12 đề ôn thi vào lớp 6 chất lượng cao

CLB Toán bồi dưỡng MathExpress www.toanboiduong.edu.vn TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG KÌ THI VÀO 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh An Giang năm 2021 – 2022) Cho hai số a, b phân biệt thỏa mãn a − 2021a = b − 2021b = c , với c số thực dương Chứng minh rằng: 1 2021 + + =0 a b c Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022) Rút gon biểu thức P = x x −1  x + x −2    −  với x  0, x  1, x  + x + x  x − x − x −  Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022) Rút gọn biểu thức A = ( x − − 1) + x + x − − (với x  ) Câu (Trích đề thi chun tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022)  x− y x+ y  1 1 a) Cho biểu thức: A =  −   −   x+ y x − y   x y Tính giá trị biểu thức A với x = 2021 + 505 , y = b) Cho số thực a , b , c  a + b + c  thỏa mãn Chứng minh rằng: + + = 2021 − 505 1 1 + + = a b c a +b+c a b c a + b + c 2021 Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022) 2021 2021 2021 2021 2021 ( )  x x −1 x x +1  x − x +1 − Cho biểu thức A =  : x −1 x + x   x− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cà Mau năm 2021 – 2022)  x x −1 x x +  2x − x + Cho biểu thức: A =  (với x  0; x  )  x − x − x + x  : x −1   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị ngun Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022)  ( x − 1) x − + x −  1 − Cho biểu thức P =  với x  1, x  : x−2 x − +  ( x − 1) x − − x +  a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P x = + − ( ) +1 CLB MATHEXPRESS – HOTLINE: 0868199115 7−4 + 3−2 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022) a a −b b a b +b a   : (a + b ) Rút gọn biểu thức A =  − a + b   a− b (với a  0, b  0, a  b ) Câu (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a −b b−c c −a + + = + c2 + a + b2 Câu 10 (Trích đề thi chuyên Phổ thơng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022) Cho M = 1 1 1 a b c + + ,N= + + ,K= + + a b c b+c c+a a +b b+c c +a a +b a + b2 + c2 a) Chứng minh MK = N = abc b) Cho M = K = 4, N = Tính tích abc Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022) Cho a, b, c lả số thực đôi phân biệt, rút gọn biểu thức: ( a − b) + (b − c ) + ( c − a ) A= a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c ( a − b ) 3 Câu 12 (Trích đề thi chun tỉnh Hải Phịng năm 2021 – 2022)  x +1   x +5 Cho biểu thức A =  − x − +    (với x  0, x  )  x x −1 x −1   x +    Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 1) năm 2021 – 2022) Cho hai biểu thức: A = 2+ x B = x x −1 x +1 (với x  ) + x x+ x a) Tính giá trị của A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A  B Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022) x 2x − x x − (với x  0, x  , x  ) + + x −1 x −2 x −3 x + a) Rút gọn biểu thức A Cho biểu thức A = b) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)  a +1 ab + a  a + a + b + ab Cho biểu thức S =   ab + + − ab + 1 : − ab   CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) với a  0, b  0, a + b  ab  a) Rút gọn biểu thức S b) Tính giá trị của biểu thức S a = + 2 b = 11 − Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)  a a −1 a a +   a +  a) Cho biểu thức A =  với a  0; a  1; a  Tìm tất giá trị nguyên  a − a − a + a  :  a −    dương của a đề P nhận giá trị nguyên b) Cho x = + 2021 Tính giá trị biểu thức: x5 − x − 2021x + 3x + 2018 x − 2021 Câu 17 (Trích đề thi chun Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hịa năm 2021 – 2022) Khơng dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức: T= ( + 10 + 2 + 2+ ) + (1 + 10 − 2 − 2− ) Câu 18 (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 2) năm 2021 – 2022) x−4 x+ x +2 x + B = (với x  0, x  ) x x −8 x −2 x +1 + Cho hai biểu thức: A = ( ) a) Tính giá trị của A x = b) Rút gọn B c) Tìm điều kiện của x để A  B Câu 19 (Trích đề thi chun tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022)  x +1 x −1 x   x − x −  Cho biểu thức P =  − − : −    (với x  0, x  )  x −1 x + x −   x − x −   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất số thực x để P nhận giá trị nguyên Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2021 – 2022) Rút gọn biểu thức A = ( + x 1+ x − x +1 ( x − 4) ( x − x +4 ) )+ ( x −3 x x− x −6 ) (với x  1, x  4, x  ) Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022) a) Cho biểu thức A = x 2x − x x x +1 B = − − với x  0, x  Rút gọn A chứng minh x −1 x − x x +1 B  A b) So sánh 24 + 26 10 Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị năm 2021 – 2022) Cho biểu thức P = x + + x − + x + − x − Chứng minh với x  , ta ln có P  CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022) Rút gọn biểu thức A = x+2 x +1 với x  0, x  + − x x −1 x + x + x −1 Câu 24 (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022) 1 1 Cho a, b, c la số thực khác thóa mân (a + b + c)  + +  = a b c Chứng minh rằng: ( a + b3 )( b 25 + c 25 )( c 2021 + a 2021 ) = Câu 25 (Trích đề thi chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm 2021 – 2022) a) Cho số thực a, b không âm thỏa mãn điều kiện ( a + )( b + ) = Tính giá trị của biểu thức: P = ab + a + b + − ( a + )( b + ) b) Cho số hữu tỉ a, b, c đôi phân biệt Đặt B = ( a − b) + (b − c ) + (c − a ) Chứng minh B số hữu tỉ Câu 26 (Trích đề thi chuyên Tin Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)   a − b2 a −b a −b Cho biểu thức P =  +  : 2 với a  b   a +b + a −b a − b − a + b  a + b  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ của biểu thức P b = a − Câu 27 (Trích đề thi chun Tốn Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)    x −2  a) Cho biểu thức A =  − : −    x + x x + x − x −   x + 3x + x    trị của x cho biểu thức A nhận giá trị số nguyên b) Cho f ( n ) = (n  * ) ( 2n + 1) n + + n ( ( x  0, x  1) Tìm tất giá ) 1 1  Chứng minh f ( n )   −  với n  2 n n +1  * f (1) + f ( ) + + f ( 2021)  Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022) Tính giá trị của biểu thức P = x 2022 − 10 x 2021 + x 2020 + 2021 x = 3− 3+ Câu 29 (Trích đề thi chun tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022) +1 −1 Tính giá trị biểu thức: P = a + b (khơng dùng máy tính cầm tay) ;b= 2 Câu 30 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 1) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) Cho a = CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)  x2 x +1 x +   x + 25  Cho biểu thức Q =  + −    với x  0; x   x − x3 x − x x + x +     a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm x để biểu thức Q có giá trị nhỏ Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 2) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) a) Cho a, b, c  2 thỏa mãn a + b + c = a + b + c = Tính giá trị của biểu thức S = a 2b + b 2c + c a b) Cho đa thức bậc hai P ( x ) thỏa mãn P (1) = , P ( 3) = , P ( ) = 31 Tính giá trị của P (10 ) CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh An Giang năm 2021 – 2022) Theo ra, ta có: a − 2021a = b − 2021b  a − b − 2021a + 2021b =  a = b ( ktm )  ( a − b )( a + b − 2021) =    a + b = 2021 Với a = b loại a, b phân biệt Với a + b = 2021  b = 2021 − a  ab = 2021a − a = − ( a − 2021a ) = −c Thay a + b = 2021; ab = −c vào ta Vậy 1 2021 a + b 2021 2021 2021 + + = + = + =0 a b c ab c −c c 1 2021 + + =0 a b c Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022) Với x  0, x  1, x  , ta có: ( x) P= −1   1+ x + x   = ( ) x −1 Vậy P = ( x +1 ( )( x +1 )( x −1 ) ( x −1 ) x +1 − =  = x −2   x −2 )( x +1 ) ( )   x −1  −  x +1   x −1 x +1 với x  0, x  1, x  x +1 Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022) A = ( x − − 1) + x + x − − = x − − x − +1+ = x −1 − x − + (2 (2 x − ) + 2.2 x − + x − + 1) 2 = x −1 − x − + x − +1 = x −1 − x − + x − +1 ( x − +1  0) =x Vậy A = x Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022) a) Điều kiện: x  ; y  x  y  x− y x + y   1  x − xy + y − x − xy − y y − x Ta có: A =  − =   −  =  x+ y x y x − y xy x − y xy    Thay x = 2021 + 505 , y = 2021 − 505 vào biểu thức thu gọn, ta được: CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) A= 2021 + 505 Vậy A = = 2021 − 4.505 2021 − 505 x =  (với x  ; y  x  y ) A =  xy  y = 1 = 2021 + 505 2021 − 505 ( ) a b c a + b + c 2021 1 1 1 1 b+c b+c Ta có: + + =  − + + =0 + =0 a b c a+b+c a a +b+c b c a ( a + b + c ) bc b) Chứng minh rằng: 2021 + 2021 + 2021 = 2021 2021  1  (b + c )  +  =  ( b + c ) ( bc + a + ab + ca ) = (do a, b, c  a + b + c  )  a ( a + b + c ) bc   a = −b  ( b + c )( a + b )( c + a ) =  b = −c c = −a 1 1 1   a 2021 + b 2021 + c 2021 = a 2021 − a 2021 + c 2021 = c 2021  Với a = −b , suy ra:  Do ( ) 1  = =  a 2021 + b 2021 + c 2021 a 2021 − a 2021 + c 2021 c 2021  Tương tự hai trường hợp lại là: b = −c c = −a ( ) Do tốn chứng minh Câu (Trích đề thi chun tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022) a) Điều kiện xác định: x  0, x  ( )  x + x +1 x − x +1  x − x +1 − Ta có: A =   : x −1 x x    =   ( )( x( )−( x −1 x + x +1 ) x −1 )( ( ) x +1 x − x +1  :  x x +1  ( ) )  x + x +1 x − x +1  x −1 =  − =  : x x x +   ( ( ) x −1 )( x +1 ) x −1 x +1 x −1 x +1 = 1+ x −1 x −1 Để A nhận giá trị nguyên x − ước của  x − 1 1; 2 b) Ta có A =  x − = −2  x = −1 ( l )   x − = −1  x =  x = ( l ) Suy   x −1 =  x =  x = ( n)   x − =  x =  x = ( n ) Vậy có hai giá trị x = 4; x = A ngun Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cà Mau năm 2021 – 2022) a) Với x  0; x  , ta có: CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ơn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)  x x −1 x x +  2x − x + A =  −  : x −1  x− x x+ x   =   ( )( x( )−( )( ( ) x −1 ) x +1 x − x +1  :  x x +1  x −1 x + x +1 ( ) ) ( ( ) x −1 )( x −1 x +1 x −1 ) x +1 = 1+ x −1 x −1 b) Với x  0; x  ta có: A =    x − suy x − 1 −1;1; −2; 2   Để A nguyên    Vậy với x  0; x  , để A nguyên x = x = ( ) x +1  x + x +1 x − x +1  x −1 x x +1 =  − = =  : x x x +1 x x −1   ( ) x − = −1 x =   x = x − = −2  x = x −1 = x −1 = Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022) a) Với x  1, x  ta có:  ( x − 1) x − + x −  1 P= − : x−2 x − +  ( x − 1) x − − x +   =   = = ( ( x − 1) x −1 + x − )( x −1 +1 ( x − 1) ( ( x − 2) − ) ( x −1 −1 )( x −1 +1 x −1 + x − − x −1 +1 )( ) x −1 +1 x −1 −1 x −1 + x − x −1 +1  : x − −  ( x − 1) x − −  x −1 −1 ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 2) ( ( ) ( ) ) x −1 −1 ) x − + ( x − 1) x −1 +1 = ( x − )( x − 1) = x − x + ( + 1) − + − = ( + ) − ( + 1) ( − ) + ( − ) = + − ( + 1) − + ( − ) = + − ( + 1)( − ) + − 15 = + − + 15 − + + − 15 = Khi đó: P = ( ) − ( ) + = 14 − b) Ta có: x = + − 2 Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022)  Ta có: A =    ( a) −( b) a− b  a b +b a  − : (a + b) a+ b   CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)  =   ( )( a − b a + ab + b a− b ( ) = a + ab + b − ab  )− ab ( ) a+ b    a+b a+ b  a+b = = a+b a+b Câu (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022) Ta có: VT = = a −b b −c c −a a −b b−c c−a + + = + + 2 2 1+ c 1+ a 1+ b ab + bc + ca + c ab + bc + ca + a ab + bc + ca + b ( a − b )( a + b ) + ( b − c )( b + c ) + ( c − a )( c + a ) = (đpcm) a −b b−c c−a + + = ( a + c )( b + c ) ( a + b )( c + a ) ( a + b )( b + c ) ( a + b )( a + c )(b + c ) Câu 10 (Trích đề thi chun Phổ thơng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022) b c   1  a a) Ta có: MK =  + +  + +   a b c  b + c c + a a + b  = b c a c a b + + + + + + + + b + c a ( c + a ) a ( a + b ) b (b + c ) c + a b ( a + b ) c (b + c ) c ( c + a ) a + b =N+ b 1 1 c 1 1 a 1 1 b c a a + b2 + c2 + + + + + = N + + + = N +       c+a  a c  a+b a b  b+c b c  ac ab bc abc Mà MK = a + b2 + c a + b2 + c a + b2 + c N+ =  N = abc abc abc b) Ta có: M = K = 4; N = Theo câu a), ta có: MK = N + Ta có: K + = a + b2 + c a + b2 + c  16 = +  a + b + c − ( ab + bc + ca ) = 15abc abc abc () a b c +1+ +1+ +1 = (a + b + c) N  = a + b + c b+c c+a a+b M =  ab + bc + ca = 4abc Thay vào ( )  − 2.4abc = 15abc  abc = 49 23 Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022) Ta biết x + y + z = x3 + y + z − 3xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = Do đó: x3 + y + z = xyz Ta có: a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) = ( a − b ) c − ( a − b ) c + ab ( a − b ) = ( a − b ) c − ( a + b ) c + ab  = ( a − b )( c − a )( c − b ) = − ( a − b )( b − c )( c − a ) CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a ta có: A = − x3 + y + z = −3 xyz Vậy A = −3 Câu 12 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022)  x + x +1  = Ta có: A =  −  x −1  x +1  x x −1 Để A  x 1− x 2 ( x + 1) x + x + = x ( x − 1)( x + x + 1) x + 1 − x − x x −2    x    x  (thỏa mãn điều kiện) 1− x Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 1) năm 2021 – 2022) a) Thay x = 64 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta được: A = x −1 x +1 + = x x+ x b) Ta có: B = c) ( x x +2 x +2 :   x x +1 A   B )( x −1 ( )+ x +1 ) x +1 x +1 x ( ) x +1 + 64 = 64 x +2 x +1 = x +1    x  x Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022) ) ( x − 1) + ( x − x x − ) = x x − x + x − + x − x ( x − 1)( x − ) ( x − 1)( x − ) ( x − 2) x −4 = = = x − x − x − x − x − ( )( ) ( )( ) b) Ta có: x = + 2 = ( + 1) a) Ta có: A = x ( x −2 +2 x −2 2 Do đó: A = ( ) = 2 + −1 = 2 +1 −1 Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022) a) Ta có: S = = a +2 : − ab ( ( )( ) ( a + 1 − ab + ab + a − ab a+ b )( )=2 a +1 − ab ( b) Ta có: a = + 2 = + ( b = 11 − = − ) a +2  − ab ) ( )( ) ab + + − ab a + a + b + ab : − ab − ab a+ b )( ) a +1 = a+ b  a = + 2;  b = − = − CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 10 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) Vậy S = = 1+ + − 2 Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022) a) Với a  0; a  1; a  , ta có:  a a −1 a a +1   a +   A =  −  :   =  a − a − a a + a      ( )( )−( a ( a − 1) )( ( ) a +1 a − a +1   a +   :   a −  a a +1  a −1 a + a +1 )  a + a +1 a − a +1  a +   a −  2a − =  − = 2−  :   = 2 = a − a + a + a + a a       Để A  −   a +  Ư ( ) = 1; 2; 4; 8 a+2 Mà a  + , a  1, a  nên a +   a +  8  a = (thỏa mãn) Vậy a = giá trị cần tìm b) Đặt: M = x5 − x − 2021x3 + x + 2018 x − 2021 = x − x − 2020 x3 − x + x + 2020 x + x − x − 2020 − = x3 ( x − x − 2020 ) − x ( x − x − 2020 ) + ( x − x − 2020 ) − = ( x − x − 2020 )( x3 − x + 1) − Mà: x = + 2021  x − = 2021  ( x − 1) = 2021  x − x − 2020 =  M = −1 Câu 17 (Trích đề thi chun Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hòa năm 2021 – 2022) ( + 10 + Ta có: T =  1 + =  4+ = ( ( 2 + 2+ ) + (1 + 10 − 2 − 2− ) = (1 + 10 + 4+ 4+2 3 3  +  1 + −  + + + − +  = + 2 + +1 − +1 +1 4− −1 ) ( ) ) ( ) ( ( )( )( ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) + (1 + 10 − ) 4− 4−2 ) ) ) 4+2 5− − + 14 + 14 − 28 14 4+2 4−2 + = + = + = = 22 22 22 11 5+ 5− 5+ 5− 5+ 5− Vậy T = 14 11 Câu 18 (Trích đề thi chuyên tỉnh Trà Vinh (đề 2) năm 2021 – 2022) a) Thay x = vào biểu thức A, ta được: A = = −2 CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 11 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) b) Ta có: B = = x−4 x+ x +2 + = x x −8 x +1 + ( ( ) ( x +2 )( )( x −2 ) x −2 x+2 x +4 ) + x+ x +2 x + x +1+ x +2 x+ x +2 x+2 x +4 + = = x+2 x +4 x+2 x +4 x+2 x +4 x x 1 −1     x −    x  x −2 x −2 x −2 Câu 19 (Trích đề thi chun tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022) c) Ta có: A  B  ( P= a) Ta có: = ( −4 x )( x −1 Vậy P = ) ( x +1 − ( ) x +1  )( x +1 )( x +1 x −1 ( ) x −1 − x x −1 x − x −3− : ) ( )( ( x −1 ) x +1 ) x +1 )=4 −x − x x+4 x x+4 b) Vì x  0, x  nên P = x  x+4 x x−4 x +4 = = Ta có: − P = − x+4 x+4 Do  P  mà P  ( x −2 x+4 )  , suy P  nên P = P = Với P = x = (thỏa mãn) Với P = x − =  x = (thỏa mãn) Vậy x = 0; x = P nhận giá trị nguyên Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2021 – 2022) Với x  1, x  4, x  ta có: A= = ( + x 1+ x − x +1 ( x − 4) ( x − ( + x 1+ ( )( x +4 x −1 )+ ) )+ x− x −6 x ( x −3 x −3 )( = ) ( ) = ( )( 8+ x x ) )( ) ( + ) ( x − )( x x + 8) ( ( x + 2) + x ( x − 2) x x+4 = + = = x − ( ) x − 2 x + 2 x − x + ( ) ( ) ( )( ) x −2 x x +8 ) 2( ( x −3 x 2  + x 1 + x −1    + x −2 x +2 x−2 x +4 x +2 x x +2 x ( x −3 x −3 )( ) x +2 ) ) Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022) a) Với x  0, x  ta có: CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 12 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) x x +1 −1 = x +1 B= ( ( ) ( ) x + 1) −1 = ( x − x x −1 x − = x −1 x x −1 x 2x − x − = x −1 x − x A= )( x +1 x − x +1 Xét hiệu: B − A = x − x − ( x x −1 x − x + − = = x − x −1 x −1 x −1 ) x +1 −1 = x − x ) x −1 = x − x +1 = ( ) x −  với x  0, x  Suy ra: B  A b) Ta có: ( ) 24 + 26 = 24 + 26 + 24.26 = 50 + 624  50 + 625 = 100 = 102  24 + 26  10 Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị năm 2021 – 2022) Với x  , ta có: ( P = x +2+4 x −2 + x +2−4 x −2 = x−2 +2 ) + ( x−2 −2 ) = x−2 +2 + x−2 −2 x − −   x −    x −    x  6, ta có: Trường hợp 1: Nếu (1) P = x − + + − x − = x − −   x −   x −   x  6, ta có: Trường hợp 2: Nếu ( 2) P = x − + + x − − = x −  2.2 = Từ (1) ( ) , suy P  với x  Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022) Với x  0, x  1, ta có: x+2 x +1 + − = x x −1 x + x +1 x −1 A= = = x+2 ( )( x + + x −1 − x − x −1 ( )( )( = x− x )( − ) ( x −1 x + x +1 ) ( x −1 x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 x −1 + ) ( x −1 x + x +1 ( x+2 ) x −1 x + x +1 + x +1 − x + x +1 x −1 x + x +1 )( ) x −1 x + x +1 = x x + x +1 Câu 24 (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022) 1 1 1 1 Vì (a + b + c)  + +  = nên a + b + c    + +  =  a b c  a+b+c a b c b+c b+c 1  1 1  − + =0 + +  =  a ( a + b + c ) bc  a a+b+c  b c    bc + a + ab + ac  1  (b + c )  +  =  (b + c )  =0 a a + b + c bc abc a + b + c ( ) ( )     CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 13 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)  a = −b ( b + c )( c + a )( a + b ) =  b = −c   abc ( a + b + c ) c = −a  Vậy ( a + b3 )( b 25 + c 25 )( c 2021 + a 2021 ) = (đpcm) Câu 25 (Trích đề thi chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa năm 2021 – 2022) a) Ta có: ( a + )( b + ) =  2a + 2b + ab = Do đó: ( a + )( b + ) = ( a + ab + 2a + 2b )( b + ab + 2a + 2b ) = ( a + b ) ( a + )( b + ) = ( a + b ) = ( a + b ) 2 Suy ra: a + b + − ( a + )( b + ) = a + b + − ( a + b ) =2 ( a + b) + − ( a + b ) − 2ab = (a + b) = ( a + b) Khi đó: P = ab + ( a + b ) = Vậy P = b) Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a  x, y , z  x + y + z = 1 1   1  2( x + y + z) 1 1  + + =  + +  − 2 + +  =  + +  − x y z xyz x y z  xy yz zx  x y z Ta có: B = 2 1 1 1 =  + +  = + + x y z x y z Vì a, b, c số hữu tỷ nên x, y , z số hữu tỉ, B số hữu tỷ Câu 26 (Trích đề thi chuyên Tin Quốc Học Huế năm 2021 – 2022)  a −b + a) Ta có P =   a +b + a −b a −b  ( ( )  2  a + b a + b − a − b  a − b2  a −b ) 1   a + b2 = a − b. +  a + b − a − b  a − b2  a +b + a −b = a − b a + b a + b2 a + b2 = b ( a + b ) − ( a − b ) a − b2 b) Thay a = b + vào biểu thức P ta ( b + 1) P= b + b2 = 2b2 + 2b + 1 = + 2b +  + 2b = + 2 b b b CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 14 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640) P = + 2  2b = 2+ 2 b= Khi a = b 2 2+ 2 b = 2 Câu 27 (Trích đề thi chun Tốn Quốc Học Huế năm 2021 – 2022) Vậy giá trị nhỏ của P + 2 a =  x −2 − a) Ta có: A =   x + ( x − 1) x +  ( A= x −1 − x + ( x − 1) ( ) x +1 x −1 : x ( ) ( = ) ( x +1   :  3   ( )( x −1 − ) x +1 ) x −1 ( x( x ) x +1   x +1   ) x + 1) = x −1 x x +1 x = 3−  với ( x  0, x  1) x +1 x +1 Ta có:  A = Mà A nguyên nên A 1; 2 Với A = x =  x = x +1  x =  x = x +1 Với A = x =  x = x +  x =  x = x +1 1  Vậy với x   ; 4 A nguyên 4  b) Đặt B = f (1) + f ( ) + + f ( 2021) f (n) = n +1 − n 4n + 4n + ( n + − n )  n +1 − n 4n + 4n = n +1 − n 1 1  =  −  n +1  n ( n + 1)  n 1 1 1 1    Suy f (1)   ; f ( 2)   ;….; f ( 2021)   − − −     2021 2 2 2022  2 3 1  Do B  1 −  2 2022  Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022) Ta có: x = 3− = 3+ ( ( 3− 3+ )( ) 3− ) = 5−2 = − 3− Suy ra: ( x − ) = 24  x − 10 x + = Do P = x 2020 ( x − 10 x + 1) + 2021 = 2021 Câu 29 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022) Ta có P = ( a + b )( a + b3 ) − a 3b3 ( a + b ) CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 15 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (0858680640)  3 a + b =  P = 169 Lại có: a + b = 2; ab =    64 17 a + b4 =  Câu 30 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 1) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) a) Với x  0; x  1, ta có   x2 x +1   x + 25   Q= + −    x x x −1 x x − 1  x + x +    ( )  x x +1  x + 25 x + 25  x +  x + 25 =  + − = 1 + =   x − x x − x + x + x x + x + x     b) Với x  0; x  , ta có Q = x + 25 2 x Vậy GTNN của Q 10 xảy x= x 25 = 10  Q  10 x 25  x = 25 x Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (vòng 2) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) a) Ta có = ( a + b + c ) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) = + ( ab + bc + ca ) Suy ab + bc + ca = − Từ ( ab + bc + ca ) = a 2b + b c + c a + 2abc ( a + b + c ) Suy S = a 2b + b 2c + c a = a + b + c = P (1) =  b) Đặt P ( x ) = ax + bx + c có hệ 9a + 3b + c = P ( 3) =  49a + 7b + c = P ( ) = 31 Giải hệ a = , b = −3 , c = Suy P ( x ) = x − 3x + nên P (10 ) = 102 − 3.10 + = 73 CLB MathExpress – Hotline: 0868199115 Page 16 ... Hotline: 0 868 199115 Page Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (085 868 064 0) Đặt x = a − b, y = b − c, z = c − a ta có: A = − x3 + y + z = −3 xyz Vậy A = −3 Câu 12 (Trích đề thi chuyên... b = − = − CLB MathExpress – Hotline: 0 868 199115 Page 10 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (085 868 064 0) Vậy S = = 1+ + − 2 Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022)... 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022) a) Với x  0, x  ta có: CLB MathExpress – Hotline: 0 868 199115 Page 12 Ôn thi vào lớp 10 Chuyên – Thầy Trần Nhật Minh (085 868 064 0) x x +1