JABES-2020-6-V67

Microsoft Word nguyenhuuthai docx Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế và Kinh doanh Châu Á Năm thứ 31, Số 4 (2020), 64–80 www jabes ueh edu vn Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế và Kinh doanh Châu Á http //www emerald[.]

Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế Kinh doanh Châu Á Năm thứ 31, Số (2020), 64–80 www.jabes.ueh.edu.vn Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế Kinh doanh Châu Á http://www.emeraldgrouppublishing.com/services/publishing/jabes/index.htm Định giá bảo hộ quyền chọn với chi phí khoản* NGUYỄN HỮU THÁI ** Trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh THƠNG TIN TĨM TẮT Ngày nhận: 30/06/2020 Trong viết này, tác giả giới thiệu số phương trình đạo hàm riêng xuất từ toán định giá bảo hộ hợp đồng quyền chọn với chi phí giao dịch chi phí khoản cách sử dụng độ biến động hiệu chỉnh cho phương trình định giá cổ điển Black-Scholes Tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận sai số bảo hiểm rủi ro chiến lược Leland với có mặt chi phí khoản mơ hình CJP đề xuất Çetin cộng (2006) Tác giả đường cung liên tục, chi phí khoản trung gian bị bỏ qua tiệm cận sử dụng chiến lược Leland chi phí khoản thời điểm ban đầu đóng vai trị quan trọng cần tính đến định giá quyền chọn Ngày nhận lại: 25/09/2020 Duyệt đăng: 13/10/2020 Mã phân loại JEL: G11, G13 Từ khóa: Chi phí khoản; Chi phí giao dịch; Chiến lược Leland; Định lý giới hạn trung tâm; Bảo hộ quyền chọn; PDE định giá Keywords: Liquidity costs; Transaction costs; Leland strategy; Limit theorem; Option hedging; PDE pricing Abstract In this note, we revise some pricing PDEs that arise from problems of option pricing and hedging under liquidity costs or transaction costs, using an appropriately adjusted volatility for the classical pricing BlackScholes PDEs We discuss the asymptotic behavior of the hedging error of the Leland strategy under liquidity costs under the presence of liquidity costs in the CJP model as proposed by Cetin et al (2006) The author obtains that for a continuous supply curve, while intermediate liquidity costs for the Leland strategy can be omitted, the initial liquidity cost plays an essential role that should be considered in option pricing Super-replication can be obtained * Bài viết thuộc chuyên san Toán kinh tế PGS.TS Lê Xuân Trường (lxuantruong@ueh.edu.vn) phụ trách ** Tác giả liên hệ Email: thaibopy@ueh.edu.vn (Nguyễn Hữu Thái) Trích dẫn viết: Nguyễn Hữu Thái (2020) Định giá bảo hộ quyền chọn với chi phí khoản Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế Kinh doanh Châu Á, 31(4), 64-80 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Giới thiệu Bước đột phá lý thuyết định giá quyền chọn (Option Pricing) báo tiếng Black Scholes (1973) Trong cơng trình này, Black Scholes giới thiệu mơ hình thị trường tài đầy đủ với thời gian liên tục khơng có chi phí giao dịch, giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học Với giả thuyết khơng có chênh lệch giá (No-Arbitrage), giá hợp đồng quyền chọn thời điểm t với giá trị danh mục đầu tư chiến lược tự tài trợ (Self-Financing) cho phép bảo hộ quyền chọn thời điểm đáo hạn Tuy nhiên, giao dịch có tính phí lập luận khơng hiệu lực việc bảo hộ hợp đồng quyền chọn khó đảm bảo cách hồn hảo Trước hết, dễ thấy giả thuyết điều chỉnh danh mục đầu tư cách liên tục bất khả thi thực tế Nếu chi phí giao dịch khác việc thực giao dịch cách thường xuyên thực tế tốn tỷ lệ chi phí giao dịch nhỏ chiến lược bảo hộ Delta cổ điển có biến phân vơ hạn Quan sát đơn giản mâu thuẫn với lập luận Black Scholes cho giao dịch diễn thường xuyên cách hợp lý sai số bảo hộ chiến lược bảo hộ Delta tương đối nhỏ Do đó, mơ hình định giá quyền chọn Black-Scholes tốn bảo hộ với chi phí giao dịch cần phải điều chỉnh Trong bối cảnh vậy, nghiên cứu gần cho thấy việc tăng tham số độ biến động (Volatility) áp dụng để bù đắp chi phí giao dịch Cụ thể, Leland (1985) phân tích chiến lược bảo hộ Delta thu từ phương trình đạo hàm riêng định giá Black-Scholes với độ biến động điều chỉnh thích hợp đem lại bảo hộ đầy đủ cách xấp xỉ Nhiều nghiên cứu đề xuất nhằm làm yếu giả thuyết phi thực tế lý thuyết BlackScholes cho toán định giá bảo hộ hợp đồng quyền chọn Việc loại bỏ hai giả thuyết thị trường cạnh tranh giao dịch tự khơng chi phí dẫn đến khái niệm rủi ro khoản Một cách bản, rủi ro khoản định nghĩa rủi ro xuất phát từ thời gian thực quy mô giao dịch Hai cách tiếp cận khác tìm thấy tài liệu liên quan rủi ro khoản Cách tiếp cận tập trung vào ảnh hưởng nhà giao dịch lớn (Large Traders) với giao dịch có ảnh hưởng (Market Impact) đến giá trị cổ phiếu thị trường Trong đó, cách thứ hai bỏ qua tác động phản hồi trung gian tập trung vào việc thiết lập cân cung cầu theo thời gian cho khối lượng giao dịch không ảnh hưởng đến giá trị tài sản Khi đó, chi phí khoản phát sinh theo thời gian chủ yếu thay đổi danh mục đầu tư Nghĩa chi phí giao dịch coi trường hợp cụ thể chi phí khoản (Çetin cộng sự, 2004) Trong viết này, tác giả giới thiệu số phương trình đạo hàm riêng xuất từ toán định giá bảo hộ hợp đồng quyền chọn dựa chi phí giao dịch chi phí khoản cách sử dụng độ biến động hiệu chỉnh cho phương trình định giá cổ điển Black-Scholes Tác giả nghiên cứu dáng điệu tiệm cận sai số bảo hiểm rủi ro chiến lược Leland với có mặt chi phí khoản Tác giả đường cung liên tục, chi phí khoản trung gian bị bỏ qua tiệm cận sử dụng chiến lược Leland, chi phí khoản thời điểm ban đầu đóng vai trị quan trọng cần tính đến định giá quyền chọn Phần cịn lại viết tổ chức sau: Phần - Giới thiệu tóm tắt mơ hình định giá Black-Scholes cổ điển Phần - Trình bày mơ hình chi phí khoản CJP với số phương 65 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 trình đạo hàm riêng (Partial Differentiable Equations - PDE) định giá với độ biến động hiệu chỉnh theo chi phí khoản Phần - Bàn phương pháp hiệu chỉnh độ biến động Leland định giá bảo hộ quyền chọn với chi phí giao dịch Cuối cùng, phần - Trình bày tốn bảo hộ xấp xỉ với chi phí khoản sử dụng chiến lược Leland Mơ hình định giá Black-Scholes cổ điển Trong mục này, tác giả tóm tắt mơ hình định giá quyền chọn Black-Scholes (BS) Xét thị trường tài gồm tài sản phi rủi ro (trái phiếu) tài sản rủi ro (cổ phiếu) với giá mô chuyển động Brown không gian xác suất lọc (Ω, , ℱ! , ( ℱ" )#$"$! , P) Để đơn giản, giả sử lãi suất 0, nghĩa trái phiếu xem tài sản tiêu chuẩn (Numéraire) Giá cổ phiếu thời điểm t cho bởi: 𝑑𝑆" = 𝜎𝑆" 𝑑𝑊" " Nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên 𝑆" = 𝑆# 𝑒 %&!'% "/) chiến thuật Martingale theo độ đo P Chú ý trường hợp lãi suất khác 0, định lý biến đổi Girsanov áp dụng để loại bỏ hệ số xu hướng (Drift) • Định nghĩa 1: Một chiến lược (𝛽" , 𝛾" )#$"$! gọi chấp nhận tự tài trợ khả tích " ∫# (|𝛽" | + 𝛾") ) 𝑑𝑡 < ∞ hầu chắn " giá trị danh mục đầu tư 𝑉" = 𝑉# + ∫# 𝛾* 𝑑𝑆* , 𝑡 ∈ [0, 1] bị chặn Theo ngun lý khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá giá thời điểm t hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu với hàm giá trị chi trả đáo hạn (Payoff) h tính bởi: 𝐶(𝑡, 𝑆" ) = E[ℎ(𝑆" )| Ƒ" ] Cụ thể, quyền chọn mua ℎ(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥(𝑥 − 𝐾, 0), ta có: 𝐶(𝑡, 𝑥) = 𝐶(𝑡, 𝑥, 𝜎) = 𝑥ΦGvI(𝑡, 𝑥)J − 𝐾ΦGvI(𝑡, 𝑥) − 𝜎√1 − 𝑡J Trong đó, vI(𝑡, 𝑥) = v(𝜎 ) (1 − 𝑡), 𝑥); 𝑣(𝜆, 𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥/𝐾) √𝜆 + √𝜆 Trong đó, K: Giá mua cố định trước (Strike Price); Φ φ: Lần lượt hàm phân phối hàm mật độ phân phối chuẩn Chúng ta biết C(t, x) nghiệm phương trình đạo hàm riêng BS (BS-PDE): 𝐶S" (𝑡, 𝑥) + 𝜎 ) 𝑥 ) 𝐶S++ (𝑡, 𝑥) = 0, 𝑣ớ𝑖 0 ≤ 𝑡 < và 𝐶S(1, 𝑥) = ℎ(𝑥) Bài toán bảo hộ quyền chọn cổ điển tìm chiến lược tự tài trợ chấp nhận cho giá trị danh mục đầu tư lớn giá trị quyền chọn thời điểm đáo hạn: 66 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 ! 𝑉! = 𝑉# + W 𝛾* 𝑑𝑆* ≥ ℎ(𝑆! ) # cách hầu chắn Hiệu chỉnh Leland định giá bảo hộ quyền chọn với chi phí giao dịch Hiệu chỉnh Leland dựa ý tưởng có mặt chi phí giao dịch dẫn đến khoản phí bổ sung cần thiết cho người bán quyền chọn nhằm bù trừ cho chi phí giao dịch hoạt động bảo hộ hợp đồng quyền chọn Điều có nghĩa với diện chi phí giao dịch, hợp đồng quyền chọn định giá cao Một cách trực quan, điều tương đương với gia tăng tham số độ biến động chiến lược Black-Scholes Leland (1985) đề xuất phiên sửa đổi phương trình Black-Scholes với độ biến động hiệu chỉnh nghiên cứu dáng điệu tiệm cận sai số bảo hộ tính độ chênh lệch giá trị danh mục đầu tư giá trị quyền chọn thời điểm đáo hạn số lượng giao dịch tiến đến vô Giả sử nhà đầu tư phải trả cho giao dịch thành cơng chi phí tỷ lệ thuận với khối lượng giao dịch đo đơn vị tiền tệ (ví dụ: đồng USD) Hệ số chi phí xác định bởi 𝜅, = 𝜅# 𝑛'phụ thuộc vào số lần giao dịch n Chú ý rằng, mặc dù 𝜅, = 𝜅# 𝑛'- nhỏ, chiến lược bảo hộ khơng tính tốn cẩn thận dẫn đến chi phí giao dịch tồn phần lớn Theo Leland (1985), người bán quyền chọn (Option Seller) nên tăng độ biến động lên để bù lại chi phí giao dịch 𝜎Z ) = 𝜎 ) + 𝜚𝑛!/) với 𝜚 = 𝜅# 𝑛'- 𝜎\8/𝜋 (1) Tham số 𝜎Z ) đưa vào phương trình BS lúc nhằm thu giá quyền chọn bao gồm: Chi phí giao dịch 𝐶S (𝑡, 𝑥) = 𝐶(𝑡, 𝑥, 𝜎Z), đó, 𝐶S(𝑡, 𝑥) nghiệm phương trình: ! 𝐶S" (𝑡, 𝑥) + ) 𝜎Z ) 𝑥 ) 𝐶S++ (𝑡, 𝑥) = 0, với 0 ≤ 𝑡 < 1; và 𝐶S (1, 𝑥) = ℎ(𝑥) (2) Để bảo hộ hợp đồng quyền chọn, người bán nên theo chiến lược bảo hộ Delta rời rạc tương ứng (với độ biến động điều chỉnh 𝜎Z ) ), gọi chiến lược Leland với định nghĩa sau: 𝛾", = ∑,.2! 𝐶S+ G𝑡.'! , 𝑆"#$% J1("#$%,"#] (𝑡) (3) Nghĩa số chứng khoán giữ khoảng thời gian (𝑡.'! , 𝑡 ] không đổi với chiến lược Delta tính biên trái khoảng Như vậy, thời điểm đáo hạn, giá trị danh mục đầu tư có dạng sau: ! 𝑉!, = 𝑉#, + ∫# 𝛾*, 𝑑𝑆* − 𝜅# 𝑛'- 𝐽, (4) Trong đó, tổng chi phí giao dịch viết sau: 𝐽, = ∑,.2! 𝑆"# c𝛾",# − 𝛾",#$% c (5) Giá trị ban đầu danh mục đầu tư Leland cho ≔ 𝐶S (0, 𝑆# ), hiểu giá hợp đồng quyền chọn bao gồm chi phí giao dịch Sử dụng công thức Itô công thức (2), tác giả biểu diễn sai số bảo hộ sau: 𝑉#, ! ! ! 𝑉!, − ℎ(𝑆! ) = ∫# e𝛾", − 𝐶S+ (𝑡, 𝑆" )f 𝑑𝑆" + ) (𝜎Z ) − 𝜎#) ) ∫# 𝑆") 𝐶S++ (𝑡, 𝑆" )𝑑𝑡 − 𝜅# 𝑛'- 𝐽, 67 (6) Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 • Chú ý 1: Cơng thức độ biến động hiệu chỉnh (1) thu từ quan sát sau: Tổng Riemann số hạng 𝜎𝑆")#$% 𝐶S++ (𝑡.'! , 𝑆"#$% )∆𝑡 rõ ràng xấp xỉ tích phân Lebesgue (6), đó: 𝑆"# c𝛾",# − 𝛾",#$% c ≈ 𝜎𝑆")#$% c𝐶S++ G𝑡.'! , 𝑆"#$% Jcc𝑊"# − 𝑊"#$% c ≈ 𝜎\2/𝜋 𝑆")#$% 𝐶S++ G𝑡.'! , 𝑆"#$% J√∆𝑡 ) (7) ) Ec𝑊"# − 𝑊"#$% c = i3 √∆𝑡 = i3, Do vậy, kỳ vọng việc chọn độ biến động điều chỉnh công thức (1) mang lại gia tăng phù hợp giá trị danh mục đầu tư để bù lại cho chi phí giao dịch Hình Giá hợp đồng quyền chọn trường hợp có khơng có chi phí giao dịch • Định lý (Dựa theo Kabanov Safarian (1997, 2009)) ! (1) Với giá trị < α ≤ công thức (1), dãy 𝑉!, hội tụ theo xác suất đến giá trị hợp đồng ) quyền chọn đáo hạn 𝑛 → ∞ (2) Với α = 0, dãy biến ngẫu nhiên 𝑉!, − ℎ(𝑆! ) hội tụ theo xác suất đến 𝑚𝑖𝑛(𝑆! , 𝐾) − 𝜅# 𝐽(𝑆! ) 𝑛 → ∞, đó: :; '!/) 𝐽(𝑥) = 𝑥 ∫# 𝜆 𝜑I(𝜆, 𝑥)𝐸 n𝜎𝜚'! 𝑍 + Trong đó, Z biến chuẩn tắc độc lập với 𝑆! 68 4, (+/6) )8 ! − 9n 𝑑𝜆 (8) Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Hình Đồ thị min(𝑆! , 𝐾) − 𝜅# 𝐽(𝑆! ) 𝐽(𝑆! ) với K = từ trái sang phải Mơ hình chi phí khoản CJP Trong phần này, xét khái niệm số tính chất mơ hình chi phí khoản đề xuất Çetin cộng (2004) Nhắc lại rằng, mơ hình chi phí giao dịch coi trường hợp cụ thể chi phí khoản 4.1 Đường cung chi phí khoản Từ quan điểm lý thuyết cân cung cầu, giả thuyết tất nhà đầu tư định giá cổ phiếu theo đường cung phụ thuộc vào độ lớn giao dịch mua bán khoảng thời gian giao dịch [0, 1] Nói cách khác, giá trị cổ phiếu nhà đầu tư phải trả thực giao dịch tuân theo đường cung phụ thuộc vào quy mô giao dịch Như vậy, đường cung 𝑆(𝑡, 𝑧) định nghĩa hàm không âm giá cổ phiếu tham chiếu (khi khơng có giao dịch), thời gian giao dịch t quy mơ giao dịch z • Định nghĩa 2: Một hàm 𝑆(𝑡, 𝑧) : [0, 1] × ℝ → ℝ: gọi đường cung theo nghĩa CJP hàm khơng âm, ℱ< - đo được, không giảm, thuộc lớp hàm trơn C2 theo z hàm giá cận biên (Marginal Price) S(t, 0) Semimartigale liên tục • Ví dụ 1: Cho 𝑆 (𝑡, 𝑧) = 𝑒 -= 𝑆 (𝑡, 0), 𝑆" ≔ 𝑆 (𝑡, 0) = 𝑆# exp {𝜎𝑊" − %" ) |, đó: 𝛼 > số cho trước; W chuyển động Brown chuẩn Đây mơ hình BlackScholes mở rộng với rủi ro khoản giá cổ phiếu cận biên (Marginal Price) 𝑆" chuyển động Brown hình học 69 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Sau đây, tác giả xét điều kiện tự tài trợ (Self-Financing) mơ hình CJP Giả sử có hai tài sản kinh tế, có rủi ro (chứng khốn) phi rủi ro (trái phiếu) số thời điểm Đối với chiến lược 𝛾" , số lượng cổ phiếu nắm giữ thời điểm t, giá trị trái phiếu thời điểm t ký hiệu 𝑌" Cần nhắc lại điều kiện tự tài trợ đạt " 𝑉" = 𝑌" + 𝛾" 𝑆" = 𝑉# + ∫# 𝛾" 𝑑𝑆" Ở giá trị danh mục đầu tư ban đầu thời điểm cho 𝑉# = 𝑌# + 𝛾# 𝑆# Trong mơ hình CJP, chiến lược 𝛾" gọi tự tài trợ q trình liên tục phải có giới hạn trái (càdlàg) với biến phân bậc hai hữu hạn giá trị danh mục đầu tư 𝑉" = +𝛾" 𝑆(𝑡, 0) thỏa quan hệ sau: " " >? 𝑉" = 𝑉# + ∫# 𝛾*$ 𝑑S(𝑢, 0) − ∑#$*$" ∆𝛾* [S(𝑢, ∆𝛾* ) − S(𝑢, 0)] − ∫# >+ (𝑢, 0)𝑑[𝛾, 𝛾]@* (9) Trong đó, 𝑉# = 𝑌# + 𝛾# 𝑆(0, 𝛾# ) Rõ ràng vế phải công thức (9) chênh lệch trình lãi/lỗ (Profit/Loss) tích lũy tổng chi phí khoản đến thời điểm t • Định nghĩa 3: Q trình L< định nghĩa công thức: " >A 𝐿" = ∑#$*$" ∆𝛾* [𝑆(𝑢, ∆𝛾* ) − 𝑆(𝑢, 0)] + ∫# >+ (𝑢, 0)𝑑[𝛾, 𝛾]@* (10) với 𝐿# = 𝛾# [𝑆(0, 𝛾# ) − 𝑆(0, 0)] được gọi chi phí khoản chiến lược γ< Rõ ràng chi phí khoản 𝐿" khơng âm khơng giảm theo thời gian t Hơn nữa, tổng rời rạc cơng thức (10) thể chi phí thay đổi không liên tục việc nắm giữ cổ phần danh mục đầu tư Số hạng tích phân vế phải công thức (10) trình liên tục, nhận giá trị 𝛾 chiến lược có biến phân hữu hạn Hình Đồ thị tham số ước lượng ngày giai đoạn từ ngày 03/01/1995 đến ngày 31/12/1998 cho GE Reebok (RBK) Ghi chú: Đường chấm chấm biểu thị giá cổ phiếu trung bình ngày cơng ty Nguồn: Hình ảnh lấy từ báo Çetin cộng (2006) 70 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 • Chú ý 2: Nếu 𝛾" chiến lược liên tục với biến phân hữu hạn 𝛾# = 𝐿" = 𝐿# = 0, nghĩa chi phí khoản bị loại bỏ Từ lý thuyết định giá Martingale, giả thuyết khơng có hội kinh doanh chênh lệch giá (No Arbitrage NFLVR) tương đương với tồn độ đo Martingale địa phương ℚ cho trình giá cận biên 𝑆" Çetin cộng (2010a) chứng minh tình đó, quyền chọn với giá trị đáo hạn khả tích C bảo hộ theo nghĩa 𝐿) , đồng thời tất chi phí khoản tránh cách sử dụng chiến lược bảo hộ liên tục với biến phân hữu hạn C • Định lý 2: Với chiến lược khả đoán γ< với 𝐸 ℚ e∫# 𝛾" ) 𝑑 [𝑆, 𝑆]" f < ∞ cho C 𝐶 = 𝑐 + ∫# 𝛾" ) 𝑑𝑆" với số c ∊ ℝ, tồn dãy chiến lược tự tài trợ (γD< )D liên tục, bị chặn C với biến phân hữu hạn 𝛾#, = 𝛾C, = 0, cho 𝐸 ℚ e∫# (𝛾", )) 𝑑 [𝑆, 𝑆]" f < ∞ C 𝑌C, = 𝐸 ℚ (𝐶) + 𝛾#, 𝑆(0, 𝛾#, ) + W 𝛾",$ 𝑑𝑆(𝑡, 0) − 𝛾C, 𝑆(𝑇, 0) − 𝐿,C → 𝐶 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐿) (𝑑ℚ) # • Ví dụ 2: Xét lại mơ hình Black-Scholes mở rộng Ví dụ Nhận xét chiến lược bảo hộ Delta tiêu chuẩn xác định ΦGv(𝑡, 𝑆" )J với v(𝑡, 𝑥) = ln (𝑥/𝐾) 𝜎√𝑇 − 𝑡 + 𝜎 √𝑇 − 𝑡 liên tục, khơng có biến phân hữu hạn Chiến lược dẫn đến chi phí khoản khác theo Định nghĩa biểu diễn công thức sau: C 𝐿C = 𝛾# GS(0, 𝛾# ) − S(0,0)J + 𝛼 ∫# 𝑆" E"(F(",A! ) GD (+/6) C'" ! ) e %√C'" − 9f 𝑑𝑡 (11) Chú ý xây dựng dãy chiến lược liên tục với biến phân hữu hạn bắt đầu với 0, hội tụ nhanh đến chiến lược Delta Black-Scholes liên tục Bản liên tục chiến lược Delta BS loại bỏ rủi ro khoản, vậy, dãy giá trị danh mục đầu tư hội tụ đến giá trị hợp đồng quyền chọn không gian 𝐿) (Çetin cộng sự, 2010a) Tuy nhiên, chiến lược phòng ngừa rủi ro liên tục khơng thể thực thực tế giao dịch liên tục với số lượng nhỏ Chi phí giao dịch xem trường hợp đặc biệt chi phí khoản giả thuyết ) 𝐶 đường cung không thỏa mãn Thật vậy, ba loại chi phí giao dịch sau thu từ mơ hình CJP: (1) Chi phí giao dịch cố định thu đường cung có dạng: 𝑎 S(𝑡, 𝑧) = S(𝑡, 0) + 𝑣ớ𝑖 𝑎 > 𝑧 (2) Chi phí giao dịch tỷ lệ thu trực tiếp từ: S(𝑡, 𝑧) = S(𝑡, 0)(1 + 𝜅# 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑧)) 71 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Trong đó, 𝜅# > chi phí giao dịch tỷ lệ đơn vị giao dịch (3) Hỗn hợp chi phí giao dịch cố định tỷ lệ định nghĩa bởi: S(𝑡, 𝑧) = S(𝑡, 0) + 𝑎 + S(𝑡, 0)𝜅# 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑧)1|=|JK , 𝑧 với số dương gồm: 𝑎, 𝜅# , 𝛿 Như thấy trên, chi phí khoản tránh cách sử dụng chiến lược giao dịch liên tục với biến phân hữu hạn, chiến lược với biến phân hữu hạn dẫn đến chi phí khoản khơng bị chặn • Định lý 3: Đối với chiến lược với biến phân vơ hạn khoảng thời gian hữu hạn, giao dịch liên tục với có mặt chi phí cố định, chi phí tỷ lệ hai dẫn đến tổng chi phí vơ hạn Chứng minh: Tham khảo báo Çetin cộng (2010a) để biết thêm chi tiết 4.2 PDE định giá với độ biến động hiệu chỉnh theo chi phí khoản Trong phần này, tác giả giới thiệu số PDE định giá xuất từ việc áp dụng kỹ thuật điều chỉnh độ biến động cho toán định giá bảo hộ quyền chọn nhiều tình khác Từ quan điểm cân cung cầu, Sirca cộng (1998) xây dựng động lực trình giá phụ thuộc vào hoạt động giao dịch nhà giao dịch lớn rút phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes tổng quát sau đây: L(!'MN& )O ' PL(!'MN& )Q ! 𝐶" + ) •L(!'MN ' & )O PL(!'MN& )Q'M+N&& ) • 𝜎 ) 𝑥 ) 𝐶++ = (12) Với điều kiện biên 𝐶S (1, 𝑥) = ℎ(𝑥), đó: U hàm cầu; V hàm ngược U; 𝜌 tỷ lệ khối lượng lượng quyền chọn bảo hiểm tổng nguồn cung tài sản Çetin cộng (2010b) nghiên cứu toán siêu bảo hộ (Super-Replication) kinh tế Black-Scholes tổng quát hóa với có mặt chi phí khoản ràng buộc hệ số Gamma chiến lược phòng ngừa rủi ro Giá quyền chọn với siêu bảo hộ đặc trưng thông qua Hamilton-Jacobi-Bellman PDE sau: ! −𝐶" − infRS# {) 𝜎 ) 𝑥 ) (𝐶++ + 𝜈) + 𝜙(𝑡, 𝑥)𝜎 ) 𝑥 ) (𝐶++ + 𝜈)) | = (13) Trong đó, giá cận biên tuân theo chuyển động Brown hình học ϕ tham số khoản thị trường Đối với quyền chọn có hàm chi trả lồi (Convex Payoff), công thức (13) viết lại thành: ! 𝐶" + ) 𝜎I ) (𝑡, 𝑥)𝑥 ) 𝐶++ = 0, 𝜎I ) (𝑡, 𝑥) = 𝜎 ) G1 + 𝜙(𝑡, 𝑥)J𝐶++ (14) Quan sát công thức (14), lần thấy ý tưởng tăng độ biến động thị trường để hấp thu rủi ro khoản Khi ϕ = 0, thu mơ hình Black-Scholes cổ điển Ta 72 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 chứng minh giá siêu bảo hộ cực tiểu khác 𝑆# , nghĩa tồn chi phí khoản (Liquidity Premium) Điều phù hợp với kết đây1 Nhắc lại rằng, với chiến lược rời rạc 𝛾", , từ công thức (10), tổng chi phí khoản biểu diễn dạng sau: , 𝐿,! = 𝐿# + • 2! ∆ 𝛾 G𝑆(𝑡 , ∆𝛾 ) − 𝑆(𝑡 , 0)J Thay 𝑆(𝑡 , ∆𝛾 ) − 𝑆(𝑡 , 0) ≈ 𝜓 T (0)𝑆(𝑡 , 0)∆𝛾 , nhận thấy 𝐿,! xấp xỉ 𝐿# + U 𝜓 T (0)𝜎 ) ∑,.2! 𝑆" #$% ) 𝐶++ G𝑡.'! , 𝑆"#$% J∆𝑡 Do vậy, giá quyền chọn với chi phí khoản thỏa phương trình sau: ! 𝐶" + ) 𝜎 ) (1 + 2𝜓 T (0)𝑥𝐶++ )𝑥 ) 𝐶++ = 0, 𝐶(1, 𝑥) = ℎ(𝑥) (15) Về phương trình (15) dạng mở rộng phương trình định giá Black-Scholes với độ biến động sau: 𝜎I ) (𝑡, 𝑥) = 𝜎 ) (1 + 2𝜓 T (0)𝑥𝐶++ ) Trong cách tiếp cận này, độ biến động hiệu chỉnh khơng cịn phụ thuộc vào tham số n mà phụ thuộc vào Gamma giá quyền chọn Tính chất giải thích việc chiến lược tối ưu với chiến lược Delta cổ điển với giao dịch nhiều miền tương ứng với Gamma có giá trị lớn Ku cộng (2012) chứng minh việc sử dụng chiến lược Delta bảo hộ liên kết với phương trình (15) dẫn đến kết bảo hộ trung bình với chi phí khoản Cụ thể, cách áp dụng luật số lớn cho chiến thuật Martingales, Ku cộng (2012) khẳng định hội tụ hầu chắn ∆t tiến Tuy nhiên, vấn đề tồn nghiệm phương trình (15) chưa thảo luận “nghiệm” đề xuất dạng xấp xỉ theo số hạng khoản 𝜓 T (0) (khá nhỏ thực tế) Bảo hộ xấp xỉ với chi phí khoản Nhiều nhà giao dịch thực tế dùng chiến lược Black-Scholes để bảo hộ sản phẩm phái sinh (Derivatives) Với chi phí khoản, việc bảo hộ quyền chọn trở nên rủi ro dẫn đến đắt đỏ hơn, rủi ro phải tính vào tốn bảo hộ người bán Theo ý tưởng mấu chốt thuật toán Leland, việc tăng độ biến động thị trường bù lại rủi ro khoản toán bảo hộ Tiếp theo, tác giả mơ hình CJP với đường cung tổng qt, siêu bảo hộ (Super-Replication) thu xấp xỉ cách dùng chiến lược Leland 5.1 Độ biến động hiệu chỉnh chiến lược bảo hộ với chi phí khoản Giả sử danh mục đầu tư điều chỉnh (giao dịch) thời điểm 𝑡 = 𝑔(𝑖/𝑛), 𝑖 = 1, … , 𝑛 với: Xem thêm thảo luận báo Gokay cộng (2011) 73 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 𝑔(𝑡) = − (1 − 𝑡)V , 𝜇 ≥ (16) Theo Leland (1985) độ biến động PDE Black-Scholes định giá hiệu chỉnh bởi: 𝜎Z") = 𝜎#) + 𝜚\𝑛𝑓 T (𝑡), 𝜚 = 𝜅# 𝜎# \8/𝜋 (17) Trong đó: 𝑓 = 𝑔'! Tốc độ hội tụ xác định 𝑛W , đó: ! V ≤𝛽≔ )(V:!) (18) Theo mơ hình CJP trên, tổng chi phí khoản viết sau: 𝐿,! = ∑#$"$! ∆𝛾", GS(𝑡, ∆𝛾", ) − S(𝑡, 0)J = 𝐿# + ∑,.2! ∆ 𝛾",# eSG𝑡 , ∆𝛾",# J − S(𝑡 , 0)f (19) Trong đó: 𝐿# = 𝛾# GS(0, 𝛾# ) − S(0,0)J = 𝛾# (S(0, 𝛾# ) − 𝑆# ) chi phí khoản ban đầu; ∆𝛾",# = 𝛾",# − 𝛾",#$% khối lượng giao dịch hai thời điểm 𝑡.'! 𝑡 Ký hiệu 𝑄!, 𝑙à chi phí khoản tích lũy khơng bao gồm giá trị ban đầu 𝐿# , nghĩa là: 𝑄!, = ∑,.2! ∆ 𝛾",# eSG𝑡 , ∆𝛾",# J − S(𝑡 , 0)f (20) Hình Đồ thị phóng to thu nhỏ đường cung S(𝑡, 𝑧) = 𝑒 #.#!= S(𝑡, 0) Xuyên suốt mục này, tổng chi phí khoản 𝑄!, xấp xỉ đường cung hàm liên tục theo S Giá trị danh mục đầu tư cho công thức sau: ! 𝑉!, = 𝑉#, + W 𝛾", 𝑑𝑆" − 𝐿,! # Trong đó, 𝑉#, giá trị danh mục đầu tư ban đầu Do vậy, sai số bảo hộ là: ! 𝑉!, − ℎ(𝑆! ) = 𝐶# + ) 𝐼!,, + 𝐼),, − 𝐼U,, 𝑄!, 74 (21) Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Trong đó, 𝑄!, định nghĩa (20), 𝐶# = 𝑉#, − 𝐿# − 𝐶S (0, 𝑆# ); 𝐼.,, , 𝑖 = 1, 2, cho bởi: ! 𝐼!,, = ∫# G𝜎Z") − 𝜎 ) (𝑦" )J𝑆") 𝐶S++ (𝑡, 𝑆" )𝑑𝑡 ; ! 𝐼),, = W G𝛾", − 𝐶S+ (𝑡, 𝑆" $ )J𝑑𝑆" # Giả sử vốn ban đầu thỏa mãn 𝑉#, = 𝐿# + 𝐶S (0, 𝑆# ) để 𝐶# = 5.2 Bảo hộ xấp xỉ với đường cung trơn Giả sử đường cung biểu diễn phương trình: S(𝑡, 𝑥) = 𝜓(𝑧)S(𝑡, 0) (22) Trong đó, ψ hàm liên tục tăng thuộc lớp 𝐶 ) thỏa mãn ψ(0) = Ví dụ hàm 𝜓(𝑧) = 𝑒 -= với 𝛼 > Chú ý rằng: ℎ(𝑆! ) + min(𝑆! , 𝐾) = max(𝑆! − 𝐾, 0) + min(𝑆! , 𝐾) = 𝑆! (23) Dưới kết tiệm cận • Định lý 4: Giả sử ψ hàm liên tục tăng thuộc lớp C) thỏa mãn ψ(0) = Khi dãy 𝑛W (𝑉!, − 𝑆! ) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên Gauss trung tâm hỗn hợp (Centered Mixed Gausian Variable) Từ Định lý phương trình (20), nhận xét quyền chọn bảo hộ hầu chắn cách tiệm cận chiến lược Leland số lượng giao dịch lớn Thực tế chiến lược Leland xấp xỉ chiến lược mua giữ (Buy-and-Hold Strategy) với khoản đầu tư ban đầu xấp xỉ 𝐿# + 𝑆# Hơn nữa, dãy giá trị danh mục đầu tư đáo hạn hội tụ min(𝐾, 𝑆! ) Như vậy, thu chặn giá siêu bảo hộ cho quyền chọn Điều phù hợp với kết luận báo Çetin cộng (2010b), Gokay cộng (2011) sau: Mơ hình chi phí khoản CJP sinh phí khoản (Liquidity Premium) khác giao dịch thực cách liên tục Để kết thúc, lưu ý với đường cung không liên tục (tính chất đặc trưng cho biên độ cung cầu (Bid-Ask Spread)) chi phí khoản thực ảnh hưởng đến sai số bảo hộ tiệm cận theo cách tương tự chi phí giao dịch tỷ lệ o Chứng minh Định lý 4: Có thể trình bày theo lược đồ chung giới thiệu báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) sau: - Bước 1: Xác định số hạng sai số bảo hộ Cụ thể, ta cần chứng minh đại lượng 𝐼, hội tụ hầu khắp nơi min(S1;K), đó, tổng chi phí khoản hội tụ với tốc độ 𝑛W - Bước 2: Biểu diễn số hạng thặng dư theo bậc 𝑛W (tích phân ngẫu nhiên Itơ) dãy Martingale Bước thường đòi hỏi thủ tục rời rạc hóa số hạng tích phân Itơ ngẫu nhiên kỹ thuật xấp xỉ phù hợp 75 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 - Bước 3: Xác định phân phối tiệm cận cách áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho Martingales Để thuận tiện, tác giả giới thiệu kết sau báo Hall Heyde (1980) để nghiên cứu phân phối tiệm cận Martingales rời rạc • Định lý 5: (Định lý giới hạn trung tâm Martingale (Hall & Heyde, 1980)): Cho MD = ∑DY2! XY Martingale khả tích bậc hai có giá trị trung bình ς biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắn Giả sử hội tụ sau thỏa mãn theo nghĩa xác suất: , , • EG𝑋.) 1{|[# |JK} |ℱ.'! J 2! → với mọi 𝛿 > 0; • E(𝑋.) |ℱ.'! ) → 𝜍 ) 2! ! Khi đó, (MD ) hội tụ yếu đến X với hàm đặc trưng Eexp e− ) ς) t ) f, nghĩa X có phân phối hỗn hợp Gauss (Gaussian Mixture Distribution) Vì khn khổ báo có hạn, nội dung tiếp theo, tác giả trình bày tóm lược bước chứng minh tham chiếu báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) cho phân tích kết tổng quát Mệnh đề sau cho thấy tổng chi phí khoản trung gian loại bỏ tiệm cận với tốc độ nhanh 𝑛W • Mệnh đề (Xấp xỉ chi phí khoản): Với 𝑚 ≥ 2, đẳng thức sau thỏa mãn theo nghĩa xác suất: •(∆𝛾., )] = 𝑜G𝑛'W J; •(∆𝛾̅., )] = 𝑜G𝑛'W J S! S! o Chứng minh Mệnh đề 1: Trước hết nhận xét kết xấp xỉ mơ hình tổng qt với độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy, xem báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) Dưới cung cấp chứng minh tổng quát Mệnh đề mô hình với độ biến động ngẫu nhiên Từ cơng thức Itơ, ta có: Δ𝛾., = W "# "#$% "# e𝐶S+" (𝑢, 𝑆* ) + 𝜎 ) (𝑦* )𝑆*) 𝐶S+++ (𝑢, 𝑆* )f 𝑑𝑢 + W "#$% "# +W (!) 𝐶S++ (𝑢, 𝑆* )𝜎(𝑦* )𝑆* 𝑑𝑊* W e𝐶S+ G𝑢, 𝑆*$ (1 + 𝑧)J − 𝐶S+ (𝑢, 𝑆*$ )f 𝐽(𝑑𝑧 × 𝑑𝑢) "#$% ℝ Chú ý rằng, từ toán Cauchy (2), ta có: 𝐶S+" (𝑢, 𝑥) = − 𝜎Z*) e2𝑥𝐶S++ (𝑢, 𝑥) + 𝑥 ) 𝐶S+++ (𝑢, 𝑥)f ©) báo Trước hết, ta chứng minh với hàm A thỏa mãn điều kiện (𝐻 Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) Ta có: "# • ªW S! "#$% ] 𝜎Z*) 𝐴G𝜆* , 𝑆¬* J𝑑𝑢ª = G ')W(]'!) "# J ; v ã êW S! 76 "#$% ] (.) G* , ơ* J* ê = G'W) J Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 (24) Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Hölder ta thu được: ] " " n∫" # 𝐴* 𝑑𝑢n ≤ |𝑡 − 𝑡.'! |]'! ∫" # |𝐴* |] 𝑑𝑢 #$% (25) #$% Cũng ý 𝐶S (𝑡, 𝑥) đạo hàm biểu diễn hàm 𝜆" x, đó: % 𝜆" = 𝜆# (1 − 𝑡)() ≔ 𝜆# 𝜈(𝑡) và 𝜆# = 𝜇I𝜚√𝑛 )/(V:!) 'V _ 𝜆* , Từ đó, ta có 𝜎Z*) = 𝜆# (26) với 𝜇̂ = (𝜇 − 1)/(𝜇 + 1) Dùng bất đẳng thức (25) ta chặn tổng tích phân phương trình (24) bởi: "(+$%) "# •|𝑡 − 𝑡.'! |]'! W 𝜎Z*)] |𝐴|] G𝜆* , 𝑆¬* J𝑑𝑢 ≤ 𝐶𝑛'(]'!) 𝜆# -.% • W "#$% S! S! "# "#$% '(]'!)V _ 𝜆* 𝜎Z*) |𝐴|] G𝜆* , 𝑆¬* J𝑑𝑢 Hơn nữa, từ quan hệ (26), tổng cuối ∫# / 𝜆'(]'!)V_ |𝐴|] G𝜆, 𝑆¬*(8) J𝑑𝜆, dãy hội tụ ; hầu khắp nơi đến ∫# 𝜆'(]'!)V_ |𝐴|] G𝜆, 𝑆¬!$ J𝑑𝜆 Do vậy, dùng 𝜆# ≈ √𝑛 ta thu dạng tiệm cận tổng phương trình (24) Tiếp theo, tác giả chứng minh khai triển thứ hai phương trình (24) Để xử lý tính bất khả tích mơ hình với độ biến động ngẫu nhiên, tác giả làm việc tập {𝜏 ∗ = 1}, đó, 𝜏 thời điểm mà trình độ biến động ngẫu nhiên vượt số dương cho trước (thời điểm dng)2 Rừ rng rng: "# P W ã êW S! "#$% ] (.) G* , ơ*$ J* ê > W < P ã êW S! "# "#$% ] (.) G* , ơ*$ J* ê > , 𝜏 ∗ = 1³ + P(𝜏 ∗ < 1) Áp dụng bất đẳng thức Chebychev Burkholder-Davis-Gundy, xác suất vế phải bị chặn bởi: 2𝑛)W ')W ã E êW S! "# "#$% )] (.) G* , ơ* J* ê "# 2)W ')W ã E êW G* , ơ* Jê S! ! 2𝐶𝑛)W 𝛿 ')W 𝑛'(]'!) E W |𝐴|] G𝜆* , 𝑆¬*∗ J𝑑𝑢 # Từ đây, dẫn đến kết phương trình (24) cần chứng minh o Chứng minh Định lý 5: Xem phần chứng minh báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) 77 "#$% ] Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Nhắc lại 𝑄!, = ∑,.2! ∆𝛾",# eSG𝑡 , ∆𝛾",# J − S(𝑡 , 0)f Từ Mệnh đề 6.2 báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020), ta thấy cần số hạng chi phí khoản 𝑄!, hội tụ theo xác suất đến nhanh 𝑛W Để chứng minh điều đó, tác giả áp dụng khai triển Taylor cho hàm ψ thu được: ) 𝑄!, = • ∆𝛾",# 𝑆"# [𝜓(Δ𝛾., ) − 𝜓(0)Δ𝛾., ] = 𝜓 T (0) •G∆𝛾",# J 𝑆"# + • 𝜓′T (𝜖 )𝑆"# (∆𝛾., )U S! Trong đó, 𝜖 ∈ S! [0, ∆𝛾., ] 𝜖 ∈ [∆𝛾., , 0] Vì sup #$"$! |∆𝛾", | S! ≤ ψ thuộc lớp 𝐶 ) , cần chứng minh với bậc 𝑚 ≥ 2, chuỗi ∑.S!(∆𝛾., )] hội tụ đến theo xác suất nhanh 𝑛W , theo Mệnh đề Cuối theo kết xấp xỉ báo Nguyen Pergamenshchikov (2017, 2020) biểu diễn sai số bảo hộ sau: 𝑉!, − ℎ(𝑆! ) = min(𝑆! , 𝐾) + 𝑈, + 𝑜(𝑛W ), đó: Martigale 𝑈, Martingale rời rạc, hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên Gauss hỗn hợp theo Định lý Từ đó, kết giới hạn chiến lược Leland Định lý chứng minhn 78 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Tài liệu tham khảo Avellaneda, M., Levy, A., & Parás, A (1995) Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities Applied Mathematical Finance, 2(2), 73–88 Black, F., & Scholes, M (1973) The pricing of options and corporate liabilities Journal of Political Economy, 81(3), 637–654 Blais, M., & Protter, P (2010) An analysis of the supply curve for liquidity risk through book data International Journal of Theoretical and Applied Finance, 13(06), 821–838 Çetin, U., Jarrow, R A., & Protter, P (2004) Liquidity risk and arbitrage pricing theory Finance and Stochastic, 8, 311-341 Çetin, U., Jarrow, R A., & Protter, P (2010a) Liquidity risk and arbitrage pricing theory In Handbook of Quantitative Finance and Risk Management (pp 1007–1024) Boston, MA: Springer Çetin, U., Sonner, H M., & Touzi, N (2010b) Option hedging for small investors under liquidity costs Finance and Stochastic, 14(3), 317-341 Çetin, U., Jarrow, R A., Protter, P., & Warachka, M (2006) Pricing options in an extended Black Scholes economy with illiquidity: Theory and empirical evidence Review of Financial Studies, 19(2), 493–529 Frey, R (1998) Perfect option hedging for a large trader Finance and Stochastics, 2(2), 115-141 Frey, R (2000) Market illiquidity as a source of model risk in dynamic hedging In Model Risk (pp 125-126) London: Risk Publications Frey, R., & Polte, U (2011) Nonlinear blackscholes equations in finance: Associated control problems and properties of solutions SIAM Journal on Control and Optimization, 49(1), 185-204 Frey R., & Stremme, A (1997) Market volatility and feedback effects from dynamic hedging Mathematical Finance, 7(4), 351–374 Gokay, S., Roch, A F., & Soner, H M (2011) Liquidity models in continuous and discrete time In Advanced Mathematical Methods for Finance (pp 333-365) Berlin, Heidelberg: Springer Kabanov, Y M., & Pergameshchikov, S M (2003) Two-scale stochastic systems In Applications of Mathematics, 49 Verlag, Berlin: Springer Kabanov, Y M., & Safarian, M (2009) Markets with Transaction Costs: Mathematical Theory Verlag, Berlin: Springer Kabanov, Y M., & Safarian, M (1997) On Leland's strategy of option pricing with transaction costs Finance and Stochastics, 1, 239-250 Ku, H., Lee, K., & Zhu, H (2012) Discrete time hedging with liquidity risk Finance Research Letters, 9, 135-143 Leland, H E (1985) Option pricing and replication with transactions costs The Journal of Finance, 40(5), 1283-1301 79 Nguyễn Hữu Thái (2020) JABES 31(4) 64–80 Denis, E., & Kabanov, Y (2010) Mean square error for the Leland–Lott hedging strategy: Convex pay-offs Finance and Stochastics, 14(4), 625-667 Lépinette, E., & Tran, T (2014) Approximate hedging in a local volatility model with proportional transaction costs Applied Mathematical Finance, 21(4), 313-341 Lépinette, E (2008) Marché avec côuts de transaction: Approximation de Leland et arbitrage These doctorale, Universitộ de Franche-Comtộ Besanỗon Lộpinette, E (2012) Modifed Leland's strategy for constant transaction costs rate Mathematical Finance, 22(4), 1-12 Liu, H., & Yong, J (2005) Option pricing with an illiquid underlying asset market Journal of Economic Dynamics & Control, 29, 2125–2156 Nguyen, T H., & Pergamenshchikov, S (2017) Mathematical Finance, 27(3), 832–865 Nguyen, T H., & Pergamenshchikov, S (2020) Approximate hedging with proportional transaction costs in stochastic volatility models with jumps Siam Journal of Probability & Its Applications, 65(2), 224-248 Roch, A (2011) Liquidity risk, price impacts and the replication problem Finance and Stochastics, 15(3), 399–419 Schonbucher, P J., & Wilmott, P (2000) The feedback effect of hedging in illiquid markets SIAM Journal on Applied Mathematics, 61(1), 232–272 Sircar, K R., & Papanicolaou, G (1998) General black-scholes models accounting for increased market volatility form hedging strategies Applied Mathematical Finance, 5(1), 45–82 Hall, P., & Heyde, C C (1980) Martingale Limit Theory and Its Applications Academic Press 80