Bây giờ có lẽ chúng đã xuống đến
chân núi bên kia rồi
Các-tơ chỉ tay lên đỉnh núi Con đường từ trước cửa nhà Cáctơ lên đó đi vắt qua
khoảng sân rất rộng của trang trại Tuyết
trên sân đã được dọn sạch nên thám tử
Sê-Lốc-Cốc cùng Vet-xi và Các-tơ dễ dàng
đi bộ ra đó Từ đây, có thể nhìn rõ vết bánh
xe in hẳn trên suốt con đường đầy tuyết dẫn
lên đỉnh núi
- Thưa sếp, tất cả đều đúng rồi Vết xe
còn mới nguyên đây này Chúng ta đuổi
theo chứ ? Tôi lái xe đường núi cũng không
đến nỗi nào đâu - Trung úy Vet-xi hăm hở
- Tôi không muốn làm anh mất hứng, Vetxi ạ ! Nhưng tôi muốn anh hãy quay ngay xe về đồn cảnh sát Chúng ta cần đưa ông Các-tơ về đó để làm rõ một số chuyện Nếu chần chừ, bọn trộm sẽ có thời gian tẩu
thoát mất
Tuy chưa hiểu vì sao "sếp” của mình lại
quyết định nhanh như vậy nhưng trung úy 'Vet-xi vẫn lập tức chấp hành Chỉ có ông
Các-tơ là ra sức phản đối :
~ Thưa thám tử, không thể thế được ! Tôi
chỉ đường cho các ông bắt bọn tội phạm, vết
xe của chúng còn rõ rành rành kia, cớ sao
các ông lại bắt tôi 2
~ Vết xe rất rõ, nhưng những chỗ sai trong
tin báo của ông còn rõ hơn Ông sẽ phải khai
báo mối quan hệ của ông với bọn kế cắp, ông Các-tơ ạ ! - Thám tử Sê-Lốc-Cốc lạnh
lùng trả lời và nhanh chóng bước lên xe
Theo các bạn, vì sao thám tửSê-Lốc-Cốc
lại lập tức kết luận như vậy ? eeoeeoeooooooeooeooooooeooooeoooooooooooooeooeeeoeeoooooooooooo ©X# quả : VỤ ÁN GHIẾC MÁY ẲNH (rrT2 số 4)
Người thanh niên trong câu
chuyện đã đưa ra một tap anh hong
đánh lừa Thám tử Sẽ-Lốc-Cốc ,nhưng
anh ta chẳng những không lừa được người thám tử lành nghề, mà còn
không thể lừa nổi tất cả các thám tử:
*Tuổi Hồng” Hầu hết các bạn tham
gia phá án lần này đều chỉ rõ điểm vô lí của “bằng chứng ngoại phạm” mà
người thanh niên đưa ra hòng che
giấu hành vi phạm pháp của mình Đó
chính là sự bất hợp lí giữa bóng người
trong ảnh và thời điểm chụp ảnh Sự: xuất hiện của cột đồng hồ đang chỉ
thời gian buổi trưa là một việc hoàn
toàn có thể thực hiện bằng kĩ xảo Có
bạn hứng lên đã có thơ rằng : Giữa trưa mà bóng đổ dài
Chàng thanh niên nọ nói sai quá rồi ! Kĩ xảo dù có không tồi
Cũng không giấu nổi tính người tham lam
Cũng như mọi khi, vì số lượng giải thưởng có hạn nên Sê-Lốc-Cốc tôi đành phải lựa chọn năm bạn trả lời chính xác, ngắn gọn, chữ viết sạch
đẹp, rõ ràng, không mắc lỗi chính tả và có ghi địa chỉ đầy đủ để trao quà
Xin chúc mừng năm bạn sau đây :
Nguyễn Thu Hiền (con bố Nguyễn
Quốc Phì, ngõ Trưng Trắc 13, Phúc
Yên, Mê Linh, Vĩnh Phúc) ; Vữ
Trang 20“luyet vai! li cũng tìm ra rồi Í SƠN TRƯỜNG (8,, THCS Hoa Lư, Quận 9, TP.Hồ Chí Minh) KHÁM PHÁ
—= “Cho xạ, Xo, xạ, x„ là bốn số dương thay đổi thỏa mãn
điều kiện : xạ + x; + xạ + x„ = 1, Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
4 4 4 4
/ấ, cha biểu the T= AZ (96 thi tuyển sinh
s Xi +XỔ +Xã +X
“Trước đây, tôi có đọc trong một cuốn sách, bài toán :
vào lớp 10 chuyên Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà _Nội năm 1999), lời giải như sau : Ap dung bất đẳng thức Bunhiacốpski, ta có : ° 1= (Xị £X2 +Xe +X4} <4(Xƒ + Xổ + Xổ + XÃ) 4 SEB EGG > đ@) 2 at © (Of x8 x8 49)? = (Spal? + ka v8 + ka i đc 32 + kg Ấ(Xị + Xe +Xs +X4)(Xổ + XỔ + XỔ + XÃ) = XÃ + Xổ + Xã + XÃ BO oars 5 _ Bae Se eats > Xi +XÃ + Xã + XZ (2) Xí + Xổ + Xổ + X4 © 0 +x3 + x3 + x3)” = (3ƒ + xa Xổ +Xa4 + xa xổ}? < Q2 + Xổ + Xã +x2)QXƒ + XÃ +Xã4 + X4) Mp EXO EG Ed Xi +X XS + XZ pis, Gs ee @) Xị + XỔ +XỔ + XG XÃ +Xổ +X4 + X2 Xi +Xổ +X4 + Từ (1), (07226) Suy (2) (3) suy ra: E23 XP PXStXE+ XY 4 Dấu đẳng thức xảy ra khi x, =x;
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là ; khi x,= X;= X; = X,= +
Thú thật, với kiến thức nhỏ bé của tôi, đây quả là một bài tốn "chơng gai”, bởi vì mặc dù đã có lời giải nhưng
Trang 21
nào là “căn”, nào là “bất đẳng thức Bunhiacốpski Ợ
Xin cảm ơn Toán Tuổi thơ 2, số 1 (3 - 2003) đã đăng bài "Nhiều cách giải cho một bài
toán” của bạn Nguyễn Kim Yến Chi (8A, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi) trên
chuyên mục Eureka Bài đó đã giúp tôi nghĩ đến vận dụng bài toán “đẹp” ấy để giải bài
toán “chông gai” này !
Lời giải như sau :
Bài toán phụ : Chứng minh rằng a* + b* > a%b + ab® (xem Idi giải của bạn Chi) Ấp dụng bài toán phụ ta có : tí +32) + bể + xã) bố +x4)+ Qộ rxŠ) +Œộ +X4)+(xã +x4)+xƒ + xổ + xã + x4 > XỔ X2 +Xị XỔ +XỸ Xã +X XỔ +XỸ Xã +xị XỔ + XỔ Xã +: Xa.Xà + XỔ Xã + Xa +XỂ Xu + Xã Xổ + Xà + Xổ +XẾ +; AG Hd Xã + X4) > XỶ (X2 +Xã +Xã + XI) + XR (KY XG FX4 EX 12804 +X2 + X4 + Xa) + X3 (Xị +X¿+Xa +X4) © 40 +xổ +Xã +X4) > XỶ + XỔ +XỂ +kể (do Xị+ Xe +Xg + X; = Mà Xị, Xa, xạ, X4 > 0 nên xý + Xổ + Xã + x3 > 0 Xà +tXổ +X4+X4 4 xi Tacó T= +xj+x@dxệ 4
Dấu đẳng thức xây ra khi x = xp = x3 = x4 = ;
Vay gid tri nhỏ nhất của T là + khi X =Xp =X3 =Xq = i
Các bạn thấy đấy, tôi đã tìm được lời giải bài todn “chéng gai” Hơn nữa, với lời giải này, giả thiết bài của toán chỉ cẩn xạ, x„, xạ, xạ thỏa mãn xỹ +X3 + xổ + xã >0 và
Xj, +X) + X; + x„ = 1 là đủ Với giả thiết này, lời giải dùng đến bất đẳng thức Bunhiacốpski néu trên khó mà làm được phải không các bạn 2
Trang 22= đà
Do các nội dung số nguyên ; phân số âm đã được chuyển xuống lớp 6 nên các khái
niệm căn bậc hai ; mở đầu số thực được đưa
vào chương trình và SGK Toán 7 mới (T7M) để sớm hoàn thiện hệ thống số (từ số tự nhiên
đến số thực) Ngoài ra nội dung thống kê cũng được đưa vào lớp 7 Đó là những nét mới trong
chương trình Toán 7 lần này
Như vậy, chương trình và SGK T7M đề cập
đến những nội dung Đại số sau : số hữu tỉ và số thực ; hàm số và đồ thị ; biểu thức đại số ; mổ đầu về thống kê Sau đây là những nét đổi mới trong việc thể hiện các nội dung trên :
1 Về số hữu tỉ và số thực
Vì các phép tính về phân số và khái
số hữu tỉ đã được học ở lớp 9 nên việc giới
thiệu các phép toán trong tập hợp số hữu tỉ và
các tính chất của chúng trong SGK T7M được
đặt ra như một sự nhắc lại và tổng kết các
điều đã biết ở lớp dưới, chỉ bổ sung thêm phép nâng lên lũy thừa với số mũ tự nhiên của một
số hữu tỉ Mục tiêu của phần này là làm cho
học sinh hiểu rằng các phân số bằng nhau
cùng biểu diễn một số hữu fi ; hoc sinh biét
tính toán thành thạo trong tập hợp số hữu tỉ
'Về khái niệm căn bậc hai và số thực, khác
với việc dạy và học số thực trong chương trình
Toán 9 hiện hành ; SGK T7 chỉ dừng lại ở
việc : giới thiệu số thập phân hữu hạn và số
thập phân vô hạn tuần hoàn như một dạng biểu diễn khác của số hữu tỉ, nhẹ nhàng đưa vào khái niệm số thập phân vô hạn không tuần hoàn ; trong quá trình đó giới thiệu khái
niệm căn bậc hai như một nhu cầu của tí toán và đo đạc ; tổng kết các loại số đã biết, phân loại chúng và giới thiệu tập hợp số thực
sơ lược so sánh hai số thực để đi đến hì thành trục số thực SGK T7M chưa đề cập đến điều kiện tổn tại căn bậc hai của một số ; chưa
TRONG DOI MGI CHUONG TRINH
vA SCH GIAG KHOA TOAN 7
TS TRAN PHUONG DUNG (tac gi SGK Toán 7) Tiếp theo việc đối mới chương trình va sách giáo khoa (SGK) Todn 6, năm học 2003 - 2004, Bộ GD - BT sẽ tiến hành đổi mới chương trình và SGK Toán 7 trên phạm vi toàn quốc Trong bài này, tôi chỉ dé cập đến việc đổi mới phân môn Đại số trong chương trình và SGK Toán 7
SHH HHS SSS SSS
đề cập đến phép khai phương và tính chất của
nó, tổng quát là chưa “làm toán” với căn thức Tuy nhiên, để học sinh nhanh chóng làm quen và sử dụng được máy tính bỏ túi trong thực hành tính toán, SGK T7M đã đưa vào nội dung làm tròn số nhằm giúp cho học sinh hiểu được ý nghĩa thực tiễn của việc làm tròn số và
nắm được quy tắc thực hành
Việc đưa số thực vào sớm nhằm giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc thể hiện đồ thị của hàm số và có cơ sở để sử dụng định lí Py-ta-go, chương trình Hình học 7 2 Về hàm số và đồ thị Khác với SGK Toán 7 cũ đã định nghĩa hàm số một cách chính xác bằng ngôn ngữ, ánh xạ, SGK T7 chỉ giới thiệu khái niệm ham số một cách đơn sơ bằng tương quan hàm số thông qua các ví dụ, dùng khái niệm "giá trị
tương ứng” thay cho thuật ngữ “giá trị của hàm
số tại một điểm” Các hàm số chủ yếu được cho bằng bảng hay bằng các biểu thức quen thuộc và đơn giản dạng ax, ax + b, = „ Khi y là một hàm số của x thì ta viét y = f(x), y = g(x)
để có thể nói được một cách đơn giản “tinh
f3)" thay cho "tính giá trị tương ứng của hàm
số khi x = 3” SGK T7M chưa đưa vào khái
niệm tập xác định của hàm số và kí hiệu hàm
số một cách tổng quát
Do đã đưa vào SGK T7M tập hợp số thực
nên đồ thị của hàm số là "đường liền" chứ không phải chỉ gồm những điểm có tọa độ hữu
Trang 23SGK T7 quán triệt việc dùng chữ thay số, chuyển các phép tính từ biểu thức số sang biểu thức chữ một cách tự nhiên, tử đó giúp học sinh thấy được : các phép tính trong biểu thức chữ cũng có các tính chất như đối với biểu thức số Mặc dù vẫn bắt đầu từ biểu thức nhiều biến tổng quat, song SGK 77M dat van đề hết sức đơn giản Hầu hết chỉ để cập đến
các biểu thức 1 hoặc 2 biến số, khái niệm
hằng số chưa đưa vào ngay từ đầu tránh gây
khó hiểu cho học sinh khi mới tiếp xúc với các chữ thay số Không đưa vào khái niệm hai biểu thức đại số bằng nhau mà chỉ cho học
sinh quan niệm một cách đơn giản : sau khi
thực hiện các phép tính có mặt trong một biểu thức đại số, đưa nó về một biểu thức đại số khác thì mặc nhiên có hai biểu thức bằng nhau
Trong chương trình Đại số 7, chưa xét đến
biểu thức phân, nên SGK T7 chưa đưa vào
khái niệm biểu thức nguyên, biểu thức phân 'Để định nghĩa đa thức một cách tự nhiên, đơn
giản, phù hợp với nhận thức của học sinh lớp 7, SGK T7M đã định nghĩa "Đa thức là tổng của những đơn thức" Đây là điều khác biệt cần lưu ý so với SGK Toán 7 cũ (định nghĩa Đa thức là một biểu thức nguyên) Ngoài ra
SGK T7M còn đưa vào khái niệm đơn thức thu gọn giúp cho việc trình bày tiếp các kiến thức
về đơn thức, đa thức được đơn giản và thuận
tiện hơn
4 Về thống kê
Thống kê là một nội dung của chương trình lớp 9 cải cách giáo dục nay được chuyển một phần xuống lớp 7 theo chương trình mới Do đó SGK T7M đã thể hiện phần này hết sức đơn giản Nhằm giúp học sinh sớm làm quen với những kiến thức về thống kê mô tả, hiểu rõ ý nghĩa của việc thống kê, biết cách thu thập các số liệu thống kê, lập bảng thống kê và vẽ
biểu đổ SGK T7M chỉ đưa ra một vài bảng số
liệu thống kê, một vài loại biểu đồ cùng các khái niệm : đơn vị điều tra, dấu hiệu, giá trị của dấu hiệu, tần số của giá trị Riêng khái niệm tần suất được giới thiệu trong Bài đọc thêm Chưa đưa vào khái niệm mẫu, kích thước mẫu, phương sai, độ lệch chuẩn như SGK Đại số 9 hiện hành Nội dung thống kê còn được tiếp tục ở lớp 10 'Về phương pháp trình bày, SGK T7M cũng có nhiều điểm mới so với bộ sách hiện hành Khác với tỉnh thần ngắn gọn, cô đọng, tổng quát, chính xác của SGK hiện hành, SGK T7M đã cố gắng thể hiện các kiến thức một cách gợi mở, có dẫn dắt để học sinh tự
tiếp thu bài một cách tự nhiên không bị áp đặt
trình bày các khái niệm luôn xuất phát từ những điều đã biết, cố gắng vận dụng "sự tương tự' để đưa ra khái niệm mới một cách dễ dàng Chẳng hạn, khi giới khái niệm biểu thức đại số, SGK T7M đã bắt đầu bằng các biểu thức số cho học sinh biểu thức tính diện tích, chủ vi của một hình hình học mà các em quen thuộc Trong một biểu thức đó, đặt vấn đề thay một số đo cự 1g md
a nào đó, như vậy xuất hiện biểu thức chữ Cách dẫn dắt như vậy, giúp học sinh tự tin khi
bắt đầu làm quen với biểu thức chữ
Khi giới thiệu khái niệm mới, SGK T7M đã chú ý tới ý nghĩa thực tiễn của nó Sách cố gắng đưa ra những như cầu thực tiễn cần phải có các khái niệm đó Chẳng hạn, như cầu đo đạc dẫn tới hình thành các khái niệm số thực, tính tổng diện tích các hình hình học dẫn tới đa thức Cách trình bày khái niệm như vậy dần
dần giáo dục cho học sinh ý thức "học đi đôi
với hành”, dùng kiến thức của mình để giải quyết các vấn đề của cuộc sống
'Cũng như cách trình bày trong SGK Toán 6, SGK T7M đã tránh cách trình bày kiến thức theo kiểu “có sẵn", nhằm hạn chế tối đa hình thức dạy học “thầy giảng trò ghỉ” góp phần đổi mới phương pháp dạy - học Vai trò của người thầy trên lớp được ví như một nhà đạo diễn với kịch bản là SGK, thầy hướng cần, gợi ý để trò hoạt động, suy nghĩ giải quyết những tình huống đặt ra trong giờ học Chính vì vậy, hệ
thống câu hỏi, hoạt động rất được chú trọng
trong trình bày SGK lần này Cũng nhờ những câu hồi và hoạt động này mà SGK T7M còn
giúp học sinh tự học rất tốt
Ngoài ra SGK T7M cũng có nhiều mục
Trang 24MỘT số DẠNG TOÁN THỊ HỌC SINH GIỎI
“GIAL TOA TREN WAY TIM DIEM TU CASIO”
TA DUY PHUONG (Vién Toan hoc) eee
Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức các cuộc thi cấp khu vực
“Giải toán trên máy tính điện tử Casio” Đội
tuyển Phổ thông Trung học Cơ sở của mỗi ¢
tinh gồm 5 thí sinh Đề thi gồm 10 bài (mỗi 6,84 : (28,57 — 25,15),
bài 5 điểm, tổng số là 50 điểm) làm trong
150 phút
Với sự tài trợ của công ty xuất nhập khẩu
Bình Tây, tất cả các thí sinh đều có quà lưu
niệm 50% sé thi sinh mỗi cấp của từng khu
vực được trao giải (nhất : 800000 đ ; nhì :
500000 đ ; ba : 300000 đ ; khuyến khích :
150000 đ) Những thí sinh đạt giải được
cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được
bảo lưu kết quả trong suốt cấp học
Bắt đầu từ số này, chúng tôi sẽ lần lượt
giới thiệu một số dạng toán thi học sinh giỏi
“Giải toán trên máy tính điện tử Casio” cap 15,2 0.25 Phổ thông Trung học Cơ sở để bạn đọc
tham khảo
Quy định : Thí sinh chỉ được dùng một ä 1186 §
trong bốn loại máy tính Casio fx-220, Casio_ =>“————”—“—*
fx-500A, Casio fr-500 MSva Casio fx-570MS 3,2: 0,8~ 54 2Q) 25) 33,81) x4 Pe 4 Hah, 21 y 13.2 is) tg Dạng toán 1 : Kiểm tra kỹ năng tính toán \ thực hành wes a
Bài 1 :(Thi Khu vực, 2001) Tinh : Bài 2 : (Thi khu vực, 2002)
Trang 25(0,152 + 0,352): 6z+420<|Ÿ 2 4) 4315
b) 2g? :0,8~0/8x078): 12]
:(2+3,15)
Bài 3 : (Thi Khu vực, 2001, Đề dự bị)
a) Tìm 12% của Say 2a biết : 4.3 08:( x32) (so- 2:4 i) E= OCF 1 + 6 go 5 a1 zs 5 = 25 ( 9 i} 17 k) E =0,3(4)+1,(62) :14 Bài 4 : (2003, Dự bi) Tinh: be L( aa Piatt 3:2-000:(015:23) : a) A=3NŸ5 - Ÿ4 - Ÿ2 - Ÿ20 + Ÿ25
_ 0,32.6+0,03~(6,3~3, (24-1,965) BU Aa EM ey or : (1,2.0,045) 1:0,25 ,ô7 | IE qpoo-sasta 1492 Ïi:Ÿ2 8 lee 0,00325:0,013 1,6.0,625 Bai 5 : (Thi Khu vuc, 2001) a
(255-295) :a2 a) Hãy sắp xếp các số sau đây theo thứ tự b) Tính 2,8% ota S20 _18/ 3 tăngdẩn: hà a=§ =1 26 (aay TC 45 ; (eZ-0t 1g, ễ» Ÿias'° 46 ©) Tính 7,5% của ( 3) 7 b) Tính giá trị của biểu thức sau : am 8 0,(5) x 0,(2) (23: 8) đ) Tìm z, nếu : [ † 3.25 4 6 c) Tính giá trị của biểu thức sau : Sỹ: |xrt2+v84xŠx 7 7 g_23+5:6,25)x7]] _ 4 4
*X|Ê- sxo,012s+e9 | "14 Lời bình 1 : Đây là dạng bài kiểm tra kỹ
Tính : k năng tính toán thực hành - dạng bài cơ bản
) nhất Đa số thí sinh làm tốt dạng bài này, tuy e) A= (14-22): (2-8) ‘{15+22+37) nhiên còn một thiếu sót cơ bản là : viết đáp số
3^5)\2 42 5 gân đúng một cách tùy tiện, trong khi đó đáp SN B=12:15x(1Š+3:2:2 ụ mất 1 102x|247-155 geet Te 2 (§-0.25) ete ne De abe cau a ln
số thường yêu cầu là số đứng (số thập phân
của đầu bài cho là số đúng, thập chí nhiều
biểu thức chứa căn cũng cho đáp số là số
nguyên đúng) Trong các kỳ thi cấp tỉnh, dạng bài này thường chiếm 50% - 70% số điểm Theo chúng tôi, trong kỳ thi cấp khu vực,
dạng bài này chỉ nên chiếm 20% số điểi
Lời bình 2 : Trong dạng bài này cũng đã
đặt một số kiến thức toán học ít được để ý : số
thập phân vô hạn tuần hoàn (thí dụ, số
9,8999 , 0,3(4), 1,(62)), thí sinh phải biết
Trang 26
BẮT ĐẦU TỪ Ý TƯỞNG CỦA Breit
(tiếp theo kì trước)
Cùng với BT1 của Hêrông, bài tốn sau đây ® chỉ là sự mở đầu cho những kết quả khác, sâu cũng được tôi đặc biệt chú ý ngay từ khi còn là © so hon, thi vị hơn Chính vì vậy mà tôi đã tìm
học sinh phổ thông cách mở rộng BT6
Bài toán Ki nay, xin giới thiệu với bạn đọc những tìm tòi Cho tam giác ABC và điểm M thuộc tam giác 5 đầu tiên mà tôi đạt được trong quá trình mở rộng
Chứng minh rằng : MB + MC <AB + AC ay Thật ngẫu nhiên, ý tưởng quan trọng của Để chứng minh BT6, trước hết, ta phát biểu $ Hêrông đã giúp tôi rất nhiều
không chứng mình một bổ đề Bổ để 4 : i $ Hãy coiABC như một tứ giác "suy biến” với hai
linh tring nhau, BT6 ngay lap tie duge mé rong
Cho ba điểm A, B, C bất l Ta có AB +AC >BC 9 nhự sau ;
Đẳng thức xảy ra x athube doanBCa) Trong BĐ4, các điểm A, B, C có thể thẳng e thuộc tứ giác Chứng minh rằng : Bài toán 7 : Cho tứ giác ABCD và điểm M
hàng, thậm chí trùng nhau 3 MB+MC<max(AB+AC;DB + DC}
ga pias ¥ wipers eee X và Y °_ Kí hiệu max (8, ; a) in} chi sO lan nhất ng Khong Cach niéu này có hiệu lực không 6 trong các số a, ; 2; > 8, NO có hiệu lực cho
chỉ trong BĐ4 mà còn có hiệu lực cho tới cuối ới cuối bài viết này, #
viết này A BT7 là sự mở rộng đầu tiên và đơn giản nhất
TÊN, ti dh ủa BT6 Vậy mà tôi đã gặp khó khăn nhiều
i tong khi giải nó Loay hoay mãi mà không giải
eae tiêu N 3 được Đã có lúc tôi nghĩ rằng, kết quả mà tôi đặt
Vệng thương tinh Š ra trong BT7 có lẽ không đúng Trong thời khắc NnhiLôe 7 ế tắc ấy, tôi bỗng nhận ra rằng, xét cho cùng thì
THO lak vide Gia B Hình1 đang phải quan sát và so sánh độ dài ba
Br 7 lường gấp khúc BMC, BAC, BDC, do đó tôi lại
Bat N= BM “AC (hình 1)-Theo BĐ4, ta có : qghĩ đến ý tưởng của Hêrõng Nhờ sự liên tưởng
MB + MC < MB + MN + NC = NB + NC ọ này, tôi đã giải được BT7
<AB + AN +NC =AB + AC © Xin giéi thiệu với bạn đọc lời giải đó
Vậy MB + MC < AB +AC Š Trường hợp 1 : M thuộc đoạn AD (hình 2a)
'Đẳng thức xảy ra c»M =N;A=N<»M=A Gọi B' là điểm đối xứng của B qua AD Vì B, C
Tôi chú ý tới BT6 vì sự giản dị trong hình thức nằm về cùng một phía của AD nên B, C nằm về
nhưng sâu sắc về nội dung của nó Tôi luôn có ® hai phía của AD Suy ra : đoạn B'C và đường
cảm giác rằng, kết quả mà ta đạt được trong BT6 ø thẳng AD cắt nhau,
Trang 27BT8 là bài toán khó, tuy
nhiên, nhờ BT7 ta có thể
jai BT8 khá dễ dàng Lời lải mà tôi giới thiệu dưới
đây là lời giải của bạn Đảo
Phương Bắc khi đang là học sinh trường THCS Bế Van Dan, Đống Đa, Hà Nội
Đặt O = AC ¬ BD Vì M thuộc tứ giác ABCD nên M thuộc một trong các tam giác OAB, OBC, OBC,
OCD, ODA Không mất tính
tổng quát, giả sử M thuộc tam giác OAB (hinh 3) Đặt N là giao của tia OM và
đoạn AB Ta thấy : M thuộc
các tam giác NAC, NBD Theo BT6, ta có : Hình 2a D D 8 c 8 Hình 2c Hình 2d Đặt | = B'C z¬ AD Ta thấy : MA +MC <NA+NC
Me đoạn AD ST HS (Me Aone ®— MB+MD<NB+ND
le tia MD Me ACAB' © 3 MA+MB +MC +MD MB'+MC < DB‘ < « = Bs <DB'+DC (th 76) => MB+MC <DB+DC 9 <AB+NC+ND LỆ 49) MB+MC < AB'+ AC MB+MC<AB+AC s Theo BT7,tacó: 4 9 NG+ND<max{AC+AD; = MB + MC < max (AB + AC ; DB + DC} BC +BD) a
Trường hợp 2 : M không thuộc doan AD (hinh 2b, 2c, 2a) : :
Lấy N thuộc đoạn AD sao cho M thuộc tam giác NBC (tùy vào vị đê lo den ên:
tr của M mà ta có cách chọn N thích hợp (hnh 2b, 2e, 24) Theo 5 AC „ AO BC + BD + BA)
BT6, ta có: MB+MC<NB+NC (ie A
Theo trưởng hợp 1, ta có : SARS NE MG ae) NB + NC < max {AB + AC ; DB + DC} (ye Santas BH
Từ (1) và (2) suy ra : MB + MC < max (AB + AC ; DB + DO) 9 = MA*MB= MC + MD <
Tóm lại trong cả hai trường hợp, ta đều có : MB + MC < max (AB + AC : DB + DC) 0002202/40/07750016 $ Kết luận chỉ tiết cho điều oe
Nếu AB + AC > DB + DC thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M= A ø kiện xảy ra đẳng thức BT8
° °
Nếu AB + AC < DB + DC thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M = D 9 rất phức tạp Tuy nhiên, ta
Nếu AB + AC = DB + DC thì đẳng thức xây ra khi và chỉ khi M =A © © kết luận đơn giản nhưng
hoặc M =D rất có ý nghĩa sau :
Nhờ kết quả đạt được trong BT7, Trong BT8, đẳng thức có
tôi hy vọng kết quả sau đây đúng xây ra Nếu đẳng thức xảy Bài toán 8 : Cho tứ giác ABCD và ra thì M e {A, B, €, Dj
điểm M nằm trong tứ giác Bạn Bắc không phải là
Chứng minh rằng : MA + MB + MC người đầu tiên tìm ra lời giải
+MD < max {a ; B37; 8} cho BT8 nhưng lời giải của
Trang 28i
TU MOT BAI TOAN VE BAT DANG THUC TAM GlAc
TA MINH HIEU
(GV trường THCS Phạm Công Bình, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)
Trong SGK Toán 7 mới có bài toán :
Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm
trong tam giác Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC a) So sánh MA với MI + lA Từ đó chứng minh MA + MB < IB + IA b) So sánh IB với IC + CB Từ đó chứng minh IB + lA < CA + CB c) Chứng minh bất đẳng thức : MA + MB <CA+ CB (Bài 17, trang 63, SGK Toán 7 tập hai, a NXBGD 2003) B Cc Lời g a) Xét AAMI : Ta có MA < MI + Al => MA + MB < MB + MI + lA ©>MA+MB <IB + lA (1) b) Xét AIBC : Ta có BI < IC + BC =IB+ lA < lA + IC +BC ©IB+IA<AC+BC (2) c) Từ (1) và (2) ta có : MA + MB < IB + IA < CA + CB => MA + MB < CA + CB
: Cho AABC, M là một điểm nằm
trong tam giác ABC
Chứng minh MB + MC <AB + AC
Từ bài toán 1 ta có thể phát triển được hai
bài toán tổng quát hơn sau :
Bài 2 : Cho AABC, M là một điểm nằm
trong tam giác ABC
Chứng minh rằng : MA + MB + MC < 2p
(trong đó 2p là chu vi của tam giác ABC)
Bài 3 : Cho AABC, M là một điểm nằm
trong tam giác ABC
Chứng minh rằng : MA + MB + MC >p
(trong đó 2p là chư vi của tam giác ABC)
Nếu miền trong tam giác có 2 điểm khác
nhau thì ta có bài toán sau :
Bài 4 : Cho AABC, M và N là hai điểm
nằm trong tam giác ABC sao cho MN cắt hai
cạnh AB, AC của tam giác ABC Chứng minh rằng : BM + MN + NC <AB +AC A B Cc Lời giải : Giả sử MN cắt AB và AC tại E và F Xét : ABEM có : BM < BE + EM ; ACFN có : NC < NF + FC Từ đó ta có : BM + NC < BE + EM + NF + FC © BM +MN +NC < BE + EM + MN + NF +FC =BE +EF +FC (1) Xét AAEF có : EF <AE +AF (2) Từ (1) và (2) => BM+MN+NC <AB +AC,
Từ bài toán 17, trang 63, SGK Toán 7 tap hai, NXBGD 2003 trên đây, chắc chắn còn
nhiều bài tập được khai thác sâu hơn “Bắt
đầu từ ý tưởng của Hê Rông”, TS Nguyễn
Minh Hà (ĐHSP Hà Nội) cũng đã mở rộng bài
toán trên với những kết quả hết sức sâu sắc
Trang 29eccce
quan Vườn Quốc gia, tôi Vô cùng vui sen
Suốt cả ngày, tôi cứ ngồi tưởng tượng ra
chuyến tham quan thú vị và đêm qua, tôi đã mơ một giấc mơ thật tuyệt vời các bạn
“Trong mơ, tôi thấy mình được đến
s có vô vàn các loài chim Da diéu, dai bang, 2 hải âu, chỉm cánh cụt, v.v con nào cũng 2 đẹp và lạ mắt Tôi say sưa ngắm cảnh các $ "cô” công xòe bộ lông đuôi óng ánh muôn màu, Những con vọt sắc sỡ hót véo von như ° muốn “cổ vũ" cho các bạn công Đàn gà lôi Š_ bay nhầy thoăn thoắt trên những cành cây Mấy con cú mèo tròn xoe mắt nhìn tôi với về lạ lãm Lũ diểu hâu háu ăn thì mổ lấy mổ để ®ooeeoeeeeeooeoesoooo đờ-a/2z.lố„ đau đã
Sau khi hoàn thành chuyến thám hiểm vĩ đại của mình, C Cô-lôm-bô trở về quê hương Nhiều người hân hoan đón chào,
kj Trong một buổi tie
ông đã cố nghĩ cách làm giảm uy tín của ông Chúng ầm ÿ bàn tán rằng : "Ai cũng có thể thực hiện được chuyến thám hiểm như € Cô-lôm-bô”
'Vừa lúc đó, người đầu bếp đưa lên món
trứng luộc Cô-lôm-bô nhanh tay lấy
một quả và đố người nào đặt quả trứng đứng e
thẳng được Nhiều người cố đặt nhưng quả trứng cứ bị đổ Cô-lôm-bô liền đập giập một T100 609 060 9/005060565 5 Sele 99 00 1g - GIẢU MƠ Cus, TOI e 00000
GIAI THOAI @ GIAI THOAI © GIAI THOAI
2 trên đĩa Một kẻ tiểu nhân cười nhạo :
nhưng cũng không ít kể tổ ra ghen ghét đố °
những kể không ưa 3
$ cái bản lề tốt hơn nhiều ! - Một người bạn góp ý
Š tôi 20 lít nước từ giếng lên, anh còn
¡ đầu quả trứng rồi đặt nó đứng ngay ngắn ° ắc-quy và khoan một lỗ vào tấm gỗ sổi đấy !
Một chuyến tham quan trong mơ thật là thú vị Nhưng thật „đúng là mơ: Bởi vì Thôi, để các bạn có ý kiến thì hơn
những mẩu bánh vụn tôi vừa ném chị
Những chú đà điểu vỗ cánh bay bay trên thảm cổ xanh mướt Xa xa, mấy con hải âu đang chao liệng tìm quả chín để ăn Một đàn cò trắng lúi húi bới đất tìm giun Đang mải nhìn lũ cò, bỗng tôi nghe có tiếng bước chân nằng nặng ở phía sau Thì ra là một đàn chim cánh cụt to lớn đang đi tới Thấy tôi, chúng hốt hoảng võ cánh bay tán loạn khiến cho lũ sếu đang đậu trên cây cũng vị vã bay mất Đang định chạy theo để nhìn những con sếu thì tôi tỉnh giấc vì tiếng gọi của bố °seeee°o ° ° ° ° ° ° ° °
NGUYỄN LÊ NAM
(Gia Viễn, Ninh Bình) oococce - Thế thì có gì là khó ! Cô-lôm-bô đáp ngay :
~ Đúng là không khó, nhưng cũng như việc
vượt đại dương, phải nghĩ thì mới ra chứ
“¿-áj-daz
Những người quen của Ê-đi-sơn thường
thắc mắc không hiểu vì sao cánh cổng nhà
ông rất nặng mỗi khi mở ra mở vào
Thiên tài như ông lẽ ra có thể thiết kế những
- Anh ban ơi ! - Ê-đi-sơn bật cười - Những cái bản lề đó còn "trên cả tuyệt vời” ấy chứ ! Khi mở cổng nhà tôi, anh đã vô tình kéo cho
bình
Trang 30—=—=—=—====>=z>a Chú Khoa ơi, cháu rất thích y
học toân, nhưng cũng mê làm I thơ, mê đọc thơ, đặc biệt là
thơ chú Chú có bài thơ “Thầy Ï
giáo đi bộ đội” tặng thay Viet Ï
Thay Viét qué 6 đâu hả chú ? y Hiện nay thầy sống ra sao ? I VŨ THỊ THỦ HƯƠNG (Lớp 7A, THÒS Ngô Gia Tự, Ì TP Hải Dương) Ï 8 Ẵ 1 Ï_ TRẤN ĐĂNG KHOA : i
1 Thay Nguyén Ba Viét qué ở Nam Tân, Nam Sách, riải Í
Ÿ Dương Thầy dạy chú hổi học lớp hai Thực sự thì ngày thấy ï
j lên đường nhập ngũ, cả lớp khóc như có đám tang Thầy lại [làm trò vui để động viên học sinh ở lại Lớp trưởng Nguyễn Thị ¡ ¡ Tâm đề nghị tất cả các bạn trong lớp góp tiền mua tặng thầy ¡
1 một bút máy Trường Sơn và một cuốn sổ tay làm kỉ niệm Cô i
Tam giao chi thay mat !6p ghi vào cuốn sổ tay đó, vì chữ chú
đẹp, rõ ràng Chú cứ băn khoăn không biết viết gì Bạn bè có
đứa xui chú viết : Thầy ơi chúng em nhớ thây lắm Thây đi giết hết giặc Mỹ, rồi thây trở về với chúng em Có đứa lại để nghị chép hai câu thơ : Ra đi quyết giữ lời thề Chưa tan giặc Mỹ
chưa về quê hương Day la câu khẩu hiệu viết trên bang
thông tin Học trò ai lại như thế Loay hoay một lúc
rồi chú viết vào cuốn sổ của thầy cái bài thơ mà cháu vừa nhắc Ï
đến ấy Dưới bài thơ chú chỉ ghi : Lớp 2B Thầy giáo hỏi bài thơ Ï
này của ai, các bạn trong lớp bảo của chú Thế là từ đó, các 1
Í' thầy cơ mới biết chú làm thơ i
Sau khi thay đi rồi, cả lớp chẳng đứa nào học được Chú viết [ tiếp bài “Hồi đường” rồi “Nghe thầy đọc thơ” Cái cảnh thầy đọc ÿ ¡ thơ là trong ký ức Còn thực sự thì thay đã ở rất xa : “Đêm nay
[ thây ỏ đâu rồi - Nhớ thây em lại lặng ngồi em nghe” Sáu năm ¡
sau, năm 1972, hồi đang học lớp 7 như cháu bây giờ, chú viết I
tiếp “Bàn chân thây giáo” Lúc ấy, bọn chú chỉ mong thầy trở
về, dù thầy bị thương, có mất một chân đi chăng nữa Rồi chú hình dung thầy đến lớp trên đôi nạng gỗ Cái cảnh đoàn tụ xót
xa ấy là ở trong tưởng tượng Chú không ngờ vào đúng thời
điểm chú viết bài thơ này thì thầy Nguyễn Bá Việt của chú đã
1 anh dting hi sinh trong mot trận chiến đấu không cân sức giữa È
Ï tiểu đội của thầy với đại đội lính dù Mỹ ở Châu Đức, Ba Ria
1 Vang Tàu buổi trưa ngày 27 tháng 3 năm 1972 i
= mm =o oo
mm
Trang 310 Ki aay: \
6 cert THONG GLA DINE Trong ô chữ này có 12 từ dùng để chỉ và để gọi những
người ruột thịt trong mỗi gia đình Bạn hãy tìm xem nhé ! PHẠM THỊ PHƯƠNG LUYẾN (TH Phú Hòa A, Lương Tài, Bắc Ninh) GÌIH|T|E|R|FIT VÀO THÂM VƯỜN ANH: ols|n|zxl|ol|cl|ololc alo|>z|o|lolz|r|z m|z|r|u|x|r|z|z mịm|x|tú|ol|l=|c|= s|o|>|>|m|r|¬al|> m[|m|c|o|m|o|<|* ©9oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo te U CHỮ THỂ THAO (TTT2 số 4)
Đáp án : 12 môn thể thao ẩn trốn trong bảng chữ là các môn:
Hang doc : 1) FOOTBALL ; 2) BASEBALL ; 3) RUNNING ; 4) BADMINTON
Hang ngang : 5) TABLE - TENNIS ; 6) SALLING ; 7) SKIING
Hang chéo : 8) JUDO ; 9) BIA; 10) CHESS ; 11) KARATE ; 12) TENNIS
Ô chữ lần này là một thách thức lớn với các bạn yêu thích “Vào thăm Vườn Anh”
.Một số bạn “đã cố gắng hết sức” nhưng chỉ tìm ra 11 môn và vẫn “mong muốn nhận được quà của Chủ vườn” 5
Xin trao quà tặng cho nam bạn có đáp án hoàn hảo nhất : Phan Thị Hương, 7A3, s
THCS 2, Thi trén Thanh Ba, Thanh Ba, Phú Thọ ; Đặng Trinh Hiếu, 6A, THCS Thị P
trấn Đối, Kiến Thụy, Hải Phòng ; Tôn Thủy Dương, số 3 ngõ 1/12, phường Hà Huy s
Trang 32
Ket qua: EM LA, (TTT2 số 4) eØihánh chi:
Râu ngô mọc ở trên đầu
CHANG CAN VAT 6c CONG RA
Fite OLA Re mt dee BAL UA sà THOR? ? Bạn hãy tưởng tượng mình đang Hạt ngô vàng trắng nõn nà Mới nghe đến đó, đoán ra muôn phần Bài hay, chữ đẹp, có vẫn
Trẫm đây xin thưởng năm phần quà cho :
Lê Thanh Hương, con bố Lê Thế Khánh, tổ 20, khu
1B, phường Hồng Hải, TP Hạ Long, Quảng Nĩnh :
Cao Thanh Thảo, số nhà 58/191 Lê Lợi, Hải Phòng : Đỗ Nguyễn Sơn Tùng, 2!114A Lê Lai, phường An Ph
TP Cần Thơ, Cần Thơ ; Nguyễn Ngọc Diệp, con bố
Nguyên, xóm Kiêng, xã Bình Phú, Thạch Thết, Ha Ta:
Bạc pho lúc tr, đỗ nâu lúc già | Bạn phải làm sao để hết sợ
ĐÀO XUÂN TRƯỜNG
ông Hà, phường Bến Gói, Việt Trì, Phú Thọ)
Trân Khương Dung, H13, Cư xá Phúc t Tân Phong, TP Biên Hòa, Đổng Nai
—¬=-— < `
Ket qua : 0 CHU SER GRMES 22 œrzsẽ+
Chỉ còn chưa đầy 5 tháng nữa là khai mạc SEA GAMES 22, Vua Tếu cũng cảm thấy háo hức chờ đón cuộc thi tài Thể thao của các nước khu vực Đông Nam Á lần đầu tiên được tổ chức
ở Việt Nam Chắc các Thần dân cũng ham mê
thể thao như Vua Tếu tạ nên dự thì ô chữ SEA GAMES 22 đông quá, làm Ta phải tốt mổ
hơi mới chọn ra được người trúng thưởng, Ô chữ: lần này nói về 8 môn thể thao ở
SEA GAMES, đó là : Cử tạ, Karate, Cầu mây,
Wushu, Vat tu'do, Bóng bàn, Bắn súng, Bong
đá, Có bạn điền dòng thứ tư là Đua xe Rất nhiều
bạn nói hàng thứ năm là Vovinam nhưng môn
này không có trong danh sách các môn thi đấu
6 SEA GAMES 22 Hang doc thi Than dan nao
cũng đoán đúng cả, đó là : Trâu vàng, biểu tượng chính thức của SEA GAMES lần này
Đặc biệt ban thưởng thần dân Phạm
Thành, số nhà 43, tổ 26, phường Văn Đầu,
Kiến An, Hải Phòng vì có thơ như sau
Hàng dọc lính vật “Trâu vàng
Hàng trên “Cử tạ” dễ dàng tìm ra
Dưới cùng là môn “ Bông da” (đá)
Bông bàn, bắn súng toàn là chữ “Bê”
Tiếp đến la “ Karaté”
Wushu với Vật mang về huy chương Cầu mây là môn sở trường
Tiển vào ô chữ lên đường SEA GAMES
Ngoài bạn Phạm Thành, ban thưởng cho
các thần dân có câu trả lời chính xác : Bùi Bích
Ngọc,139, khu 10, xã Chu Hóa, Lam Thao,
Phú Thọ ; Hoàng Đức Nhã, tổ 2, khối 3, thi tran
Huong Khé, Ha Tinh ; Bui Thu Trang, s6 nhà
127, tổ 31, phường Cam Giá, TP Thái Nguyên ;
Nguyễn Quế Anh, 129B, Mai Hắc Đế, Hà Nội ;
Nguyễn Thị Thịnh, 8A, THCS Yên Phong, Yên
Phong, Bắc Ninh ; Nguyễn Huy Linh, 5B, TH
Yên Bái, Yên Định, Thanh Hóa
Thánh chỉ : Xin nhắc các thần dân nào đã _-
trúng thưởng, năm nay chuyển lớp khác hãy
gửi thư về Tòa soạn Tạp chí Toán Tuổi thơ, 67 Giảng Võ, Hà Nội cho biết địa chỉ mới để Vua
Téu chuyén quà
Trang 33i adh ham til Tuổi hông xin cứ tuổi hồng
Chuyện gì quá sớm xin không trả lời
ớp em có mộ
học rất giỏi và luôn giúi ọ
người Trong học tập, bạn nào có bài gì không hiểu đều hỏi bạn ấy và bạn ấy bao giờ cũng
giảng giải rất tận tình Bạn ấy
còn luôn giúp đỡ những bạn có hoàn cảnh khó khăn Chun,
em rất biết ơn bạn ấy và rất
muốn cảm ơn nhưng không
biết phải làm thế nào Anh giúp bọn em nhé ! THÚY LIÊN (Đội 3, Trường Thành, An Lão, Hải Phòng) Đáp : Một lời cảm ơn đún: lúc là có giá trị nhất, em ạ Ð/ còn là văn minh trong cư xí
hàng ngày của mỗi người Trong tình huống của các em thì sự quý trọng bạn ấy là đã thể hiện hết lòng cảm ơn của
mình rồi Các em hãy học tập bạn ấy, luôn sẵn sàng giúp đỡ
mọi người, khi đó thật là vui biết chừng nào Cho anh gửi lời chào bạn ấy nhé ! Hồi : Em đã biết hằng đẳng thức a3 + bŸ= (a +b) (a2 -ab + b2) (1), nhưng anh em lại bảo là nên biết thêm : a3 + bŸ = (a + b)Š - 3ab(a + b) (2) Tại sao lại thế, anh Phó Gỡ oi! VIỆT NGỌC (9A, THCS Đống Đa, Hà Nội) Đáp : Cả hai hằng đẳng thức đều đúng ! Điều quan trọng là sử dụng chúng khi nào ? Để phân tích đa thức thành nhân tử thì em dùng công thức (1), chẳng hạn : 8x3 + 1= (2x + 1) (4x2 - 2x + 1) Nhưng để tìm đa thức với hệ ‡ Số nguyên có nghiệm là! Ÿ2 +Ÿ4 thì em dùng công thức (2) như sau : (82) + (84) = (82 + Ya) - 3 8294 (92 + 94) =6=x9-6x = Đa thức cần tìm là : f(x) = x9 - 6x - 6 Chúc em học giỏi toán ! Hỏi : Một số bạn lớp em cứ hay viết lên áo nhau những câu trêu đùa Cái áo đồng phục của em vì thế mà lem nhem toàn vết
bút bi Sắp vào năm học mới rồi, :
em muốn dùng lại áo cũ nhưng ?
không biết phải tẩy bằng cách ! nào cho sạch những vết bút đó ; đi Anh Phó Gỡ có “mẹo” nào thì | mách cho em với ! t Một bạn đọc hâm mộ anh ` (THCS Kim Long, Huế) ! i
Đáp : Có người đã bay cho
anh và anh đã thử làm rồi Xin truyền lại “ mẹo nhở" cho em (tùy em chọn cách nào cũng
được) :
Lấy một dúm bông nhúng lẫm cồn 90 độ (mua ở hiệt
thuốc) rồi chà mạnh lên vết
bẩn Khi mực bút bì đã bay đi hết, giặt lại áo bằng nước lạnh - Lấy một dúm bông nhúng vào nước rửa móng tay (dung dịch A-xê-tôn, có thể mua hoặc
hỏi xin ở các hiệu làm đầu) lắp vào chỗ vết mực Khi mực
đã bay, giặt lại bằng xà phòng Hồi : Anh Phó Gỡ ơi ! Anh luôn gỡ rối cho tụi em, còn anh thì đã khi nào gặp phải những oe những tinh huống mà chính anh không thể gỡ nổi chưa ? TRỊNH THỊ PHƯƠNG ANH (Đ/c mẹ : Kim Phượng, trung tâm Khuyến nông Vĩnh Phúc) Đáp : Có chứ Đó là những lúc anh chơi bóng bàn với những đấu thủ trên tài anh mà bị họ dẫn trước !
Hỏi : Em rất buồn vì toàn bị các bạn trêu trọc do béo quá Em đã cố gắng tập thể dục nhưng vẫn chẳng giảm được cân nào Anh giúp em với, anh Phó Gỡơil.- NGUYÊN HỒNG QUANG (7B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp : Thể dục em tập ra sao ? Lễ gì chẳng giảm chút nào số cân? Nhớ là vừa tập tay chân
Trang 34( nào đó Hỏi sau bao nhiêu lần thực hiện như vậy thì ta được 8 số ở 8 đỉnh bằng nhau 2 1 Bai 1(6) : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn Í|
p = a2 + bÊ là số nguyên tố, p - 5 chia hết cho 8 Giả sử các
số nguyên x, y thỏa mãn ax - by? chia hết cho p Chứng minh
rằng cả hai số x, y chia hết cho p : Ỉ
NGUYEN MINH BUC }
(Viện Công nghệ Thơng tin) Ì Seoeoeoooeooeoooeeoeee66ưoeel
i
- QUÁ THỰ 2 881206): Cho hinh tap phucng cust cay Ngubi ta gin cho |
a ad | 8 dinh cla né bat dau từ đỉnh A, Gi theo chiều mũi tên, 8 số tự |
nhiên liên tiếp và thực hiện : mỗi lần cộng vào 4 đỉnh của một mặt cùng với một số nguyên NGUYEN DUC TRUONG |
3£ Bài 46) : |
Cho tam giác BMA có BMA =135° ;
BM =2; MA =6 Lấy điểm € cing |
phía điểm M, bờ AB sao cho tam giác |
CAB vuông cân ở A Tính diện tích tam | giác ABC | VI QUỐC DŨNG (Đại học Sư phạm Thái Nguyên) Bai 36): Gho ba số a, b, c thỏa mãn hệ : {atb+c=1 S22b2+C <C 2 148 4
NGUYEN TRONG TUAN
(GV THPT Hang Vuong, Pleiku, Gia Lai)
¡Chứng minh rằng : 0 < a, b, 6<
'3 Bài 5(6) : i
Cho tam giác ABC nội tiếp đường
tròn (O) Các điểm M, N theo thứ tự là | trung điểm của BC, GA Tia MN cắt (O)
Trang 35\ n gon G io Gió gọi mùa hè Xanh um đồng cổ Gọi vải chín đồ Gọi mít thơm lừng = Z
Gió gọi cơn mưa
Vội vàng mưa tới
Tươi xanh cây cối Tắm mát đồng quê Gió là ngọn sóng Xô bãi cát vàng Dé bao thuyền lá Bồng bềnh lang thang TON NU NGOC ANH (K 18, P Hung Binh, TP Vinh, Nghé An)
Ve chơi khúc nhạc dạo đầu
Nắng vàng gay gắt giọt sầu nào rơi
Phượng hồng hé nụ chơi vơi
Gốc bàng thấy nhớ trò chơi trốn tìm
Trống trường sao cứ lặng im
Hàng cây ngơ ngác tiếng chim ngân dài
Khi rơi nước mắt chia tay Giỏ xe mỗi đứa tràn đầy ước mơ
Phượng buồn, lưu bút ngẩn ngơ:
Chúng mình đã hết tuổi thơ êm đềm ?
ĐINH THỊ TÀI NGUYÊN
(Xóm 9, xã Phú Phong, Hương Khô, Hà Tĩnh)
TÀI TRỢ CHÍNH
30 TRIỆU ĐỒNG GIẢI THƯỞNG
CUOC THI VUI HÈ ĐẦU THIÊN NIÊN Ki - 2003 = SINCE 1959 Bố cho về thăm quê: : 'Gập ghềnh con đường nhỏ
Qua bao lũy tre làng
Nhìn cánh diều căng gió
Nhà nội em đây rồi
Cây hồng xiêm trước cửa Khi còn sống bà trồng Bố kể trong nỗi nhớ Bằng mỗi khi chăm cây Bà em luôn nhắc bảo : Bà trồng để sau này
Mỗi khi cháu về quê
Được ra cây hái quả Giờ quả trong tay cháu
Mà bà đã đi xa !
HA THUY TRANG
(Lóp 6A2, THS Trần Đăng Ninh,
Trang 36.e@ Fap cht BO GIAO DUC VA BAO TAO NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC € sẽ ĐẬU THIEN NIEN Ki - 2003 0UỘG THỊ WUI HÈ ©
@ DUONG DAY NONG VE SACH GIÁO KHOA TOÁN 7 MỚI