BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
BO SACH GIAO KHOA
Trang 3TRUNG HOC CO SG Dirichlet Peter Gustav hay Lejeune - Dirichlet P.G (Bi-rich-lé) (13-02-1805 - 05-05-1859) là
nhà tốn học người Đức Ơng thiết lập Nguyên li ơ chuơng chìm bê câu đã được sử dụng một cách
rộng rãi trong tốn học đẻ chứng minh nhiều định
lí Chẳng han dinh li Gelfond - Schneider được
chứng minh năm 1934 Đĩ là lời giải của bài tốn
thir bay trong sé 23 bai todn cia Hilbert (Hai
mươi ba bài tốn cho thế kỉ XX) Nguyên lí ơ chuơng chìm bơ câu cũng là một trong những nguyên lí được dùng nhiều dé chứng minh sự tồn
tại của các cầu hình trong lí thuyết tổ hợp
1 Nguyên lí Dirichlet
Giả sử cĩ một đàn chim bồ câu bay vào chuồng Nếu số chỉm nhiều hơn số ơ chuồng thì ít nhất
trong một ơ chuồng, cĩ nhiều hơn một con chim
Nguyên lí này được Dirichfe thiết lập, sử dụng và đặt tên là “Nguyên lí ơ chuơng chim bơ câu”
Nguyên lí này dĩ nhiên cĩ thể áp dụng cho các đối
tượng khơng phải là chim bồ câu và ơ chuồng
chim
Định lí 1 (Nguyên lí Dirichlet) Nếu cĩ nhiều hơn k đơ vật được đặt vào trong k hộp, thì cĩ ít nhất
một hộp chứa nhiêu hơn một do vat
Chứng minh Giả sử khơng cĩ hộp nào trong k
hộp chứa nhiều hơn một đồ vật Khi đĩ tổng sĩ đồ
vật được chứa trong các hộp nhiều nhát là ⁄ Điều
này trái với giả thiết là cĩ nhiều hơn & đồ vật Vay
cĩ ít nhất một hộp chứa nhiều hơn một đồ vật
“Nguyên lí Dirichlef` cịn được gọi là '*°Nguyên lí ngăn kéo hay “Nguyên lí hộp”
Thí du 1 Khối 6 eủa một trường cĩ 400 học sinh
thì cĩ ít nhất 2 học sinh trùng ngày sinh vì một
năm cĩ nhiều nhất 366 ngày
Thí dụ 2 Mội lớp cĩ 30 học sinh thì cĩ ít nhất 2
học sinh cĩ tên bắt dau bằng cùng một chữ cái, vì
chỉ cĩ 29 chữ cái tiếng Việt
Thi du 3 Bai thi trong mot ki thi hoe sinh gioi được chấm theo thang điểm là các số nguyên từ 0
đến 100 Hỏi phải cĩ bao nhiêu học sinh dự thí dé
chắc chăn cĩ 2 học sinh cùng điềm thí?
Lời giải Thang điểm cĩ 101 bậc Theo nguyên lí Dirichlet, kì thi phải cĩ ít nhất 102 hoc sinh dy thi dé chắc chắn cĩ 2 học sinh cùng điểm thi
Nguyên li Dirichlet chi ra rang cé it nhat hai vật
trong cùng một hộp nếu số vật nhiều hơn số hộp
Tuy nhiên, ta cĩ thê rút ra kết luận mạnh hơn nếu số vật hơn số hộp rất nhiều Chang han, trong bat
kì một nhĩm gồm 21 chữ số của hệ thập phân đều
cĩ ít nhất 3 chữ số trùng nhau Điều đĩ là đúng bởi vì nếu chứa 21 vật vào 10 hộp thì ít nhất cĩ một hộp chứa nhiều hơn 2 vật
Định lí 2 (Nguyên lí Dirichlet tong quát) Nếu cĩ N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì tơn tại một hộp chứa ít nhất x) vật và tơn tai một hộp
2 melNie
chứa nhiều nhất vở vật
Chú thích Kí hiệu [a| được dùng để chi phan
nguyên trân của số thực a, là số nguyên nhỏ nhất khơng bé hon a Ví dụ [0,25]=1.Kí hiệu |a |
((a]) được dùng để chỉ phẩn nguyên sàn (phần nguyên) của số thực z, là số nguyên lớn nhất khơng lớn hơn a Ví dụ | 0,25 |=[0,25]=0
Ching minh, Gia sử khơng cĩ hộp nao trong k
hộp chứa ít nhất [=] vật Khi đĩ tơng số vật
Trang 4(L)sfsblex ae
với giả thiết là cĩ „ vật Vậy tồn tại một hộp chứa
ít nhất đ vật Giả sử khơng cĩ hộp nào trong k
hộp chứa nhiều nhất || vật Khi đĩ tơng số vật
được chứa trong các hộp ít nhất là
N
= s
(|| + ) > H(* - ) + i =N Diéu này trái
với giả thiết la cé N vat Vay tan tại một hộp chứa nhiều nhất Đ vật
Thí dụ 4 A⁄@¿ lớp học cĩ 40 học sinh thì cĩ ít seni
nhat pi 4 học sinh cùng tháng sinh và tơn tại một tháng cĩ khơng quá l5 |= học sinh tơ
Chức sinh nhật
Thi du 5 Trén dau mơi Hgười cĩ khơng quá
100000 soi t6c Theo két quả đánh giá sơ bộ tính
đến 01-04-2019, Việt Nam cĩ hơn 96,2 triệu dân
96200000 100000
cĩ sỐ sợi tĩc trên đâu bằng nhau
Trong số đĩ cĩ ít nhất |- 962 người
Thí dụ 6 Cĩ 4 loại giải thưởng Hỏi phải cĩ ít
nhất bao nhiêu học sinh đề chắc chắn cĩ ít nhất 5 học sinh cùng nhận một loại giải thưởng?
Lời giải Đề chắc chắn cĩ ít nhất 5 học sinh cùng nhận một giải thưởng thì số học sinh W thỏa mãn
Ea 25 Suy ra N24.4+1=17 Vay phai cé it 4
nhat 17 hoc sinh
Thí dụ 7 Số lượng đâu số (mã mạng) ít nhất là bao nhiêu dé dam bao 95 triệu thuê bao di động
cĩ sĩ điện thoại khác nhau, mỗi số gồm 10 chữ số cĩ dạng 0xx-xxxxxxx, trong đĩ ba chữ số đâu
tiên là đầu số?
Loi giải Cĩ 10 triệu số điện thoại khác nhau cĩ
dạng xxxxxxx mà cĩ 95 triệu thuê bao nên theo
2 TỐN đict Số 510 (12-2019)
nguyên lí Dirichlet ít nhât cĩ | 10000000
thuê bao cĩ cùng một số Dé đảm bảo mỗi thụạ bao cĩ một số cần cĩ ít nhát 10 đầu sĩ
95000000 10000ann |=10
2 Một số bài tốn áp dụng nguyên lí Dirichlet
Trong nhiều áp dụng của nguyên lí Dirichlet các độ
vật và các hộp cần phải được chọn một cách khơn khéo Thường áp dụng nguyên lí Dirichlet phối hợp
với các phương pháp suy luận tốn học khác Sau đây chúng ta mơ tả một số áp dụng như vậy
Bài tốn 1 72g một tháng 30 ngày mội đội
bĩng chuyên chơi mỗi ngày í! nhất | trận, "nhưng chơi khơng quá 40 trận Chứng minh răng cĩ những ngày liên tiếp đội bĩng chơi tắt cả 19 trận,
Phân tích Ta chứng minh tồn tại i, 7 sao cho
4 =a,+19 trong đĩ a, là số trận đội chơi từ
ngày đầu tháng đến hết ngày 7 Ta chọn các đồ vật là các a,, a +19 với i=1,2, ,30; cdc hộp là các
giá trị cĩ thể cĩ của chúng
lời giải Gọi a, là số trận mà đội chơi từ ngày
đầu tháng đến hết ngày ¡ Khi đĩ a,,2,, ,z„ là một dãy các số nguyên phân biệt và tăng dần với l<a,<40 Ta 4 +19,a, +]19, nguyên cũng cĩ -›#o+19 là một đây các số phân biệt và tăng dần với 205 4,419 559" Doe do ene ee
ĐI›4;» „ đọ, đi + 19, a, +19, a; +19 chỉ nhận
39 giá trị là các số nguyên từ ] đến 59 Theo
nguyên lí Dirichlet, trong 60 số này cĩ ít nhất 2 số
băng nhau Vì mỗi dãy
đa +19,a, +19 +; +19 gồm các số phân biệt đ\;đ,, ,đạa va
nên tơn tại các chỉ số i,j sao cho a, =a, +19 Vay
cĩ các ngày liên tiếp từ ngày j + 1 đến hết ngày ¡
đội bĩng chơi tắt cả 19 trận
Bài tốn 2 7a viết đất cả các số tự nhiên từ | đến
2019 lên bảng rồi xĩa 1008 số bất kì trong chúng Chứng mình rằng trong các số cịn lại trên bảng tơn tại ít nhất 2 số mà tổng của chúng là một số
cịn lại trên bảng,
Trang 6các đ, với ¿=1,2, + l; các hộp là các giá trỊ cĩ thể cĩ của chúng 7 Lời giải Gọi n + 1 số nguyên dương đĩ là ae 21 44, vol
i=1,2, ,n+1, trong do k, là số tự nhiên, đ, là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2w Cĩ ø + 1 SỐ
4¡›4; 4„., mà chỉ cĩ ø số nguyên đương lẻ nhỏ hơn 2ø nên theo nguyên lí Dirichlet trong các sơ
đ)5đ2):1-5đ, vi tồn tại hai số q, Và q, bằng nhau, đị;4;, , RA Ta cĩ
tức là q =4, =g Khi đĩ a, = 2g va a, =2'"4
Nếu ⁄,>k, thì a,:z,.Nếu &, >k, thì a,!4, Vậy
trong ø + 1 số nguyên dương khơng vượt quá 2n ton tại một số chia hết cho một số khác
Bài tốn 5 (Đề thỉ tuyên sinh vào THPT chuyên KHTN, DHQG Hà Nội, 1989) Cĩ 6 /hành phố,
trong đĩ cứ 3 thành phố bất kì thì cĩ it nhất 2
thành phố liên lạc được với nhau Chứng mình rằng trong 6 thành phố nĩi trên tơn tại 3 thành
phố liên lạc được với nhau
Phân tích Ta chọn các hộp là hai mối quan hệ liên lạc được và khơng liên lạc được, các đồ vật là các mối quan hệ của một thành phố với các thành phố khác
Lời giải Gọi 4 là một trong 6 thành phĩ ⁄4 quan
hệ với 5 thành phơ khác trong 2 mối quan hệ là liên lạc được và khơng liên lạc được nên theo
nguyên lí Dirichlet cĩ 3 thành phố liên lạc được
với 44 hoặc cĩ 3 thành phơ khơng liên lạc được với
A, vi l] =3 Xét trường hợp cĩ 3 thành phố g, C, D liên lạc được với 4 Theo giả thiết, trong 3
thành phơ Ư, Œ, D cĩ 2 thành phố liên lạc được với nhau do đĩ 2 thành phố này cùng với 4 là 3
thành phố liên lạc được với nhau Xét trường hợp
cĩ 3 thanh pho B, C, D khơng liên lạc được với „4,
Theo giả thiệt, trong bộ ba thành pho (4, B, ©) thi
B va C lién lac duge voi nhau (vi B va ( khơng liên lạc được với 4) Tương tự, trong các bộ ba
thành phơ (4, B, D) va (4, C, D) thì 8 và D liên
lạc được với nhau, C va D liên lạc được với nhau
Do đĩ 8, C, D là ba thành phơ liên lạc được voi
nhau Vậy trong 6 thành phố đã chọ tỒn tại 5
thành phơ liên lạc được với nhau :
TOAN
4 ctusitge $5 s1002-20
la a Nila ie i ia
6 (pé thi tuyén sinh vao THPT chuyên
Hà Nội, 2000)- Trên mặt phẳng cho 6 điệu
ee eae cĩ ba diém nao thang hang ii sao cho nã giữa các cặP điêm là các số ite
ati , Ta nồi ï fbi cặp điêm bởi một đoạn trong các đoạn thăng thụ đời thản là cạnh nhỏ nhất của mội đi
Bài tố
nhat ‘
Chimg minh rang
ie eye trong 6 diém da cho, dong taj
ee lớn nhất của một tam giác khác cũng cá3
định là 3 trong 6 diém da chĩ:
Phân tích Ta tơ các đoạn thăng thu được bằng 2
màu, trong đĩ một màu to các canb Ign ue (hoặc
các cạnh nhỏ nhất) của mỗi tam giác, màu kia tg các cạnh cịn lại Sau đĩ áp dụng nguyên lí
Dirichlet chứng minh tơn tại một tam giác cĩ bạ cạnh cùng màu Khi đĩ, cạnh nhỏ nhật (hoặc lớn
nhất) của tam giác đĩ đồng thời là cạnh lớn nhật
(hoặc nhỏ nhất) của một tam giác khác
Lời giải Goi 6 diém da cho 14 A, B, C, D, E, F.Ta
tơ màu các đoạn thắng nối các cặp điểm trong
chúng như sau: Trong mỗi tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 trong 6 điểm đã cho, tơ cạnh lớn nhất màu đỏ, các đoạn thắng cịn lại tơ màu xanh Ta chứng minh tồn tại một tam giác cĩ ba cạnh cùng màu Theo
nguyen li Dirichlet, cĩ 5 đoạn thang AB, AC, AD, 4E, AF được tơ bởi 2 màu xanh, đỏ nên trong
chúng cĩ 3 đoạn thăng cùng màu Khơng mất tơng
quất, giả sử đĩ là 4B, 4C, 4D Khi đĩ, nếu một
Gong 3 doan thang BC, CD, DB, chang han BC,
l6 mầu với các đoạn thằng 4, 4C, A7 thì tam
Tớ oe Cánh cùng màu, Nếu cả 3 đoợ »
CD, khác màu với các đoạn thẳng
Bài tố ee g
KHTN aes a ‘uyén sinh yao THPT chuyé
ban kính gà Hà Nội, 1999) Cho hinh tron ©
Trang 7Chứng mình rằng trong các điêm đã cho luơn tơn
tại 2 điêm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1
Phân tích Trường hợp một điểm trùng với tâm,
các điểm cịn lại cĩ một điểm nằm bên trong đường trịn hoặc cùng nằm trên đường trịn thì tồn tại 2 điêm cĩ khoảng cách nhỏ hơn 1 Trường hợp khơng cĩ điêm nào trùng với tâm, ta chia hình trịn thành 7 hình quạt bằng nhau Áp dụng
nguyên lí Dirichlet với các đồ vật là 8 điểm và các
hộp là các hình quạt
Lời giải Trường hợp 1: § điểm đã cho cĩ điểm 4, trùng với tâm Ĩ của đường trịn (C) Nếu 7
điểm cịn lại cĩ điểm 4, nằm bên trong đường
tron (C) thi 4.4, <R=1.Néu ca 7 diém cịn lại
nằm trên đường trịn thì chúng chia đường trịn
thành 7 cung Do đĩ cĩ một cung trong các cung
360°
đĩ cĩ số đo nhỏ hơn =60° Khoảng cách giữa 2 điểm là đầu mút của cung đĩ nhỏ hơn R = 1
Trường hợp 2: Cả 8 điểm đã cho đều khác O Ta
chia hình trịn thành 7 hình quạt bằng nhau cĩ gĩc ø < 60” (hình vẽ) Theo nguyên lí trong hai gĩc O4,A, va OA,A, lớn hơn 60” (cĩ = tas: 200 ở tâm băng
Dirichlet, trong 8 điểm đã cho phải cĩ 2 điểm thuộc
cùng một trong 7 hình quạt
thu được (cĩ thể nằm trên biên của hình quạt) Giả sử
4,, 4, thuộc một hình quạt
Khi đĩ 44, <60“ nên một
thể bằng 180”), chang han O4,A, >60” Ta cĩ
4O4,<Ø4/4,- nên - 44,<O4,<R=l.Vậy trong các điểm đã cho luơn tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn l
Bài tốn 8 (TH&TT, số 480) Trên bảng ta viết các số từ 1 đến 2011 Hỏi xĩa nhiều nhất bao
nhiêu số để trên bảng chắc chan tơn tại 7 số trong
đĩ cĩ một số là tổng của các số cịn lại?
Phân tích Gọi số các số xĩa là x và các số cịn
lại là a <4, < <4;p;„.Với 5 =4 + +đ,, ta
chọn các đồ vật là hai dãy số nguyên Og SASS Aggy ifs Ayyy pg — SSS Ayguz_ 5; CAC hộp là các giá trị cĩ thể cĩ của chúng là các số nguyên từ 1 đến 2017 Ta tìm x sao cho số đồ vật nhiều hơn số hộp đề cĩ ø, = đ, —S Lời giải (Xem Tốn học và Tuơi trẻ, Số 483) BÀI TẬP
1 (Đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Sư phạm
Hà Nội, 1992) Cho 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: 1,
3, 5, , 199 Tìm số tự nhiên & bé nhất sao cho
với & số tùy ý trong 100 số đã cho, bao giờ cũng
chọn được hai số mà một trong hai số đĩ là bội
của số kia
2 Cho 6 số vơ tỉ Chứng minh rằng cĩ thê chọn ra
được 3 số trong 6 số đã cho đề tơng từng đơi một đều là số vơ tỉ
3 Chimg minh rang trong 502 số tự nhiên bất ki
luơn tìm được 2 số cĩ tổng hoặc hiệu chia hết cho 1000
4 Chứng minh rằng trong 501 số tự nhiên bất kì
khác nhau, mỗi số gồm ba chữ số, luơn tìm được 2
số cĩ tơng bằng 1000
5 Cĩ 20 học sinh của hai lớp xếp thành hai hàng dọc, mỗi hàng đứng cách đều Chứng minh rằng cĩ ít nhất một học sinh đứng cách 2 bạn cùng lớp
với mình một khoảng cách như nhau
6 Cho 5 điểm ở bên trong một tam giác đều cạnh
2 Chimg minh rằng trong 5 điểm đĩ tồn tại 2
điểm cĩ khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 7 Ta viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 2019 lên bảng Hỏi xĩa ngẫu nhiên nhiều nhất bao nhiêu số để trên bảng chắc chắn tồn tại 12 số và tơng của
chúng
Trang 9
Huong dan giai ĐỀ THỊ VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN
TỤY, TÍNH NINH BÌNH, năm học 2019 - 2020
Trang 10©+z `~-(y#l)x+y°—y-3=0 ©):
Tacé: A=(y+1)? —4(y?— y-3) =-3y? + 6y +13
PT €9) cĩ nghiệm œ A >0 -3y? +6y+13>0 3-43 elt 43
8 3
VÌ y nguyên dương nên J€{1,2,3)
- Với y=1 thay vao (*) ta duge: x=3 (nhận)
x=l (nhận)
- Với y=2 thay vao (*) ta được: x”—3x—1=0,
PT này cĩ A=13 khơng là số chính phương nên
khơng cĩ nghiệm nguyên
- Với y=3 thay vào (*) ta được: x=3 (nhận) x=1 (nhan)’
Vậy cĩ 3 cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: (3:1)5(1;3);(3;3) S #232085] #443029] 2) Nhận xét: Với n số thực dương Xi;X;, ,X„ {a 1 1 n luơn cĩ: ee =`- Tp Coretta ao Đăng thức Xảy ra khi xị =x, = =x 6 Ap dụng nhận xét ta cĩ: Zz =—' ‹ m7” 2) Đẳng thức xảy ra khi x = y Tương tự ta cĩ: Sàn Ve cee Le Zeek i 70x Cộng theo từng về ba bát đẳng thức trên ta được: TỔ Ee) 1 1 1 —+—+-|> + +—— 1923] (c5 yt+2z z+2x Sea Do Bo ay eZ x+2y y+2z z+2x
2 Z Đẳng thức xảy ra khi y=z,
Đăng thức xảy ra khi z = x,
Đẳng thức xảy ra khi x =y=z
Cau 4 1) Ké đường kính 4Ĩ của (Ĩ) Ta cĩ ABQ = ACƠ =90° (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ra: 4B | BO, CO 1 AC
8 TC Số 510 (12-2019)
Ta cĩ: BH L AC, CQ L AC > BH//CO
Tuong tu: CH //BQ Suy ra BHCO là hình bình
hành Mà 7 là trung điểm của #C nên 7 đồng thời là trung điểm của HO Xét A4QH' cĩ Oï là
đường trung bình Do đĩ 4#ƒ =2ĨJ/
2) Cách 1 Lây K đối xứng với O qua J Suy ra
OK =2OI= AH.Lại cĩ OK//AH (cùng | BC)
nén suy ra AHKO 1a hinh bình hành Do đĩ
KH =OA= Rkhơng đổi Do O, I cơ định nên K
cố định Do đĩ Z7 di chuyền trên đường trịn tâm K bán kính R
Giới hạn: Kẻ các đường kính 8°, CC' của (Ĩ;®)
Dé tam giác 48C nhọn thì 4 thuộc cung nhỏ _#''
(trừ C9,
Khi 4=Œ' thì A4BC vuong tai B, H=B
Khi A= B' thi A4BC vuong tai C, H=C
Vay H di chuyén trén cung BC cua duong trịn
(K; R) thuộc nửa mặt phẳng bờ 8C chứa điểm 4 (trừ hai đầu mút B, C),
Cách 2 Gọi giao điểm của tia 4# với BC và
cung nhỏ 8C lần lượt là D và E Vì /i là trực tâm
AABC nén AD | BC
Ta cĩ: BEA=BCA (hai g6c noi tiếp cùng chắn
AB cia (0) Ma BCA = BHE (cing ba MHD) nén BEA = BHE = AHBE can tai B = đường cao BD dong thoi la đường trung trực của HE >
Trang 13| |
Rất nhiều bài tốn bắt đẳng thức (BDT) dạng tổng các phân thức cĩ cầu trúc cong kềnh phức tạp, khi
giải nếu ta khơng dựa vào biểu thức phụ thì lời giải hoặc quá dài, hoặc khơng thể thực hiện được
“Chứng minh bat đăng thức dựa vào biểu thức phụ”
là cách giải khơng mới, giống như khi chúng ta
chứng bài tốn hình học phải kẻ thêm hình phụ mà
thơi, nhưng chọn biểu thức phụ hợp lý dé tham gia
vào quá trình giải tốn sẽ cho ra một lời giải ấn
tượng, tự nhiên, tường mỉnh, ngắn gọn
Giả sử cần đánh giá biểu thức P dựa vào biểu thức phụ Ĩ Trước hết ta phải xây dựng biểu thức phụ @
cĩ câu trúc như sau: Các mẫu thức ở từng phân thức của biểu thức phụ Ø cũng là các mẫu thức đã cĩ trong P, chọn các tử thức cho từng phân thức tương ứng của Q dé P + @ sau khi rút gọn sẽ là một đa
thức, hoặc là một biều thức thu gọn dễ đánh giá Các
bước đánh giá biểu thức P như sau:
Bước I: Xây dựng biểu thức phụ Ĩ
Bước 2: Đánh giá biểu thức P + Ĩ
Bước 3: Đánh giá biêu thức phụ Q
Từ bước 2 và bước 3 rút ra kết luận
Cĩ những bài tốn khi giải ta phải sử dụng tới hai hoặc ba biểu thức phụ Sau đây là một số thí dụ minh họa Thi du 1 Cho a, b, e là ba số thực đương Chứng minh rang a+b+c.-ab.-bce- ca au be a+b b+c cta 2
Phân tích Đặt về trái cua day bất đẳng thức là P, xây dựng biểu thức phụ @ là tong các phân thức, cĩ mẫu thức ở các phân thức lần lượt (a+b),(b+c),(c+a) tr thức tương img 1a ab, be, ca Khi do P + Q sau khi rút gọn là đa thức bậc nhất “a+b b+c c+a 2 oF b? Cc + + 1 a+b b+c c+a ab be ca 0= at
a+b ene cta
Dé thay: P+Q=a+b+c (1) Theo BBT Cauchy Lời giải Đặt P= tal66 0 ab be 9264 a+b b+c cta < (a+b): Cte) era)’ _atb+e Q) 4(a+b) 4(b+c) 4(c+a) 2 Từ (1) và (2) suy ra ee at+b+c_ ab be ca es
a+b b+c c+a 2 a+b b+c c+a
Dấu “=” của BĐT kép xảy ra © a=b=e Thí dụ 2 Cho a, b, e là ba số thực dương Chứng : a b c ae fbn ) BE2 2 — 2, Phân tích Tương tự như thí dụ 1, đặt về trái của bất đẳng thức là P, xây dựng biểu thức phụ @ là
tổng các phân thức, cĩ mẫu thức ở các phân thức
Trang 162 suy 1a: (địđ; + đạ4; + +.đ„4) <(z +42 + +đ, i Vay 0<: (si +47 + +a7} (14) 2 2(z +4; +„.+2/} 3 Dâu “=” của bài tốn xảy ra © ø = 4; = = đ„- Từ (13), (14) suy ra: P> a, >0,b >0;vi=1n Thí du 9 [APMO-1991] Cho} 2 , b, z i=l ( n a 4 Loi giải Đặt P= 'L— và biểu thức hụ là : > a, +b, P = g-> Dé thay i=] a b, a, +ab ~ Pt Q= eee eee = US} =l Từ an (4 ny, Vi=ln £ +b) a — ee +b, sị: on +b,) aoe +b, “lŠ” Sa): sài (16) i=l i Từ (15), (16) thu được: HH, Jala?
Dau “=” cha bài tốn xảy ra > 4; =b,,Vi= Ln
Thí dụ 10 [TH&TT, T3/237] Cho n sé thuc đương xị,x;, x„,(ncĐ,n>3) Chứng mình › x, i ms rang 1 pg nt Ny Xp, FX Xi Xà X,-2 +X, Xn} Oy ch V0} | (2 Ý%,)(xrz zi) (m +2; ) Lời giải Đặt về trái của BĐT là P, bai biểu thức phụ là +) +:) (x, +) +} Số 510 (12-2019) x T2 cà eo eee Ẩn 2 tTẤnp Xụ]i tê Ø a vp À2 x 1 22 n= 1 x *ị X +——— x 3 : “nan X20 +X, natty peas OF Q, =n Theo BĐT Cauchy ta cĩ; le J P+Q, 2M: (x, oy (x, es, + x) (x, + )(% Hoes ee) P+Q, 2nn (x fo Eo) ee +X) xy +2) (x 1) Ca 1 ` in cH (4%) re +): ).(%, +2) (Q, Q,) Bo 2È (x, +) (x li +x¿)(6 +>:) (x; +5) = X, Do do: 2 Wl eee Nf (= +34)( )( +%4) ( CÀ /EUNENEY (x, Sle ty (om
Vey Peto (x, + Xp )(% +5)! a oy) =
Dau “=” cua bài tốn xảy ra © xị = x¿ = =x„ Thi du 11 Cho n sé thuc AUONG Ay, Ay 5Ay, (n<Đ,n>3) Chứng mình rằng đ a a ett ty pty |G ae a, +a ata, a, +a,
` (a +a,)(a, +a,) (a,., +a,)(a, +4) Rn Not G( ng 2\ (a, +a; )(a, +a,) (a, +a, )(a, + ay)
Loi giải Đặt về trái của BĐT là P, hai biểu thức phụ là a Or a6 Oy Gi 2 FQ; a+ a, a, +a, 2g a ee fe a, i a n nh, a +a, a,+a ata eco BĐT Cauchy ta đĩ:
TƯ Vitale tay (4 n+, )(a; +44) _ x if
Trang 19
Chúng ta bắt đầu từ bài tốn cơ bản sau:
Bài tốn 1 (Bài tốn cây tre trăm đốt) Đếm số
cách chia cây tre 100 đốt thành 10 đoạn
Chú ý rằng, trong suốt bài viết này nĩi đến “đoạn”? của cây tre ta đều hiểu là đoạn nguyên đốt Tức là
việc chia cây tre thành các đoạn được thực hiện
bởi các lát cắt vào mặt của cây tre
Để giải bài tốn này cần đến phần kiến thức cơ
bản của tập hợp được trình bày sau đây:
Xét tập hợp 4 cĩ ø phần tử Dễ thay 4 cĩ đúng ø tập con 1 phần tử Vì phần cịn lại của mỗi tập là
một tập con của 44 cĩ z — I phần tử nên số tập con 1 phần tử của 4 đúng bằng số tap con n — 1 phần tử Đặt số tap con k phan tử của tập hợp ø phần tử là Gi291103icộ:)G,— Cy =7 Tương tự, với mỗi l<&<z#~—], ta cĩ: Cpacits
Quy ước số tập con 0 phần tử của 4 là 1, tức là CP =1 (với mọi n), thi cơng thức trên được mở
rộng cho cả trường hợp k = ø và k = 0
Cĩ nhiều cách đếm số tập con k phần tử của tập
hợp wĩ phần tử Ta ghi nhận kết quả bằng cơng
I 26 °
(Tử thức là tích của k số tự nhiên liên tiếp giảm
dần bắt đầu từ ø Mẫu thức là tích của & số tự
nhiên liên tiếp tăng dẫn, bắt đầu từ 1)
thức sau: CÝ =
BÀI TỐN a3
CAY TRE TRAM DOT
NGUYEN VAN NGQC “(GV Trường Đại học Mỏ địa thất, Hà Nội)
Trở lại bài tốn cây tre trăm đĩt Nếu chi chia cây tre thành 2 đoạn thì ta chỉ cần chọn 1 mắt trong số 99 nguyên mắt của cây tre (ở đây ta hiểu 2 mắt đầu và cuối của cây tre là khơng nguyên mắt, các mắt cịn lại là nguyên mắt) Đặt lát cắt vào mắt tre
đã chọn ta được một cách chia cây tre thành 2
đoạn Dĩ nhiên số cách chọn 1 trong số 99 mắt tre
chính là C¿¿ =99 hay cĩ 99 cách chia cây tre 100
đốt thành 2 đoạn
Tương tự số cách chia cây tre 100 đốt thành 10
đoạn là Cáo Đây là số khá lớn và cĩ thể tính được
bằng chức năng tính tổ hợp chập k cua ø trên các máy tính cầm tay Tổng quát: Số cách chia cây tre n đốt thành k đoạn là Cet Bài tốn 2 Lập cơng thức tính tổng T= C+ Cn ++ Coane Oy
Dé gidi bai todn 2 ta bat du bang bai toan cay tre
trăm đốt trong trường hợp tơng quát bằng cách:
Thực hiện việc đếm số cách chia cây tre z+2 đốt (n 3 2) thành 4 đoạn như sau:
- Đặt 4¡ là tập các cách chia, trong đĩ đoạn thứ
nhất cĩ đúng 1 đốt Phần cịn lại của cây tre gồm
n + 1 đốt cần phải chia thành 3 đoạn Số cách chia
là Cĩ Ta cĩ: |Á|= CỆ
- Tiép theo, đặt 4; là tập các cách chia, trong đĩ
đoạn thứ nhất cĩ đúng 2 đốt Phần cịn lại của cây tre gồm ø đốt cần phải chia thành 3 đoạn số cách chia la C2_ Ta cĩ: |4;|= Cỷ ¡
Trang 22NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM
VIETNAM EDUCATION PUBLISHING HOUSE
ay
aN
THONG CAO BAO CHI
về sách giáo khoa lớp 1 theo Chuong trinh Gi
của Nhà Xuất bản Giáo duc V
1 Ngày 22 tháng 11 năm 2019, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Quyết định số 4507/QĐ- BGDĐT phê duyệt Danh mục sách giáo khoa
(SGK) lớp 1 sử dụng trong các cơ sở giáo dục
phổ thơng Trong số 32 tên SGK lớp 1 được Bộ Giáo dục và Đào tạo phê duyệt lần này cĩ 24 tên
sách thuộc 4 bộ SGK của Nhà Xuất bản Giáo dục Việt Nam (NXBGDVN), gồm: Kết nối trí thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cùng học để phát
triển năng lực; Vì sự bình đẳng và dân chủ trong giáo dục
Đây là kết quả quá trình lao động miệt mài của đội ngũ tác giả, biên tập viên, họa sĩ, cũng như sự chuẩn bị nghiêm túc, kĩ lưỡng các nguồn
lực! của NXBGDVN trong suốt 5 năm qua nhằm
thực hiện chủ trương đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thơng
Mỗi bộ sách mang một thơng điệp, bản sắc
riêng và cụ thể hố mục tiêu giáo dục tồn diện,
chuyển từ truyền thụ kiến thức sang hình
thành, phát triển phẩm chất và năng lực của người học; kết nối kiến thức với cuộc sống, dẫn
dắt học sinh khám phá cái mới, tổ chức dạy học
theo cách sáng tạo để gợi hứng thú cho người áo dục phố thơng mới jét Nam in ` ~ học; phù hợp với học sinh trên oc; mọi vũng miễn trong cả nước: : II
Các bộ SGK mới của NXBGDVN được thiết kế
với khổ sách 19x26,5 cm lớn hơn khố SGK hiện
hành và sử dụng giấy in chat lượng tốt; được
đầu tư cơng phu về hình thức trình bày; phối
hợp lơgic, đạt tính thẩm mĩ cao giữa kênh chữ
và kênh hình; được đánh giá là tương đương
với SGK của các nước phát triển trong khu vực
và trên thế giới
Ở một số mơn học như Tốn, Tiếng Việt, Đạo
đức, Tự nhiên và Xã hội, SGK của NXBGDVN
xây dựng các tuyến nhân vật xuyên suốt từ lớp 1 lên các lớp trên, giúp học sinh cảm thấy trang
sách sống động, gần gũi, tạo cho các em niềm hứng thú trong học tập
Ngồi sách in, NXBGDVN cũng tổ chức triển
khai sách điện tử, hệ thống học liệu và thiết bị
CN vụ dạy học theo SGK lớp 1 mới; đồng thời
ier phối hợp với các tỉnh, thành phố tổ chức i SH eat eh
ie Soạn Tài liệu giáo dục địa phương theo
Trang 23sử dụng SGK mới dưới hình thức hội thảo chuyên đề và đào tạo trực tuyến Đến nay,
NXBGDVN đã xây dựng kế hoạch và triển khai những hạng mục cần thiết để tập huấn giáo viên khai thác, sử dụng SGK mới bao gồm:
- Biên soạn tài liệu tập huấn giáo viên sử dụng
SGK lớp 1 theo mơ hình phát triển năng lực và phẩm chất Tổ chức sản xuất các video clip ghi
hình các tiết dạy học minh họa theo SGK mới
Những video clip này sẽ được cung cấp đến thây, cơ giáo tham gia tập huấn
- Chuẩn bị đội ngũ giảng viên, báo cáo viên cĩ trình độ, kinh nghiệm, am tường về đổi mới chương trình và SGK mới để triển khai kế
hoạch tập huấn cho giáo viên khai thác, sử dụng
SGK phù hợp với điều kiện của mỗi địa phương
- Đưa vào khai thác cổng thơng tin (portal), cơ
sở dữ liệu hỗ trợ giáo viên những học liệu điện
tử cần thiết trong quá trình dạy học các mơn học và hoạt động giáo dục
Thơng qua tập huấn, NXBGDVN sẽ giúp giáo viên tiếp cận đầy đủ SGK mới của NXBGDVN để
cĩ thêm thơng tin nhằm lựa chọn bộ SGK phù
hợp sử dụng tại địa phương mình
3 Với chất lượng của các bộ SGK của NXBGDVN cùng sự chuẩn bị kĩ càng, chu đáo cho việc tập
huấn, NXBGDVN tin tưởng sẽ hỗ trợ giáo viên
khai thác và sử dụng SGK mới hiệu quả nhất
Bằng kinh nghiệm trong nhiều thập niên tổ chức xuất bản, in và phát hành SGK, NXBGDVN
đã chuẩn bi day du vat tw va máy mĩc thiết bị
để đảm bảo cung ứng đầy đủ, kịp thời, đồng bộ SGK, thiết bị giáo dục đến tất cả các vùng miền
trong cả nước trước ngày khai giảng năm học
2020 - 2021, năm học đầu tiên triển khai áp
dụng SGK mới
Với quan điểm phục vụ ngành giáo dục là ưu tiên hàng đầu, NXBGDVN sẽ tiếp tục thực hiện các chương trình tặng sách cho học sinh cĩ
hồn cảnh đặc biệt, con em các gia đình chính
sách, vùng sâu vùng xa; tặng sách các thư viện trường học tại những địa bàn khĩ khăn
NXBGDVN sẽ lắng nghe và nghiêm túc tiếp thu
những ý kiến đĩng gĩp của các nhà khoa học, nhà sư phạm, giáo viên, phụ huynh và dư luận xã hội để tiếp tục hồn thiện, nâng cao hơn nữa
chất lượng các bộ SGK, đồng hành, hỗ trợ giáo
viên trong suốt quá trình tổ chức dạy học
SESE SE ASIA AIA AIR A IAI IA AAA AIA A TAA RA HATER BB AAA A AAA AA AA AAA A ABA HAH AAA AA RA RBA RK
BAI TOAN CAY TRE (Tiép theo trang 19) Đặt f, 1a số kí tự của dịng ø Dễ thấy fr = a„ với n từ 1 đến 5 như đã liệt kê trong đê bài tốn 7 va a,
là dãy số trong bài tốn 6
Với w> 5, a„= ƒ„ cịn đúng khơng?
Lời giải bài tốn 6 nhắc ta cần xem xét 3 dịng liên tiếp: dịng z — 2, dịng 7 ~ l và dong 7 Giả sử dịng ø — 2 cĩ: x kí tự a và y kí tự 4 : Chuyén qua dịng ø — 1, ta thay: x ki ty a bién thanh x kí tự 4 y kí tự 4 biến thành y kí tự 4 và y kí tự đ Vay dong n ~ 1 cĩ: ykí tự a và x + y kí tự 4 Chuyển qua dịng n, ta thay: y kí tự a biến thành y kí tự 4 x+ykí tự A biến thành x + y kí tự 4 vàx +y kí tự a Vậy dịng ø cĩ: x + y kí tự a và x + 2y kí tự 4 Tức là ƒ,s=x+y, f„i=x+2y, ƒ„=2x†+3ÿ Rõ ràng ƒ„ = /;1 †ƒ-2 Tada Jm 2 Vậy đáp số của bài tốn 7 là 4 / =1 ⁄›=2
Đáp số này trùng với đáp số bài tốn 6
Tổng cộng ta đã trải qua 7 bài tốn và tất cả đều là
bài tốn đếm Ngày nay bài tốn đếm cĩ vai trị
cực kỳ quan trọng Trở về bài tốn 7, hình dung
mỗi lần sinh một cách chia kẹo của P¿ mắt 1 đơn
vị thời gian thì việc sinh tồn bộ các cách chia kẹo
của P¿¡ với hộp kẹo nø viên mat J, don vi thoi gian
Thời gian đĩ đo độ phức tạp của bài tốn, một lĩnh vực tốn học quan trọng đối với mọi ứng dụng
Trang 24CÁC LỚP THCS Bài T1/510 (Lớp 6) Tìm các số tự nhiên x, y, z sao cho 3” +5 —27 = (2z +3 CAO NGỌC TOAN
(GW THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Hué)
Bài T2/510 (Lớp 7) Cho tam giác 4BC vuơng tại A, 3= 75° Trên tia đối của tia 4 lấy điểm H sao cho BH = 24C Tính số do BHC NGUYÊN HÙNG CƯỜNG (85 Biên Cương, Ngơ Mây, TP Quy Nhơn, Bình Định) Bài T3/510 Cho : *%(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+2xyz=0 Chứng minh rằng 2019 2019 2019 7 4 79? 42 =(x+y+z) poe LE MINH HOA (GV THCS Khả Cửu, Thanh Sơn, Phú Tho)
Bài T4/510 Cho tam giác 4BC cĩ 4BC=301,
Bên ngồi tam giác 48C, dung tam gidc ACD
vuơng cân tại 2 Chứng minh răng
2BD? = BA’ + BC? + BABC
NGUYEN QUANG NAM
(GV THPT Quy Hop 2, Quy Hop, Nghé An)
Bài T5/510 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S-3x 5-3y 5¬3z T= io + Joe Te
HUYNH THANH TAM
(Cán bộ Bưu điện TX An Nhơn, Bình Định) CÁC LỚP THPT Bài T6/510 Tìm tham số z để phương trình 4 '+2=m.2"(l—x)x TOỐNHỌC 22 FCluơige Số siouzsoe cĩ nghiệm duy nhất THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THƠS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Ranh, Khánh Hịa)
Bài T7/510 Cho a, ð, c là các số thực khơng âm
thỏa mãn (2 + b)(b + ©)(e + 2) > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = rp Cc 4 abt barca pa fo oe a+b a+b+c HỒNG NGỌC MINH (GV THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Bài T8/510 Cho tam giác 48C cĩ C=45” Gọi
G là trọng tâm của tam giác ABC, AGB =a 2 , ah ha thite ——~—_ + 3cota=1 Chứng minh hệ thức cin Asin B HO QUANG VINH (Hà Nội) Bài T9/510 Cho a, ư, c là các số thực đương thỏa
mana? +? +c? =3 Chimg minh rang
1 1 1 a+b b+c c+a
> salve +0 4B? +0? +c? +a’)
TRAN TIEN MANH
(Khơi Quang Trung, Vinh Tan, TP Vinh, Nghệ An) TIỀN TỚI OLYMPIC TỐN
Bài T10/510 Với ba số thực a, b, c, ta ki hiệu
Tụ, b,c) = |a— b| + lỗ — e|+ lc ~ al Xét day (*)
gơm các sơ nguyên *›*;, ,*ị; sao cho tổn tại đa
thức #+) với các hệ số nguyên mà các giá trị
ƒ@&).fŒ,), ƒ(x;) đơi một phân biệt và
0s T/G)./G/)./0/))<3758: l<i</<k<|2
1,7 keĐ
Chứng minh rằng trong ` seat Ce (*) luén chứa một cấp số
cộng với ít nhất bốn số h ang nee
PHAM BAC PHU
Trang 25
Dài 9/41 [
Trang 26iii) 37?[ÐG)hO@)+h(x+ y)]=
=3 '(y+Dh(x)+3”(x+l)h(y)+3” h(xy),Vx,yeR LA ĐẠI CƯƠNG
(GV THPT Cam Lộ, Quảng Trị)
Bài T12/510 Cho tam giác 48C nhọn nội tiếp
trong đường trịn (Q) Các điểm E, Ƒ lần lượt nằm trên cạnh C4, 4B sao cho tứ giác BCEF nội tiếp Trung trực của đoạn thắng CE lần lượt cat BC, EF tai cac điểm N, R Trung trực của đoạn thắng 8F
lần lượt cắt 8C, EF tại các điểm M, Q K là điểm đối xứng với E qua RM L là điểm đối xứng với F
qua QN Gọi giao điểm của RK và Q8 là Š; giao
diém cua OL va RC là T
1) Chứng minh rằng bốn điểm Q, R, S, T cing
năm trên một đường trịn, ký hiệu đường trịn này là (0) 2) Chứng minh rằng hai đường trịn (u›) và (Q) tiếp xúc nhau TRAN QUANG HUNG (GV THPT chuyén KHTN, ĐHQG Hà Nội) Bài L1/510 Trong mơi trường đồng tính, khơng = /ã510 (For 6 ” grade) Problem TI ° numbers x, y, z satisfying 3° 45? —2? =(2z7 +3)
Problem ¥2/5!0 (For 7'" grade) Given a right triangle ABC with the right angle A and B= 75°
Let H be the point on the opposite ray of AB such
that BH = 2AC Find the angle BHC Problem 123/510 Given that
xy(x+y)+z(y+z)+zzΠ+x)+2392=0 Show that
x8 +?” 42 =(xtytz)
Problem 14/510 Given a triangle ABC with
ABC =30° Outside the triangle ABC, construct
the isosceles triangle ACD with the right angle D Show that
hap thu 4m co mét nguén âm đẳng hướng, đặt ở O Một máy thu âm đặt ở 4 thu được âm cĩ mức
cường độ âm là 50 dB Nếu dịch chuyển máy thu
ra xa nguồn âm thêm một khoảng đ thì mức
cường độ âm thu được là 30 dB Nếu tiếp tục dịch
chuyển máy thu ra xa thêm một khoảng nữa cũng là d theo phương truyền âm thì mức cường âm thu được là bao nhiêu?
VIỆT CƯƠNG (Hà Nội)
Bài L2/510 Cho đoạn mạch như hình vẽ Trong đĩ Rị =30 O, cuộn cảm thuần, Đặt vào hai đầu đoạn mạch 4 một điện áp xoay chiều cĩ giá trị
hiệu dung U = 150 V và tần số ƒ= 50 Hz thì cơng
suất tiêu thụ trong mạch bằng 500 W Nối hai đầu
cuộn cảm thuần bằng một dây dẫn cĩ điện trở
khơng đáng kể Khi đĩ điện áp hiệu dụng trên các đoạn 4M và MO bằng nhau và bằng 5043 _V Độ tự cam L của cuộn đây bằng bao nhiêu? Ro wc pn o_L x }>—l1——L—+†——-fT`—z., A B
THANH LÂM (Hà Nội)
LEMS IN THIS ISSUE 2BD° = BA’ + BC’ + BA.BC Problem T5/510 Find the minimum value of the expression T= 5-3x 5 5-3y s3 yi-y Vdịnz vi-x
FOR HIGH SCHOOL
Problem 16/510 Find all possible values for the parameter m so that the equation
4° 4+2=m.2"(1-x)x has a unique solution
Problem 17/510 Let a, b, c be non-negative numbers such that (a + b)(b + c)(c + a) > 0 Find the minimum value of the expression
p-| a =i——*\——+,——+— | b c 4jab+bc+ca
b+c Yc+a Ya+b a+b+c
(Xem tiếp trang 32)
TOAN HOC ‘ jusitre 23
Trang 27it) [ADA +h y=
oo ae (x+Dh(y) +3” h(xy), Vx, y ER
LA DAI CUONG _ (GV THPT Cam L6, Quang Tri)
Bài T12/510 Cho tam giác 48C nhọn nội tiếp trong đường tron (Q) Các điểm E, Ƒ lần lượt nằm
trên cạnh C4, 4B sao cho tứ giác BCEƑ nội tiếp
Trung trực của đoạn thang CE lần lượt cắt 8C, EF
tại các điểm N, Ẩ Trung trực của đoạn thing BF
lần lượt cắt BC, EF tại các điểm M, Q K là điểm đối xứng với E qua RM L la diém déi xung voi F qua ON Gọi giao điểm của RK và OB 1a S; giao điềm của OL va RC là 7 1) Chứng minh rằng bốn điểm O, R, Š, 7 cùng năm trên một đường trịn, ký hiệu đường trịn này la () 2) Chimg minh rang hai dudng tron (w) va (Q) tiép xúc nhau ‘ TRAN QUANG HUNG (GV THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội) Bài L1/510 ni mơi trường a tinh, khong
wad EROBLEMS INT
hấp thụ âm cĩ một nguồn âm đăng hướng, đặt ở Ĩ Một máy thu âm đặt ở 44 thu được âm cĩ mức
cường độ âm là 50 dB Néu dich chuyên máy thu
ra xa nguồn âm thêm một khoảng đ thì mức cường độ âm thu được là 30 dữ Nếu tiếp tục dịch
chuyên máy thu ra xa thêm một khoảng nữa cũng là
d theo phương truyền âm thì mức cường âm thu
được là bao nhiêu?
VIỆT CƯƠNG (Hà Nội)
Bài L2/ã10 Cho đoạn mạch như hình vẽ Trong
đĩ #¡ = 30 O, cuộn cam thuần Đặt vào hai đầu
đoạn mạch 4B một điện ap xoay chiéu cĩ giá trị hiệu dụng = 150 V và tan s6 f= 50 Hz thì ‹ cơng suất tiêu thụ trong mạch bằng 500 W Nối hai đầu cuộn cảm thuần bằng một đây dẫn cĩ điện trở khơng đáng kê Khi đĩ điện áp hiệu dụng trên các đoạn 41 và MO bang nhau va bang 5043 Vv Độ
tự cảm L của cuộn dây bằng bao nhiêu?
MC SE YER Ug Bie ae? 7y
THANH LÂM (Hè Nội)
ISSUE “ hic STG Gt BS
Ot Ox tale 2 SựC ( oa (Lp GT
2 2
_2BD? = BA? + BC’ + BABC, A Megaiid
Problem T5/510 Find ae mmhimam value
Trang 28Bai T1/506 Tim tat cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn 3x” + 6y” + 2zˆ + 3y°z”— 1§x = 6 Lời giải Ta biến đổi như sau 3x?+ 6yˆ+ 2z? + 3y°z”— 18x— 6 =3xz”—18x +27+ 6y°+2z? + 3y z?— 33 =3 3) + 6y? + 2z? + 3y?z?— 33 = 0 nên cĩ 3(x— 3)” + 6y + 2z? + 3y2z? = 33 (1) Tir (1) suy ra 22* phai chia hét cho 3, do dé z* phai
chia hết cho 3 Do 3 là số nguyên tơ thì z phải chia
hết cho 3 Từ (1) lại suy ra 2z2 < 33, hay là
2 < 17 Nhu vay chi cé thé xay ra 2 = 0 hoặc
z”= 9 Xét hai trường hợp sau
1) Nếu z” = 0 thay vào (1) được 3( ~ 3)? + 6y” =
33, hay là &— 3)” + 2yˆ= 11 (2)
Từ (2) cĩ 2y” < 11 suy ra yˆ < 6 nên yˆ chỉ cĩ thẻ
bằng 0, 1, 4
Với yŸ = 0 thay vào (2) được (x ~ 3)? = 11, khơng
cĩ sơ nguyên x nào thỏa mãn
Với yŸ =4 thay vào (2) được (x - 3)? = 3, khơng
cĩ số nguyên x nào thỏa mãn
Với yŸ = 1 thay vào (2) được (x — 3)” = 9, lúc đĩ
x = 0 va x = 6 déu thoa man
2) Néu z* = 9 thay vào (1) được 3 ~ 3Ÿ + 6y? +
27y = 15, hay là (x— 3) + ly? = 5 (3)
Từ (3) cĩ 1y” < 5, suy ra yŸ = 0, do đĩ G=3)-<
5, khơng cĩ số nguyên x nào thỏa mãn,
Vậy các số nguyên (x;y ; z) thỏa mãn đẳng thức ở
đề bài là (0 ; 1;0),(0;—1;0), (6; 1; 0)
(6;—1;0)
“Nhận xé Một số bạn lập luận dài vì khơng xéy
tính chia hết của các số nguyên, Một số bạn quên
tìm nghiệm số âm Các bạn sau cĩ lời giải đúng, Hà Nội: Hồng Xuân Tú, 6A, THCS Tệ Hồng, Q Đống Đa; Nguyễn Hà Anh, 6A0, Hà Minh Đức,
24 TOAN H * CTuditre Sé 51012-2019) "`
Đức Minh, 7A0, THCS Ngơi Sao
Xuân, Lý Hồng Việt, 6AII,
Nguyễn Trường Tộ; Nghệ An: Pđgm Ngọc
ee TCS Hồ Xuân Hương, TTr Câu Giát,
iG a Neuyén Van Hung, Vương Việ
pot ie Vo Ánh Dương, 7D THCS Lý Nhật Quy Đơ Lương; Quảng Neat Vo ag Thanh
Thao, 6B, THCS Pham Van Dong, Nghia Hành,
Sĩc Trăng: Nguyễn Anh Thư, 7A1, THCS Kế An,
Kế Sách
6A01, Vã Đăng
Hà Nội, Thanh
NGUYEN VIET HA]
Bai 12/506 Cho tam gidc ABC can tai 4 Goi H là điểm thuộc miễn trong của gĩc A sao cho
HD L BA, HC L CA Trên đoạn BC lây diém M
sao cho BM =—BC Gọi N là rung điểm AC,
Tính số đo gĩc HN Lời giải Gọi I 1a giao điểm của AH va BC, J
la giao diém cia MN
va AB Vé diém K sao
cho N 1a trung điểm
của JK Nối HN, HY,
XA, KB Xét AABH và AACH cĩ:
ABH = ACH = 90°,
canh AH chung, 4B = 4C~5 AABH = AACH
(canh huyén - Cạnh gĩc Vuơng) — HB = HC
BM =1
Trang 29~
Ta cĩ Bị = K¡, hai gĩc này ở vị trí so le trong nên
IN // AB Ta cĩ IK = AB mà IN = 51K nén
IN => AB, Xét ABMJ va AIMN cé JBM = NIM,
MB = MI, BMJ =IMN > ABMJ = AIMN (g.c.g) = MJ=MN,BJ=IN Ta co BJ = IN, IN => AB, NC => AC,AB = AC>BJ=NC
Xét AHJBva AHNC c6 HB = .HC,
HBJ = HCN =90°, BJ = NC => AHJB = AHNC
(c.g.c) > HJ=HN.Do dé AHJN can tai H cé
HM là trung tuyến, suy ra 7M là đường cao Vậy
HMN =90°
Nhận xét Bài tốn này dành cho các bạn Lớp 7
Đơng đảo các bạn tham gia giải bài nhưng đa số các bạn sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác
thuộc chương trình Lớp 8 đề giải Tuyên đương các bạn sau đây giải bằng phương pháp sử dụng định lí Pythagore Nguyên Hà Anh, 6A0, THCS Ngơi Sao
Hà Nội, Thanh Xuân, Lý Hồng Việt, 6A11, THCS Nguyễn Trường Tộ, Hà Nội
NGUYÊN HIỆP
Bài 13/506 7? các cặp sỐ nguyên (x, y) thoả
mãn điều kiện
y`-2(x—4)y? + 0? — 9x — Dy + 3x7 +x=0 (1)
Lời giải Do x, y là các số nguyên nên tồn tai te Z sao cho x = y + í Thay vào phương trình (1), ta cĩ y`~2@+tt~4)y + [yt 1-99 +) - ly +3 +f +yt+t=06 2 -13-—Ny+3F+1=0 (2) Coi (2) là phương trình bậc hai ân y (7 là tham số), ta tínhA=/?(3—?)”—8@? +?)=t(+1)?Œ—8) A=0<©/e(-I; 0; 8} Nếu / = 0 thì (2) cĩ nghiệm kép y = 0, suy ra x = 0 Nếu / = 8 thì (2) cĩ
nghiệm kép y = —10, suy ra x =~2 Nếu ¢=— 1 thi
(2) cĩ nghiệm kép y = -I, Suy ra x = -2 Nếu
1#0,t#-1,t#8 thi A #0 Dé (2) cé nghiém nguyên thì trước hết A phải là số chính phương
khác 0, nên Â(Â-8)=a? (aeN)
â (-4-a= 16 (/~4+a)(—4~a) = 16
Lại cĩ (— 4+ a) + (t— 4 — a) = 2(— 4) là số chẵn
nên /— 4 + a và /— 4— a là hai số nguyên cùng chan; t—- 4+ a>t—4-a (do aeEN’) Phan tich
16 thành tích hai số nguyên chẵn khác nhau là
16=8 2=(-2).(-8) Xay ra hai kha nang sau: (-4+a=8 2—8=10 t=9 1) © = : 152.2 a=/=6 a=3 xo x=-12 Từ đĩ tìm được và : Dien’ t-4+a=-2 2t-8=-10 t=—l 2) c- -© tin Bế ee (loai vi dang xột  Ơ 1) Vy c 5 cặp số nguyên Œ, y) là (0; 0), (2; —), (-2; -10), (3; -6), (12; -21) thoả mãn điêu kiện (1)
Nhận xét Đa số các bạn gửi bài đều chưa tìm hết
kết quả Nhiều bạn lập luận cịn dài dịng Tuyên dương các bạn sau cĩ lời giải tốt: Hà Nội: VZ Đặng Đức Minh, 71A0, Nguyên Tran Nam,
§A0,THCS Ngơi Sao Hà Nội, Thanh Xuân;
Thanh Hố: Lê Đức Chính, SB, THCS Nhữ Bá Sỹ, TTr Bút Sơn, Hoằng Hố
PHẠM THỊ BẠCH NGỌC
Bài 14/506 Cho fam giác nhọn ABC cĩ hai đường cao BE va CF Ke FH va EK cing vuơng gĩc với BC (H,K e< BC) Kẻ HM song song với AC va KN song
song voi AB(M e 4B,N e AC)
Chung minh EF // MN
Lời giải Cách I Kẻ đường cao 4D Khi đĩ ba
Trang 30Bài T5/506 Giải phương trình
Jx-l 2x+6
rt” (Gata dees) —
Trang 31Thịnh, Phạm Thị Ngọc Ảnh, Bùi Phương Thảo,
Nguyễn Tuần Việt, Nguyên Hồi Phương, Nguyễn Đức Vinh Quang, Đỗ Ngọc Hải, Chứ Lê Phương Linh, Bùi Thị Hồng Huệ, Trần Đức Duy, Nguyễn Anh Tú, Nguyên Quynh Chi, Pham Thi Minh Châu, Triệu Tuấn Anh, Nguyên Đức Anh, Nguyên Trung Đức Dũng, Đào Quang Huy, Nguyễn Văn Quân, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao
NGUYÊN ANH DŨNG T6/506 Cho a < b là hai số thực dương thỏa mãn a’ =b’, Chứng mình rằng tên tại số thực dương
ry wt
€ sao cho a-(1+4] ibs[ie2] ,
€ c
Lời giải (Của bạn Đỉnh Đồn Xuân Phương, 12 Tốn chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình) Ta chon c= >0 Khi đĩ từ a”=“ ta cĩ đẳng —=q thức z“(9}?-(+°=#}-(¿] và a a € € c+l p-a2-(1+4) (1+4)=(1+4) 3 a ễ € € Một số bạn giải khác, bằng cách lưu ý khi b > a b 1 thi ton tai k > 1 sao cho b = ka Dat k=1+— ta €
dễ dàng cĩ khẳng định của bài tốn
Nhận xét: Các bạn sau cĩ lời giải đúng: Hà
Nội: Nguyên Xuân Tùng, 10 Tốn, THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội; Phú Thọ: Nguyên Đăng
Khoa, 11T, THPT chuyên Hùng Vương, Việt Trì; Quảng Bình: Đính Đồn Xuân Phương, 12 Tốn, Lê Mỹ Duyên, 11 Tốn, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp; Sĩc Trăng: Nguyên Anh Thư, 7A1, THCS
Kế An, Lê Hồ Trọng Tín, 8A8, THCS Kế Sách,
Kế Sách; Thanh Hĩa: Nguyễn Duy Long, 10T2,
THPT chuyên Lam Sơn; Thừa Thiên - Huế:
Trương Đức Dũng, Nguyên Thị Bảo Ngọc, Lê Mỹ Đuyên, 11 Tốn 1, THPT chuyên Quốc Học Huê VU DINH HOA T7/506 Giải hệ phương trình tanx~tan y=(1 +Jx+z} -(+Wx+zƑ 3h *+sỬ” =2(L+/9=10x+y) Lời giải ĐK: xa St hey ao + ln (kl eZ) x+y20,x<1,y<1,10x-y<9 x+y>0,x<l,y<l 10x—y<9 : z a
Từ ĐK trên suy ra rat Sa ed Do đĩ x> y < tanx > tan y Trong khi đĩ
(I+Jx+z) >(+x+z} ©x+y>0,y>x
Tương tự với x < y Do đĩ PT thứ nhất tương
đương x = y, 0<x<l Khi đĩ PT thứ hai tương
++ +sfr*=2(L+3/1—x)
© ƒf(a)=3“ +5“—-6a—=2=0, a=⁄1—x,0<a<1 Tacĩ/(0)=/(1)=0 và #4)=3“In3+5“ln5—6 là hàm số tăng thực sự
với 0<a<1.Do đĩ PT ƒ(4)=0 cĩ khơng qua
một nghiệm Bởi vậy, theo Định lí Rolle, PT #4) = 0 cĩ khơng quá hai nghiệm Như vậy PT Ka) = 1 Suy ra hệ PT của bài tốn cĩ hai nghiém x = y = 1 va đương với: 3 0 chỉ cĩ hai nghiệm a = 0 và a= x=y=0
Nhận xét Đây là bài tốn cơ bản thuộc ứng dụng của đạo hàm trong tính số nghiệm của PT Các bạn học sinh sau cĩ lời giải đúng Hà Nội: Nguyên
Xuân Tùng, 10T, THPT chuyên KHTN, ĐHQG
Hà Nội; Nam Định: Co Huy Dang, Dé Tién
Dũng, Trần Huy Lực, Mai Văn Nguyên, 11T2,
THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Nam Định; Hà Tĩnh: Nguyễn Hữu Tâm, 11A1, THPT Cù
Huy Cận, Vũ Quang; Quảng Bình: 1ê Mỹ Duyên, 11T1, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, TP Đồng
Hới; Thừa Thiên Huế: Phạm Bá Hồng, Nguyễn
Trang 32Thị Bảo Ngoc, 11T1, THPT chuyên Quốc học Huế, TP Huế; Vĩnh Long: Vii Cong Thién, 1172,
THPT chuyén Nguyén Binh Khiém, TP Vinh
Long; Bến Tre: Lé Ngo Nhật Huy, 12A1, THPT
Lạc Long Quân, TP Bến Tre NGUYÊN MINH ĐỨC Bai T8/506 Chứng mình rằng với mọi tam giác AABC ta luơn cĩ (b+c)a " cera i (a+b)c >8, mà Myˆ m.ˆ
trong đĩ a, b, c, t„, my, mụ thứ tự là độ dài các
cạnh BC, CA, 4B và độ dài các đường trung tuyến
ứng với cdc canh a, b, c
Lời gidi Goi D, E, F theo thir ty 1a trung điểm của
ĐC, C4, 4B; G là trọng tâm tam giác A4BC Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác BDGF ta được ED.BG < FG.BD + BF.GD F E = 2bm, < am, +cm, A B D G = 2b’m, < abm, + bem, (1)
Ap dung bat đẳng thức Ptolemy cho tứ giác AFDC ta được: 4D.CF <FD.AC+ AF.CD = 4m,m, < 2b* +ac => 4m,m,m, <2b’m, +acm, (2) Tw (1) va (2) suy ra: 4m,m,m, < bem, + acm, + abm, ab te be + >4 (3) mm, Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ: (b+c)a bị (c+a)b 3 (a+b)c mm, THỨ, my m, m “ ab | ab : St) m, My" my ™, ds odd) S2 2 “gi nn(3)) mm, Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi A4BC đều mm, "nM, TOAN HOC 28 Persie Số 510 (12-2019) Nhận xét Bất đẳng thức (3) cũng cĩ thể chứng minh nhờ kết quả sau: Với P là điểm bắt kỳ trong
tam giác ABC ta cĩ bát dang thức
PA.PB a PBPRE at G12 5] (ĐI Hà)
ab be ca
Các bạn sau cĩ lời giải tốt là: Hà Nội: Nguyễn
Xuân Tùng, 10 Tốn, Đỗ Xuân Trọng, l1 Tốn,
THPT chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội, ƒđ Đặng
Đức Minh, 1A0, Nguyễn Trân Nam, Hồng Nhật
Nam, Nguyễn Nhật Linh, 8A0, THCS Ngơi Sao
Hà Nội, Thanh Xuân; Đồng Tháp: Nguyễn Nhật
Hào, 12T, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, TP Cao Lãnh; Bà Rịa - Vũng Tàu: Phan Trung Kiên, 10T1, THPT chuyên Lê Quý Đơn, TP Vũng Tàu; Sĩc Trăng: Đậu Đức Quán, 11A2T, THPT
chuyên Nguyễn Thị Minh Khai; Vĩnh Long:
Nguyên Hữu Đức, Nguyên Thành Phát, 10TỊ,
Trương Gia Bảo, Lê Minh Tâm, 11T1, THPT
chuyên Nguyễn Binh Khiêm, TP Vĩnh Long
HỊ QUANG VINH
Bài 19/506 Cho a, b, e là các số thực dương thỏa
Trang 33Bài T8/506 Chứng minh rằng với mọi tam giác AABC ta luơn cĩ (D+c)a | (c+a)b | (a+d)c ` 2 2 2 mM, mM, mM, 8,
trong do a, b, c, m,, m,, m,thit tu la dé dai cdc
cạnh BC, CA, AB và độ dài các đường trung tuyến
Trang 34Bài T9/506 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa
mãn a + b+c=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
5 5 5
Trang 353M>9%(a+b+e)—4(ab+be+ca)—6 =9.3—4(ab + be+ca)-6=21—4(ab+be+ca) Mat khae: 3(ab + be + ca) < (a+b+ e2 =9 >ab+bc+ca<3 Do do: 3M 2 21—4(ab + be + ca) >21—~4.3=9 => M >3 Ta cĩ M=3 khia=b=c= 1 Vay minM = 3 Cách 2 Đặt a=x`,b=y`,c=z? =x) + y) +z2 =3 5 5 5 x poz oM="7+ eas Theo BDT Cauchy ta cé: sẽ 1.5 ne —y†+2xy “ty try >3x°, y ze Tương tự: ates >3y; =, +227x? 232’, => M4207 y? + yz? +27x7) 2308 +y4+7)=9, ©M>9-~2(x?y? + y?z? + z?x?) Mặt khác: (x+y? +27)? xy? +y?z? +z?x< 3 (1) Theo BDT Holder, ta co: (Pty 42? =(xx.1+y.y.1+z.z.U° <@ ty t2 Oe ty? +2) +P +P)=27 => x+y? +2? <3 (2) Từ (1) và (2) suy ra: x?y?+ y?z2?+ z?x? <3 Do đĩ: >9—2.3=3; M/= 3 khi x=y=z =l
hay a= b= c= 1 Vậy minM = 3
> Nhận xét Cĩ nhiều bạn tham gia giải bài này và
đa số các ban str dung BDT Cauchy dé tim minP Những bạn sử dụng BĐT Bunyakovsky, BĐT
Minkovsky hoặc BĐT Holder cũng đều tìm ra kết
qua của bài tốn Các bạn sau cĩ lời giải tương đối gọn: Hà Nội: Dé Xuân Trọng, 11 Tốn, Nguyễn
Xuân Từng, 10 Tốn, THPT chuyên KHTN,
ĐHQG Hà Nội; Nguyễn Nhật Linh, Nguyễn Trần
Nam, Hồng Nhật Nam, 8A0, Vii Dang Đức
Minh, 7A0, THCS Ngơi Sao Hà Nội, Thanh Xuân;
Hưng Yên: Phạm Văn Thơng 10 Tốn 1, THPT
chuyên Hưng Yên; Thanh Hĩa: Nguyễn Duy
Long, Trương Ngọc Tâm, 10T2, THPT chuyên
Lam Sơn; Nghệ An: Đặng Hữu Khanh, 9A, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương; Nam Định:
Trén Huy Lực, 11 Tốn 2, THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Nam Định; Hà Tĩnh: Trén Thi Ngọc Ảnh, Nguyễn Thị Thùy Linh, 10A1, THPT Cù Huy
Cận, Vũ Quang; Quảng Bình: Nguyễn Phương Trang, 10 Tốn 2, Lê Mỹ Duyên, II Tốn 1,
THPT chuyên Võ Nguyên Giáp; Thừa Thiên
Huế: Phạm Bá Hồng, Nguyễn Thi Bao Ngoc, 11
Tốn 1, Nguyễn Đức Phái, 1I Tốn 2, THPT chuyên Quốc học Huế, TP Huế; Vĩnh Long:
Nguyễn Thành Phát, 10T1, Lê Minh Tâm, LITI,
THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Sĩc Trăng: Đậu Đức Quân, 11A2T, THPT chuyên Nguyễn
Thị Minh Khai, TP Sĩc Trăng; Đồng Tháp: Nguyễn Nhật Hào, 12T, THPT chuyên Nguyễn
Quang Diêu
TRAN HUU NAM
Bài T10/506 7m tất cả các số tự nhiên n sao cho
2" +nˆ +1 là số chính phương
Lời giải (Của bạn Lê Tuấn Nghĩa, 7C, THCS
Đồn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hưng Yên)
1) Với n = 0 thì 2”+ø”+1=2 khơng phải là số
chính phương
2) Với n = 1 thì 2”+z”+l=4 là số chính
phương
3) Với m > 1: Nếu m lẻ thì 2” +ø” +1= 2 (mod 4)
nên 2"+z” +1 khơng phải là số chính phương
Néu n chin: Giả sử n = 2k (eNĐ),ta cĩ
2k *
2“+44?+1=a(aeĐ) (1) Thử với ke {1;2;3;4;5;6}, ta thấy chỉ cĩ & = 1 thỏa mãn
Trang 40Khi ấy cần 9 người chăn voi, 957 người chăn
ngựa và 34 người chăn dê
Với k=-l ta cĩ x=60,y=140,z=800 Khi
ay can 540 người chăn voi, 420 người chăn ngựa và 40 người chăn dê
Nhận xét 1 7ốn pháp đại thành chỉ cho một
đáp số x=60, y =140, z=800
Nhận xét 2 Lời giải của Lương Thế Vinh khơng đúng trong trường hợp tổng quát (xem
phân tích trong [3]) Nhưng trong [3], A Volkov cũng viết: 44 preliminary inquiry into the history of the "one hundred fowls problem" Suggests that the parameters found in the
Vietnamese treatise (a=9, b=3, c=20, N=1000)
are not found in any other medieval treatise in
the world
The Vietnamese problem certainly has a strong local taste due to the mention of "battle
elephants," but exactly when it was introduced and adopted by local mathematicians remains
obscure It may have been transmitted to
Vietnam from China, or possibly from other cultural areas (from India or the countries of Islam)
Dich: “Khao sat ban dau vé lịch sử bài tốn 100
con gà cho thấy các tham số a=9, b=3,
c=20, N=1000 trong sách Việt Nam khơng
tim thay trong các sách khác trên thế giới Bài tốn của Việt Nam tất nhiên mang âm hướng địa phương mạnh mẽ vì nhắc đến voi
trận, nhưng chính xác khi nào nĩ được du nhập
va chap nhận bởi các nhà tốn học địa phương
thì cịn chưa rõ Cĩ thể nĩ đã được truyền từ Trung Hoa, hoặc cĩ thể từ một nền văn hĩa
khác (từ Án Độ hoặc các nước theo đạo Hồi),”
Qua đây ta thấy, nhà tốn học đầu tiên của Việt
Nam Lương Thế Vinh, tác giả của Tốn pháp
đại thành, tuy khơng phải là người đầu tiên phát biểu và giải bài tốn dạng Tzăm trâu trăm cỏ,
và Ơng chỉ tìm ra một đáp số, nhưng Ơng đã
sáng tạo trong phát biểu và giải bài tốn dạng
phương trình vơ định với tham sơ lớn khơng
TOAN HOC
34 * cTusitre Số 510 (12-2019)
gặp ở đâu trên thế gia Bat toan vol, Ngựa, dé
của Lương Thế Vinh thê hiện sự độc lập và tính độc đáo trong nghiên cứu tốn học của Lương
Thế Vinh
Bai 13 (Em di cho phién) Bài tốn-thơ Em đ¡
chợ phiên cĩ lẽ lần đầu tiên được trình bày
(rong cuơn sách tốn chữ Hán-Nơm ý Trai tốn
pháp nhất đắc lực (Một điều tâm đắc về tốn
của Ý Trai) được Ý Trai Nguyễn Hữu Thận
khởi thảo năm 1812 và hồn thành năm 1829,
Trong Quyền 7, trang 178, [4], Ơng viet:
Cĩ bài ca Tây giang nguyệt răng: Đưa ra ] mạch tiền, mua trăm quả bưởi, quýt, cam Cam hơng mỗi quả giá 3 văn, bưởi mơi quả là 5 văn,
quýt ba quả một văn, giá ấu Mạn phép chuyển thành bài ca đề bàn luận Người giải được đề tốn này, khen là diệu thủ (cực giỏi) Đề này ban đâu cĩ một người đặt ra rằng (đoạn dưới
đây được viết bằng chữ Nơm):
“Nàng bay") lich sy), quê chợ déu khan®),
Yêu” gửi một tiền, mua trăm trái tốt Cam ba đơng một, quýt một đồng năm Thanh yên tươi tốt, năm đơng một trái
Tiền khơng dư lại, trái chăng thiếu đi
Nên đẳng nữ nhỉ, sánh trang quân tử
" Bay: bay gid, nay
® Lich sw: kinh lich qua nhiều sự việc, chỉ ch từng trải, nhiều kinh nghiệm
Khan: hiém, it
4 Yêu: muốn, yêu cầu
Đồ này mọi người đều biết cam 4 quả, thanh
y a 6 qua, quyt 90 qua nhưng tìm ra cách đề
giải cũng là khĩ vì đề tốn chuyền thành khúc ca
Šau đĩ Nguyễn Hữu Thận trình bày phương
pháp giải bài tốn này (bằng lời khá dài nên
làn lệ By ở đây) Cuối cùng Ơng kết (On Teme ee ee ae
fiona ix , Khơng thể khơng đúng, Pie
gd: Céi hay on, pe Mune ma khong dans
bao nhiéy a nà ‘ - fon UM ly a
rae Ae an an với giá cam bao nhiêu tết ¢