TIN TUC „ HOAT DONG ì GAP GO yA { gia cua cac nha khoa hoc Nga
® Ngày 11.11.2017, trường THCS Trưng Vương, Q Hoàn
Kiếm, Hà Nội đã tổ chức kỉ niệm 100 năm ngày thành lập và
đón nhận Huân chương Độc lập hạng Nhất Tới dự có Chủ
tịch Quốc hội Nguyễn Thị Kim Ngân Tổng bí thư Nguyễn Phú
Trọng và Chủ tịch nước Trần Đại Quang đã gửi lẵng hoa chúc mừng Trường THCS Trưng Vương tiên thân là trường Nữ sinh Đồng Khánh, được thành lập năm 1917
® Ngày 15.11 và 16.11.2017, Hội thảo khoa học Giải tích -
Đại số và ứng dụng đã được Hội Toán học Hã Nội phối hợp
với trường Đại học Hải Dương tổ chức tại trường Đại học Hải Dương Hội thảo lần này có sự tham
® Ngày 30.10.2017, Công ty Cổ phần Mi thuật và Truyền thông, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
đã tổ chức Lễ kỉ niệm 10 năm thành lập TS Nguyễn Thị Nghĩa, Thứ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã gửi lăng hoa chúc mừng Tới dự có ông Nguyễn Đức Thái, Chủ tịch HĐTV Nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam; ơng Hồng Lê Bách, Tổng Giám đốc NXBGDVN; ơng Ơng Thừa Phú, Phó chủ tịch HĐTV, Phó Tổng Giám đốc NXBGDVN, Giám đốc NXBGD tại Đà Nẵng; Ơng Lê Hồng Hải, Phó Tổng Giám đốc NXBGDVN, Chủ tịch HĐQT Công ty Cổ phân Mĩ thuật và Truyền thông, ông
Vũ Kim Thủy, Tổng biên tập tạp chí Toán Tuổi thơ, e ; = =_ S
% Cuộc thi thực sự giúp cho giáo viên và học
sinh có cơ hội học hỏi, trao đổi kinh nghiệm
trong dạy và học toán Thúc đẩy việc phát
triển phong trào dạy và học mơn Tốn bằng tiếng Anh trong các nhà trường góp phân vào thành công để án 2020 của Thủ tướng chính
phủ
NGUYÊN HỮU THIÊN
(Phòng Giáo dục Tiểu học,
SỞ Giáo dục uà Đào tạo Hải Dương)
* Đây là một sân chơi bổ ích cho học sinh Tiểu học và Trung học cơ sở, giúp các em mở
rộng thêm tri thức cho bản thân và có thêm
điều kiện giao lưu với các bạn học sinh các
vùng miễn trong cả nước
LE PHAT VINH
(Chuuên uiên Phòng Giáo dục Tiểu hoc,
SỞ Giáo dục uà Đào tạo Long An)
%* Cuộc thi rất bổ ích, thiết thực với học sinh Tiểu học và học sinh Trung học cơ sở góp phân đẩy mạnh và nâng cao chất lượng dạy Toán bằng tiếng Anh trong các trường phổ
thông hiện nay
LE BA VIỆT HÙNG
(Phó Trưởng Phòng Giáo dục Trung học, SỞ Giáo dục uà Đào tạo Phú Thọ)
% Cuộc thi được tổ chức thành công và rất
khoa học
NGUYÊN TIẾN HẠNH
(Phòng Giáo dục Tiểu học,
SỞ Giáo dục uà Đào tạo Vĩnh Long)
Nina St ve Caw lac no "ấm Ti ffivø ft @[ufốc % Đây là cuộc thi khá lí thú, gop phan lam
cho học sinh thêm yêu thích mơn Tốn Cuộc
thi đã diễn ra khách quan, công bằng, học sinh không phải nộp kinh phi LẺ ĐỨC THUẬN (Phó Trưởng phòng Giáo duc va Đào tạo Hoàn Kiếm, Hà Nộj) * Cuộc thi tổ chức rất tốt, để thi nên phân hóa hơn
NGÔ MINH HƯNG
(Trưởng Phòng Giáo duc va Đào tạo
TP Bắc Giang, Bắc Giang) * Cuộc thi rất bo ích trong việc dạy mơn Tốn và dạy mơn Toán bằng tiếng Anh
LƯƠNG QUANG DƯƠNG
(Chuuên uiên Sở Giáo dục uà Đào tạo Dong Nai) * Nội dung cuộc thi bổ ích, mang tính chất
trải nghiệm tốt Chia sẻ kinh nghiệm dạy và
học Toán bằng tiếng Anh Cần trao đổi thêm nội dung các chuyên đê, bài toán có ứng
dụng với thực tiễn
VÕ VĂN HUYNH
(Sở Giáo dục uà Đào tạo Bến Tre)
* Cuộc thi Câu lạc bộ Toán Tuổi thơ đã mang đến một sân chơi trí tuệ cho học sinh tiểu
học Đã thổi cho các em niễm đam mê toán
học, yêu thích toán và khả năng làm việc
nhóm cũng được rèn luyện
DƯƠNG THỊ BÍCH THỦY
(Chuuên uiên Phòng Giáo dục Tiểu học,
Trang 3Children's CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Tea in Fun Maths Chủ tịch Hội đồng Thành viên NXBBD Việt Nam:
tuỔi tRO 2 TRUNG HỌC CƠ SỞ J our nal NGUYEN DỨC TH Al
NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM - BO GIAO DUC VA DAO TAO Tống Giam doc NXBGD Viet Nam:
HOANG LE BACH
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng hiên tận NXBGD Viét Nam: PHAN XUÂN THÀNH
Tổng biên tập: VŨ KIM THỦY
Phó Tổng biên tập: NGUYỄN NGỌC HÂN
2 SA XA ~ ol `
Trưởng ban biên tập: TRẤN THỊ KIM CƯƠNG TRO là rc S Oo là AY
UY VIEN — Dành cho học sỉnh lớp 6 & 7 Tr 2
NGND VŨ HỮU BÌNH Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
SANG KiÚc Tương QuangAn
TS VŨ ĐÌNH CHUẨN Học ra sao? Giải toán thế nào? Ai 4 TS NGUYỄN MINH ĐỨC Sử dụng hãng đăng thức để giải phương trình
ThS NGUYEN ANH DUNG Vu Duy Dinh
TS NGUYEN MINH HA Chứng miinh đồ thị hàm số bậc nhất luôn đi qua
PGS TS LÊ QUỐC HÁN điểm cố định ia
PGS TSKH VU DINH HOA Võ Xuân Minh
TS NGUYỄN ĐỨC HỒNG 63 ơ cửa Tš ThỘ, NGUYEN NGUYEN DUC TAN VU LOAN Đô thị qua các con số ~
PGS TS TON THAN Vu1Ze -
TRUONG CONG THANH Nhìn ra thê giới Tr8
PHAM VAN TRONG Đề thi Toán quốc tế Singapore IMC 2015
ThS HỒ QUANG VINH Ngô Văn Minh
Lịch sử Toán học Tr 9 Một nhà toán học hàng đầu của nước ta
Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, Vũ Kim Thủy
quận Thanh Xuân, Hà Nội Phá án cùng thám tử Sêlôccôc r 12
Cưới thoại (Tel): 024.35682701 Sơi dây chuyền ngọc trai Điện sao (Fax): 024.35682702 x op Điện thư (Email): bbttoantuoitho@)gmail.com Ng uyen Thị Thành
toantuoitho@vnn.vn Compa vui tính Tr 15
Trang mạng (Website): http://www.toantuoitho.vn Bể nước nào đựng nhiều nước hơn?
Phạm Tuấn Khải
Học Vật lí bằng tiếng Anh Tr 19 Ước và bội thập phân các đơn vị quốc tế (SI)
NGUYEN VIET XUAN cự Gv
391/150 Trần Hưng Đạo, P Cầu Kho, Q.1, TP HCM Vũ Văn Giang
ĐT: 028.66821199, DĐ: 0973 308199 Bạn đọc phát hiện Tr 20
Phương trình nghiệm nguyên dạng đặc biệt
Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, Kieu Binh Minh ,
VU ANH THU, NGUYEN HUYEN THANH Dành cho các nhà toán học nhỏ r 22
Biên tập: VŨ THỊ MAI Đẳng thức với tính bất biến
Trang 4TU) PHƯƠNG PHÁP CHUNG MINH
BA DIEM THANG HANG TRUONG QUANG AN (GV THCS Nghĩa Thắng, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi)
Bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số
phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng thường sử dụng trong chứng minh các bài toán hình học lớp 7
4 Các phương pháp chứng minh ba điểm
thẳng hàng
e Nếu ABD và DBC là hai góc kể nhau và
ABD +DBC = 180° thì ba điểm A, B, C thang hàng D A B C e Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng (theo tiên đề Ơ-Clít) a A B C e Nếu AB I a ; AC L a thì ba điểm A, B, C thẳng hàng A a e Nếu hai tia OA và OB trùng nhau thì ba điểm O, A, B thẳng hàng
2 Các bài toán minh họa
Bài toán 1 Cho tam giác ABC vuông ở A, M là
trung điểm của AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia
Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Lời giải B A N C D X Xét AAMB và ACMD có AB =DC; BAM =DCM (= 909); MA =MC Do đó AAMB = ACMD (c.g.c) Suy ra AMB =DNC Do dé BMC + CMD = BMC + AMB = 180°
Vay ba diém B, M, D thang hang
Bài toán 2 Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB Trên các đường thẳng
BM và CN thứ tự lấy các điểm D và E sao cho M là
trung điểm của BD và N là trung điểm của EC Chứng minh rằng ba điểm E, A, D thẳng hàng Lời giải E A D N M B C Xét ABMC và ADMA có MC = MA; BMC = DMA ; MB =MD
Suy ra ABMC = ADMA (c.g.c)
Do đó ACB =DAC Mà ACB và DAC ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự ta được BC // AE (2)
Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ-Clít thì ba điểm E, A, D
thăng hàng
Bài toán 3 Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi
M là trung điểm của BC Vẽ đường tròn tâm B và đường tròn tâm C có cùng bán kính cắt nhau tại P
Trang 5và Q Chứng minh rằng ba điểm A, P, Q thẳng hàng A LIN Sự? Q Lời giải Xét AABM và AACM có AB = AC; AM chung; MB = MC Suy ra AABM = AACM (c.c.c) Do dé AMB = ANC Ma AMB+AMC =180° Suy ra AMB = AMC = 90° Do đó AM L BC Ta có PB = PC và QB = QC nên chứng minh tương tự ta được PM I1 BC; QM 1 BC Vậy ba điểm A, P, Q thẳng hàng
Bài toán 4 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên các
tia Ox và Oy thứ tự lấy các điểm B và C sao cho
OB = OC Vẽ các đường tròn tâm B và tâm C có
cùng bán kính cắt nhau tại A và D nằm trong góc xOy Chứng minh rằng ba điểm O, A, D thẳng hàng Lời giải Xét ABOD và ACOD có OB = OC; OD chung; BD = CD
Suy ra ABOD = ACOD (c.c.c)
Do dé BOD = COD Ma D nam trong géc xOy
nên tia OD năm giữa hai tia Ox và Oy Suy ra OD là tia phân giác của xOy
Chứng minh tương tự ta được OA là tia phân giác của xQy
Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng
Bài toán 5 Cho tam giác ABC cân ở A có BAC =108° Goi O là một điểm nằm trên tia phân giác của ACB sao cho CBO =12° Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh rằng ba điểm C, A, M thẳng hàng Lời giải M B C Vì tam giác ABC cân tại A nên _— _— 0 _—_ O ABC = ACB = 180" - 108" — 36°
Vì CO là tia phân giác của ACB nên
ACO =BCÔ =18° Do đó BOC = 1509
Vì BOM là tam giác đều nên BOM = 609 Suy ra MOC = 360° — (150° + 60) = 150° Xét ABOC và AMOC có OB =OM; BOC =MOC (=1509); OC chung Do đó ABOC = AMOC (c.g.c) Suy ra OCB = OCM Mặt khác OCB = OCA
Suy ra OCA =OCM
Do đó hai tia CA va CM là hai tia trùng nhau
Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng
Bài tập
Bài 1 Cho tam giác ABC Trên tia đối của AB lấy
điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng
Bài 2 Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau
tai trung điểm O của mỗi đoạn Trên tia AB lấy
điểm M sao cho B là trung điểm của AM, trên tia
AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm của AN
Chúng minh rằng ba điểm M, C, N thẳng hàng Bài 3 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB
lấy điểm M, trên tia đối tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm của MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng
Trang 6SỬ DUNG HANG DANG THUC DE GIAI PHUONG TRINH VŨ DUY ĐĨNH (GV THCS Phú Thái, Kim Thành, Hải Dương) Bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số bài + y¡ giải Đặt x? + 2 = a; 2x — 3 = b thì toán giải bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức : quen thuộc x°+2x— 1=a+b Phương trình trở thành (a+b)? =a? + bđ â a + 3ab(a + b) + b® = a? + bđ & 3ab(a+b)=0 â 3(x + 2)(2x — 3)(x? + 2x — 1) = 0
Giải tiếp ta được phương trình có tập nghiệm là Bài toán 1 Giải phương trình 3x3 - 3x” + 3x— 1=0 Lời giải Ta có 3x3 - 3x? + 3x — 1= 0 & x? -— 3x’? + 3x - 1 =-2x° ©(x-1 =(-Ÿ2x)Ÿ © x—-1=-Ÿ2x 3/2 — —1 ©x(+Ÿ2)=1©x= s=(-1+ði-1~Vối 2} Vậy phương trình có nghiệm là x = Bai toan 4 Giai phương trình: 2 +1 (2x? + 1)° + (x2 — 2)° = (3x? - 1° Bài toán 2 Giải phương trình Lời giải Ta có (2x? + 1)? + (x2 - 2) = (3x2 - 1)° 2 x2 3 © (2x? + 1)? + (x? — 2)? =-(1 — 3x’)? Gp © (2x? + 1) + (x2 — 2)3 + (1 — 3x2)3= 0 (1) Lời giải ĐKXĐ x #1 Đặt 2x2 + 1 = a; xˆ- 2= b; 1— 3x2 = c 2 Ta có a+b +c = 0 nên a + b =- c Ta có xÊ + >= Phương trình (1) tương đương với (x-1) a3+b$+c3=0 2 3_—_ 3 _ œ x2+2x-ÄŠ_+_—* =~ 2x X 8 c© (a+b)° - 3ab(a + b) + c°=0 X-1 (x-1) x-1 © (a +b + c) - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(—c) = 0 x2 x2 © 3abc =0 => x5) —“ P0 © (2x? + 1)(x?— 2)(1 — 3x2) = 0 > 2 2 Giải tiếp ta được phương trình có tập nghiệm là | -2.* ~8=0.(1 V3 V3 = xX—-1 "Xx—1 ot S= 42;-J2;——;——— 3 3 x2 sega
Dat —— = t, phương trình (1) trở thành Bài tập
Trang 7CHUNG MINH ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT LUON DI QUA DIEM CO DINH VO XUAN MINH (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa) 1 Phương pháp giải Để chứng minh đồ thị của hàm số bậc nhất có
phương trình phụ thuộc tham số m luôn đi qua một
điểm cố định Ta làm như sau: Giả sử đồ thị hàm số đó đi qua điểm cố định M(%ạ, yạ), sau đó thay Xạ, yạ vào phương trình và biến đổi về dạng am = b
với mọi m, từ đó suy ra a = b = 0
2 Bài tập vận dụng
Bài toán 1 Chứng minh rằng với mọi m khác 0 thì
đồ thị hàm số y = mx + m + 2 luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải Giả sử đường thẳng y = mx + m + 2 luôn đi qua điểm cố định M(ạ, yạ) thì ta có Yọo =mxạ +m+2 Vm GS MX +1) =y-2 Vm IMếmt oF 2S 2S Yo-2=0 |yo=2 Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định M(-1; 2)
Bài toán 2 Chứng minh rằng họ các đường thẳng (m + 2)x + (2m -1)y + 3m - 4 = 0 luôn đi qua một
điểm cố định với mọi m
Lời giải Giả sử đường thang (m+ 2)x +(2m—1)y
+3m—4=0 luôn đi qua điểm cố định M(xạ, yạ) thì
ta có (m+ 2)xo +(2m-—'?)yo + 3m— 4= 0 VYm c© m(Xạ +2yạg +3) =—-2Xpg + Yyọ +4 Vm ác bọ © © -2x+y+4=0 y=-2 Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định M(1; —2) Bài toán 3 Cho hai họ đường thẳng có phương trình là mx - y - 2m + 3= 0 và x+ my +m—4=0
với m # 0 Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng đó luôn nằm trên một đường tròn cố
định Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
Lời giải Làm tương tự như trên ta được đường thẳng mx - y — 2m + 3 = 0 luôn di qua điểm cố
định A(2; 3) và đường thẳng x+my+m—4=0
luôn đi qua điểm cố định B (4; —1) với mọi m
Hai đường thẳng trên có phương trình viết lại thành
y=mx-2m+3 và y X, 44,
mm
Vi a4.a9 = m=) =—1 nên hai đường thẳng trên m
vuông góc với nhau tại P, từ đó ta có APB = 909
Vậy P di chuyển trên đường tròn đường kính AB,
tâm là trung điểm của AB có tọa độ I(3; 1) và bán
AB _ vena" + (3 +1) _ JE
kính bằng —— 9 2
Bài toán 4 Cho họ đường thẳng (d) : y = mx -2m - 5
Cho A(-4; 3) kế đường thẳng di qua A vuông góc
với (d) tại H Tính giá trị lớn nhất có thể của độ dài đoạn thẳng AH
Lời giải Làm tương tự như trên ta được đường
thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định B(2; —5) Ta có AH< AB = +j(2+ 4)2 + (~B— 3)2 = 10 Dấu bằng xảy ra khi đường thẳng (d) vuông góc với AB Vậy giá trị lớn nhất của AH là 10 khi H trùng với B Bài tập
Bai 1 Cho họ đường thẳng (d) : y =mx+2m—1
Gọi H là hình chiếu của O trên (d) Tìm m để độ
dài đoạn thẳng OH lớn nhất
Bài 2 Cho các họ đường thẳng (d.): mx + y— m =0
và (d;): x— my + 3 = 0 với m z 0 Chứng minh rằng giao điểm của d; và d; luôn nằm trên một đường tròn cố định Xác định tâm và bán kính của đường
tròn đó
Trang 8
CHU CAI LAC LOAI?
Bài 1 Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống cho hợp lôgic
Gs) Ge) GD Bài 2 Trong các chữ cái sau, chữ cái nào lạc loài so với các chữ cái còn lại? GS
K, N, T, H, A
NGUYEN TU AN (TP Hồ Chí Minh)
XGETED SO NAO? cmse6175)
Quy luật Bài 1 Mỗi số hạng là số liền sau của
các số nguyên tố liên tiếp, kể từ số 2 Do đó, số hạng tiếp theo của dãy số là
19+1=20
Bài 2 Số nằm trong mỗi tam giác bằng tổng các chữ số của các số ở đỉnh của tam giác tương ứng
Do đó tổng các chữ số của số cần tìm là
25-(2+0+1+4)= 18
Mặt khác, tất cả các số tại các đỉnh của các tam giác là các số có hai chữ số, nên số cần tìm cũng phải là số có hai chữ số
Suy ra 2 = 99
rỡ 9g: Nhận xét Quy luật của cả hai bài kì se này đều dễ, tất cả các bạn đều tìm ra
kết quả đúng Xin trao thưởng cho các
bạn có lời giải chính xác, ngắn gọn: Lương Gia
Nghiêm, 8C, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc
Ninh; Hạ Hiền Lương, Nguyễn Công Hải, 8A3,
Nguyễn Đức Tân, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm
Thao, Phú Thọ; Đính Thị Việt Hà, 7D, THCS
Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
Các bạn sau được tuyên dương: Trần Hoàng
Minh, 8B, THCS Lê Quý Đôn, Mộc Châu, Sơn
La; Nguyễn Hồng Khải, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Đình Phúc, 7A5, THCS Thi trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Ngọc Nữ, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn
Châu, Nghệ An; Nguyễn Công Khanh, 7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
NGUYỄN XN BÌNH
Ä;4{§:Tf:Ï' MÍ THUẬT VỚI TUỔI THƠ ĐÓNG SEN ĐÁ qmTT2số 175)
Đến với Động Ngườm Ngao, chúng ta được
chiêm ngưỡng cảnh đẹp mê hồn của thiên nhiên
và tạo hóa Những khối thạch nhũ muôn màu
sắc, từ trên vòm cao rủ xuống, mọc từ dưới lên Thiên nhiên đã khéo léo tạo nên dáng hình cho
các khối nhũ đá vô tri vô giác Những khối nhũ đá
hình người, cây rừng, động vật trông như những
nhân vật trong chuyện thần thoại Đặc biệt hơn là Bông sen ngược với những cánh sen khum khum,
mềm mại Cánh sen ôm sát vào nhau mọc thành từng lớp như sự đùm bọc chở che của người mẹ với bầu thai nhi trong bụng Bông sen này được
tạo ra từ sự kết tinh của trời đất Giữa khung cảnh đá thô cứng thì Bông sen chẳng khác gì một viên
ngọc trong động Không ngờ trong động đá với tên gọi oai hùng, dữ tợn “Ngườm ngao” lại có một
vẻ đẹp dịu dàng, mềm mại tỏa sáng Còn chần
chừ gì nữa, mỗi chúng ta hãy một lần ghé thăm vùng đất Cao Bằng, ghé thăm động Ngườm Ngao
để được chiêm ngưỡng vẻ đẹp kì thú và độc đáo
này
Gree vin mone rid
HONG Hi"
BINGE I
Loss tmsapha thd CRE tein, ik Nhan xét Day la canh dep trong hang động huyền ảo nên ít bạn miêu tả được vẻ đẹp có một không hai này Lần này, có 2 bạn
xứng đáng được nhận quà vì có bài viết khá tốt:
Vũ Thùy Dương, 9B, THCS Hoằng Trung, Hoằng
Hóa, Thanh Hóa; Lương Gia Nghiêm, 8C, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh
HỌA MI
Trang 9Sy ae
LTS:
thơ mỏ chuyên mục 63 ô cửa để nói về đất nước, con người Việt Nam Hiểu để thêm yêu đất nước và phấn
đấu lớn lên xây dựng non sông gấm vóc ngày càng tươi đẹp hơn Từ số 1/9 của năm học 2017 - 2018, Toán Tuổi VŨ 128 128 Nước ta hiện có 755 đô thị gồm các thành phố, thị xã, thị trấn Thành phố chia thành 2 loại: trực thuộc Trung ương (ngang tỉnh), trực thuộc tỉnh (ngang huyện)
Các đô thị lại được chia làm 6 hạng (loại, cấp) 4 Đô thị đặc biệt: Hà Nội, Hồ Chí Minh
2 Đô thị loại 1 trực thuộc Trung ương: Hải Phòng,
Đà Nẵng, Cần Thơ
3 Đô thị loại 1 trực thuộc tỉnh: Biên Hòa, Nam Định, Buôn Ma Thuột, Đà Lạt, Hạ Long, Huế,
Nha Trang, Quy Nhơn, Mỹ Tho, Thái Nguyên, Thanh Hóa, Thủ Dầu Một, Việt Trì, Vinh, Vũng
Tàu (tất cả có 15)
Như vậy tính chung 3 loại này có 20 thành phố
gọi là thành phố lớn của Việt Nam
Các thành phố này đều có ít nhất 20 vạn dân nội
thành
4 Đô thị loại 2 trực thuộc tỉnh có 24 thành phố:
Bà Rịa, Bạc Liêu, Bắc Giang, Bắc Ninh, Cà Mau, Cẩm Phả, Châu Đốc, Đồng Hới, Hải Dương, Lào
Cai, Long Xuyên, Phan Rang - Tháp Chàm, Phan
Thiết, Plâyku, Quảng Ngãi, Rạch Giá, Tam Kỳ,
Thái Bình, Trà Vinh, Tuy Hòa, Uông Bí, Vĩnh Yên,
Ninh Bình, Phú Quốc Đặc biệt nhất trong các đô thị này là Phú Quốc vừa là huyện đảo vừa coi là đô thị loại 2 theo quy chế
Đây là các thành phố trung bình
5 Đô thị loại 3 trực thuộc tỉnh có 30 thành phố:
Bắc Kạn, Bến Tre, Bảo Lộc, Cam Ranh, Cao
Bằng, Cao Lãnh, Đông Hà, Điện Biên Phủ, Hà Giang, Hà Tĩnh, Hòa Bình, Hội An, Hưng Yên, Kon Tum, Lai Châu, Lạng Sơn, Móng Cái, Phủ
Lý, Sa Đéc, Sầm Sơn, Sóc Trăng, Sơn La, Sông
Công, Tam Điệp, Tân An, Tây Ninh, Tuyên Quang, Vị Thanh, Vĩnh Long, Yên Bái Đây là các
thành phố nhỏ Đa số các thành phố loại 2, loại 3 gần đây còn được gọi là thị xã vừa chuyển lên
thành phố Đặc biệt Phủ Lý và Ninh Bình được
chuyển từ thị trấn lên thị xã 9.4.1981 nay chuyển thành thành phố
Như vậy hiện nước ta có 74 thành phố
6 Đô thi loại 4 hay còn gọi là thị xã: hiện có 50
Trong số các thị xã này chú ý có Gia Nghĩa là thủ
phủ của tỉnh Đắk Nông và Đồng Xoài là thủ phủ của tỉnh Bình Phước Đây cũng là 2 tỉnh còn lại chưa có thành phố trực thuộc
Các thị xã: Hà Tiên, Phú Thọ, Phúc Yên, Sơn
Tây, Quảng Trị, đều đã được thành lập từ lâu và
từng có thời đã là tỉnh li Đặc biệt Sơn Tây giống như Hà Đông đều thuộc thành phố Hà Nội nhưng
vẫn gọi là thị xã, không gọi là quận Sở dĩ như
vậy vì Sơn Tây còn có nhiều xã ngoại thị trong
khi Hà Đông mức độ đô thị hóa cao nên gọi là quận vì tất cả các đơn vị trực thuộc đều được là phường
7 Về mặt hành chính các đô thị đặc biệt và loại 1
trực thuộc Trung ương là thành phố ngang một tỉnh
Các đô thị loại 1 là các thành phố lớn nhưng trực thuộc tỉnh, có vai trò là đô thị hạt nhân vùng, đồng thời là tỉnh lị
Các đô thị loại 2 là các thành phố trung bình và
đều là tinh li Các đô thị loại 3 là các thành phố nhỏ Các đô thị loại 4 là các thị xã (có cả tỉnh lị và không là tỉnh II) Các đô thị loại 5 chính là các thị trấn 8 Đáng chú ý có 5 thành phố được thành lập từ rất sớm: Sài Gòn nay là TP Hồ Chí Minh (1877), Hà Nội (1888), Hải Phòng (1888), Đà Nẵng (1889), Đà Lạt (1920) và Nam Định (1921) Trong
số này 3 thành phố Sài Gòn, Hà Nội, Hải Phòng
lúc đó là đô thị loại 1, Nam Định, Đà Nẵng là loại
2 và đều ngang tỉnh, riêng Đà Lạt là đô thị loại 3 ngang quận Dân số đô thị hiện nay chiếm 33% dân số toàn quốc, là một tỉ lệ còn thấp so với thế
giới
Trang 10DE THI TOAN QUỐC TẾ SINGAPORE IMC 2015
LOP 7
NGO VAN MINH
(GV THCS Archimedes Academy, Ha NGi)
Suu tầm và giới thiệu 4 Biết rằng phương trình |x - 20| + |x +15] = 2015 có 2 nghiệm x, va x, Tinh t6ng x, + X> A 2015 B 1010 C.5 D.-5 2 Tim phần nguyên của giá trị biểu thức 20-Lx18-Lx12~L 15 20 50 A 3601 B 3612 C 3630 =D 3631 3 Một đơn thức có bậc là 2015 và có đúng 5 biến số a, b, c, d và e Hỏi có bao nhiêu đơn thức như vậy? 5 2014! 5 2015! A Coo14 == 51(2014 —5)! B.C?01s =—————— 51(2015 —5)! 4 2014! 4 2015! 41(2014 — 4)! 41(2015 — 4)!
4 Cho hinh tam giac ABC Tia BP va tia BQ chia
góc ABC thành ba phần bằng nhau, trong khi tia CP và tia CQ chia góc ACB thành ba phần bằng
nhau Biết Ô = 100° và Q = 130° Tính  A Z—==> B C A159 B80 C.65° D.50 5 Cho A=—.—3 0° +779 4+23-3x0x1x2 742° 43%-3x1x2x3 +3 > 1 + 9014? +2015? +2016? -3x2014x2015x2016 B ¬" 1 2 3 2015
Hỏi nhận xét nào sau đây là đúng?
A.B-A là số nguyên, B.B+A là số nguyên; C.B: A là số nguyên; D A: B là số nguyên
6 Một chiếc mặt nạ có bốn vùng được đặt tên A, B, C va D Bốn vùng này được tô màu đỏ, xanh,
và đen sao cho đường ranh giới không được sử
dụng màu giống nhau để phân biệt các vùng với nhau So sánh khả năng tô 2 mắt A và B cùng
màu và xác suất chúng được tô khác màu
C
CC <b>
A Khả năng 2 mắt được tô khác màu là lớn hơn B Khả năng 2 mắt được tô cùng màu là lớn hơn C Hai khả năng là bằng nhau
D Không thể xác định được
7 Nếu số đo của mỗi góc trong của một đa giác lồi n cạnh là khác nhau và đều là bội số của 30° thì giá trị lớn nhất có thể của n là bao nhiêu? A.3 B.4 C.5 D.6 8 Với tất cả các số nguyên dương n, tính giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các chữ số khi số 3n? +n + 1 được viết trong hệ thập phân A 1 B.2 C.3 D.4 9 Cho A = 20202 02x 5555 55; 15 chits6 20 chữsố B=2222 22x505050 50 Tính |A —- BỊ 15 chữ số 20 chữ số a b (x+15)(x+20) x+15 *x+20
với a, b là các hằng số được hiểu là thủ thuật tach một phân số thành tổng của hai phân số với mẫu số đơn giản hơn Tính giá trị của a x b
14 Số 2015 được biểu diễn dưới dạng a - a; + a; - 8; + trong đó aạ < a; < a; < a; < và mỗi số 8ạ, :, aạ, đều là lũy thừa của 2 (ví dụ ao = 1=
2°) thi 2015 =
12 Cho 5 số nguyên dương x; < X; < Xạ < X¿ < X;
Trang 11Ta sii! eT
Giao su Lé Van Thiém sinh ngay 29.3.1918 tại xã Đức Trung, Đức Thọ, Hà Tĩnh Năm
1948 tức là ở tuổi 30 ông được nhận bằng tiến sĩ quốc gia về toán của Pháp Vấn đề
ông nghiên cứu: “Bài toán ngược của phân
phối giá trị các hàm phân hình” đã mở một hướng trong việc nghiên cứu hàm biến phức
Ngoài vấn đề chính là các công trình tốn lí thuyết, ơng còn cùng các cộng sự nghiên cứu bài toán nổ mìn phá núi làm kho xăng dầu, lấy đá xây khu gang thép, giải các bài
toán dòng chảy giúp nghiên cứu xây dựng nhà máy thủy điện Hòa Bình
Trong cuộc đời làm khoa học của mình, ông còn có công xây dựng nền móng cho quá trình đào tạo nhân tài và những kĩ sư, nhà giáo cho đất nước Năm 1950 ông cùng
một số người lập Trường Khoa học Cơ bản Ông là Hiệu trưởng đầu tiên Trường Khoa học Cơ bản và Trường Sư phạm Cao cấp Sau đó ông còn làm Giám đốc Trường Đại
học Sư phạm Khoa học, rồi Phó Hiệu trưởng
Trường Đại học Tổng hợp Hà Nội
Trong lĩnh vực quản lí Nhà nước về khoa học và các hoạt động của Hội nghề nghiệp của
những người làm khoa học, ông cũng có
nhiều đóng góp lớn lao Giáo sư là ủy viên
Ủy ban khoa học Nhà nước kiêm Trưởng ban
khoa học cơ bản, sau đó làm Trưởng ban quản lí Ông là người sáng lập và là Hội
trưởng đầu tiên Hội Toán học Việt Nam Giáo
sư cũng là Tổng biên tập đầu tiên của tạp chí
toán học Acta Trong mười năm của thập kỉ 70, ông lãnh đạo Viện toán và cũng là Viện
trưởng đầu tiên của Viện Toán học Việt Nam
Giáo sư còn tham gia hoạt động khoa học trong lĩnh vực hợp tác với nước ngoài Từ
1956 đến 1980 ông là đại diện toàn quyền
Nhân kỉ niêm 100 năm ngày sinh Lê Văn Thiêm (1918 - 2018)
MỘT NHA TOAN HOC HANG DAU CUA NUOC TA
VU KIM THUY
Việt Nam tại Viện Liên hợp nghiên cứu hạt nhân Đupna (Liên Xơ)
Ơng cũng là một trong những người xây
dựng Trung tâm toán học ứng dụng và tin
học thành phố Hồ Chí Minh
Trong lịch sử toán học Việt Nam, giáo sư đã
để lại dấu ấn trong nhiều địa bàn hoạt động
của mình
Năm 1991 giáo sư từ giã chúng ta Ông là một tấm gương cả đời phấn đấu cho nền Toán học Việt Nam Nhiều bạn trẻ chúng ta ít nhiều chịu ảnh hưởng từ các hoạt động của
ông
Cần nói thêm một điều, ông cũng là một
trong những người đề xuất việc mở các lớp
toán đặc biệt đặt tại 3 trường Đại học Tổng
hợp, Đại học Sư phạm Hà Nội, Đại học Sư
phạm Vinh và việc xuất bản tờ báo Toán học và Tuổi trẻ cách đây 53 năm
Từ Toán học & Tuổi trẻ, năm 2000 đã ra đời tạp chí Toán Tuổi thơ
Từ năm 1998, Hội Toán học Việt Nam đã lập
giải thưởng hàng năm mang tên giáo sư trao
cho các thầy giáo toán, các nhà quản lí và
truyền bá toán học, các học sinh có thành
tích xuất sắc về mơn tốn
Trang 12
bản Sti
HSG TRUNG HOC CO 3 CAC TINH
DE THI TUYEN SINH LOP 10
THPT CHUYEN NGUYEN TRAI HAI DUONG
Mon: Toan chuyén - Nam hoc: 2016 - 2017
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 2 2 Câu 1, (20 điển) a) Rút gọn biểu thức: A ~ J® 2 -2-/a + foe +2Ja véia>0,x>0 xX xX b) Tinh gia trị biểu thức P = (x— y)? + 3(x — y)(xy +1) biét: x = 934.22 -93-2V2 , y=917 +1202 - Ÿ17—1242 Câu 2 (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 +6 = 4x? — 2x? +3 (x+x2+2x+2+1)[y+JyV2+1]=4 2 b) Giải hệ phương trình: x* —3xy —- yŸ =3
Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương n biết: M = n.4" + 3" chia hết cho 7
b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên dương thoả mãn: (x? + 4y? + 28)? - 17(x? + y') = 238y? + 833
Câu 4 (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là điểm di chuyển trên đường tròn (O) (A khác B và C) Ké AH vuông góc với BC tại H M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B
a) Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định
b) Đường thẳng MH cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và F) Gọi I là trung điểm của HC, đường thẳng AI
cắt (O) tại G (G khác A) Chứng minh: AF? + FG? + GE? + EA? = 2BC?
c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên AB Tìm vị trí của điểm A sao cho bán kính đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c= 1
ab +bc + ca
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = 14(a2 +b^ + c2) +>
Trang 13LÙI GIẢI ĐỀ THỊ TUYỂN SINH LÚP 10 THPT CHUYÊN TP HÀ NỘI Môn: Toán chuyên Tin - Năm học: 2017 - 2018 (Đề đăng trên TTT số 176+177) Bài 1 1) ĐKXĐ: 5x—x2>0 Dat t=V5x-—x? Ta có t-2t2+6=0 ©t=2 hoặc t=~Š (loại) Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1.4} 2) ĐKXĐx>0,y>0 Hệ phương trình X+y+Xxy=3 X+y+Xxy=3 S Se X+yY+2/xy =4 xy —2,/xy +1=0 2 [YP eo xmyet xy =1
Bài 2 1) Thay z=x+y—2 vào phương trình thứ
hai ta được (x¬y-2)? +(x +4)? = 37 =>5<x+4<6> xe {142} *V6i x =1> y¢ Z (loai) *V6i x=2> y=14z=1 Vậy (x;y;Z) = (2,1,1) 2) Từ giả thiết ta có (a +b + c)(a + b — c) = 2ab Suy ra a+b—c là số chắẵn Đặt a+b_—c = 2k (ke Z) Suy ra ab:(a +b + c) 3) Giả sử 2n + 1,3n+1 là các số chính phương Đặt 2n+1= a2; 3n+1= bề với a,bec N Ta có n= bỂ -a^, 1= 3a^ - 2b? —› 2n +9 = 25a2 — 16b2 = (5a — 4b)(5a + 4b) Vì 2n+9 là số nguyên tố nên 5a - 4b = 1 2 5a —Í1 = 5a— 1= 4b > 1= 3a2 — 2b ~3a?-a5 7 2 _ _ ={ _ 7a +10a-1 _2.40a-g=0— a 8 a=9 * Với a =1=n=0 (loại vì 2n+ 9 =9 là hợp số) * Với a=9>n=40 (thỏa mãn) Bài 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 11.21 1_ 2 1 _ 8 a2 bể a* b* ab (ase) (a+b)? 2 Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bất đẳng thức đó ta được 1,415, 1 + + 1 bˆ c2 |(a+b)* (b+c)* (c+a)? 3-4 a IV 1 1 1 16 21 xt 5 |:
(2a+b+c)“ (a+2b+c)* (a+b+2c)
Vậy MaxP = — khi a=b=c=1 Bai 4 1) Ta có AADB đồng dạng với ACDF Suy ra BCZ =4.DA.DF
2) Dựng đường kính AM của đường tron (O) Goi | và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE và GE
với (O)
Vì tứ giác BHCM là hình bình hành nên ba điểm H, D, M thẳng hàng
Suy ra AGD = AED
Do đó tứ giác AGED nội tiếp
Ta có BAI= CAM = BÌ =CM (1)
Vì tứ giác AGED nội tiếp nên EAD = ÉGD (2) Từ (1) và (2), suy ra BN = CF > BEK =EGK
Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
tam giác KGE
Bài 5 (xem bài toán 2 trang 22)
Trang 14S01 DÂY HUYỀN Nũ00 TRAI NGUYỄN THỊ THÀNH ôm nay là chủ nhật, thám tử Sêlôccôc cũng rảnh rỗi, ông ra ngoài đi dạo Thám tử vừa đi thong thả, hít thở bầu không khí trong lành, vừa
ngắm dòng người nườm nượp qua lại Bỗng
nhiên chuông điện thoại reo lên, ông nghe
máy, một giọng hốt hoảng ở đầu dây bên kia: “Sêlôccôc à! Tôi, My đây! Ông có thể đến nhà tôi ngay được không? Tôi cần ông
giúp tôi việc này”
Thì ra là bà My, một người bạn rất thân của
thám tử, bà ấy là một nữ doanh nhân thành
đạt Chẳng cần suy nghĩ, ông trả lời ngay: “Tôi sẽ đến nhà bà sau 15 phút nữa”
Chuông cửa reo vang, bà My vội vàng ra mở cửa
- Có việc gì vậy, bà bạn của tôi?
- Tôi sắp dự một bữa tiệc rất quan trọng, tôi
định sẽ đeo một sợi dây chuyền ngọc trai rất quý giá Sáng nay, tơi ra ngồi lúc 9 giờ, tôi
để dây chuyền vào cái ngăn kéo ở bàn trang
điểm của tôi Tôi đi thư giãn một chút, chăm sóc lại sắc đẹp của mình Đến 3 giờ chiều tôi
mới về nhà thì phát hiện sợi dây chuyền đã biến mất Ông có thể tìm nó giúp tôi ngay được không, 8 giờ tối nay bữa tiệc sẽ bắt đầu
- Bà đừng cuống, ba My ạ! Tôi sẽ giúp bà
Nhưng trước tiên bà cho tôi hỏi, những ai biết bà đi dự tiệc tối nay với sợi dây chuyền đó - À! Tôi có nói chuyện này trong bữa cơm tối
qua nên chị giúp việc và hai đứa cháu của tôi
là Hòa và Việt đều biết chuyện này
A (9A2, THCS Yén Phong, Yén Phong, Bac Ninh)
- Tôi có thể gặp từng người trong số họ được không?
- Dạ được
Đầu tiên thám tử gặp chị giúp việc
- Chào chị, chị có biết bà chủ vừa mất sợi dây chuyền quý giá không?
- À! Tôi cũng vừa mới biết
- Vậy chị có thể cho tôi biết chị đã làm gì trong lúc bà chủ vắng nhà?
- Sau khi bà chủ đi, tôi dọn dẹp bàn ăn, rồi ra
siêu thị mua sắm Nếu cần tôi có thể cho
ông xem hóa đơn
- Thế còn trưa nay, chị đã làm những gì?
- Trưa nay à, tôi chuẩn bị cơm nước xong
xuôi thì bà chủ gọi điện nói rằng không ăn
cơm ở nhà Sau đó tôi ăn cơm cùng hai cậu
Hòa và Việt Khoảng hơn 12 giờ trưa thì tôi
rửa bát, rồi lau chùi dọn dẹp Tiếp sau đó tôi có nghỉ trưa một lát
Tiếp theo là Việt
- Cháu có thể kể việc cháu đã làm trong
ngày hôm nay được không?
- Hôm nay, cháu được nghỉ nên ngủ nướng đến tận 10 giờ mới dậy Cháu lên mạng đọc vài truyện ngắn Cháu rất mê truyện ngắn
bác a!
- Hôm nay cháu đọc truyện gì thế?
- Cháu đọc truyện ngắn “Vợ nhặt” của nhà
văn Kim Lan a
- O! Kim Lân sao! Bác rất khâm phục và ngưỡng mộ tài viết văn của ông ấy đấy Cháu thấy ấn tượng với nhân vật nào?
- Dạ, cháu thấy ấn tượng với nhân vật ông
Trang 15giáo bác ạ Vì những điều mà ông rút ra từ cuộc đời: “Một người, chân đau có lúc nào quên được cái chân đau của mình để nghĩ
đến cái gì khác đâu Cái bản tính tốt của người ta bị những nỗi lo lắng, buồn đau, ích kỉ che lấp mất”
Cuối cùng là Hòa
- Sáng nay cháu đã ở đâu và làm gì vậy?
- Sáng nay cháu phải đi học
- Ồ chủ nhật cháu cũng đi học sao?
- Vâng a Cháu duoc di hoc bồi dưỡng để
tham dự cuộc thi học sinh giỏi do thành phố
tổ chức
- Cháu giỏi thật đấy! Chắc là cháu cũng chẳng có ngày nào để nghỉ ngơi đúng không? Thế còn chiều nay cháu có đi đâu
không?
- Dạ chiều nay cháu chỉ ngồi học ở nhà thôi
ạ
- Chăm học như vậy thật đáng quý Bác chúc cháu luôn thành công nhé!
- Vâng, cháu cảm ơn bác a
Sau khi nói chuyện với cả ba người, thám tử Sêlôccôc khẳng định với bà My răng đã tìm
ra người lấy cắp sợi dây chuyền Mặc dù đã nhận lại sợi dây nhưng bà My vẫn chưa hiểu
căn cứ vào đâu mà thám tử lại nhanh chóng tìm ra thủ phạm? Các thám tử Tuổi Hồng có thể giúp bà My được không? 4 > > THE CO (Kì 95) Ie a trước cấu pens sau 2 nước ys Te 7) HN a amt none 227v v ane “a a ee Z¬ 2 22 Is ` A7" ; 2ó a ie se a TT 4 LE THANH TU ba Kien tướng Quốc tê) | NO G3 +> ie œ® >a' œ > AE er XS — \ NO G3 +> ƠI oO) ¬i œ _ ASGETED (rr số 175) Ai la tht pham? Rất nhiều thám tử Tuổi Hồng đã phán đoán chính xác thủ phạm chính là anh Bình, cháu của ông Vinh Anh Bình đã để lộ sơ hở khi cho rằng cá sấu là một loài cá hung dữ Thực
chất cá sấu không phải là cá mà thuộc loài bò sát Nhưng các thám tử lại không để ý hết sự dối trá của anh chàng này Anh Bình đã nói dối rằng xem TV suốt từ tối đến đêm tại
phòng khách, trong khi thực tế bà Hoa, cô họ
của ông Vinh mới là người xem TV đó vào
buổi tối Không những thế cô con gái ông Vinh đi chơi về khuya thì cả nhà đã đi ngủ Thế mà anh Bình lại nói rằng anh ngồi xem TV đến khuya mới đi ngủ Rõ ràng anh Bình đã cố tình tạo ra bằng chứng ngoại phạm nhưng thật không ngờ qua con mắt tài ba
của thám tử Sêlôccôc, sự thật đã được phơi bày
Quà tặng kì này sẽ được gửi tới các thám tử:
cóc Nguyễn Phương Linh, 6A1, THCS
se NG HA Yén Phong, Yén Phong, Bac Ninh;
———"Nguyén Huy Hoang, 9A, THCS
Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Hoàng
Ngọc Quân, 9A4, THCS Nguyễn Đức Cảnh, Thái Thụy, Thái Bình; Đặng Quỳnh Trang,
7B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ
An; Nguyễn Thi Khanh Ha, 7/2, THCS Lê Van Thiém, TP Ha Tinh, Ha Tinh
Trang 16
Gần đây ta hay nói đến cuộc cách mạng 4.0
hay công nghệ 4.0 trong kí thuật - công nghiệp Vậy cách mạng công nghiệp 4.0 hay
công nghệ 4.0 là gì?
Chúng ta hãy lược qua cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ nhất mà nay được gọi là cách mạng 1.0 và các cuộc cách mạng 2.0, 3.0 ⁄ Cuộc cách mạng 1.0 là cuộc cách mạng chuyển từ nền nông nghiệp sang công nghiệp Cuộc cách mạng này diễn ra từ cuối
thế kỉ XVIII Từ sự khởi đầu của New Comal đầu thế kỉ và đến năm 1775 Nhà máy sản xuất máy hơi nước ra đời ở Birmingham, Anh
của Giêm Oat (James Watt) người Scotlen có
thể nói bắt đầu thời kì 1.0 Nguyên lí hoạt động của máy là từ sự bay hơi nước của nồi
supde biến nhiệt năng thành cơ năng Máy
dệt và máy hơi nước là hình ảnh đặc trưng
cho cuộc cách mạng 1.0 Nhờ có máy hơi nước hoạt động giao thông đường sắt ra đời
Cuộc cách mạng lần thứ hai được đánh
dấu từ thời điểm năm 1831 - 1832 Michael Faraday phát minh ra đĩa Faraday để từ đó
năm 1883 Hippolite Pixii chế tạo thành công
máy phát điện Dynamo Máy nổ và dầu mỏ là
đặc trưng cho cuộc cách mạng 2.0 Điện thoại, đài phát thanh và tivi là những thành tựu trong cuộc cách mạng này Đô thị hóa
cũng phát triển và ô tô cũng là một dấu ấn
của cuộc cách mạng này
GÁC GŨ MÁY VÀ GÁCH MẠNG 4.0
VŨ KIM THỦY
3s Năm 1950 nhà toán học Turing cho ra đời
cỗ máy sau này mang tên ông, không thể ngờ rằng chỉ 19 năm sau, máy tính điện tử đã phát triển thành máy vi tính và kết nối toàn thế giới với nhau nhờ sự phát triển bởi các nhà khoa học Mỹ Có thể coi năm 1969 là mốc thời gian cho cuộc cách mạng 3.0 khởi đầu Như vậy
máy tính và tự động hóa là những hình ảnh
đặc trưng của cuộc cách mạng 3.0
Cuộc cách mạng 3.0 không chỉ có máy tính
mà còn cho ra đời điện thoại thông minh thay
đổi hẳn cách giao tiếp của loài người Cuộc
cách mạng này còn đang tiếp tục
+ Từ năm 1997 đến năm 2010 bắt đầu manh
nha cuộc cách mạng 4.0 Đặc trưng của cuộc
cách mạng này là rôbôt, những cỗ máy thông
minh tiến tới biết suy nghĩ và tự kết nối vạn vật và sự khám phá, khai thác sinh sống
ngoài Trái đất Từ 11.2015 Hoa Kỳ đã có Luật
về khai thác Vũ trụ Hàng loạt ngành nghề
mới sẽ ra đời Rất nhiều công việc bạn chưa
từng biết đến sẽ chờ đón bạn trong tương lai Từ Máy hơi nước đến Máy nổ loài người mất gần 100 năm Từ Máy nổ đến Máy tính loài người cũng mất gần 100 năm Còn từ Máy vi tính đến Máy nghĩ có thể mất ít thời gian hơn thế Máy nghĩ dựa trên cơ số 2 với kí tự 0 và †
nên nhiều người còn gọi cuộc cách mạng này
là cách mạng số
Bạn nghĩ mình sẽ làm gì để chuẩn bị sống
Trang 17AGETED rr 56175) KE DUONG THANG VUONG GOC A Q E
Cách kẻ đường vuông góc từ điểm A đến đường
thẳng d đã cho như sau:
- Lấy hai điểm B, D trên đường thẳng d sao cho góc ABD là góc nhọn Từ điểm A kẻ đường vuông góc với đường thẳng AB và kéo dài sao cho cắt
đường thẳng d tại điểm C Từ điểm C kể đường vuông góc với đường thẳng AC, từ điểm B kế
đường vuông góc với đường thẳng AB, hai đường
thẳng vừa dựng kéo dài cắt nhau tại điểm E thì
ABEC là hình chữ nhật
- Lấy một điểm G (khác B) nằm trên đường thẳng
d sao cho góc EGC là góc nhọn Từ điểm E kẻ đường vuông góc với đường thẳng EG và kéo dài
cắt đường thẳng d tại điểm P Từ điểm P kẻ đường vuông góc với đường thẳng EP, từ điểm G kể đường vuông góc với đường thẳng EG, hai đường thẳng vừa dựng kéo dài cắt nhau tại điểm Q thì EGQP là hình chữ nhật Nối đoạn thẳng AQ
- Từ điểm A kẻ đường vuông góc với đường thẳng
AQ và đường thẳng này cắt đường thẳng d tại điểm T thì AT vuông góc với đường thẳng d Thật vậy, dễ thấy rằng các tứ giác ABEC và EGQP đều là hình chữ nhật Giả sử AH, QK và EF đều vuông góc với đường thẳng d tương ứng
tại H, K, F thì AH = EF = QK nên AQKH là hình
chữ nhật suy ra AQ // d Mà đường thẳng AT vuông góc với đường thẳng AQ, suy ra AH vuông góc với đường thẳng d
BE NUOC NAO
DUNG NHIEU NUOC HON?
Bài toán Người ta đựng đầy nước vào ba bể nước hình lập phương có cạnh a, b,c(a>b >c) và ba bể nước hình hộp chữ nhật có diện tích đáy lần lượt là a?, b2, c? có chiều cao theo thứ tự là b, c, a Vui đố Vẻ ba bể nước nào đựng
nhiều nước nhất Ý kiến của bạn thế nào?
PHẠM TUẤN KHẢI (Hà Nội)
Nhận xét Đề bài cho phép dùng êke vẽ góc vuông tại đỉnh góc vuông đó, nếu cho phép vẽ
nửa đường thẳng đi qua một điểm gần với đường
thẳng nào đó thì có thể giải như cách của bạn
Lương Cao Nghiêm, 8C, THCS Lê Văn Thịnh,
Gia Bình, Bắc Ninh như sau: Từ một điểm B trên
đường thẳng d kẻ nửa đường thẳng Bx vuông góc với đường thẳng d về phía điểm A Từ một điểm C, gần điểm A, trên nửa đường thẳng Bx kẻ nửa đường thẳng Cy vuông góc với nửa đường thẳng Bx về phía điểm A Do điểm A khá gần nửa đường thẳng Cy nên đặt êke vẽ được nửa đường thẳng Az đi qua điểm A và vuông góc với nửa đường thẳng Cy Do Cy // d mà Az vuông góc với
Cy nên Az vuông góc với d
xe Chỉ có bạn Lương Cao Nghiêm, 8C,
Đ)! CHÍ THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc
Ninh được nhận thưởng kì này
ANH COMPA
AGETED crit2 số 178)
HOG VAT LI BANG TIENG ANH
DONG DIEN
Dòng điện là lưu lượng dòng chảy của điện tích
Điện tích chảy gồm các điện tử và luồng điện tử
bởi vì trong một điện trường có sự khác nhau của
điện thế giữa hai vị trí Một hiệu điện thế là cần thiết để tạo ra một dòng điện
Một mạch điện là một vòng khép kín, gồm nguồn của hiệu điện thế và một hoặc nhiều thành phần
mà dòng điện chảy vòng quanh chúng
¬+ø_ Nhận xét Các bạn sau có bản dịch sát Bad Hine wk nghĩa, được thưởng kì này: Nguyễn
~~ Phương Linh, 6A1, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh; Đỗ Thị Minh Phượng 9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Hồng, Nam Trực, Nam
Định
VÂN KHANH
Trang 18“+ _- Giải qua / Bài 1(175) Với n là số nguyên Để bài dương thì số A = 19.2” + 17 là số nguyên tổ hay hợp số? Vì sao? Ta sẽ chứng minh A = 19.2” + 17 là hợp số với mọi n c Đ” © e Nếun= 2k (ke Ñ"), ta có A =19.2Ỷ" +17 = 19.232 + 17 = 19.82 + 17 = 18.82“ + (1+63)* + (18 - 1) = 0 (mod 3) Suy ra A = 19.299 +17 :3 Mà A >3 nên A là hợp số e Nếu n= 4k + 1 (ke Ñ*), ta có A =19.2" +17 = 19.8" +17 =19.82*†? + 17 = 13.811 + 6.8.64ZF +17 = 13.8%? + 39.642 + 9.(1-65)** + (13 + 4) = 0 (mod13) Suy ra A:13 Mà A >13 nên A là hợp số e Nếu n= 4k + 3 (ke Ñ*), ta có A =19.23" +17 = 19.8" + 17 =19.8'*t3 +17 =15.8'*†3 + 4.89.642 + 17 = 15.8'**3 + 4.510.642 + 4.2.(1-65)** + (25 — 8) = 0 (mod 5) Suy ra A :5.Mà A >5 nên A là hợp số Vậy A =19.2Ỷ" +17 là hợp số với mọi n e Ñ nguyên tố và hợp số, cần Nhận xét phải áp dụng các kiến thức về đồng dư Các bạn sau có lời giải tốt: Tạ Kim Nam
Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc;
Vũ Tuấn Nghĩa, Lê Đức Chính, 7B, THCS Nhữ Bá
Sỹ, Hoằng Hóa; Đỗ Lê Trung, 7A4, THCS Quang
Trung; Hà Minh Hiếu, 8E, THCS Trần Mai Ninh,
TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Văn Bảo
Châu, 6/5, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng;
Nguyễn Dương Việt Nga, 7A1, THCS Bắc Kạn,
TP Bắc Kạn, Bắc Kạn; Phùng Huyền Ngọc, 6A2,
THCS Trưng Vương, Mê Linh, Hà Nội; Lưu Bảo
Phúc, Trần Thiên Ngân, 7A, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Hà Quang Tùng, Trần Lời giải Đây là một bài toán khó về số toàn thư RF
Đức Ngọc, Trần Quang Đạt, Quách Thạch Thảo,
7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Nguyễn Ngọc
Linh Chi, Lương Minh Hiếu, Hán Vũ Long, 7C;
Định Gia Huy, Nguyễn Bá Hoàng, 7E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ
PHÙNG KIM DUNG Bài 2(175) Cho tam giác ABC với các đường
phân giác AD và BE Biết
Dé bai ENC AEC
© Bee DES Chứng minh rằng
ADE BED
ABC là tam giác cân
(Theo bạn Tạ Kim Nam Tuấn, = Lời giải 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc) B D A E C
Đặt ABC = 2a; BAC = 2B Gọi I là giao điểm của
AD va BE, H là giao điểm của CI và DE Kẻ đường
phân giác DJ của HDC (Jec HC) Ta có
EDC DEC EDC+DEC 2œ+2B_
ADE BED ADE+BED œ+Ð -
Suy ra EDC = 2ADE: DEC = 2BED
Ta thay EJ là tia phân giác của DEC, DJ là tia
Trang 19Suy ra tam giác CDE cân tại C
Do đó CDE = DEC — B+ 2œ = œ + 2B =>ơœ=B= ABC = BAC
Suy ra tam giác ABC cân tại C Ngoài bạn Tuấn, bạn Phùng Nhận xét Lang, TP Việt Trì Phú Thọ HỒ QUANG VINH © Dé bai Bài 3(175) Giai phương trình DKXD Ldigiai x*-x*>0e|x|<1-1<x<1
Dang Duong, 7C, THCS Van
có lời giải đúng được khen kì này 134x2 _ x4 +9V x2 +x? =16 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có = salxˆ4 — 4x2) 2 — Av2 _ y2 <X + (4 4x") _ 4 3X dd) 4 3Vx2 +x* = = lx(4 + 4x2) 2 2 2 < OX _— )_ as) Từ (1) và (2) suy ra 13x? -x2 +9\x2 +xf <-—(4~3x?)+ (13xÊ +4) =16 Đẳng thức xảy ra khi 2 2 =4-4 2 ~ x x © x“ - 4œ X= +2 (thoa man 9x? = 44 4x? 5 v5 ĐKXĐ) Vậy phương trình có tập nghiệm là S = (+e) sử dụng bất đẳng thức V5 Nhận xét AM-GM hoặc bất đẳng thức Điều then chốt của bài toán là Bunhiacốpxki để chứng minh 13x? -x? +9Nx2 +x” <16 Một số bạn viết là x2 =2 = x=-2- dẫn đến thiếu nghiệm 5 v5
Các bạn sau có bài giải tốt: Đỗ Lê Trung, 7A4,
THCS Quang Trung, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa;
Nguyễn Thị Quỳnh Chi, 8A1, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh; Đào Nhân Độ, Nguyễn Công Hùng, Nguyễn Công Hải, 8A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Huy Hoàng,
8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An NGUYÊN ANH DŨNG Bài 4(175) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng 2 p2 c2 © Dé bai a c a bc ——+—>+—>—+—+— b Cc a b c a = Lời giải Vì abc = 1 nên áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được 2 aồ _- aye c = 44,2 be _ 4 b b4 Suy ra 32> 4,8_S b ba Chứng minh tương tự ta được 2 2 3P 4° _3vaa£€ ,a0°_P Cc c b a ac Từ các bất đẳng thức trên suy ra 2 2 2 (#‹£.#)::(s.>.e) b Cc a b ca Đẳng thức xảy ra khi a =b = c = 1
Có nhiều bạn tham gia giải
Nhận xét bài Các bạn sau có lời giải tốt: Trần Quang Tài, Vũ Tiến
Hải, Nguyễn Mạnh Kiên, 9A1, THCS Yên Phong; Đào Tuấn Linh, Nguyễn Trường An, 9A1, THCS
Thị Trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Đào Nhân Độ, Nguyễn Công Hải, 8A3, Triệu Hồng Ngọc, Nguyễn Đức Tân, Nguyễn Đăng Khoa, 9A3,
THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đặng Phương Nam, 9E1, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Phạm Bá Hùng, 9A6, THCS Trần Phú, Phủ Lý, Hà Nam; Nguyễn Việt Anh, 8D,
THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Thị Linh Đan, 9D, THCS Lý Nhật Quang,
Đô Lương, Nghệ An; Ngô Bảo An, 9A0, THCS
Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội
CAO VĂN DŨNG
© Đề bài Bài 5(175) Xét n điểm trên mặt phẳng sao cho các điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng và cứ 3 điểm bất kì không thẳng hàng trong các điểm đó
lập thành một tam giác vuông Hỏi số nguyên
Trang 20A Z^> B C e TH2 n = 4 thì tồn tại hệ điểm như hai hình vẽ sau: A B JN B D C D C
e TH3 n> 5 Ta chọn 2 điểm A, B sao cho AB là
khoảng cách lớn nhất trong số các khoảng cách giữa hai điểm của hệ điểm đó Nếu một điểm không nằm trên đường thẳng AB thì nằm trên
đường tròn đường kính AB (1)
C
E
Vì n điểm đã cho không cùng nằm trên một đường thẳng nên phải tồn tại một điểm C€ nằm ngoài
đường thẳng AB và theo (1) thì C nằm trên đường
tròn đường kính AB Nếu có một điểm trong các điểm còn lại chẳng hạn điểm D nằm trên đoạn AB
thì từ tam giác ACD vuông ta có CD L AB
Giả sử E là một điểm trong các điểm còn lại thì E
không nằm trên đoạn AB, tức là E thuộc đường tròn đường kính AB Do E khác C và tam giác ADE
vuông nên ED L AB, từ đó C, D, E thẳng hàng Vì
tam giác ACE vuông nên CE cũng là đường kính của đường tròn đường kinh AB va CE 1 AB Do đó tứ giác BEAC là hình vuông Khi n = 5 ta có hệ điểm tạo thành 4 đỉnh hình vuông và tâm của hình vuông đó B C E A
Với n >6, gọi F là một điểm trong các điểm còn lại
thì làm tương tự như trên ta được F trùng với C, E
hoặc D (loại) Do đó n > 6 không thỏa mãn Vậy giá trị lớn nhất của n là 5
Đây là bài toán hay về cực trị Nhân xé: tổ hợp, nhiều bạn đã có lời
giải sai, nhiều bạn ra đáp án
la n = 4 Chỉ có một bạn có lời giải đúng: Nguyễn Huy Hoàng, 9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực,
Nam Định
© Đề bài với BC là một dây không phải là
đường kính Xét điểm A trên
cung lớn BC của đường tròn (O) sao cho ABC là
tam giác nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác
ABC Đường trung trực của AH cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng số đo MON không đổi khi điểm A di động trên cung lớn BC
của đường tròn (O) A TRỊNH HOÀI DƯƠNG Bài 6(175) Cho đường tròn (O) Lời giải Sư Vì MN là đường trung trực của AH và H là trực tâm
của tam giác ABC nên MN L AH; AH L BC
Do đó MN // BC
Từ đó, kết hợp với MN là đường trung trực của AH
và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SUY ra
MA
AMH = 2AMN = 2ABC = AOC; wee 1 Oc
Do đó AAMH w AAOC Suy ra AAMO w AAHC
Vi CH _L AB nén AOM = ACH = 90°-BAG (1)
Chứng minh tương tự ta được
AON = ABH = 90° -BAG (2) Từ (1), (2) và do AABC nhọn suy ra MON = AOM + AON = 2(90° -BAC) = 180° -2BAC (không đổi) Nhận xét giải đúng Chỉ có bạn Nguyễn Đăng
Khoa, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ có lời
NGUYEN MINH HA
Cac ban chú ý đón đọc quy chế Cuộc thi
đặc biệt nhân 15 năm Toán Tuổi thơ 2
va dé thi trong số 179
Trang 21
Các đơn vị quốc tế tức Système international
d’unités (tiếng Pháp), International System of
Units (tiếng Anh dịch từ tiếng Pháp) viết tắt là SI, được đặt ra lần đầu năm 1960 và hoàn chỉnh năm 1971 SI cũng được gọi là hệ mét
Tên hoặc kí hiệu của các ước và bội thập
phân của các đơn vị quốc tế SI được lập bằng cách ghép liền trước tên hoặc kí hiệu của một đơn vị SI bởi một tiếp đầu ngữ (tên
hoặc kí hiệu) như sau: BỘI yotta Y 40 zetta Z 10°" exta E 4018 peta P 10°° tera T 4012 giga G 10° mega M 10° kilo kK 10° hecto h 10? deca da 10' UGC deci d 107 centi C 10° mili m 10° micro ụu 10° nano n 10° pico p 402 CAC DON VI QUOC TE (SI) VU VAN GIANG femto f 405 atto a 40 zepto Z 10°?" yocto y 40“
e Bạn chú ý các tên ghép phải viết liền, không để khoảng trống Ví dụ milimét (mm), kilogam (kg), centilit (cl) s Đơn vị chuẩn khối lượng là g Vi vay 1 kg = 1000 g hay 1 g = 0.001 kg = 10 kg 2 Không ghép liền tên của ước và bội với nhau Ví dụ 10? m viết nanomét là đúng
còn 10 m viết milimicromét là sai
(Gần đây ở siêu thị, chợ, người bán hàng viết giá tiền theo kiểu 93 K là viết theo cách này
K ở đây hiểu là kilô tức 10° hay 1000 Chang hạn 93 K hiểu là 93 000 đồng Tuy nhiên viết
chữ k thì chính xác hơn Đây không phải cách viết đơn vị vật lí, chỉ là một quy ước xã
hội)
Nhiều bạn chưa quen với đơn vị ước của lit
như centilit, như gam có centigam Ở đây do các đơn vị này ít gặp trong đời sống thường
Trang 22PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DANG DAC BIET
KIEU BINH MINH
(GV THPT chuyén Hung Vuong, Phu Tho)
Phương trình nghiệm nguyên là một dạng toán hay
và khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên
Bài viết này ta sẽ xét các bài toán phương trình nghiệm nguyên hai ẩn x, y mà trong phương trình
ẩn y có bậc là một Ta sẽ giải bằng cách tính y
theo x rồi sử dụng tính chất chia hết
Bài toán 1 Giải phương trình nghiệm nguyên xy - 2x —- 3y+1=0 Lời giải Ta có xy — 2x —- 3y + 1=0 © Xy - 3y = 2x— † © y(x - 3) = 2x - 1 (1) e Nếu x= 3 thì (1) trở thành 0y = 5 (vô li) e Nếu xz 3 thì từ (1) suy ra 2x-1 2x-6+5 5 = ——_—X—X— = 2 + x-3 x-3 x-3 Vì x, y là số nguyên nên 5 : (x — 3) Suy ra (x — 3) € {-5; -1; 1; 5} Lap bang gia tri x-3 —5 —1 1 5 x —2 2 4 8 y 1 -3 7 3 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x; y) la (-2; 1); (2; =3); (4; 7); (8; 3) Bài toán 2 Giải phương trình nghiệm nguyên 8x? — 3xy — By = 25
Lời giải Ta có 8x? - 3xy — 5y = 25
Trang 23
1
TRAN DAU THU MOT TRAM NAM MUOI
Người thách đấu: Hoàng Lê Nhật Tùng, SV K61 Sư phạm toán, Dai
học Quốc gia Hà Nội
Bài toán thách đấu: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 = + +3 Ÿ2xŠ + y4 —x2 +4 Ÿ2yŠ +z4—y2 +4 Ñ2z5 +x*—z2+4 Thời hạn: Trước ngày 08.01.2018 theo dấu bưu điện AGETED trra số 175)
TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM BỐN MƯƠI TÁM
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực
không âm ta có a2 +bf > 2ab; (1) a2 +c? >2ac; (2) bÊ +c2 > 2bc (3)
Nhân theo vế của (1), (2) và (3) ta được
8a?b2cˆ < (a2 + b2)(bˆ + c?)(c? + a2) =8 = a*b*c? <1
Suy ra (a2 +b? + c*)(a*b? +b*c* + a2c2) = (a? + b^)(a? + c^)(bˆ + c2) +a“bˆc? =8+a*b*c* <9 (4) Ta lại có 3(a?b2 +a^c? + bc?) > (ab +bc + ac)* > abc(a +b + c) (5) Mà 3(a? +b? +¢7) > (a+b+c)* (6) Từ (4), (5) và (6) suy ra 9> (a2 +bÊ+ c2)(a?b2 +b2c? + a°c*) > abc(a +b + c)Ÿ
Suy ra P<27 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Vay MaxP = 27 khi a=b = c
Nhận xét Hầu hết các bạn trong lời giải chứng
minh bổ đề 9(a^ +b^)(a2 + c2)(b2 + c2)
> 8(a? +b? + c?)(a?b2 +a2cˆ + b*c7)
Kì này có nhiều võ sĩ tham gia giải và làm đúng
Các võ sĩ sau có lời giải ngắn gọn và chính xác:
Nguyễn Mạnh Kiên, Trần Quang Tài, Nguyễn Hữu
Tuấn Nam, Nguyễn Tiến Phong, Vũ Tiến Hải, Đào
Tuấn Linh, Nguyễn Trường An, Nguyễn Thị Hiền
Giang, Nghiêm Thị Mai Phương, 9A1, THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong; Nguyễn Thị Minh Tâm, 9C,
THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh; Nguyễn
Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh,
Nghệ An; Nguyễn Đăng Khoa, 9A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đảm Quang Anh,
9E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Bá Hùng, 9A6, THCS Trần Phú, Phủ Lý, Hà Nam
Đăng quang trong trận đấu này là võ sĩ => CÓ lời giải ngắn gọn và gửi sớm nhất:
~~ Nguyễn Thị Mai Anh, 9D, THCS Đặng
Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
LÊ ĐỨC THUẬN
DUOC THUONG Ki NAY
Nguyén Huy Hoang, 9A, THCS Nguyén Hién,
Nam Trực, Nam Định; Tạ Kim Nam Tuấn, 6A2, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đỗ Lê Trung, 7A4, THCS Quang Trung, TP Thanh
Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Văn Bảo Chau, 6/5, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng; Nguyễn Dương
Việt Nga, 7A1, THCS Bắc Kạn, TP Bắc Kạn,
Bắc Kạn; Phùng Huyền Ngọc, 6A2, THCS Trưng
Vương, Mê Linh; Ngô Bảo An, 9A0, THCS
Nguyễn Trường Tộ, Đống Đa, Hà Nội; Lưu Bảo
Phúc, Trần Thiên Ngân, 7A, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An; Đào Nhân Độ,
Nguyễn Công Hải, 8A3, Nguyễn Đăng Khoa,
9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Quỳnh Chi, 8A1, THCS Yên Phong,
Yên Phong, Bắc Ninh; Phạm Bá Hùng 9AG,
THCS Trần Phú, Phủ Lý, Hà Nam
Trang 24
TS DANG THUC VOI TINH BAT BIEN
NGUYEN BUC TRUONG (GV THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội)
Các bài toán tổ hợp có sử dụng tính chất bất biến xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi
vào THPT chuyên Bài viết này sẽ xét một số bài toán có sử dụng tính chất bất biến của các đẳng
thức
Bài toán 1 Trên bảng đã viết dãy gồm 2015 số
: 1 so Người ta thực hiện trò chơi
1.1
12 3` 2015
sau: Mỗi lần xóa đi hai số u, v bất kì trong dãy số và viết thêm vào dãy số một số có giá trị bằng u +
V + UV Sau khi thực hiện trò chơi như trên 2014
lần thì trên bảng chỉ còn một số Hỏi số đó là số
nào?
Lời giái Nếu lúc đầu có dãy sé u, v, a, b, ¢, thi sau khi thực hiện trò chơi ta có dãy số m, a, b, ¢,
Đặt m= u+v+uv thìm + 1=(u+1)(w+ 1) Do đó
nếu cộng mỗi số của dãy số ban đầu với 1 thì mỗi lần thực hiện trò chơi xóa đi hai số u, v và viết m sẽ tương ứng với một lần xóa đi hai số u + 1, v + Í và ta viết lên bảng số (u + 1)(V + 1)
Ta thấy ở mọi thời điểm thì khi lấy mỗi số hạng trên bảng cộng với 1 và nhân các kết quả nhận được với nhau ta được một số không đổi và bằng:
lee) nh
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là 2015
Bài toán 2 Ta viết lên bảng 99 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, ., 99 Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần xóa
ba số a, b, c bất kì trên bảng rồi lại viết lên bảng số có giá trị là abc + ab + bc + ca + a + + c Trò chơi
như trên được thực hiện cho đến khi trên bảng chỉ
còn lại 1 số Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là
số nào? (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
TP Hà Nội, năm học 2017 - 2016)
Lời giải Nếu lúc đầu ta có dãy sé a, b, c, x, y, Z thì sau một lần thực hiện trò chơi ta có dãy số m, X, y, Z,
Đặt m = abc + ab + bc + ca + a + b + c thì m + 1= (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Do đó nếu cộng mỗi số của dãy ban đầu với 1 thì
sau mỗi lần thực hiện trò chơi trên sẽ tương ứng với
việc xóa đi ba số a + 1, b + 1, c + 1 và viết lên bảng
+1) = 2016
số (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Suy ra ở mọi thời điểm thực hiện trò chơi như trên nếu ta lấy mỗi số trên bảng cộng thêm 1 rồi nhân các các kết quả nhận được với nhau ta được một số không đổi và bằng:
(1+1)(2+)(3+1) (99 + 1) = 1001
Vậy số cuối cùng còn lại trên bang là 100!-1 Nhận xét Trong bài toán 1 và bài toán 2 ta sử dụng các hằng đẳng thức
seUV+u+v+†1=(u+ †)(V+ 1) s abc + ab + bc + ca+a+b+c+ Í = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Bài toán 3 Cho dãy gồm 2017 số + 1, - ` _1a Ta thực hiện trò chơi: Mỗi lần
12 3 2017
xóa hai số a, b bất kì của dãy số và thay vào đó số
có giá trị là 2ab + a + b Ta tiếp tục thực hiện trò
chơi cho đến khi trên bảng còn lại đúng một số Tìm số còn lại đó
Phân (ích Ta sử dụng hằng đẳng thức:
4ab + 2a + 2b + 1 = (2a + 1)(2b + )
Lời giải Nếu lúc đầu có dãy số a, b, x, y, z, thi sau một lần thực hiện trò chơi trên bảng có dãy số
m, X, Y, Z,
Đặt m = 2ab + a + b thì 2m + 1 = (2a + 1)(2b + 1)
Ta nhân mỗi số của dãy số ban đầu với 2 rồi cộng với 1 Mỗi lần thực hiện trò chơi trên sẽ
tương ứng với việc xóa hai số 2a + 1, 2b + 1 sau
đó viết số có giá trị là (2a + 1)(2b + 1)
Ta thấy ở mọi thời điểm khi nhân mỗi số hạng trên
bảng với 2 rồi cộng với 1 và nhân các kết quả
nhận được với nhau ta được một số không đổi và bằng: asel(ater(ater)nfagtoet) = 20037171 Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là 10818585
Bài toán 4 Ta viết lên bảng 2017 số tự nhiên liên
tiếp 1, 2, 3, ., 2017 Ta thực hiện trò chơi : Mỗi lần
xóa ba số a, b, c bất kì trên bảng sau đó viết số có
giá trị là abc — ab — bc —- ca + a + b + c Ta tiếp tục
Trang 25thực hiện trò chơi đến khi trên bảng chỉ còn một số
Tìm số đó
Phân (ích Ta có hằng đẳng thức
abc - ab —-bc - ca + a+b+c—† = (a—1)(b —1)(c — 1)
Lời giải Nếu lúc đầu ta có dãy số a, b, c, x, y, z thì sau một lần thực hiền trò chơi ta có dãy số m, X, Y, Z,
Đặt m = abc - ab - bc - ca + a + b + c thì m - 1=
(a— 1)(b — 1)(c — 1)
Do đó nếu trừ mỗi số của dãy ban đầu cho 1 thì sau
môi lân thực hiện trò chơi trên sẽ tương ứng với việc
xóa đi ba số a - 1, b — 1, c - 1 và viết lên bảng số
(a — 1)(b - 1)(c - 1)
Suy ra ở mọi thời điểm thực hiện trò chơi như trên khi lấy mỗi số trên bảng trừ đi 1 rồi nhân các các
kết quả nhận được với nhau ta được một số không đổi và bằng:
(1—1)(2— 1)(3 - 1) (2017 — 1) = 0
Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là 0 + 1 = 1
Bài tập
Bài 1 Ta viết lên bằng 2017 số tự nhiên liên tiếp
1, 2, 3, , 2017 Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần
xóa bốn số a, b, c, d bất kì rồi viết số có giá trị là
abcd + abc + abd + acd + bcd + ab + bc + ca + ad +
bd + cd + a+b +c + d Tiếp tục thực hiện trò chơi cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số Tìm số còn
lại đó
Phân (ích Vận dụng đẳng thức:
abcd + abc + abd + acd + bcd + ab + bc + ca + ad + bd + cd+a+b+c+d+ 1= (a+ †1)(b + 1)(c + 1)(d + 1)
Bài 2 Các số 1, 2, 3, 2017 được viết lên bằng Ta thực hiện trò chơi sau : Mỗi lần xóa hai số a, b bất kì rồi viết số có giá trị là a + b - 1 Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là số nào?
009
Bài 3 Trên bảng đã viết 2017 số dạng với k = 1,2, 3, , 2017 Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kì rồi viết số có giá trị là 2ab —a—b +1 Sau một số lần xóa thì trên bảng chỉ còn lại một số Tìm số cuối cùng còn lại trên bảng Bài 4 Trên bảng cho bốn số Mỗi lần ta thực hiện trò chơi thay hai số a, b trong bốn số đó bởi hai số
a+b+ va” +b* va atb—Va* +b? , giữ nguyên
hai số còn lại Giả sử ban đầu trên bảng có bốn số 2;3,4;5 thì sau một số lần thực hiện trò chơi như
trên ta có thể thu được bốn số mới đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao? 2 Bài 5 Trên bảng viết các số — 2015 2015 2012 Z015 Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần 2015 2015
xóa hai số a, b bất kì rồi viết số có giá trị là a + b
- 5ab Sau một số lần thực hiện trò chơi thì trên
bảng chỉ còn lại một số Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là số nào? (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên tỉnh Bình Thuận, năm học 2015 - 2016) Bài 6 Trên bảng viết các số — 1.2 3 wl — 96° 96' 96”
Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần xóa hai số a, b
bất kì rồi viết số có giá trị là a + b - 2ab Hỏi sau 95 lần thực hiện trò chơi thì số cuối cùng còn lại trên bảng là số nào? 1 ”2013' hai số x, y xy 14+X+y
một số lần thực hiện phép trò chơi thì trên bảng
còn lại một số Tìm số cuối cùng còn lại
Bài 8 Trên bảng ta viết hai số 1 và 5 Ta viết tiếp các số tiếp theo theo quy tắc sau: Nếu có hai số xX, y phân biệt thì ghi thêm số z = x + y + xy lên bảng Hỏi với cách viết thêm các số như trên thì ở một thời điểm nào đó trên bảng xuất hiện các số 2015 và 2015"! hay không?
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Ha Tinh,
năm học 2014 - 2015)
Bài 9 Trên bảng người ta viết ba số A2; 1, 1+ V2
Ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần ta xóa hai số nào đó trong ba số trên bảng, giả sử xóa a và
a+b |a-b| — bị b rồi viết hai số mới là —— va a
giữ nguyên số còn lại Sau mỗi lần thực hiện trò
chơi trên trên bảng luôn có ba số Chứng minh
rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần thì trên bảng
không thể đồng thời có ba số A 2; V2
v2
Bài 10 Trên bảng ta viết 2017 số tự nhiên liên
tiếp 1,2,3, , 2017 Ta thực hiện trò chơi sau:
Xóa ba số a, b, c bất kì trên bảng rồi viết lên bảng số có giá trị là 4abc + 2ab + 2bc + 2ca + a + b + c Ta tiếp tục thực hiện trò chơi đến khi trên bang con lại đúng một số Tìm số còn lại đó
~ 1 1 1 1 1213 ””'2017
Ta thực hiện trò chơi sau: Mỗi lần xóa ba số a, b, c bất kì trên bảng rồi viết số có giá trị là 4abc —
2ab - 2bc - 2ca + a + b + c Ta thực hiện trò chơi
Trang 26ĐỀ DỰ TUYỂN CÂU LẠC BỘ TOÁN TUỔI THƠ TOÀN QUỐC 2017 VŨ THÀNH NAM (Dịch) 1 Simplify the following expression — 1 + 2 3 Xx(x+1) (x+1(x+3) x(x+3) 2 Find the minimum value of the following expression T = (x? + 5x — 6)(x? + 5x + 6) + 2017 3 Factorize the following polynomial 2x + 3x*y—- y’ 4 Find the minimum value of the following expression P = (x? + 4x + 3)? + 2x? + 8x +6
5 Given a rhombus MNPQ with sides 8 cm and ZNMQ = 30 Find the height of the rhombus 6 Given a right trapezoid ABCD (AB // CD) having
AD = DC = = Find the measure of ZACB
7 Let m be a real number where m #+1 Evaluate
the following expression _ (m +1)? -(m- +m? -4m-1 (2m — 2)(m +1) 8 Find x such that (x + 1)(4x - 4) = 8 + (2x + 2)? 9 Find all positive integers a and b such that a* + 4a = bˆ + 1 10 Find the maximum value of the following 4a+3 ae +1 11 Find all positive integers m and n such that 2m`+mn- 7 =0 12 Let m be a positive integer Find the remainder when (m? + 8m + 15)(m + 1)(m + 7) is divided by m°+8m + 11
13 Let x, y, and z be non-zero real numbers such
that x + y + z = 0 Find the value of the following 2 y2 z2
©expression Ï =——+——+—
yZ ZX xy
14 Factorize the following polynomial x? — 6x — 72 15 There are 50 people traveling on two types of boats, small boats that can carry 5 people and big boats that can carry 7 people Given that each boat is carrying people at its full capacity How many boats of each type are used to carry all the 50 people?
16 The B6ng Son Secondary School organizes a
street soccer tournament for its classes The
format of the tournament is round robin When the tournament actually starts, two teams withdraw, so the number of matches is reduced by 17 How
many teams registered for the tournament initially? HDT
P
expression P =
SOLVE VIA MAIL
(Tiép theo trang 32) 3(178) Given a sequence 1, 1, 2, 3, 7, 22, that follows the following pattern: each term, from the
third term onwards, equals the product of the two previous terms plus 1 Prove that the terms in the
sequence are even numbers, but they are not divisible by 4 4(178) Solve equations bạ -48x2 +30x + (4y —7)1— y =7 the following simultaneous 3x+y-3=0
5(178) Let a, b, and c be positive real numbers
such that abc = 1 Prove that a b Cc >3 + + > ab+1 bc+1 ca+1 2 6 (178) Let a, b, and c be pair-wise distinct real b Cc a ý =———.Z= - a-b b-c c-a
Prove that the value of the expression M = xy +
yz+zx+x+y+z is not dependent on the values of a, b, and c
7(178) Find all prime numbers p and q such that p’.q¢° = (2p+q+1)(2qg+p+1)
8(178) Given 17 points on a plane, in which no three points are collinear For any 2 points, draw the line segment connecting them and write a positive integer on the line segment (The numbers on the different line segments are
different) Prove that there exists a triangle
formed by the given line segments such that the
sum of the numbers written on its sides is a
composite number
9(178) From a rectangular piece of paper of size 13 cm x 12 cm, how many rectangular pieces of size 4 cm x 3 cm can be cut out?
10(178) Given a non-isosceles acute triangle
ABC Let M and N be the midpoints of CB and CA respectively Draw the heights AA, and BB, of the triangle Let 7 be the intersection of A,B, and MN Prove that TC is perpendicular to the
Euler’s line of the triangle ABC (the Euler’s line of
a triangle is the line passing through its centroid, orthocenter, and circumcenter)
Trang 27
ice
PATEL
| Có thể bạn đã biết
Theo quyết định của Bộ Công thương ban hành,
giá bán lễ điện sinh hoạt từ 16.3.2015 dao động
trong khoảng từ 1484 đồng đến 2587 đồng mỗi
kWh tùy bậc thang Dưới đây là bảng biểu giá điện theo cách tính mới và theo cách tính trước đó: Mức sử dụng Giá mới Giá cũ trong tháng | (đồng/kWh) | (đồng/kWh) (kWh) Từ 0 - 50 1484 1388 Từ 51 - 100 1533 1433 Từ 101 - 200 1786 1660 Từ 201 - 300 2242 2082 Từ 301 - 400 2503 2324 Từ 401 trở lên 2587 2399 Theo bảng trên từ ngày 16.3.2015, trong một tháng một hộ sử dụng điện từ kWh thứ 0 đến kWh thứ 50 mỗi kWh phải trả 1484 đồng, từ kWh thứ 51 đến kWh thứ 100 mỗi kWh phải trả 1533 đồng,
Số tiền mà hộ gia đình phải trả là tổng số tiền điện tiêu thụ theo bảng biểu giá điện trên và tiền thuế giá trị gia tăng là 10% số tiền đó
II Các bài toán vận dụng
Bài toán 1 Hộ gia đình nhà ông Bảy tháng 9
năm 2017 tiêu thụ 90 kWh điện Hỏi nhà ông bảy
phải trả bao nhiêu tiền?
Lời giải Số tiền ông Bảy phải trả chưa tính thuế
giá trị gia tăng là: 1484.50 + 1533.(90 — 50) = 135520 (đồng) Số tiền thuế gia tri gia tang ông Bảy phải trả là: 135520.10% = 13552 (đồng) Tổng số tiền ông Bảy phải trả là: 135520 + 13552 = 149072 (đồng)
Bài toán 2 Hộ gia đình anh Toàn tháng 7 năm 2017 tiêu thụ hết 220 kWh điện Hỏi số tiền hộ
gia đình anh Toàn phải trả là bao nhiêu? Lời giải Ta có 220 = 50 + 50 + 100 + 20 Số tiền anh Toàn phải trả chưa tính thuế giá trị gia tăng là: TIỀN ĐIỆN SINH HOẠT NGUYỄN ĐỨC TẤN 1484.50 + 1533.50 + 1786.100 + 2242.20 = 374290 (đồng) Số tiền thuế giá trị ra tăng ông Bảy phải trả là: 374290.10% = 37429 (đồng) Tổng số tiền ông Bảy phải trả là: 374290 + 37429 = 411719 (đồng)
Bài toán 3 Hộ gia đình cô Phượng trong tháng 8
năm 2017 đã trả tiền điện là 323103 đồng Hỏi
lượng điện mà hộ gia đình cô Phượng tiêu thụ trong tháng 8 năm 2017 là bao nhiêu?
Lời giải Ta thấy 323103 đồng bằng 110% (Tổng số tiền điện phải trả chưa tính thuế giá trị gia
tăng)
Số tiền điện cô Phượng phải trả chưa tính thuế
giá trị gia tăng là:
323103 : 110% = 293730 (đồng)
Ta có 1484.50 + 1533.50 = 150850 (đồng) 1484.50 + 1533.50 + 1786.100 = 329450 (đồng)
Vì 150850 < 293730 < 329450 nên hộ gia đình cô Phương tiêu thụ điện trong khoảng từ 101 kWh
đến 200 kWh
Lượng điện mà hộ gia đình cô Phượng tiêu thụ trong tháng 8 là
(293730 — 150850) : 1786 + 50 + 50 = 180 (kWh)
Bài toán 4 Theo bảng giá điện mới và cũ ở trên
a) Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120
kWh thì theo giá mới số tiền phải trả tăng thêm bao nhiêu tiền một tháng so với giá cũ?
b) Nếu hộ B trong tháng 2 phải trả số tiền điện là 194170 đồng chưa tính thuế giá trị gia tăng Hỏi
Trang 28.„ J Bài 19NS Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x+ y >1 Tìm giá trị nhỏ
1 1 1
nhất của biểu thức P = 21xX+y)+-L+L+.L+
x y x2 y?
LẠI QUANG THỌ (Phòng GD-ĐT Tam Dương, Vĩnh Phúc)
Bài 20NS Giải phương trình x+2Ÿx -1=Äx2-2x+1+2x—1+1
CAO NGỌC TOAN (GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế) Bài 21NS Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm nằm giữa A và B Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của A trên CB, CD Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng EF
vuông góc với OC
LÊ XUÂN DƯƠNG (Học viên Cao học khóa 2015-2017, Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN) AGETED (1112 s6 175) Bài 13NS ĐKXĐ 0< x <1 Phương trình tương đương với ji =1+ 2x = x 14+xX Dé thay x =s là một nghiệm của phương trình Với 0<x<-+ thì t= TeX yy AKT 2 Xx 1+x? -Với-L<x<1 thì Is 6» £ !' 2 Xx 1+x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =5 Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Cao Thị Thùy
Dung, Bùi Nguyễn Nhật Linh, Phạm Khánh Huyền,
Nguyễn Thị Việt Trà, Trần Hà Nhi, Phan Lê Vân Nhi,
Cao Thị Khánh Linh, Nguyễn Ngọc Mai, 8B, Lê Thị Hằng Nhi, 9A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh, Nguyễn Thị Mai Anh, 9D, Hoàng Thị Việt Hằng,
9E, Lê Thị Khánh Hòa, 9H, THCS Đặng Thai Mai, Vinh,
Nghệ An, Trương Thị Minh Oanh, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh, Nguyễn Hà Trang, Hạ
Hiền Lương, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, Tống Thu
Hà, Triệu Hồng Ngọc, Lê Thị Phương Lan, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ, Nguyễn Thị Kiều
Trang, Nguyễn Thị Anh Thư, Nguyễn Phương Linh, 9A,
THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định, Hà Minh Hiền, 8F, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh
Hóa, Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình Bài 14NS Với a, b > 0, ta có 2 (a+b)(2-4) sop b a 2 yP bˆ at a b tt yy Tương tự ta có bi eit (2) o£ ait (3) c2 b2 b Cc a2 c7 Cc a Từ (1), (2) và (3) suy ra b+c c+a a+b 1 1 1 + + >2| —>+—+-—| ae bˆ c7 ls: b |
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Cao Thị Thùy Dung, Phạm Khánh Huyền, Trần Hà Nhi, Phan Lê Vân
Nhi, Cao Thị Khánh Linh, Nguyễn Ngọc Mai, Nguyễn
Thị Việt Trà, 8B, Lê Thị Hằng Nhi, 9A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh, Hoàng Thị Việt Hằng, 9E,
THCS Đặng Thai Mai, Vinh, Nghệ An, Trương Thị Minh
Oanh, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh,
Nguyễn Hà Trang, 8A3, Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1, Tống
Thu Hà, Lê Thị Phương Lan, Triệu Hồng Ngọc, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ, Nguyễn Thị
Kiều Trang, Nguyễn Thị Anh Thư, Nguyễn Phương Linh,
9A, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định, Hà
Minh Hiền, 8F, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa,
Thanh Hóa, Nguyễn Thu Hiền, 8A3, THCS Thị trấn Kỳ Sơn, Kỳ Sơn, Hòa Bình Bài 25NS Bạn đọc tự vẽ hình Gọi H là hình chiếu vuông góc của Q trên PN Ta có BAC + ABC = 909 + PQN = AQB =180° — —— Mà EQN+ ACB = 1809 (vì tứ giác PQCN nội tiếp) = ACB =60° Mặt khác QPN = QCN = 30° = QCP = QNP = QPN = QNP = 30° = AQPN can tai Q Ta cO PN = 2PH = 2.PQ cos QPH = 2.PQ.cos30° =PQ43 = = 2 5
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Cao Thị Thùy
Dung, Phạm Khánh Huyền, Cao Thị Khánh Linh, Nguyễn
Ngọc Mai, Nguyên Thị Việt Trà, 8B, Lê Thị Hằng Nhi, 9A,
THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
_ - Các bạn sau được thưởng kì này: Phạm
Ba Hine ik Khánh Huyền, 8B, THCS Hoang Xuan Han,
Đức Thọ, Hà Tĩnh; Trần Cao Kỳ Duyên, 9A1; Tống Thu Hà, 9A3; Hạ Hiền Lương, Nguyễn Hà
Trang, 8A3; THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
Lưu ý Các bạn cần dán 01 ảnh thẻ 4 x 6 vào bài làm mỗi lần tham gia giải bài của cuộc thi giải toán dành cho
nữ sinh
Ảnh các bạn được thưởng ở bìa 4
Trang 29
GIẢI ĐÚNG CHUA?
Bài toán Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tron
(O), đường kính AC, có BD = = Tính số đo các góc của tứ giác ABCD Một bạn học sinh đã làm như sau: Ta có ABC =ADC =90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Mặt khác BD = = =R Do dé OB = OD = BD (= R)
Suy ra tam giác OBD đều
Do đó BOD = 609: BAD = BOD = 30°,
Mà BAD +BCD = 180° (vì tứ giác ABCD nội tiếp) Do dé BCD = 180° — 30° = 150°
Các bạn có đồng ý với lời giải trên không?
NGUYÊN HẠ HÀ UYÊN
AGETED crrt2 s6 175)
BAN CO Y KIEN GI KHONG?
Bạn học sinh đã vẽ hình tam giác ABC và giải bài
toán chỉ trong trường hợp AB < AC Lời giải đầy đủ
phải xét 3 trường hợp khi so sánh AB và AC như sau Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC Ta có AM = = = 5 (cm) Vì tam giác HAM vuông tại H nên theo định lí Pythagoras ta có HM2 = AMÊ - AHÊ = 5 - 4ˆ = 9 Do đó HM = 3 (cm) Xét 3 trường hợp sau e TH1 AB <AC thi BH < CH nén BH < BM Suy ra BH = BM - HM =5 - 3= 2 (cm) A B H M C e TH2 AB=AC thi BH = CH nén BH = BM Suy ra AH = AM, nhưng điều này không xảy ra vì AH =4 (cm), còn AM = 5 (cm) se TH3 AB > AC thi BH > CH nén BH > BM Suy ra BH = BM+ HM=5+3=8 (cm) A C H M B
Nhận xét Tất cả các bạn gửi bài giải đều có ý kiến là bạn học sinh chỉ xét trường hợp AB < AC nên lời giải chưa đầy đủ và đều xét thêm trường hợp AB > AC như trên Tuy nhiên một số bạn vẫn quên loại bỏ trường hợp AB = AC
Một số bạn lớp 9 đã đặt BH = x thì HC = 10 - x,
thay vào hệ thức trong tam giác vuông là BH.HC =
AH, từ đó giải phương trình x°— 10x + 16 =0, suy
ra X;= 2 và X; =8
SS 0ó" khen thưởng kì này: Nguyễn Đức Tân, ——DD Nguyễn Đăng Khoa, 9A3, THCS Lâm
Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đàm Quang Anh,
9F1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Mạnh Kiên, 9A1, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thọ Anh Thư, 9A,
THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định
ANH KÍNH LÚP
Trang 30
Từ năm 257 TCN đến 207 TCN Nhà nước Âu Lạc do An Dương Vương đứng đầu
Năm 137 Cuộc khởi nghĩa của 3 quận Giao Chỉ, Cửu Chân, Nhật Nam chống nhà Hán Năm 157 Chu Đạt người Cửu Chân lãnh đạo 2 quận Cửu Chân, Nhật Nam khởi nghĩa
Năm 547 Lý Thiên Bảo cùng Lý Phật Tử lên
vùng núi lập nước Dã Năng, xưng là Đào
Lang Vương
Năm 687 Lý Tự Tiên khởi nghĩa chống nhà Đường
Năm 767 Khởi nghĩa Phùng Hưng
Năm 907 Khúc Hạo thay cha làm Tiết độ sứ
Năm 917 Khúc Thừa Mĩ làm Tiết độ sứ
Năm 967 Đỉnh Bộ Linh dẹp xong loạn 12 sứ quân
Năm 1077 Lý Thường Kiệt phá tan quân
Tống ở Như Nguyệt
Năm 1207 Đoàn Khả Liệt và Vương Mãn khởi
nghĩa ở Quốc Oai thuộc Hà Nội ngày nay
Năm 1257 Nguyên Mông xâm lược nước ta
Năm 1307 Đổi 2 châu Ô, Lý là 2 châu Thuận,
Hóa
Năm 1357 Vua Trần Minh Tông mất
Năm 1377 Vua Trần đánh Chiêm Thành
Năm 1397 Hồ Quý Ly đổi Thăng Long là
Đông Đô Xây kinh thành mới ở An Tôn bắt
Vua Trần dời vào Thanh Hóa
Năm 1407 Nhà Hồ thua trận Quân Minh đô
hộ nước ta
Năm 1407 Giản Định Đế nhà Hậu Trần lên ngôi
Năm 1427 Lê Lợi đại phá quân Minh, bỏ Trần Cao, Lê Lợi lên ngôi
Năm 1497 Lê Hiến Tông lên ngôi
Năm 1517 Thương nhân Bồ Đào Nha đến Việt Nam MỘT SỐ NĂM LẺ 7 TRONG LICH SU VU THANH THANH
Năm 1527 Mạc cướp ngôi nhà Lê
Năm 1557 Lê Anh Tông lên ngôi
Năm 1597 Phùng Khắc Khoan đi sứ về
Năm 1627 Quân Trịnh đánh Quảng Bình Bắt đầu chiến tranh Trịnh Nguyễn
Năm 1677 Nhà Mạc mất hẳn
Năm 1697 Đàng Ngoài biên soạn xong Quốc sử thực lục
Năm 1767 Khởi nghĩa vùng Sơn Tây do
Thuận Nghĩa lãnh đạo Trịnh Doanh chết,
Trịnh Sâm lên thay
Năm 1777 Tây Sơn diệt Chúa Nguyễn
Năm 1787 Hiệp ước Versailles, Bá Đa Lộc
thay mặt Nguyễn Ánh kí với Pháp
Năm 1807 Nguyễn Tưởng khởi nghĩa ở Sơn
Nam Hạ (vùng Hà Nam Ninh bây giờ)
Năm 1827 Lê Văn Băng khởi nghĩa ở Vĩnh
Phúc, Sơn Tây
Năm 1847 Vua Tự Đức lên ngôi
Năm 1857 Đại diện vua Pháp đòi gặp Triều
đình Tự Đức cự tuyệt
Năm 1877 Thành lập thành phố Sài Gòn
Năm 1887 Khởi nghĩa Đốc Ngữ ở Hòa Bình,
Sơn Tây, Vĩnh Phúc
Năm 1887 Nghĩa quân Ba Đình đánh thắng
cuộc tấn công thứ 2 của Pháp
Năm 1887 Đề đốc Nam Định Tạ Hiện hi sinh
Năm 1887 Xây dựng Nhà thờ Lớn Nam Định Năm 1887 Gộp bộ máy của tỉnh Ninh Bình
vào tỉnh Nam Định đặt dưới quyền của Công
sứ Nam Định
Năm 1887 Vũ Ngọc Tuân tức tiến sĩ Vũ Hữu Lợi mưu đánh chiếm tỉnh thành Nam Định bất thành, bị xử tử sáng mồng 1 Tết tại chợ Rồng,
Nam Định
Trang 31Năm 1887 Tổng thống Pháp kí sắc lệnh
thành lập Liên bang Đông Dương
Năm 1897 Pháp đình chiến với Đề Thám Năm 1897 Chợ Lớn có 100 000 dân, Hà Nội có 30 000 dân, Sài Gòn 30 000 dân, Nam
Định 30 000 dân, Hải Phòng 15 000 dân Năm 1897 Tú Xương làm bài thơ có nói đến Lễ xướng danh khoa thi năm 1897
Năm 1907 Năm mất nhà thơ Trần Tế Xương
Năm 1907 Thành lập thị xã Phú Thọ, thị xã Việt Trì
Năm 1907 Vua Nguyễn Duy Tân lên ngôi
Năm 1917 Thư viện Đông Dương ra đời, đặt
tại Hà Nội
Năm 1917 Khởi nghĩa Thái Nguyên
Năm 1917 Lập trường nữ sinh Đồng Khánh
tiền thân trường THCS Trưng Vương, Hà Nội
Năm 1917 Cách mạng Tháng 10 Nga
Năm 1927 Hoàn thành 3 tổ máy Nhà máy
Nhiệt điện Nam Định, sản lượng 1 triệu kWh
Năm 1937 Phong trào đấu tranh nhân việc
đón Goda
Năm 1937 Công nhân Dệt Nam Định bãi
công
Năm 1947 Lập khu II gồm Hà Nam, Nam
Định, Ninh Bình và một phần Hòa Bình nam
sông Đà (Năm 1948 nhập khu lÏ, khu III, knu XI thành Liên khu lÏÌ)
Năm 1947 Do chiến tranh trường Nguyễn Khuyến, Nam Định dành cho học sinh cấp lII Liên khu III chuyển vào Ninh Bình
Năm 1947 Pháp tấn công lên Tây Bắc
Năm 1947 Trung đoàn Thủ đô được thành
lập Ngày 13.1.1947 thành Ngày truyền
thống: Quyết tử cho Tổ quốc quyết sinh
Năm 1957 Sáp nhập TP Nam Định vào tỉnh
Nam Định ngày 3.9.1957 Tỉnh gồm 1 thành phố và 9 huyện (Trước TP Nam Định ngang 1 tỉnh, trực thuộc TW Khi đó tỉnh lị Nam Định
đặt ở Hành Thiện, Xuân Trường)
Năm 1957 Xây dựng hai trạm thủy điện Tà Sa và Nà Ngần, Cao Bằng
Năm 1967 Thành lập Hiệp hội Các quốc gia Đông Nam Á (ASEAN)
Năm 1967 Hà Nội bắn rơi máy bay Mỹ thứ 200 trên bầu trời Hà Nội Nam Hà bắn rơi chiếc máy bay Mỹ thứ 2100 trên miền Bắc Năm 1967 Chiến thắng cuộc hành quân
Dêch hao 5 của quân dân Bến Tre Chiến
thắng Pleiku
Năm 1977 Việt Nam gia nhập Liên hợp Quốc
Năm 1977 Quốc hội bàn kế hoạch Nhà nước 1977, kế hoạch đầu tiên của đất nước thống nhất Khánh thành Trung tâm Nghiên cứu Nghĩa Đô Năm 1987 Bắt đầu soạn Từ điển bách khoa Việt Nam Năm 1997 Khai mạc Liên hoan phim truyền hình lần thứ nhất
Năm 1997 Thành lập quận Thủ Đức, quận 2,
quận 7, quận 9, quận 12 ở TP Hồ Chí Minh, các quận Hải Châu, Thanh Khê, Sơn Trà, Ngũ Hành Sơn, Liên Chiểu, huyện Hòa Vang, huyện Hoàng Sa, Đà Nẵng
Năm 1997 Khởi công trùng tu Cột cờ Nam Định (xây từ 1853)
Năm 1997 Việt Nam tham dự SEA Games 19
Năm 1997 Thành lập thành phố Hải Dương
Năm 1997 Các tỉnh Nam Định, Hà Nam trở lại
cương vực và tên gọi cũ
Năm 1997 Liên hoan Xiếc Quốc tế lần thứ
nhất tại Hà Nội
Năm 1997 Thành lập trường Đại học Tây
Nguyên
Năm 1997 Khai giảng năm học đầu tiên học bổng ASEAN của 8 học sinh Việt Nam tại
Singapore
Năm 1997 Việt Nam kết nối internet với thế giới
Trang 32DE THI CAU LAG BO TTT THÁI NHẬT PHƯỢNG VŨ THANH NAM (dich) xe l CLB56 Evaluate the following sum with respect to n: S = 1.2? + 2.3? + 3.4% + +(n—-1)n’ CLB57 Solve the following equation (—x)|1+T_|+——=z x2 x+†1
CLB58 Let x, y, and z be non-zero real numbers such that x + y+z=1and 14146, Find the
xX y Zz
value of the expression A = x° + y? + Z° — 3xyz
CLB59 The three heights of a triangle are proportional to 3, 4, and 5 Is the triangle an acute, right, or obtuse triangle?
CLB60 Given a triangle ABC, the point E on AB
and the point F on AC such that EF // BC Prove that SCEF < = Sasc: AGETED (rrr2 số 175) ©CL846 Vì a + b + c= 0 nên a + b = —c Suy ra a + bŸ — c? = a? + b? - (a + b)° =—2ab Do đó ab — ab 1 a2+b2-c? -2ab 2 Tương tự be = — = b2ˆ+c2—aˆ2 2'c2¿a2_-p2 2 3 Vay M= _- AY 2 CLB47 Ap dụng bất đẳng thức |a| > a, ta có A =|x-3|+|x-5|+|x-7|+|x-9| = |x -3/+|x-5|+|7-x|+|9-x| >xX-3+x-5+7-x+9-x=8 Đẳng thức xảy ra khi 5 < x <7
Vậy Min A = 8 khi 5< x <7
CLE48 Giả sử ta chia được 100 số nguyên dương 1; 2; 3; .; 100 thành 7 nhóm, mỗi nhóm
Zz WZ, we y 1 z ~ ` Zz
có số lớn nhất bằng 3 tống các số còn lại Khi đó
tổng các số trong mỗi nhóm là số chia hết cho 4 Do đó tổng của 100 số đã cho là một số chia hết
cho 4 Mà 1 + 2 + 3+ + 100 = 5050 không chia
hết cho 4 (mâu thuẫn) Do đó điều giả sử là sai
Vậy ta không thể chia theo yêu cầu đề bài CLB49 Gia sử tồn tại cặp số nguyên (a, b) thỏa
man a® — b® = 123123
Suy ra (a — b) + 3ab(a — b) = 123123 Do đó (a - b)? =—-3ab(a - b) + 123123 : 3
Mà 3 là số nguyên tố nên a - b : 3
Suy ra 123123 = (a - b)? + 3ab(a — b) : 9 (vô lí)
Do đó điều giả sử là sai
Vậy không tồn tại cặp số nguyên (a, b) nào thỏa man a® — b® = 123123 CLB50 Vi AEBD vuéng can tai E nén EB = ED A D B E C
Trên cạnh DC lấy điểm F sao cho DF = AB
Vì AEDF = AEBA (c.g.c) nên EF = EA, DEF = BEA
TT aan ẨT_—- T_ “>>
Vì AEAF vuông cân tại E nên
EAF = 45° => BAE = 45°
Nhận xét Một số bạn có lời giải đúng nhưng ghi thiếu địa chỉ Các bạn sau có lời giải đúng được thưởng kì này: Nguyễn Mạnh Kiên, 9A1, THCS Yên phong; Nguyễn Hữu Tuấn Nam, Nguyễn Thị Hiền Giang,
9A1, THCS Thị trấn Chờ, Yên Phong, Bắc Ninh; Hà Minh Hiếu, 8F, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Hoàng Thị Việt Hằng,
9E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An
Trang 33
Hoi: Em muốn mua Toán Tuổi thơ thì mua ở
đâu được ạ?
Nhóm yêu Toán Tuổi thơ
(THCS Lê Danh Phương, Hưng Hà, Thái Bình) Cách mua dễ dàng nhất Lại chẳng mất thời gian Báo đến sớm đàng hoàng Là đặt từ Bưu điện Còn nếu nhà em tiện
Hiệu sách lón địa phương
Hay mua qua nhà trường
Thì hỏi thầy cô giúp
Hoi: Bạn em bảo chỉ thầy cô mới được gửi bài
đăng báo có đúng không ạ? ĐỖ THU HÀ (7A8, THCS Thành Công, Ba Đình, Hà Nội) Đáp: Chỉ đúng một nữa thôi Mục đề ra kì này Mục đề câu lạc bộ Bắt buộc của thầy cô Còn lại thì tha hồ
Viết mục nào cũng được
Nhưng điều cần nhớ trước
Đó là bài của mình
Không chép bài thầy cô
Trang 34CÁC LỚP 6 & 7 Bài 1(178) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn 2a2 + b° = 3c° Tính giá trị của biểu thức P = 2015*° + 2016°° + 2017°3 NGUYEN NGOC HÙNG (GV THCS Hoang Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh)
Bai 2(178) Cho tam giác ABC với B =600:
Ê=75°; BC = 2 cm Gọi D là điểm trên tia đối
của tia AC sao cho AD = V2 cm Tính BDC
ĐOÀN VĂN TRÚC
(GV THCS Nguyễn Trãi, Mộ Đức, Quảng Ngãi)
Bai 3(178) Cho day số 1, 1, 2, 3, 7, 22, có quy
luật là: Mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ ba bằng
tích của hai số hạng đứng ngay trước nó cộng với
1 Chứng minh rằng các số hạng của dãy số là số
chan thi khéng chia hết cho 4 CHU TUẤN (GV THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội) CÁC LỚP THCS Bài 4(478) Giải hệ phương trình L2 -48x2 + 30x + (4y-7)J1-y =7 3x+y-3=0
BÙI HẢI QUANG
(GV THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ)
Bài 5(178) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng a b CoS 3 bc +1 ca+1 2 ab +1
CAO MINH QUANG
(GV THPT chuyén Nguyén Binh Khiém, Vinh Long) Bai 6 (178) Cho a, b, c la các số thực khác nhau đôi Cc > Y= mot va x = —; a-b b-c a c-a giá trị của biểu thức Z= Chứng minh rang M = xy + YyZ + Zx +X+ y +zZ không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c THÁI NHẬT PHƯỢNG (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa,
Cam Ranh, Khánh Hòa)
Bài 7(178) Tim tất cả các số nguyên tố p, q thỏa
mãn p*.q? = (2p + q + 1)(2q + p + 1)
PHAM THANH HÙNG
(Học viên lớp cao học Toán giải tích K19,
Đại học Cần Thơ) Bài 8(478) Trên mặt phẳng cho 17 điểm, trong
đó không có ba điểm nào thẳng hàng Qua hai
điểm bất kì ta vẽ được một đoạn thẳng và trên đoạn thẳng đó ghi một số nguyên dương (Các số
ghi trên các đoạn thẳng khác nhau là các số
nguyên dương khác nhau) Chứng minh rằng tồn
tại một tam giác có các cạnh là các đoạn thẳng
đã vẽ và tổng các số ghi trên các cạnh của tam giác đó là hợp số - NGUYÊN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chí Minh) Bài 9(178) Có thể cắt ra nhiều nhất bao nhiêu hình chữ nhật kích thước 4 cm x 3 cm từ miếng giấy hình chữ nhật kích thước 13 cm x 12 cm VŨ ĐÌNH HÒA
(GV Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 10/278) Cho tam giác nhọn ABC không cân
Gọi M, N thứ tự là trung điểm của CB, CA Vẽ các
đường cao AA;, BB; của tam giác Giả sử A:B; và
MN cắt nhau tại T Chứng minh rằng TC vuông
góc với đường thẳng Euler của tam giác ABC
(Đường thẳng Euler của tam giác là đường thẳng
đi qua trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn
ngoại tiếp của tam giác đó)
TRƯƠNG QUANG AN (GV THCS Nghĩa Thắng, Tư Nghĩa, Quảng Ngãi)
SOLVE SIA MAIL
COL LUO LU assis
1(178) Given the positive integers a, b, and c such that 2a? + b° = 3c° Evaluate the expression
P = 20157 + 2016°° + 20173
2(178) Given a triangle ABC having ZB = 60°, ZC = 75°, and BC = 2 cm Let D be a point on the Opposite ray of the ray AC such that
AD = 42 cm Find the measure of 7BDC
(Xem tiép trang 24)
Trang 35
Những dòng nước bất tận của thiên nhiên do Mẹ đất
sinh ra Những mạch nguồn
quan trọng ni sống lồi người Thác nước luôn là vẻ đẹp hùng vĩ của tự nhiên
Dòng nước trắng bạc đổ xuống
từ vách núi cao giữa rừng xanh
thắm luôn gợi những xúc cảm
mạnh mẽ cho người thưởng ngoạn Tòa soạn chờ bài viết của các bạn về vẻ đẹp của đất trời qua bức ảnh kì thú này VŨ HÀNH THIỆN Ảnh: VKT GIAI TOAN DANH CHO NU SINH F11081 Từ trái sang phải Phạm Khánh Huyền, Trần Cao Kỳ Duyên, Tống Thu Hà, Hạ Hiên Lương, Nguyễn Hà Trang
Ca Công ty CP VPP Hong Ha 1a nha tai tro cho 2
SINCE 1959 CUỘC thi: va
Luu teuyén thing - Oiét tương lai
Dành cho giáo viên, phụ huynh và trẻ em từ 12 tuổi đến dưới 16 tuổi
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin Mã số: 8BTT178M17 In tại: Công ty cổ phần in Cơng Đồn Việt Nam, 167 Tây Sơn, Đống Đa,
Hà Nội In xong và nộp lưu chiểu tháng 12 năm 2017