PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I - PHÂN ĐỀ (2)

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ 1 Định nghĩa phép chia hết Với , ( 0); ,a b Z b q r Z∈ ≠ ∈ sao cho (0 )a bp r r b= + ≤ < +) Nế[.]

CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa phép chia hết Với a, b ∈ Z (b ≠ 0); q, r ∈ Z +) Nếu +) Nếu +) Nếu +) Nếu a = bp + r (0 ≤ r < b ) r = ⇒ a Mb /b r ≠ ⇒ aM Một số tính chất: +) Nếu cho ∀a, b, c, d ∈ Z a ≠ ⇒ a Ma;0Ma +) Nếu a Mb; b Ma ⇒ a = ±b +) Nếu a Mb; a Mc;(b, c) = ⇒ a Mbc +) Nếu a Mb; bMc ⇒ a Mc a Mb; a Mc ⇒ a MBCNN [b, c ] a Mb ⇒ ac Mb(c ∈ Z ) Một số định lý thường dùng +) Nếu +) a Mc; b Mc ⇒ (a ± b)Mc +) Nếu a Mc; b Md ⇒ ab Mcd a Mb ⇒ a n Mb n (n ∈ Z + ) Một số hệ áp dụng +) +) +) ∀a, b ∈ Z ; n ∈ Z + ⇒ a n − b n Ma − b ∀a, b ∈ Z ∀a, b ∈ Z n chẵn n lẻ n ∈ Z + ⇒ a n − b n Ma + b n ∈ Z + ⇒ a n + b n Ma + b B Các dạng tốn Dạng 1: Đưa dạng tổng bình phương - Cơ sở phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương TỐN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn, vế lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) Chẳng hạn:   A2    B A2 + B = m + n ⇔    A   B  = m2 = n2 = n2 = m2 , giải phương trình tương ứng kết luận ngiệm phương trình Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + y − x + y + 13 = ( 1) Bài 2: HSG Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x +5 y + xy + y = 12 Bài 3: Chuyên Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2017 - 2018 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x +4 y − xy + x + = 2017 Bài 4: Chuyên Tỉnh Quảng Nam, năm học 2016 - 2017 Tìm cặp số tự nhiên ( m, n ) thỏa mãn: m2 + n2 = m + n + Bài 5: HSG Nam Định, năm học 2015 - 2016 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y + xy − x − y = Bài 6: Chuyên Long An, năm học 2017 - 2018 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y + 12 x + y + = Bài 7: Chuyên Hải Dương, năm học 2017 - 2018 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y − xy − y + = Bài 8: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I Tìm số ngun x, y thỏa mãn: GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG x + y − xy − x + y + = Bài 9: HSG Bến Tre, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y + xy = y + Bài 10: HSG Bạc Liêu, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + 23 y + 16 x − 44 y + 16 xy − 1180 = Bài 11: Chuyên Thái Bình, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + y + xy − x + y − 35 = Bài 12: Chuyên Cà Mau, năm học 2015 - 2016 Tìm số nguyên dương x, y , z thỏa mãn: x − 18 y + z + y z − 18 x = 27 Bài 13: Chuyên Cà Mau, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên dương x, y , z thỏa mãn: x + y + z + y z − 18 x = Bài 14: HSG Tỉnh Cà Mau, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn: x + y + x y + 60 = 37 xy ( 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm x, y , z ∈ Z thỏa mãn: x + y − x − y = 8(1) Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy + y = 169 Bài 3: TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I Tìm x, y , z ∈ Z thỏa mãn: GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG x −4 xy + y = 169(1) Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y + xy + y − = Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y + y − xy − = Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y − x y = 64 Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x + 1)( x + y ) = x y Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y − xy + y − x + = Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = ( 1) Dạng 2: Đưa phương trình ước số (phương trình tích) *) Ta gọi phương trình ước số phương trình có vế trái tích biểu thức có giá trị ngun, vế phải số nguyên Bằng cách tìm ước số số ngun đó, ta tìm nghiệm nguyên phương trình cho Cơ sở: Thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn phân tích thành nhân tử - Phương pháp: Biến đổi phương trình dạng vế tích đa thức chứa ẩn, vế cịn lại tích số nguyên (số nhân tử hai vế nhau) TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I A.B.C = m.n p(m, n, p ∈ Z ) ⇒ GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG giải phương trình tương ứng A = m A = n A = p    B = n ; B = p ; B = m C = p C = m C = n    Bài 1: Chuyên Thái Nguyên, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy + y + x = 83 Bài 2: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2015 - 2016 Tìm số nguyên a, b biết rằng: a 1 − = b+3 Bài (khó): HSG TPHCM, năm học 2016 - 2017 Tìm x, y nguyên thỏa mãn: x + x ( y − 1) + y − = Bài 4: HSG Vũng Tàu, năm học 2015 - 2016 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x − 2xy − x + y + 19 = Bài 5: Chuyên Đồng Nai, năm học 2017 - 2018 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x − xy + x + y = Bài 6: HSG Thừa Thiên Huế, năm học 2016 - 2017 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x − y + x y − xy = x + 14 Bài 7: HSG Bình Phước, năm học 2016 - 2017 Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: 3x − y − xy + x − y − = Bài 8: HSG Tây Ninh, năm học 2016 - 2017 Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + xy + x + y = Bài 9: HSG Tỉnh Lai Châu, năm học 2016 - 2017 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I Tìm số nguyên ( x; y ) GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG ( y + 2) x2 − y − y −1 = thỏa mãn Bài 10: HSG Lai Châu, năm học 2016 - 2017 Tìm nghiệm nguyên phương trình: ( x − 3) y + ( x − x + 3) y + x − x = 24 ( 1) Bài 11: Chuyên Hưng Yên, năm học 2016 - 2017 Tìm tất nghiệm nguyên dương Thỏa mãn x, y , z phương trình: xyz + xy + yz + xy + x + y + z = 2015 x≥ y ≥ z ≥8 Bài 12: Chuyên Toán Phú Thọ, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + x y + x + xy = x + 10 ( 1) Bài 13: HSG Hải Dương, năm học 2016 - 2017 Tìm số nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x + y + x − y = xy − Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x − y − xy + = 0(1) Bài 15: Tìm x, y ∈ Z , thỏa mãn x + x − y = 0(1) Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên a) c) e) 3xy − x + y = b) xy + x + y + = x + y + xy d) x + 3xy − y = x + y + xy − x − y = x − y + xy + x − y − = Bài 17: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2( x + y ) + = 3xy Bài 18: TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN I Tìm nghiệm ngun phương trình: GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG x2 + x + = y2 Bài 19: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy = x − y − Bài 20: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x −5 xy + y + x − y = 1(1) Bài 21: Tìm tất số nguyên a) b) c) A = x + x + 10 B = x2 − 2x − C = x2 − x + x cho số phương số phương số phương Bài 22: Tìm số nguyên x cho: x ( x + 1)( x + 7)( x + 8) số phương Bài 23: Giải phương trình nghiệm nguyên a) b) x + y + = xy (1) x − y + xy = TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x − y + xy = Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + xy + y = 11 Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x − 25 = y ( y + 6) Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = y TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP Nội dung:  f ( x, y ) / c f ( x, y ).g ( x, y ) = c ⇒   g ( x, y ) / c Bài 1: Ams 2014 Giải phương trình nghiệm nguyên: x y + xy − x − x + = 0(1) Hướng dẫn giải (1) ⇔ x( xy + y − x − 3) = ⇒ x / ⇒ x ∈ { ±1; ±2; ±4} Sau thay vào phương trình ⇒ y = Hoặc ta nhận xét sau: ⇔ xy ( x + 1) − (2 x + 3x − 4) = ⇔ ( x + 1) [ xy − (2 x − 1) ] = −5 ⇒ ( x + 1) / ⇒ ( x + 1) ∈ { ±1; ±5} ⇒ x = ⇒ y = Bài 2: Chuyên KHTN vịng 1, năm 2015 Tìm n để n+5 n + 30 số phương ( n∈Z ) Hướng dẫn giải Đặt  n + = a (a, b ∈ N ) ⇒ b − a = (b − a )(b + a ) = 25   n + 30 = b Ta có nhận xét sau: +) +) b − a ∈ { 1;5} b − a ∈ Z ; b − a < b + a;(b − a) / 25 ⇒  b + a ∈ { 25;5} b − a = a = 12 ⇔  b + a = 25 b = 13 b − a = a = ⇔  b + a = b = Bài 3: Chuyên KHTN vịng 1, năm 2015 TỐN NÂNG CAO CHUN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG Tìm nghiệm tự nhiên phương trình: a) x − 37 = y b) x +57 = y Hướng dẫn giải a) Ta có: 8x − 37 = y ⇔ (2 x )3 − y = 37 ⇔ (2 x − y )(22 x + x y + y ) = 37 x 2 − y > + y + y > ⇒  x ⇒ x − y ∈ { 1;37} − y / 37  2x Nhận xét: Lại có: 2 x − y =  x = y + x − y < 22 x + x y + y →  x ⇔ ⇒ (1 + y )2 + (1 + y ) y + y = 37  2x x x 2 + y + y = 37  + y + y = 37 ⇒x⇒ y b) x kết luận toán x +57 = y ⇔ y −2 x = 57 +) Nếu x số lẻ ⇒ x = 2k + 1(k ∈ N ) ⇒ x = 2 k +1 = 2.4k Có ≡ 1(mod 3) ⇒ k ≡ 1(mod 3) ⇒ 2.4k ≡ 2(mod 3) ⇒ x + 57 ≡ 2(mod 3) ⇔ y ≡ 2(mod 3) ⇒ 2.4k ≡ 2(mod 3) ⇒ x +57 ≡ 2(nod 3) ⇒ y ≡ 2(mod 3) ⇒ voly ⇒ x : chan ⇒ x = 2k (k ∈ N ) ⇒ y − (2k ) = 57 ⇔ ( y − 2k )( y + 2k ) = 57 = 3.19 Mà:  y + 2k >  y + 2k = 19   y + 2k =  y = 11  y = 29   ⇒ ; ⇒ ;    k k k k y + > y − y − =   y − = 19  x =  x =   Bài 4: Chuyên Hà Nội, năm học 2016 - 2017 Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) thỏa mãn: x.x = y + y + 16 Lời giải 10 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I +) GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG v = −3 ⇒ u = (loai) Bài 2: Chuyên KHTN vịng 1, năm học 2014 Giải phương trình nghiệm ngun: y − 25 = 3xy + x Hướng dẫn giải y − 25 −5 y − 25 = 3xy + x ⇔ (8 y − 25) = x(3 y + 5) ⇔ x = (y ≠ ) 3y + Ta có: x∈Z ⇒ Vì y − 25 8.9 y − 25.9 8(9 y − 25) − 25 25 ∈Z ⇒ ∈Z ⇔ ∈ Z ⇔ 8(3 y − 5) − ∈Z 3y + 3y + 3y + 3y + ⇒ y + / 25 = { ±1; ±5; ±25} ⇒ y ⇒ x Dạng 4: Phương pháp xét số dư (Sử dụng đồng dư thức) Nội dung: Cho phương trình Xét số dư f ( x) g ( x) f ( x) = g ( x) cho số +) Nếu hai số dư khác phương trình vơ nghiệm +) Nếu hai số dư làm tiếp Bổ đề: Xét số dư số phương cho số +) +) +) a ≡ 0,1( mod 3) a ≡ 0,1, 4(mod 5) a ≡ 0,1, −1(mod 9) +) +) +) a ≡ 0,1(mod 4) a ≡ 0,1, 4( mod 8) a ≡ 0,1(mod16) Bài 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 9x + = y2 + y 17 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: a) x − y = 13 b) x2 = y2 − y + Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: 19 x + 28 y = 2009 Bài 4: a) Giải phương trình nghiệm nguyên: b) Giải phương trình nghiệm nguyên: c) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + 13 y = 1820 x + 13 y = 1620 x + y = 1080 = 23.5.33 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x14 + x24 + + x84 = 2015 ⇒ ptvn Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phương trình sau a) 2x + = y b) x + y + z = 1024 Bài 7: Tìm tất số tự nhiên x cho: x + 105 số phương Bài 8: 1945 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: 19 x + y + 1890 z = 29 Bài 9: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun a) x + y + z = 51111 b) 18 x + y + z = x + y + z + 2008 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I c) e) x14 + x24 + + x84 = 32222 GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG d) n3 + 2006n = 20082007 + f) x + y + z = 1000 x + y + z = 1999 Bài 10: HSG Tỉnh Tuyên Quang, năm học 2015 - 2016 Xác định tất cặp nguyên dương ( x; n ) thỏa mãn phương trình sau: x + 3367 = 2n Bài 11: Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa vịng 2, năm học 2017 - 2018 Tìm tất cặp nguyên ( x; y ) thỏa mãn: x + y = 20412 DÀNH CHO HỌC SINH LỚP Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: x = y − y + 3(1) Lời giải (1) ⇔ x = 2( y − 2) − 5(2); co : x ≡ 0,1, 4(mod 8), 2( y − 2) ≡ 0, 2(mod 8) ⇒ 2( y − 2)2 − ≡ 3,5(mod 8) 19 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG VT ≡ 0,1, 4(mod 8) ⇒ ⇒ ptvn VP ≡ 3,5(mod 8) Bài không xét mod được, khơng xét mod được: Vì hai vế có số dư Bài 2: Phương trình z = ( x − 1)( y − 1) + n có nghiệm ngun khơng nếu: n = 2103 Lời giải Ta có: mà: x − ≡ 0,3, 7(mod 8)   2  ⇒ ( x − 1)( y − 1) ≡ 0,1,5(mod 8) y − ≡ 0,3, 7(mod 8)   2013 ≡ 5(mod 8) ⇒ VP ≡ 5, 6, 2(mod 8), z ≡ 0,1, 4(mod 8) ⇒ ptvn Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 15 x − y = → mod Lời giải Có: 15 x ≡ ≡ 0(m0d 3) → y ≡ 0(mod 3) ⇔ y ≡ 0(mod 3) ⇔ y = ⇒ y = y1 → 15 x − 63 y12 = ⇔ x − 21 y12 = 3(1) ( y1 ∈ Z ) Từ (1) → x ≡ 0(mod 3) → x = x1 ( x1 ∈ Z ) → 15 x12 − y12 = y12 ≡ 0,1(mod 3) → 15 x12 − y12 ≡ 0, −1(mod 3) ≡ 0, 2(mod 3) → Có: Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: VT ≡ 0, 2(mod 3)   → ptvn VP ≡ 1(mod 3)  x15 + y15 + z15 = 192003 + 2003 + 2003 Lời giải Có: 19 ≡ 1(mod 9) → 19 2003 ≡ 1(mod 9);7 ≡ −2(mod 9) → 73 ≡ (−2)3 (mod 9) → 73 ≡ 1(mod 9) → 2001 ≡ 1(mod 9) 2003 ≡ 49( ≡ 4(mod 9))(1) Nhận xét: a ≡ 0,1, −1(mod 9) ⇒ ( x )5 = ( x )3 ≡ 0,1, −1(mod 9) ⇒ VT ≡ −3, −2, −1,0,1, 2,3(mod 9)(2) ⇒ ptvn 20 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên a c 3x + = y b (2 x + 1)(2 x + 2) + y = 307 d 2x + y = 2x+ y x4 = x y Lời giải a +) 3x ≡ 1(mod 3) : x =0;3x ≡ 0(mod 3)khi : x = 1;3 x ≡ 0(mod 3) : x ≥ y ≡ 0,1,8(mod 9) Nếu x = → y = x ≥ → 3x + ≡ 7(mod 9) → voly ⇒   x = → y = 10(loai) b Giả sử +) Nếu +) Nếu x ≥ y → 2x ≥ y , chia hai vế cho y ≠ → 2x− y + = 2x x = → 2− y + = 1(voly ) x ≥ → x : chan → x − y : le → x = y = → x = 20 + → x = → y = 1(tm) x  + = 17 y = → = → (2 + 1)(2 + 2) = 306 = 17.18 ⇒  x ⇔ x = 4(tm)  + = 18 y c Nếu +) Nếu x x y > → y ≡ 0(mod 3) - x: chẵn → ≡ −1(mod 3) → x ≡ 1(mod 3) → (2 x + 1)(2 x + 2) ≡ 0(mod 3) → x ≡ −1(mod 3) → (2 x + 1)(2 x + 2) ≡ 0(mod 3) → - x: lẻ VT ≡ 0(mod 3)   → y > 0( ptvn) VP ≡ 1(mod 3)  Vậy (x,y) = (4,0) d Nếu x = → VT = 14 = = VP → dung∀y Vậy x = 1, y = n ( n số số tự nhiên ) 21 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG x = → VT = VP∀y ∈ N ⇒ x = 0, y = m( m ∈ N ) +) Nếu x ≠ 0, x ≠ ⇒ y = +) Nếu Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP XUỐNG THANG ( LÙI VÔ HẠN – CỰC HẠN ) Chú ý: Phương pháp thường dùng cho phương trình có bậc hạng tử - Nó xuất phát từ ơng Phecsma: x4 + y = z Cách giải: Bước 1: Giả sử tồn nghiệm khác mà đạt giá trị nhỏ Bước 2: Sử dụng giả thiết tính chất phương trình có nghiệm khác nhỏ Bước 3: Kết luận phương trình có nghiệm Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x − y + z = z (1) Lời giải Giả sử ( x0 , y0 , z0 , t0 ) nghiệm phương trình, tức là: x04 − y04 + z04 = t04 → t0 M2 → t0 = 2t1 (t1 ∈ Z ) → x04 − y04 + z04 = 16t14 → x04 − y04 + z04 = 8t14 → x0 M2 → x0 = x1 ( x1 ∈ Z ) → 16 x14 − y04 + z04 = 8t14 → x14 − y04 + 2t04 = 4t14 → y0 = y1 ( y1 ∈ Z ) → x14 − 16 y14 + z04 = 4t14 → x14 − y14 + z04 = 2t14 → z0 = z1 → x14 − y14 + z14 = t14 → neu : ( x0 , y0 , z0 , t0 ) nghiệm nguyên phương trình ( 22 TỐN NÂNG CAO x1 , y1 , z1 , t1 ) CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I =( x0 y0 z0 t0 ; ; ; 2 2 GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG ) nghiệm phương trình ( x2 , y2 , z2 , t2 ) = ( tương tự x y z t x1 y1 z1 t1 ; ; ; ) = ( 02 ; 20 ; 02 ; 02 ) 2 2 2 2 nghiệm ph trình ( xn , yn , zn , tn ) = ( Cứ tiếp tục vậy, sau bước thứ n ta suy x0 y0 z0 t0 ; ; ; ) n n 2n n nghiệm nguyên phương trình ban đầu với n nguyên dương Điều xảy ⇔ ( x0 , y0 , z0 , t0 ) = (0;0; 0;0) Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: Vậy phương trình có nghiệm nguyên x + y +9 z = x y z (1) Lời giải Giả sử ( x0 , y0 , z0 , t0 ) nghiệm phương trình, tức là: x03 + y03 + z03 = x02 y02 z02 → x03 M → x0 = x1 ( x1 ∈ Z ); y0 = y1 ; z0 = z1 → x13 + y13 + z13 = 35 x12 y12 z12 (2) Tương tự ta chứng minh được: Đặt x1 M3; y1 M3; z1 M3 x1 = x2 ; y = y ; z1 = z2 ( x2 , y2 , z2 ∈ Z ) Thay vào (2) ta được: 3( x23 + y23 + z23 ) = 35.3 x22 y 22 z 22 → x23 + y 23 +9 z 23 = 38 x 22 y22 z 22 Cứ tiếp tục sau bước n ta suy ra: Điều xảy x0 = 3n xn ; y0 = 3n yn ; z = 3n zn hay : x0 , y0 , z0 M3n ∀n ∈ N * ⇔ ( x0 , y0 , z0 , t0 ) = (0;0; 0;0) Vậy phương trình có nghiệm nguyên *) Chú ý: Ta thay số nguyên tố số nguyên tố Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = 25 z (1) Lời giải Ta thấy x3 M5 → x M5 23 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I Đặt GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG x = x1 → 25 x13 + y = z (2) → y = y1 → 25 x13 + 25 y13 = z (3) → z = z1 → x 31 +5 y13 = 25 z13 Vậy (x,y,z) nghiệm pt thì: ( ( Cứ x y z ; ; )(k ∈ N * ) 5k 5k 5k x y z ; ; 5 ) nghiệm pt nghiệm (1) Điều xảy x = y = z = Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = z (1) ( Cách khác ) Lời giải Ta thấy (x,y,z) = (0;0;0) nghiệm phương trình (1) Giả sử (1) có nghiệm khác (0;0;0) Gọi ( Nhỏ Nhận xét: x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm pt mà: x0 + y0 + z0 → x02 + y02 = z02 → x02 + y 20 M7 a ≡ 0,1, 2, 4(mod 7)∀a ∈ Z Ta có bảng sau: 0 1 2 4 x02 y02 Nhìn vào bảng ta thấy: Thay vào pt:  x0 M7 x02 + y 20 M7 ⇔  → x0 = x ; y0 = y1 ( x1 , y1 ∈ Z )  y0 M7 49 x12 + 49 y22 = z02 → x12 + y12 = z02 → z0 M7 → z0 = z1 ( z1 ∈ Z ) → x12 + y12 = 49 z12 24 TOÁN NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG ⇒ x12 + y12 = z12 x1 , y , z1 Như ( x1 + y1 + z1 = ) nghiệm phương trình, x0 y z + + < x0 + y0 + z0 7 ( vô lý ) Vậy pt có nghiệm (0,0,0) Dạng 6: PHƯƠNG PHÁP KẸP Nội dung:  a, b ∈ Z → a2 = b  2 (b − 1) < a < (b + 1) 25 TOÁN NÂNG CAO ... : PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I GV: ĐỖ LÊ LAM PHƯƠNG B? ?I TẬP TỰ LUYỆN B? ?i 1: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x − y + xy = B? ?i 2: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x + xy + y = 11 B? ?i 3: Gi? ?i phương. .. B? ?i 4: a) Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: b) Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: c) Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x + 13 y = 1820 x + 13 y = 1620 x + y = 1080 = 23.5.33 B? ?i 5: Tìm nghiệm nguyên. .. 13 x + y + 86 B? ?I TẬP TỰ LUYỆN B? ?i 1: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x −3 x + = − xy + y B? ?i 2: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x2 y + y = x + B? ?i 3: Gi? ?i phương trình nghiệm nguyên: x − x y