bc3a0i-gie1baa3ng

C \Users\Pham Anh\Downloads\cothoi dvi 1 Đồ thị phẳng và tô màu − Liệu có thể vẽ K5 trên mặt phẳng sao cho không có cạnh nào cắt nhau? − Câu hỏi có 3 ngôi nhà và 3 giếng nước Liệu có thể xây các con đ[.]

1 Đồ thị phẳng tơ màu − Liệu vẽ K5 mặt phẳng cho khơng có cạnh cắt nhau? − Câu hỏi : có ngơi nhà giếng nước Liệu xây đường không cắt từ nhà đến giếng nước? Định nghĩa : Đồ thị ( đơn ) G đồ thị phẳng ∃ cách vẽ G mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt điểm chúng − Các mặt đồ thị phẳng Mặt đồ thị phẳng G phần mặt phẳng bị giới hạn chu trình G Mặt không bị giới hạn đồ thị G gọi mặt đồ thị ,các mặt khác mặt đồ thị Một có : |V |=n | E|=n-1 | F|=1 Hình 1: Với G hình ta có : | V |= | E |= | F |= Hình 2: Với đồ thị ta có: |V |=4 |E|=4 | F|=2 Định lý (Euler) : Mọi đồ thị phẳng liên thơng G có | V | − | E | + | F |= Chứng minh: ta chứng minh quy nạp theo số cạnh : +Trường hợp khơng có cạnh : Vì G liên thơng =⇒| V |= 1, | F |= =⇒| V | − | E | + | F |= − + = (đúng) + Giả sử với đồ thị liên thông phẳng với | E |= h − cạnh + Ta chứng minh với | E |= h cạnh Ta có hai trường hợp : Trường hợp : G , có | E |= h =⇒| V |= h + | F |= =⇒| V | − | E | + | F |= h + − h + = (đúng) Trường hợp : G =⇒ G có chu trình Chon e cạnh chu trình Xét đồ thị G - e Đồ thị có | E | −1 cạnh | V | đỉnh | F | −1 mặt (vì hai mặt kè với E gộp làm 1) e Hình 3: Theo giả thiết quy nạp cho đồ thị G - e với h - cạnh : | V | −(| E | −1)+ | F | −1 = =⇒| V | − | E | + | F |= =⇒ với đồ thị liên thông phẳng có h cạnh =⇒ Đúng với đồ thị liên thông phẳng - Ta chứng minh K5 không phẳng , K3 không phẳng Định lý : G phẳng , liên thơng | E |≤ 3(| V | −2) Chứng minh : N = ∑ A∈ F( G) số cạnh A Hình 4: Ví dụ Ta tính tổng cạnh tất mặt G Ví dụ : N = + + + = 11 Mỗi cạnh thuộc tối đa hai mặt =⇒| N |≤ | E | cạnh đếm khơng q hai lần Mối chu trinh có ≥ cạnh =⇒ số cạnh mặt ≥ =⇒| N |≥ | F | =⇒ | F |≤ | E |=⇒| F |≤ 23 | E | Thay vào công thức Euler : | V | − | E | + | F | −2 = | V | − | E | + | F | −2 = ≤| V | − | E | + 23 | E | −2 =⇒ |E3 | ≤| V | −2 =⇒| E |≤ 3(| V | −2) Định lý : K5 không phẳng Giả sử K5 phẳng ta có: | V |= | E |= 10 =⇒ 10 ≤ 3(5 − 2) = (vô lý)  với K33 | V |= 6, | E |= 9, ≤ 3(6 − 2)(chưa kết luận được) Định lý : Giả sử G phẳng , liên thông Gọi g độ dài chu trình nhỏ g G | E |≤ g−2 (| V | −2) Chứng minh : g | F |≤ N = ∑ A∈ F( G) ≤ | E | số cạnh A g | F |≤ | E | =⇒| F |≤ 2g · | E | | V | − | E | + | F | −2 = =⇒| V | − | E | + | F | −2 = ≤| V | − | E | + 32 | E | −2 =⇒ g−g | E |≤| V | −2 =⇒| E |≤ g−g (| V | −2) K33 :| e |= 9, g = 4; | V = =⇒ ≤ 2(6 − 2) =⇒ vô lý =⇒ K33 phẳng Định nghĩa : Đồ thị H gọi mở rộng G H nhận từ G cách thêm đỉnh bậc vào cạnh Ví dụ : H G Hình 5: Vi du mở rộng Định lý : G phẳng , liên thông ⇐⇒ G không đồ thị K5 , K33 mở rộng chúng Bài tập : Đồ thị Peterson có phẳng khơng ? | V |= 10; | E |= 15 ; g = Hình 6: 15 ≤ 15 (10 − 2) vô lý =⇒ Peterson không phẳng Cách : Sử dụng định lý trên, chu trình đồ thị Peterson khơng phẳng (chứa mở rộng K33 ) Bài tập Đồ thị sau có phẳng ko? Hình 7: -Đa diện : Đa diện đa diện mặt đa giác giống Hình 8: -Ta chứng minh có đa diện -Giả sử có đa diện , gọi p số cạnh mặt p số cạnh xuất phát từ đỉnh N = ∑ A× F( G) số cạnh A N = p· | F |= | E |= q | V | =⇒| F |= 2p | E | | V |= 2p | E | | V | − | E | + | F |= =⇒| E | ( 2p + 2q − 1) = =⇒ 2p + 2q − = |E2 | > =⇒ 1p + 1q > 12 Chỉ có lựa chọn cho p , q  Bài tốn xếp hình tơ màu Định nghĩa : Cho đồ thị G cách tô màu đỉnh G cách gán màu cho đỉnh cho đỉnh kề khác màu , số màu để tơ màu đỉnh G gọi sắc số G Kí hiệu X(G) - Sắc số G ( G đồ thị ngẫu nhiên Gn, ) ≈ 12 logn với xác suất ≈ n → ∞ Đồ thị G gọi n - e c thỏa mãn A , B ⊂ V, A ∩ B = ∅ | A | + | B | = n , ∃ đỉnh v ∈ G cho v kề với tất đỉnh A v không kề với dỉnh B Nếu G nhiều đỉnh xác suất để G n - e c → Ví dụ : Xác suất để G - e c | V |→ ∞ đồ thị Paley - Sắc số cạnh G số màu để tô cạnh G cho hai cạnh kề khác màu , ký hiệu X’ (G) Định lý (Vizing) : △( G ) ≤ X (´G ) ≤ △( G ) + △( G ) = max bậc đỉnh G δ( G ) : bậc tối thiểu G Bài tập : Tìm sắc số đồ thị sau: Hình 9: Định lý : δ( G ) + ≤ X ( G ) ≤ △( G ) + Khi G Kn X ( G ) = △( G ) + Bài tập : Chứng minh X ( G ) ≤ △( G ) + 1) Định lý màu : Mọi đồ mặt phẳng (trên hình cầu) tổ màu Định lý màu : Mọi đồ thị phẳng tô màu Bổ đề : Nếu G đồ thị phẳng , liên thơng G có đỉnh bậc ≤ Chứng minh : Phản chứng : Giả sử tất đỉnh có bậc ≥ Gọi N = số cặp đỉnh v thuộc cạnh e G N = 2| E | cạnh có đỉnh N ≥ | V | bậc đỉnh ≥ ⇒| E |≥ | V | G phẳng ⇒| E |≤ 3(| V | −2) = | V | −6 (vô lý)  Chứng minh quy nạp theo số đỉnh Nếu ≤ đỉnh ⇒ xong Giả sử ≥ đỉnh đồ thị phẳng với | N | đỉnh tô màu Theo bổ đề , có đỉnh v ∈ V(G) , bậc v ≤ Xét đồ thị G - v đồ thị G phẳng tơ màu (theo giả thiết quy nạp) + Nếu đỉnh kề v tơ ≤ màu tô màu cho v dễ dàng + Nếu không , v kề với đỉnh khác màu , kí hiêu v1 , v2 , , v5 Trường hợp : Khơng có đường từ v1 → v3 G - v với cạnh màu v2 v1 v3 v v5 v4 Hình 10: Xét tất đường từ v1 có màu , đổi màu thành thành đường Khi ta tơ màu v màu Trường hợp : Không ∃ đường từ v2 → v4 màu , làm tương tự trường hợp Trường hợp : ∃ đường từ v1 → v3 màu 3, ∃ đường từ v2 → v4 màu đường cắt ⇒ G không phẳng ⇒ vô lý ⇒ ta ln tơ màu G màu  Bài tập : Tìm sắc số cạnh đỉnh Km,n đồ thị sau: Hình 11: Hình 12: Đại Số Trong Đồ Thị Định Nghĩa 1.1 Cho G đồ thị liên thông với n đỉnh m cạnh (các cạnh đánh số ).Chúng ta định hướng cạnh cách ngẫu nhiên Ma trận trực giao G ma trận A G cấpn × n với phần tử xác định sau:   +1 Nếu cạnh thứ j vào đỉnh i aij = −1 Nếu cạnh j đỉnh i   Trường hợp lại Nhận xét : (i) Nếu đảo hướng đồ thị ngược lại phần tử ma trận A G hoán vị -1 (ii) Nếu đánh số cạnh hay cạnh theo cách khác ma trận trực giao A G thay đổi theo cụ thể cạnh i đánh số cạnh j cột i ma trận cột j ma trận cũ , đỉnh i chuyển thành đỉnh j hàng i ma trận nhận từ hàng j ma trận cũ Từ ma trận A G ta xác định ma trận cảm sinh trực giao A˜G xác định từ ma trận A G cách xóa hàng thứ n Ví dụ: 2 3 Hình 13: Ví dụ 4 Từ hình  vẽ ta có ma trận trực  giao sau:   −1 0 −1 0   1  A˜ =  0 1  AG =   − − 1 G −1 −1 −1 −1 Bài Tập 1: Cho G đồ thị định hướng n đỉnh m cạnh ma trận trực giao A G có tổng tất phần tử =0 đồ thị có liên thơng khơng? Bài Tập 2: Cho G đồ thị định hướng có n đỉnh ,m cạnh hàng tổng phần tử đồ thị có liên thơng khơng? Luyện Tập 1: Các hàng ma trận trực giao A G phụ thuộc tuyến tính Luyện Tập 2: Cho v vecto gồm n phần tử ,v khác vecto Khi với r r