Một số kiến thức về đồng dư

THAng DU Cho số nguyên dương m ≥ hai số nguyên a, b Ta nói a đồng dư với b theo mô-đun m viết a ≡ b (mod m) a b có số dư chia cho m, nói cách khác a – b chia hết cho m Một cách ngắn gọn a ≡ b (mod m)  a – b chia hết cho m Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng suy tính chất đơn giản (nhưng quan trọng sau) 1) a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m) a.c ≡ bd (mod m) (Cộng nhân hai vế đồng dư mô-đun) 2) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) với n nguyên dương (nâng lên luỹ thừa hai vế) 3) ca ≡ cb (mod m), (c, m) = => a ≡ b (mod m) (Tính rút gọn được) 4) a ≡ b (mod m), a ≡ b (mod n) (m, n) = => a ≡ b (mod mn) Quan hệ đồng dư theo mô-đun m Z quan hệ tương đương Cụ thể, dễ dàng kiểm tra i) ∀ a ∈ Z, a ≡ a (mod m) (Tính phản xạ) ii) ∀ a, b ∈ Z, a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m) (Tính đối xứng) iii) ∀ a, b, c ∈ Z, a ≡ b, b ≡ c => a ≡ c (mod m) (Tính bắc cầu) Quan hệ đồng dư theo mô-đun m chia Z thành lớp tương đương không giao = { ,−2m,−m,0, m,2m, } = { , −2m + 1,− m + 1,1, m + 1,2m + 1, } m − = { ,− m − 1,−1, m − 1,2m − 1, } Một họ gồm m phần tử đại diện cho m lớp tương đương nói gọi hệ thặng dư đầy đủ modulo m Nói cách khác, hệ thặng dư đầy đủ modulo m tập hợp gồm m số nguyên đôi không đồng dư với theo môđun m (x1, x2, …, xm) hệ thặng dư đầy đủ modulo m  xi – xj không chia hết cho m với ≤ i < j ≤ m Ví dụ với m = (0, 1, 2, 3, 4), (4, 5, 6, 7, 8), (0, 3, 6, 9, 12) hệ thặng dư đầy đủ modulo Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng suy tính chất đơn giản quan trọng sau: Tính chất 1: Nếu (x1, x2, …, xm) hệ thặng dư đầy đủ modulo m a) Với a số nguyên (x1+a, x2+a, …, xm+a) hệ thặng dư đầy đủ modulo m b) Nếu (a, m) = (ax 1, ax2, …, axm) hệ thặng dư đầy đủ modulo m Với số nguyên dương m > 1, gọi ϕ(m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m Khi đó, từ hệ thặng dư đầy đủ mơ-đun m, có ϕ(m) phần tử nguyên tố với m Ta nói phần tử lập thành hệ thặng dư thu gọn modulo m Nói cách khác (x1, x2, …, xϕ(m)) hệ thặng dư thu gọn modulo m  (xi, m) = xi – xj không chia hết cho m với ≤ i < j ≤ ϕ(m) Ta có Tính chất 2: (x1, x2, …, xϕ(m)) hệ thặng dư thu gọn modulo m (a, m) = (ax1,a x2, …, axϕ(m)) hệ thặng dư thu gọn modulo m Định lý Wilson Số nguyên dương p > số nguyên tố (p-1)! + chia hết cho p Chứng minh Nếu p hợp số, p = s.t với s, t > s ≤ p-1 Suy (p-1)! chia hết cho s, suy (p-1)! + không chia hết cho s, từ (p-1)! + khơng chia hết cho p Vậy (p-1)! + chia hết cho p p phải số nguyên tố Ta minh hoạ phép chứng minh chiều đảo cho trường hợp p=13 Trường hợp tổng quát xin dành cho bạn Ý tưởng chứng minh là: Với a thuộc {1, 2, …, p-1}, tồn b thuộc {1, 2, …, p-1} cho a.b ≡ mod p, với a = 1, p-1 b = a Chứng minh định lý Wilson cho p = 13: Ta có ≡ mod 13 2.7 ≡ mod 13 3.9 ≡ mod 13 4.10 ≡ mod 13 5.8 ≡ mod 13 6.11 ≡ mod 13 12 ≡ -1 mod 13 Nhân đẳng thức vế theo vế, ta 12! ≡ -1 mod 13, tức 12! + chia hết cho 13 Định lý Fermat Cho p số nguyên tố, a số nguyên, (a, p) = Khi ap-1 ≡ mod p Chứng minh Ý tưởng chứng minh định lý Fermat sử dụng tính chất hệ thặng dư thu gọn modulo p Ta minh hoạ chứng minh định lý Fermat cho trường hợp p = 17, a = Ta có ≡ mod 17 9.2 ≡ mod 17 9.3 ≡ 10 mod 17 9.4 ≡ mod 17 9.5 ≡ 11 mod 17 9.6 ≡ mod 17 9.7 ≡ 12 mod 17 9.8 ≡ mod 17 9.9 ≡ 13 mod 17 9.10 ≡ mod 17 9.11 ≡ 14 mod 17 9.12 ≡ mod 17 9.13 ≡ 15 mod 17 9.14 ≡ mod 17 9.15 ≡ 16 mod 17 9.16 ≡ mod 17 Bài toán Chứng minh p số nguyên tố dạng 4k+1  p −    ! + chia hết cho p   Lời giải Ta có, theo định lý Wilson (p-1)! + chia hết cho p Mặt khác ( p − 1)!= 1.2 p −1  p −1  p −  ( p − 2)( p − 1)   p −1  p −    p −  p −  ≡ 1.2   −  ( −2)(−1) ≡  ! ( − 1) 2       Do p = 4k+1 nên (p-1)/2 = 2k, từ suy điều phải chứng minh Bài tập (PTNK 2008-2009) a) Chứng minh tồn số n chẵn, n > 2008 cho 2009.n – 49 số phương b) Chứng minh khơng tồn số nguyên m cho 2009.m – 147 số phương Giải phương trình đồng dư sau a) 5x + ≡ (mod 11) b) 7x + ≡ (mod 15) c) x2 + x + ≡ (mod 13) k Chứng minh n = 2m – C n số lẻ với k = 0, 1, 2, …, n Thặng dư bậc k Trong viết ta đề cập vấn đề cổ điển Lí thuyết đồng dư ,đó thặng dư bậc k nghiên cứu kĩ trường hợp k=2 ,thường gọi thặng dư bặc hay thặng dư phương Định nghĩa : Ta nói số a mà thặng dư bậc k mod p tồn số x cho ,ngược lại ta nói phi thặng dư bậc k theo mod p Ta bắt đầu vấn đề định lí quan trọng phần Định lí :Đặt Số a thặng dư bậc k theo mod p : phương trình có nghiệm có xác d nghiệm Chứng minh định lí khơng khó ,nhưng ta cần đến cơng cụ nguyên thuỷ , tính chất viết xin bỏ qua công đoạn chứng minh tồn ,phép chứng minh tìm thấy tồn tìm thấy nhiều text book Bây quay lại tốn ,ta có khẳng định đơn giản sau : Bổ đề : Nếu g nguyên thuỷ mod p lập thành hệ thặng dư thu gọn mod p Điều hiển nhiên , giả sử ngược lại tức tồn h k cho ,từ suy , tức ,điều vơ lí Bổ đề có ý nghĩa ,với số a nguyên tố với p tồn số l cho Bây quay lại tốn ,tồn cho Khi phương trình đồng dư tương đương với việc phương trình đồng dư sau có nghiệm : (*) vế sau khẳng định tương đương với Công việc ta chuyển sang nghiên cứu nghiệm (*) Điều kiện cần hiển nhiên , ta chứng minh điều kiện đủ toán Thật phương trình (*) tương đương với : ý nên ta ln có chạy qua hệ thặng dư đầy đủ mod a chạy a hệ thặng dư đầy đủ mod , tức tồn n mà cho (*) có nghiệm Hơn có xác $d$ hệ đầy đủ mod từ tập , phương trình có nghiệm có xác d nghiệm Định lí (1) chứng minh xong Ta lấy ví dụ cho trường hợp k=3 a=1 Theo điều kiện toán ta dễ thấy phương trình : ln ln có nghiệm ,và có nghiệm khơng ước p-1 ,trường hợp cịn lại có nghiệm Như , tập chia thành lớp thặng dư mod p Ta bắt đầu ví dụ đơn giản sau : Cho p số nguyên dạng ,hãy tính theo mod p Lời giải : Theo nhận xét phương trình có nghiệm x=1 $Z_p$ phương trình đồng dư khơng có nghiệm ngun Đặt M=(p-1)! Khi ta có : Theo lập thành hệ thu gọn mod p nên ta có ,do nên ta có Bài tốn chứng minh xong Một cách tương tự tính theo mod p bạn làm hồn tồn tương tự tư tưởng chứng minh Có ví dụ tương tự cho toán ,lời giải xin dành cho bạn đọc : Cho p số nguyên tố dạng 6k+5 chứng minh tồn khơng q p-1 số k có dạng với Bây quay lại với chủ đề thặng dư phương tức trường hợp k=2 Khi định lí (1) cịn gọi tiêu chuẩn Euler Để thuận tiện nhà tốn học đưa kí hiệu tính phương mod p số a gọi kí hiệu Ledrenge với a số phươn mod p ,-1 a phi thặng dư phương mod p p|a Khi khơng khó khăn để chứng minh tốn sau : (*) Điều hỉên nhiên theo định lí (1) nêu a số phương mod p và -1 phi thặng dư phương mod p Từ tốn ta dễ dàng suy kí hiệu Ledrenge có tính chất Định lí thú vị , khẳng định a,b nguyên tố với p số a,b,ab số phương mod p Bài tốn cố điển sau ví dụ minh hoạ rõ nét cho tính chất : *) Chứng minh tồn đa thức ko có nghiệm nguyên cho với số nguyên tố p tồn n cho Ta đa thức chẳng hạn ,và để ý đa thức thoả mãn điều kiện toán Nếu bạn đọc kĩ Chinese Remainder theorem mực trước bạn hồn tồn chứng minh tốn tổng quát sau : Chứng minh tồn đa thức hệ số ngun ,khơng có nghiệm ngun cho với số nguyên n ta tìm m cho Quay trở lại với toán (*) ,ta xét trường hợp đặc biệt a=-1 , theo (*) ta có : , từ dễ thấy -1 số phương mod p p có dạng 4k+1 Đây gợi ý cho toán Fermat-Euler nêu trước : Một số viết dạng tổng hai số phương với p có dạng 4k+3 Tuy nhiên ta quay lại toán Fermat Êuler sau thời gian ,bạn đọc lưu ý Có hai định lí quan trọng lí thuyết mà bạn cần lưu ý : 1) 2) Luật tương hỗ Gauss ( Quadratic reciprocity ) Định lí nói p q hai số nguyên tố phân biệt ta ln có : , Phép chứng minh hai định lí xem : Tác giả viết lưu ý đến ý nghĩa định lí ,định lí khẳng định hai số p q có dạng 4k+1 chúng thặng dư phương phi thặng dư phương Định lí cho phép ta kiểm tra tính phương mod p hai số ngun tố lớn thơng qua thuật tốn Euclide Ngồi kí hiệu Ledrenge số phương mod p , người ta cịn định nghĩa kí hiệu Jacobi , xem línks phần ý ,tính chất kí hiệu Jacobi điều kiện cần để số phương mod n hay không ,tuy nhiên lợi hại ta cần câu trả lời phủ định Tiếp tục câu chuyện thặng dư phương Ta bắt đầu vài ví dụ đơn giản phần Ví dụ : Tính Lời giải :Như chứng minh định lí ,chúng ta có số phương mod p số phi thặng dư phương mod p từ dễ dàng suy tổng có số , số số Từ tổng , ta kết luận toán Ta tiếp tục với ví dụ khơng tầm thường chút : Cho p số nguyên tố lẻ , a,b,c số nguyên thoản mãn hai điều kiện sau : Chứng minh : Lời giải : Theo cảm nhận tác giả ví dụ hay điểm hình cho lí thuyết thặng dư phương Trước hết ta viết lại đa thức f(x) dạng sau Đặt , ý nên lập thành hệ thặng dư đầy đủ theo mod p Theo ta có : Theo tiêu chuẩn Euler ta có : Trước hết ta chứng minh bổ đề sau : Bổ đề : Cho k số nguyên dương ,không bội p-1 , ta ln có : Nếu bạn theo dõi từ đầu viết ,bạn hình thành ý tưởng đề chứng minh toán Phép chứng minh đơn giản sau : Như khẳng định định lí 1, thặng dư thu gọn mod p , từ ta có : Do g nguyên thủy theo mod p p-1 không ước k nên ta có , từ suy dễ dàng theo định lí Fermat nhỏ Bổ đề chứng minh xong Quay lại toán xét : Theo bổ đề ta dễ dàng suy từ ta có điều cần phải chứng minh Ta kết thúc toán Với phương pháp kết tốn ,ta cơng tốn xuất kì thi Olympic sau ,các bạn tự giải để hiểu rõ chất vấn đề 1) Tính số nghiệm phương trình đồng dư với 2) Tìm tất số nguyên nguyên tố p cho phương trình đồng dư có xác p nghiệm (x,y) mà 3) Gọi g nguyên thủy mod p ,hãy tìm tất số nguyên tố p cho tập hợp tất số phương mod p Ta tiếp tục số ví dụ thơng qua tốn cổ điển , chưa động chạm đến thi Olympic : Ví dụ :Chứng minh số nguyên tố p ước hai số có dạng và ước số nguyên dạng Lời giải : Ta biết -1 số phương mod p và -2 số phương mod p p có dạng 8k+1 8k+3 Từ để ý tốn tương đương với việc chứng minh $p\equiv (\mod 8)$ tồn số thỏa mã điều kiện toán Sự tương đương kiện khẳng định nêu ,như ta cần chứng minh toán sau : Một số nguyên tố lẻ p thỏa mãn ,phương trình đồng dư Chiều thuận : Giả sử tồn x thỏa mãn $p|x^4+1$ , ta có theo định lí Fermat nhỏ Từ ta có ý nên ta buộc phải có ,và chiều thuận toán Chiều đảo :Bây giả sử p có dạng , gọi g nguyên thủy mod p dễ thấy nghiệm phương trình đồng dư Bài tốn chứng minh xong Ta tiếp tục với ví dụ khơng tầm thường khác : Ví dụ : Cho x,y số nguyên Khi chứng minh Lời giải : Ta giả sử tồn cặp (x,y) thỏa mãn tốn Khi ta xét ước nguyên tố p , ta có , theo định lí nêu trước ta có Từ ta suy , nhiên ta biết với số y nguyên nhận số dư mod ,từ ta nhận vơ lí nhận số dư tập theo mod Có tương tự,các bạn tự giải coi tập Ví dụ :Cho p số nguyên tố dạng 4k+1 , ta biết theo định lí FermatEuler , tồn a b cho ,trong a b có số lẻ Giả sử a lẻ chứng minh a số phương theo mod p ... số nghiệm phương trình đồng dư với 2) Tìm tất số nguyên nguyên tố p cho phương trình đồng dư có xác p nghiệm (x,y) mà 3) Gọi g nguyên thủy mod p ,hãy tìm tất số nguyên tố p cho tập hợp tất số. .. – C n số lẻ với k = 0, 1, 2, …, n Thặng dư bậc k Trong viết ta đề cập vấn đề cổ điển Lí thuyết đồng dư ,đó thặng dư bậc k nghiên cứu kĩ trường hợp k=2 ,thường gọi thặng dư bặc hay thặng dư phương... thặng dư phương Ta bắt đầu vài ví dụ đơn giản phần Ví dụ : Tính Lời giải :Như chứng minh định lí ,chúng ta có số phương mod p số phi thặng dư phương mod p từ dễ dàng suy tổng có số , số số