2301-2298-1-PB

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số (2018): 12-21 Vol 15, No (2018): 12-21 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ CHO NGUYÊN TỬ HELI Cao Hồ Thanh Xuân1*, Lý Duy Nhất2, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm2 Phịng Đào tạo Quản lí Nghiên cứu khoa học - Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ Khoa Vật lí - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Ngày nhận bài: 18-6-2018; ngày nhận sửa: 15-8-2018; ngày duyệt đăng: 21-9-2018 TÓM TẮT Hamiltonian nguyên tử heli biểu diễn dạng đại số thơng qua tốn tử sinh hủy lượng tử, cho phép ứng dụng phương pháp đại số để giải toán Ở đây, hàm sở tốn viết dạng hàm sóng hai dao động tử điều hòa bốn chiều thuận tiện cho tính tốn, đồng thời mang đặc điểm hàm sóng tốn tương tác Coulomb Bộ hàm dùng cách hiệu để giải toán nguyên tử xét mở rộng cho hệ nguyên tử khác phức tạp hơn, ví dụ tốn ngun tử heli từ trường Từ khóa: phương pháp đại số, hệ nguyên tử ba chiều, toán tử sinh hủy, hàm sở ABSTRACT Algebraic method for helium atom The Hamiltonian for a helium atom is represented in the algebraic form via the quantum annihilation and creation operators, thus the algebraic methods can be used to solve the problem Here, a basic set in the algebraic form given as a set of eight-dimentional harmonic oscillator wave functions is useful for calculating, and, from other side, characterizes the Coulomb interaction wave functions, that makes the considered problem very effective to solve This method can be developed for other more complex atomic systems such as a helium atom in a magnetic field Keywords: algebraic method, three-dimensional atomic systems, annihilation and creation operators, basic set Mở đầu Tính toán phổ lượng nguyên tử heli toán quan trọng nghiên cứu từ ngày đầu học lượng tử Gần đây, có liên quan đến việc nghiên cứu phổ lùn trắng nơtron vật lí thiên văn, toán nguyên tử heli từ trường tiếp tục quan tâm nghiên cứu thực nghiệm lẫn lí thuyết (xem [1] trích dẫn đó) Việc giải phương trình Schrưdinger cho ngun tử heli tiến hành nhiều phương pháp gần khác Trong cơng trình này, chúng tơi xét xây dựng phương pháp đại số giải phương trình Schrưdinger Email: xuancdnb@sac.edu.vn 12 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân tgk cho tốn ngun tử heli mà áp dụng cho toán phức tạp toán nguyên tử heli từ trường số tốn khác Trong cơng trình trước nhóm, sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel để chuyển toán nguyên tử hydro từ trường sang tốn dao động tử phi điều hịa bốn chiều, kết hợp với phương pháp toán tử FK [2,3] để giải số phương trình Schrưdinger cho hệ [4] Việc sử dụng phương pháp đại số giúp tiết kiệm đáng kể tài ngun tính tốn sử dụng hàm sở đặc biệt, vừa giữ tính chất hàm cho tương tác Coulomb vừa có dạng hàm sóng dao động tử điều hịa thuận tiện tính tốn Do vậy, phát triển tiếp phương pháp đại số tính tốn trình bày cơng trình [4] cho ngun tử heli, hệ phức tạp hơn, điều cần thiết Vấn đề khó sử dụng phương pháp đại số cho toán nguyên tử thành phần tương tác Coulomb có tọa độ nằm mẫu số nên khơng thể dùng hệ thức giao hốn tốn tử sinh hủy tính tốn yếu tố ma trận tốn Khó khăn giải cơng trình [4] cách sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel để đưa thành phần tương tác Coulomb dạng đa thức Với toán nguyên tử heli, có thêm thành phần tương tác electron-electron khơng thể đa thức hóa phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel, nên sử dụng thêm phép biến đổi Fourier nâng thành phần tọa độ mẫu số lên tử số, thông qua biểu diễn hàm mũ, trước vận dụng biểu diễn đại số cho thành phần tương tác electron-electron toán Sau viết lại phương trình Schrưdinger cho ngun tử heli dạng biểu diễn đại số, xây dựng hàm sóng sở cho tốn Bộ hàm sở cần xây dựng phải đủ đơn giản để áp dụng phương pháp tính số phù hợp cho toán Mặt khác hàm sở chọn phải thể tính chất vật lí hệ tương tác Coulomb nhằm thu tốc độ hội tụ cao tính số Trong cơng trình này, hàm sở xây dựng dựa tảng hàm sở cho hệ hạt nêu cơng trình [4], kết hợp từ hàm sở hai dao động tử điều hòa bốn chiều tương ứng Tham số tự  đưa vào cho phép tùy biến hàm sở để phù hợp với toán khác Mơ hình dao động tử điều hịa cho tốn ngun tử heli Phương trình Schrưdinger khơng thứ ngun cho nguyên tử heli, mô tả chuyển động hai electron trường Coulomb, có dạng sau: ( Hˆ  E )( x , y , z ; x , y , z )  0, 1 2 2 1      2 2 2  Hˆ             x1 y1 z1   x2 y2 z2  Z Z    , 2 2 2 x1  y1  z1 x1  y1  z1 ( x1  x2 )  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 ) 13 (1) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 12-21 đó: đơn vị độ dài bán kính Bohr a0  4 0 / me  0,529 A ; đơn vị lượng hai lần số Rydberg Ry   / 2ma02  13, 61eV ; Z điện tích hạt nhân nguyên tử heli, cơng trình Z  Sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel:  x1   u1u2  v1v2    y1   u1v2  u2 v1  ,  2 2  z1  u1  u  v1  v2  x2   u3u4  v3 v4    y2   u3v4  u4 v3  ,  2 2  z2  u3  u4  v3  v4 (2) để chuyển phương trình hệ hai hạt khơng gian ba chiều ( x1 , y1 , z1 ) ( x2 , y2 , z2 ) sang phương trình khác không gian tám chiều (u , v) Tương ứng với thay đổi số chiều không gian thực phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, hàm sóng khơng gian (u, v ) phải thỏa mãn điều kiện sau:        v1  u2  v2  u1   u1 , u , v1 , v2   0, u1 v2 u2   v1 (3)        v3  u4  v4  u3   u3 , u4 , v3 , v4   u3 v4 u   v3 Từ phép biến đổi (2), thu được: dx dy dz  16  u  v  u  v  du dv du dv , r  x  y  z  u  v  u  v , 1 2 1 2 1 1 1 2  1  dx2 dy2 dz2  16  u32  v32  u42  v42  du3 dv3 du4 dv4 , r2  x2  y2  z22  u32  v32  u42  v42 (4) Phương trình (1) viết không gian (us , vs ) sau: ˆ Y(u , v , u , v , u , v , u , v ) = % H , 1 2 3 4 (5) với Hˆ  r1r2 Hˆ  E có dạng tường minh khơng gian (u , v) sau:    1 2 2  1 2 2  E  Hˆ   u32 v32 u42 v42           u12  v12 u22 v22   Z  8 u1 v1  8 u2 v2    1 2 2  1 2 2  E   u12 v12 u22  v22           u32  v32 u42 v42   Z  8 u3 v3  8 u4 v4   ˆ  H (u ,u ,u , u , v ,v , v , v ) C (6) Hai phương trình (1) (5) hồn tồn tương đương mặt toán học, nhiên phương trình (5) đơn giản mặt cấu trúc thành phần có dạng đa thức theo biến số động học, nên tính tốn dùng hàm sở dao động tử điều hòa Số hạng cuối Hamiltonian (6) thành phần tương tác electron14 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân tgk electron, có chứa biến số động học mẫu số, sử dụng tính tốn đại số sau biến đổi Fourier sau:  Hˆ C  u12  v12  u22  v22  u32  v32  u42  v42     e (2 )    dt dt dt 3/    i ( u1u2  v1v2 ) t1  i ( u1v2  u2 v1 ) t2  i ( u12  u22  v12  v22 ) t3 e t  t22  t33 2 i ( u3u4  v3 v4 )t1  2i ( u3v4 u4 v3 ) t2 i (u32 u42  v32  v42 ) t3 (7) Ngồi ra, chúng tơi nhận thấy tốn xét bảo tồn moment động lượng theo trục Oz toán tử:         (8) Lˆ z  Lˆ1 z  Lˆ2 z  i  x1  y1  y2   i  x2 , x1   y x2   y1 giao hoán với Hamiltonian Để sử dụng tính tốn, chúng tơi viết tốn tử (8) không gian (us , vs ) sau: i      i      Lˆ z    v1  u1  u2  v2  u3  u4  v4     v3  u1 v1 v2 u2   u3 v3 v4 u4  (9) Biểu diễn đại số qua toán tử sinh hủy Các toán tử sinh hủy định nghĩa sau:         ˆ s   uˆs   , ˆ s   uˆs  , 2  uˆ s  2  uˆs   (10)   ˆ    vˆ    , ˆ     vˆ    ,  s   s   s 2  vˆs  s 2  vˆs   đó,  tham số tự do; s  1, 2,3, Các toán tử (10) thỏa mãn giao hoán tử sau:  ˆs ( ), ˆt ( )   st , (11)   bảo toàn mô-men động lượng theo trục Oz nên hàm sở sử dụng nghiệm riêng toán tử Lˆz Để thu tốn tử Lˆ z có dạng trung hòa; ˆ s ( ), ˆt ( )    st , Bài tốn xét có chúng tơi sử dụng phép biến đổi tắc sau để định nghĩa toán tử sinh hủy mới: 1    ˆ ˆ aˆs  ˆ s  i  s , aˆ s  ˆ s  i  s , (12)  bˆ  = ˆ   iˆ  , bˆ  ˆ  iˆ s s s s s  s 2 Các toán tử aˆ s , aˆ s , bˆs , bˆs ( s  1, 2, 3, 4) giữ nguyên tính chất toán tử sinh hủy,         thỏa mãn giao hoán tử sau:  aˆs , aˆt    st , bˆs , bˆt    st   Tốn tử Lˆ qua biểu diễn đại số (12) có dạng trung hịa sau: z 15 (13) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 12-21 1 (14) Lˆz  aˆ1 aˆ1  aˆ2 aˆ2  bˆ1bˆ1  bˆ2bˆ2  aˆ3 aˆ3  aˆ4 aˆ4  bˆ3bˆ3  bˆ4 bˆ4 2 Ngồi ra, Hamiltonian biểu diễn đại số qua toán tử sinh hủy (12) Để minh họa, số thành phần Hamiltonian biểu diễn sau: 2 2    aˆsbˆs  aˆs bˆs  aˆs aˆ s  bˆs bˆs  , uˆs2 vˆs2      uˆs2  vˆs2   aˆs bˆs  aˆs bˆs  aˆs aˆs  bˆs bˆs  ,    aˆs  aˆs  bˆs  bˆs aˆt  aˆt  bˆt  bˆt , (15) 4 vˆs vˆt   aˆs  aˆs  bˆs  bˆs  aˆt  aˆt  bˆt  bˆt , 4 uˆs vˆt  aˆs  aˆs  bˆs  bˆs aˆt  aˆt  bˆt  bˆt , s, t  1, 2,3, 4,  s  t  4i Khi viết Hamiltonian toán dạng đại số, chúng tơi nhận thấy phần lớn tốn tử biểu thức Hamiltonian nằm dạng đa thức toán tử sinh hủy, nhiên cịn có tốn tử thành phần tốn tử (7) có dạng hàm e mũ: 2 2 (16) Oˆ (t )  e i (u1u2  v1v2 )t1  2i (u1v2 u2v1 )t2 i ( u1 u2 v1 v2 )t3 , uˆs uˆt           2 2 Oˆ (t )  e 2i ( u3u4  v3v4 ) t1  i (u3v4 u4v3 ) t2 i (u3 u4  v3 v4 )t3 , (17) Các tốn tử biểu diễn qua toán tử sinh hủy đưa dạng chuẩn thuận tiện cho tính tốn đại số trình bày Phụ lục Bộ hàm sở dạng đại số Trong phần này, xây dựng hàm sở dạng đại số Bộ hàm sở hàm sóng riêng hệ hai dao động tử điều hòa bốn chiều (tám bậc tự do) Đồng thời, hàm sở hàm sóng riêng toán tử Lˆ Bộ hàm sở thỏa mãn hai điều kiện z có dạng: j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 ( )  j1 aˆ1  bˆ1  j1 ! j2 ! j3 ! j4 ! j5 ! j6 ! j7 ! j8 ! j2 j3    aˆ  bˆ    aˆ3  j5   (18) j6 j7 bˆ   aˆ  bˆ   j4   j8 0( ) , với j1 , j2 , j3 , j4 , j5 , j6 , j7 , j8 số nguyên không âm; trạng thái chân không định nghĩa sau: aˆi 0( )  0, bˆi 0( )  0, 0( ) 0( )  1, (i  1, 2, 3, 4) (19) Chú ý hàm sở (18), số j1 , j2 , j3 , j4 liên quan đến electron j5 , j6 , j7 , j8 liên quan đến electron hai ngun tử heli Theo ngun lí khơng phân biệt hạt đồng nhất, chúng tơi đối xứng hóa hàm sóng sở theo hai 16 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân tgk electron sau xây dựng xong Nhằm thuận tiện cho tính tốn, chúng tơi viết hàm sở dạng tích hai hàm sóng cho hạt electron: (20) j1 j2 j3 j4 j5 j6 j7 j8 ( )  j1 j2 j3 j4 ( ) j5 j6 j7 j8 ( ) Để hàm sở (18) sử dụng cho toán heli, chúng tơi cần địi hỏi nghiệm riêng toán tử:         ˆ ˆ ˆ ˆ Qˆ1   u1  v1  u2  v2   i aˆ1 aˆ1  aˆ2 aˆ2  b1 b1  b2 b2 ,  v  u  v  u  1 2            ˆ ˆ ˆ  ˆ Qˆ   u3  v3  u4  v4   i aˆ3 aˆ3  aˆ4 aˆ4  b3 b3  b4 b4 , u3 v4 u4   v3 với trị riêng không Từ đây, có hệ thức: j1  j3  j2  j4 , j5  j7  j6  j8   (21) Như vậy, từ số lượng tử cho hàm sở dao động tử điều hịa (18), chúng tơi cón số lượng tử cho hàm sở cho toán heli Tốn tử Lˆ có biểu thức: z 1 Lˆz  Lˆ1z  Lˆ2 z  aˆ1 aˆ1  aˆ2 aˆ2  bˆ1 bˆ1  bˆ2 bˆ2  aˆ3 aˆ3  aˆ4 aˆ4  bˆ3 bˆ3  bˆ4bˆ4 (22) 2 Dễ dàng thấy hàm sở (18) hàm riêng toán tử Lˆ ứng với trị riêng:     z ( j1  j2  j3  j4  j5  j6  j7  j8 ) (23) Để đơn giản cơng thức tính tốn sau, sử dụng số lượng tử m1  ( j1  j2  j3  j4 ) / m2  ( j5  j6  j7  j8 ) / Từ hệ thức (21), chúng tơi có: m  m1  m2  m1  j1  j2   j3  j4 ; m2  j5  j6   j7  j8 , từ đây: m  j1  j2  j5  j6   j3  j4  j7  j8 (24) (25) Như vậy, số từ m, m1 , m2 số nguyên Chỉ số lượng tử từ m sử dụng làm số hàm sở cho tốn có bảo tồn hình chiếu mơ-men động lượng quỹ đạo Chúng tơi xét hàm sóng sở cho electron, bắt đầu với j1 j2 j3 j4 ( ) , số lượng tử m1 sử dụng làm số lượng tử từ hàm j1 j2 j3 j4 ( ) Ngồi ra, chúng tơi sử dụng số lượng tử cho hàm j1 j2 j3 j4 ( ) , định nghĩa sau: n1  ( j1  j2  j3  j4 ) / Sử dụng hệ thức (21) chúng tơi có: n1`  j1  j3  j2  j4 , (26) đó, n1 số ngun khơng âm Từ biểu thức trên, suy ra: 17 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số (2018): 12-21 (27)  j1  j2  j3  j4   n1   j2  j3    n1  ( j1  j4 ) Ngồi ra, từ (21) chúng tơi có j4  j1  j2  j3 đó, sử dụng hai số lượng tử n1 , m1 m1  cần thêm số lượng tử khác để biểu diễn hàm sở Chọn số j3 , ta có biểu thức cho j1 , j2 sau: j1  n1  j3 , j2  n1  m1  j3 , (28) Khi j4  j3  m1 Ba số lượng tử (n1 , j3 , m1 ) có giá trị: n1  0,1, 2, 3, j3  n1 ,  j3  m1  n1  j3 Bộ hàm sở cho hạt viết sau: n1 , m1 , j3 ( )  N n1 ,m1 , j3  aˆ1  với hệ số chuẩn hóa: N n , m , j  1 n1  j3  bˆ   n1  m1  j3 j3  aˆ  bˆ    j3  m1 0( ) , (29) (n1  j3 )! j3 !( n1  j3  m1 )!(m1  j3 )! Tính tốn tương tự với hàm sở cho hạt hai, chúng tơi có: n2 , m2 , j7 ( )  N n2 ,m2 , j7  aˆ1  với hệ số chuẩn hóa: N n , m , j  2 n2  j7  bˆ   n2  m  j j7  aˆ   bˆ    j7  m 0( ) , (30) , ( n2  j7 )! j7 !(n2  j7  m2 )!(m2  j7 )! đó, số lượng tử n2 , m2 , j7 có miền xác định sau: n2  0,1, 2, ; j7  n2 ;  j7  m2  n2  j7 (31) Như vậy, hàm sở (18) viết lại sau: n1 , m1 , n2 , m2 , k1 , k2 ( )  n1 , m1 , k1 ( ) n2 , m2 , k ( ) (32) Ở đây, chúng tơi kí hiệu k1  j3 , k2  j7 Bộ hàm sở (32) sử dụng cho việc giải phương trình Schrưdinger cho ngun tử heli phương pháp đại số, sử dụng cho toán phức tạp nguyên tử heli từ trường Kết luận Trong cơng trình này, chúng tơi viết phương trình Schrưdinger cho ngun tử heli dạng biểu diễn đại số thông qua toán tử sinh hủy, đồng thời xây dựng hàm sở dạng đại số thuận tiện cho tính tốn Bộ hàm vừa hàm sóng hệ hai dao động tử điều hòa bốn chiều, vừa mang đặc điểm vật lí hàm sóng ngun tử heli thuận tiện cho việc vận dụng phương pháp giải khác sau cho toán xét Nghiên cứu có ý nghĩa việc phát triển phương pháp cho toán phức tạp hơn, trình bày cơng trình 18 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân tgk  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi [1] [2] [3] [4] [5] TÀI LIỆU THAM KHẢO W Becken et al, “The helium atom in a strong magnetic field,” J.Phys B: At.Mol.Opt Phys 32, pp 1557-1584, 1999 Ilya Feranchuk, Alexey Ivanov, Van-Hoang Le and Alexander Ulyanenkov, Non Perturbative Description of Quantum Systems, Springer – Switzerland, 2015 Hoang-Do Ngoc-Tram, Pham Dang-Lan and Le Van-Hoang, “Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a homogeneous magnetic field of arbitrary strength,” Physica B 423, pp 31-37, 2013 Cao Hồ Thanh Xuân, Lý Duy Nhất, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, “Năng lượng trạng thái nguyên tử hydro từ trường có cường độ bất kì,” Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, 12(90), tr 39-51, 2016 Alan Kostelecky V et al, “Baker-Campbell_Hausdorff relations for supergroups,” J Math Phys 27 (5), May, 1986 PHỤ LỤC 2 2 Dạng chuẩn toán tử e mũ Oˆ1 (t )  e 2i ( u1u2  v1v2 )t1  i (u1v2 u2v1 ) t2 i ( u1 u2 v1 v2 ) t3 Trong phần này, chúng tơi trình bày tính tốn để đưa tốn tử dạng hàm e mũ dạng chuẩn, hình thức biểu diễn tốn dạng tích tốn tử sinh hủy, tốn tử sinh nằm bên trái, toán tử hủy nằm bên phải toán tử trung hịa giữa, thuận lợi cho việc tính tốn đại số sử dụng cơng thức (19) Khác với tốn tử có dạng đa thức, cần sử dụng tính chất giao hốn tử (13) để chuyển dạng chuẩn, tốn tử có dạng hàm e mũ quy trình phức tạp Đầu tiên chúng tơi viết Oˆ1 (t ) dạng tốn tử (12):   Oˆ1 (t )  exp t  Aˆ1  iKˆ  Aˆ1    (P1) với tham số mới: t  t12  t22  t32 toán tử định nghĩa sau: Aˆ1  Aˆ1   it1  t2  2 2 t t t  it1  t2  2 2 t t t aˆ1bˆ2  aˆ1bˆ2   it1  t2  2 t t t aˆ2bˆ1   it1  t2  2 t t t it3 2 t t t aˆ2bˆ1  19 2 aˆ1bˆ1  (it3 ) 2 t t t (it3 ) 2 t t t aˆ1bˆ1  aˆ2bˆ2 , it3 2 t t t aˆ2bˆ2 , TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM  it1  t2  iKˆ  2 t t t   aˆ aˆ  (it3 )  t12  t22  t32   bˆ1 bˆ2  Tập 15, Số (2018): 12-21  it1  t2  2 t t t  aˆ aˆ   bˆ1bˆ2  (P2) [ ( it3 )] aˆ aˆ  bˆ1 bˆ1   aˆ2 aˆ2  bˆ2bˆ2  , 2 t1  t2  t3   1   Để tiện sử dụng, chúng tơi dùng thêm tốn tử mới: Mˆ  aˆ1bˆ1  aˆ2bˆ2 , Mˆ   aˆ1bˆ1  aˆ2 bˆ2 , Nˆ  aˆ1 aˆ1  bˆ1bˆ1  aˆ2 aˆ2  bˆ2 bˆ2  2, (P3) Các toán tử (P2) (P3) tuân theo giao hoán tử sau:  Aˆ1 , Aˆ1   Nˆ ,  Aˆ1 , iKˆ   2Mˆ ,  Aˆ1 , Mˆ   0,  Aˆ1 , Mˆ    iKˆ1 ,  Aˆ1 , Nˆ   Aˆ1 ,            Aˆ1 , iKˆ   2Mˆ  ,  Aˆ1 , Mˆ   iKˆ ,  Aˆ1 , Mˆ    0,  Aˆ1 , Nˆ   2 Aˆ1 ,         iKˆ , Mˆ   Aˆ1 , iKˆ1 , Mˆ    Aˆ1 , iKˆ , Nˆ   0,        * [ Mˆ , Mˆ ]  Nˆ , [Mˆ , Nˆ ]  Mˆ , [ Nˆ , Mˆ ]  Mˆ  (P4) Do toán tử (P2) (P3) lập thành đại số kín nên chúng tơi viết lại Oˆ1 (t ) dạng sau:   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Oˆ1 (t )  exp t  Aˆ1  iKˆ  Aˆ1   e f1 ( t ) A1 e f (t ) M e f3 (t )i K1 e f (t ) N e f5 (t ) M e f ( t ) A1 ,   với f1 (t ), f (t ), f (t ), f (t ), f5 (t ), f (t ) hàm số cần tìm thỏa điều kiện biên: (P5) f1 (0)  f (0)  f3 (0)  f (0)  f (0)  f (0)  0, (P6) Lấy đạo hàm hai vế (P5) theo t, sau nhân hai vế biểu thức vừa thu với toán tử nghịch đảo: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Oˆ11 (t )  e f6 (t ) A1 e f5 ( t ) M e f4 ( t ) N e f3 (t )iK1 e f2 (t ) M e f1 (t ) A1 , chúng tơi có:   Aˆ   ˆ ˆ  iKˆ1  Aˆ1  f1' (t ) Aˆ1  f 2' (t )e f1 (t ) A1 Mˆ  e f1 (t ) A1   ˆ ˆ ˆ ˆ  f3' (t )e f1 (t ) A1 e f2 (t ) M iKˆ1 e f2 ( t ) M e f1 (t ) A1 ˆ ˆ ˆ ˆ  f3 (t )iKˆ1 e f2 (t ) Mˆ  e f1 ( t ) Aˆ1  f 4' (t )e f1 (t ) A1 e f2 (t ) M e f3 (t )iK1 Ne  f5' (t )e f1 ( t ) Aˆ1  f 6' (t )e f1 ( t ) Aˆ1 e e f (t ) Mˆ  f ( t ) Mˆ  e e f3 ( t ) iKˆ1 f3 ( t ) iKˆ e e f (t ) Nˆ f4 (t ) Nˆ ˆ Me e (P7)  f (t ) Nˆ  f3 ( t ) iKˆ1  f (t ) Mˆ   f1 (t ) Aˆ1 f5 ( t ) Mˆ e Aˆ1e e e  f5 (t ) Mˆ  f (t ) Nˆ  f (t )iKˆ1  f (t ) Mˆ   f1 (t ) Aˆ1 e e e e , Sử dụng công thức Baker-Campbell- Hausdorff [5]: ˆ ˆ  Aˆ  Bˆ   Aˆ , Bˆ    Aˆ ,  Aˆ , Bˆ    , e A Be   2!    để khai triển thành phần tốn tử (P7), sau tiến hành đồng hai vế (P7), thu hệ phương trình sau: 20 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân tgk Aˆ1 : 1  f1' (t)  f2 (t) f3' (t)  f1(t ) f4' (t)  f1(t) f2 (t )e2 f4 (t )  f5' (t)cos  f3 (t)  f6' (t )sin  f3 (t )  2 (P8)    f1(t )   f2 (t) e2 f4 (t )  f5' (t)sin  f3 (t)  f6' (t )cos  f3 (t ) , iKˆ1 : 1  f3' (t )  f1 (t )e2 f4 (t )  f5' (t )cos  f3 (t )  f6' (t )sin  f3 (t ) (P9)  f (t )e 2 f4 (t )  f5' (t )sin  f3 (t )  f6' (t )cos  f3 (t ) , Aˆ1 :  e2 f4 (t )  f5' (t )sin  f3 (t )  f6' (t )cos  f3 (t ) , (P10) Mˆ :  f2 (t )  f1(t ) f (t )  f2 (t ) f4 (t )  ' ' '  f1 (t ) f2 (t )e2 f4 (t )  f5' (t )sin  f3 (t )  f6' (t )cos  f3 (t )  2    f1 (t )   f2 (t ) e  f4 (t ) f ' (P11) (t )cos  f3 (t )  f6 (t )sin  f3 (t ) ' Nˆ :  f 4' (t )  f1(t )e2 f4 (t )  f5' (t )sin  f3 (t )  f6' (t )cos  f3 (t ) (P12)  f (t )e2 f4 (t )  f5' (t )cos  f3 (t )  f6' (t )sin  f3 (t ) , Mˆ :  e2 f4 (t )  f5' (t )cos f3 (t )  f6' (t )sin  f3 (t ) (P13) Giải hệ sáu phương trình trên, chúng tơi thu nghiệm sau: t t2 , f ( t )   , f3 (t )  arctgt , 1 t2 1 t t2 t f (t )   ln(1  t ), f5 (t )   , f (t )  2 1 t 1 t f1 (t )   (P14) Như vậy, thu dạng chuẩn toán tử Oˆ1 (t ) dạng e mũ thuận tiện cho tính tốn đại số sau:  t t  t  1  t  t  t   Oˆ1 ( t12  t2  t32 )  e 2 2 2 3 Aˆ1  e  1 t12  t22  t32   t12 t 22  t32    1   t12  t2  t32    Nˆ / e 21 Mˆ  e  1  arctg t12  t22  t32    t12  t22  t32 i Kˆ1  (P15)  t12  t 22 t32  t t t  Aˆ Mˆ  e1 t t t  2 2 2 2 3