Tiết 57,58,59: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I MỤC TIÊU Kiến thức, kĩ năng, thái độ 1.1 Kiến thức - Viết giải thích cơng thức diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox, đường thẳng x = a, x = b Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) đường thẳng x = a, x = b - Nắm cơng thức thể tích vật thể nói chung - Nắm cơng thức thể tích khối trịn xoay, cơng thức khối nón, khối nón cụt, khối trụ trịn xoay trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox 1.2 Kĩ - Áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập cơng thức tính thể tích khối chóp, khối nón khối nón cụt - Ứng dụng tích phân để tính thể tích nói chung thể tích khối trịn xoay nói riêng 1.3 Về thái độ - Thấy ứng dụng rộng rãi tích phân việc tính diện tích, thể tích - Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo học tập - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao - Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn Gv, động, sáng tạo trình tiếp cận tri thức - Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ Định hướng lực hình thành phát triển 2.1 Năng lực chung - Năng lực quan sát - Năng lực tương tác nhóm cá nhân - Năng lực phát giải vấn đề - Năng lực hợp tác - Năng lực sử dụng ngôn ngữ tốn - Năng lực tính tốn 2.2 Năng lực chun biệt - Năng lực tư - Năng lực tìm tòi sáng tạo - Năng lực vận dụng kiến thức thực tiễn II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên + Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, Học sinh + Đọc trước + Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG A Mục tiêu:Ôn tập cơng thức diện tích, thể tích biết để giới thiệu Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ơn tập, tìm tịi kiến thức liên quan học biết - Kể tên cơng thức cách tính diện tích đa giác học - Kể tên công thức cách tính thể tích khối đa diện học - Kể tên cơng thức cách tính thể tích khối tròn xoay biết GV tổng kết kết quả, bổ sung số kết thiếu nêu hoạt động chuyển tiếp mới: Ứng dụng tích phân tốn hình học - Diện tích tam giác vuông, tam giác cân, tam giác bất kỳ, hình vng, hình bình hành, hình thoi, hình thang, hình chữ nhật, lục giác đều,… - Thể tích khối lập phương, khối hộp chữ nhật, khối chóp tam giác, chóp tứ giác,… - Thể tích khối nón trịn xoay, thể tích khối trụ trịn xoay HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC B Tiết Mục tiêu: Hình thành luyện tập cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động Xây dựng cơng thức I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn - Cho học sinh tiến hành Hoạt động SGK đường cong trục hồnh Diện tích S hình phẳng giới hạn + Yêu cầu HS vẽ hình giới hạn phần hình cần tính diện tích đồ thị hàm số f ( x ) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x a, + Tính diện tích theo cơng thức hình thang x b tính theo cơng thức + Tính diện tích theo tích phân (định nghĩa tích phân) b S f ( x) dx (1) + So sánh theo hai cách tính a - GV trình chiếu hình vẽ 51, 52 SGK Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn ta phải “phá” dấu - GV đặt vấn đề nghiên cứu cách tính diện tích hình phẳng giới giá trị tuyệt đối: hạn đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b Nếu f ( x ) 0 , x a ; b b + Nếu hàm y = f(x) liên tục không âm a; b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị f(x), trục Ox b b + Nếu hàm y = f(x) a; b Diện tích S ( f ( x ))dx a b + Tổng quát: S f ( x ) dx a GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 1: x dx 2 + Hình vẽ a a Nếu f ( x ) 0 , x a ; b b b a a S f ( x) dx f ( x) dx a + Công thức S S f ( x) dx f ( x)dx đường thẳng x = a, x = b là: S f ( x )dx b -Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) đoạn a ; b -Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn a ; b Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + , trục hoành , đường thẳng x = - ,x=0 Giải Diện tích S hình phẳng Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động y S f x = 2x+4 x dx 2 x -2 O + Từ hình vẽ, suy x 0, x -2;0 Do S 0 2 2 x dx (2 x 4)dx + Sử dụng MTCT kết GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 2: Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) x , trục hoành x đường thẳng x = -1 ; x = x dx + Công thức S x 1 Giải + Hình vẽ Diện tích S hình phẳng y f x = -x-2 x-1 -2 -1 A O x B S 1 x dx 3ln x 1 -4 Từ hình vẽ , suy S 1 x 0 , x - 1;0 x x x dx ( )dx 3ln x 1 x 1 1 + Sử dụng MTCT kết GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ 3: Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Hoạt động nhóm Giải + Công thức S x x dx Diện tích S hình phẳng S x x dx + Hình vẽ y f x = x2-3x +2 (C) x -2 -1 O Từ hình vẽ , suy x 3x 0 x ;1 2; x x x 1;2 Phá dấu trị tuyệt đối từ kết dấu + Sử dụng MTCT kết 11 Tiết Mục tiêu: Hình thành luyện tập cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong; thể tích vật thể, thể tích khối chóp khối chóp cụt Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động - GV trình chiếu hình vẽ 54 SGK Hình phẳng giới hạn hai đường cong + Đặt tên điểm hình 54 Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục a; b Gọi D hình + Diện tích hình cần tìm hiệu hai hình ? phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số + Em lập cơng thức để tính diện tích hình ? đường thẳng x = a, x = b hình 54 diện tích hình - GV lưu ý: Để tính S ta thường thực theo cách phẳng tính theo công thức Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f 1(x) – f2(x) khử dấu trị tuyệt đối b S f1 ( x ) f ( x ) dx a Cách 2: Tìm nghiệm phương trình f1(x) – f2(x) = GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = xlnx , y = x hai đường thẳng x = , x = e Hoạt động nhóm Giải + Phương trình hồnh độ giao điểm x ln x x x ln x x 0 x(ln x 1) 0 Vì x > nên x(ln x 1) 0 ln x 0 ln x 1 x e Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho : x ln x x Trên đoạn 1 ; e phương trình xlnx – x = có nghiệm x = e Diện tích S hình phẳng e + Công thức S x ln x x dx e S + Xét dấu biểu thức bên dấu trị tuyệt đối e2 x ln x x dx Vì x ln x x x 1; e nên e e e e S x ln x x dx ( x ln x x)dx x ln x xdx + Kết S 1 e2 + Sử dụng MTCT kết GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ Giải y (C) x -3 -2 -1 O -1 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x -3x + đường thẳng y = x – Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x2 -3x + đường thẳng y = x – -2 d -3 Cách : Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + ≤ x – x[1 ; ] x 3x x x x2 4x x Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Suy diện tích hình phẳng Do S x 3x ( x 1) dx x2 – 4x + ≤ x [1 ; 3] x x dx Tiết Mục tiêu: Hình thành luyện tập cơng thức tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng quanh trục Ox Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động II Tính thể tích - HS nêu khối trịn xoay học Thể tích khối trịn xoay - HS nêu cơng thức tính thể tích khối trịn xoay biết 1.Thể tích khối trịn xoay - GV hình thành cơng thức tính thể tích khối trịn xoay tích phân giới hạn đường y = f(x), y = 0, x = a x = b b V f ( x )dx a - Cơng thức tính thể tích khối cầu biết? Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ hạn bốn đường sau quanh trục hồnh Ox + Cơng thức sử dụng? y = x2 – 2x , y = , x = , x = + Thay vào công thức, đưa tích phân 1 0 V ( x x) dx ( x x x ) dx ( x5 x3 8 x4 ) 15 Giải V ( x x ) dx + Sử dụng MTCT đưa kết ( x x x )dx GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ + Công thức dụng? 0 V (sin x ) dx sin xdx ( cos x ) dx (1 cos x) dx 20 + Thay vào cơng thức, đưa tích phân, hình thành cách tính tích phân: 0 V (sin x ) dx sin xdx cos x ( ) dx (1 cos x) dx 20 ( x5 x 8 x4 ) 15 Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox: y sin x , y=0,x=0, x= Giải Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh 1 2 ( x sin x) ( sin 2 sin 0) ( 0) 2 2 2 + Sử dụng MTCT đưa kết để đối chiếu Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox: GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Ví dụ - Hình vẽ y Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động 2 V (sin x )2 dx y x , y = 2x -4 , x = ,x=2 (C) Giải -3 -2 -1 x O -1 V1 (2 x 4) dx -2 -3 d (4 x 16 x 16) dx -4 32 Hình 42 Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 2x - , y = , x = , x = quanh trục hoành Ox 2 32 4x3 V1 (2 x 4) dx (4 x 16 x 16)dx ( x 16 x) 3 0 (đvtt) 2 Gọi V2 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x2 – , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 V2 ( x 4) dx ( x x 16)dx 256 15 (đvtt) Thể tích vật thể trịn xoay cần tính : 256 32 32 V V2 V1 (đvtt 15 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP C Mục tiêu:Thực dạng tập SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài Bài tập 1.Tính diện tích tập hình phẳng giới hạn đường y= -2x-4 , trục hoành Ox, trục tung Oy đường thẳng x =-2 - Diện tích S hình phẳng S x dx Giải 2 Diện tích S hình phẳng y O -2 x S fx = -2x-4 2 x dx 2 - Hình vẽ Từ hình vẽ , suy x 0 , x - 2;0 Do 0 S x dx ( x 4)dx ( x x) 2 2 0 ( 2) 4( 2) 4 Bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số y = x3 –x2 + , trục hoành GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài Ox đường thẳng x = tập -1;x=2 - Diện tích S hình phẳng S x x dx 1 Giải Diện tích S hình phẳng - Hình vẽ S x x dx y 1 fx = x 3-x 2+2 -2 A -1 O B 27 x Bài tập Cho hàm số y= -x4 +5x2 - có đồ thị (C) - Từ hình vẽ , suy x x 0 , x - 1;2 a/ Tìm toạ độ giao điểm GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài đồ thị (C ) với trục hồnh tập - Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (C ) với trục hồnh - Tính diện tích hình phẳng tơ màu b/Tính diện tích hình phẳng tơ màu Giải y a/ -2 A f x = -1 O B x -x 4+5x2-4 (C) -4 S x x dx 2 Dựa vào đồ thị , suy -x4 +5x2 - ≥ x [ -2 ; -1] [ 1; 2] - x + 5x – ≤ x [ -1 ; ] Ta có x 5x2 x2 x 1 x 2 x Suy ( -2;0) , (-1;0) , (1;0) , (2; ) b/ S x x dx 2 =8 GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài tập Bài tập Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số : y x 3x x , Tổ chức hoạt động nhóm y x x x hai đường thẳng x =0,x=2 3 - S x 3x ( x x x 4) dx Giải - Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : x 3x x x x x x x x 0 x (2 x 1) (2 x 1) 0 S (2 x 1)( x 1) dx - Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : 1 x 0;2 x 0 ( x 1)( x 1) 0 x 1 0;2 x 0 x 0;2 x3 x x x3 x x 1 x 0; 2 2 x x 0; 2 x 1 x 1 0; 2 S (2 x 1)( x 1)dx S (2 x 1)( x 1)dx Bài tập Cho hình phẳng GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài hình vẽ tập a/ Viết phương trình - Đồ thị đường thẳng d y b/ Tính diện tích hình phẳng , biết đồ thị (C ) có phương trình (C) y = x3 – 3x + x -3 -2 d -1 O -1 -2 -3 Giải : a/ Phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + b Vì đường thẳng d qua hai điểm (- ; 0) ( ;2) nên ta có : 2a b 2.0 b a/ Phương trình đường thẳng d có dạng y=ax + b Vì đường thẳng d qua hai điểm (- ; 0) ( ;2) nên ta có : 2a b 2.0 b a 1 b 2 Vậy d : y = x + a 1 b 2 b/Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d : Vậy đường thẳng d : y = x + b/ Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d : x 0 x x x x x x ( x 4) x 2 Giải x3 3x x x x x x( x 4) x 2 Diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng : S x 3x ( x 2) dx x x ( x 2)dx 2 S 2 S x x dx x x dx 2 x x ( x 2)dx 0 Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi ta có : x x ( x 2) dx 2 0 8 S ( x x)dx ( x x )dx 8 2 (đvdt) Bài tập Gọi (H ) hình GV tổ chức cho học sinh thực học tập, chiếm lĩnh tri thức qua Bài phẳng giới hạn đồ thị tập hàm số =4–x2 , trục hoành đường thẳng y = x + Tổ chức hoạt động nhóm Giải y (C) d V1 ( x 2) dx -3 -1 O -1 2 x -2 ( x x 4) dx -2 - Gọi V1 thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = x + , y = , x = -2 , x = quanh trục hồnh Ox - Gọi V2 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường y = 4- x2 , y = , x = x = quanh trục hoành Ox 2 V2 (4 x ) dx (16 x x )dx 1 2 ( 9 x3 x x) 2 Thể tích vật thể trịn xoay cần tính V V2 V1 53 188 9 15 15 53 15 HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ D,E RỘNG Mục tiêu: Phát số vấn đề tồn học sinh tiếp cận chuyên đề này, từ có hướng giải phù hợp Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học sinh - GV đặt vấn đề tổ chức hoạt động nhóm để - Khó khăn việc việc tìm đồ thị học sinh nên lên số vấn đề khó khăn đường để mơ tả hình phẳng vật thể trịn xoay việc tiếp thu chủ đề: ứng dụng tích phân liên quan hình học - Khó khăn việc phá dấu trị tuyệt đối - HS hình thành nhóm nhỏ để thảo luận, tốn tính diện tích hình phẳng tìm kiếm vấn đề mà nhóm cịn khó khăn chưa giải được… IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NHẬN BIẾT Câu Viết cơng thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f(x), trục Ox hai đường thẳng x a, x b (a b) quay xung quanh trục Ox b b b a b C V f ( x)dx B V f ( x)dx A V f ( x)dx a D V f ( x) dx a a Câu Cho hàm số f x liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , y , x 1 x (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? 1 A S f x dx f x dx 1 B S C S f x dx f x dx 1 f x dx f x dx 1 D S f x dx f x dx THƠNG HIỂU Câu Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y e x , y , x , x Mệnh đề đúng? A S e x dx 2 B S e x dx C S e x dx 0 D S e x dx Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x , trục hoành đường thẳng x 0, x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V 4 C V B V 2 D V y y x2 x VẬN DỤNG 1 Câu Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? A 2x 1 x dx B 2 x dx 1 1 x y x2 2 C x dx O D 2 x 1 x dx