(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử(Luận văn thạc sĩ) Về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THỊ HẢO VỀ GIỐNG CỦA NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THỊ HẢO VỀ GIỐNG CỦA NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỖ MINH CHÂU Thái Nguyên, năm 2021 i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn TS Trần Đỗ Minh Châu Tôi không chép từ cơng trình nghiên cứu khác Thái Ngun, ngày 20 tháng 09 năm 2021 Người viết luận văn Lại Thị Hảo Xác nhận Xác nhận Khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học TS Trần Đỗ Minh Châu ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học cô giáo TS Trần Đỗ Minh Châu - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cô, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giáo Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái Ngun, ngày 20 tháng 09 năm 2021 Người viết Luận văn Lại Thị Hảo iii Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nửa nhóm số 1.2 Tập Apery, số Frobenius, số giả Frobenius giống 1.3 Nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng 10 1.4 Tính chất phân bậc vành đa thức trường 19 Chương Giống nửa nhóm số sinh ba phần tử 26 2.1 Iđêan định nghĩa nửa nhóm số sinh ba phần tử 26 2.2 Giống nửa nhóm số sinh ba phần tử 39 2.3 Cấu trúc nửa nhóm số giả đối xứng sinh ba phần tử 42 2.4 Nửa nhóm số đơn 46 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 iv MỞ ĐẦU Ký hiệu N tập hợp số ngun khơng âm Một nửa nhóm số H tập N thỏa mãn ∈ H, H + H ⊆ H lực lượng tập N \ H hữu hạn Ta gọi số F (H) := max{n | n ∈ / H} số Frobenius H Một số nguyên x gọi số giả Frobenius x ∈ / H x + h ∈ H với h ∈ H, h = Tập tất số giả Frobenius H ký hiệu PF(H) Lực lượng PF(H) gọi kiểu H, ký hiệu t(H) Ta nói H đối xứng t(H) = Nửa nhóm số H giả đối xứng t(H) = Đặt g(H) := Card{N \ H} Khi g(H) gọi giống nửa nhóm số H Mối liên hệ hai bất biến F (H) g(H) phản ánh rõ cấu trúc nửa nhóm số H Nhìn chung, ta có bất đẳng thức 2g(H) ≥ F (H) + t(H) Đặc biệt, nửa nhóm số H đối xứng 2g(H) = F (H) + Hơn nữa, H giả đối xứng 2g(H) = F (H) + Giả sử H = a, b, c nửa nhóm số khơng đối xứng sinh ba phần tử Kí hiệu S = k[X, Y, Z] vành đa thức trường k Ta xem S vành phân bậc với deg(X) = a, deg(Y ) = b, deg(Z) = c Ta xác định ϕ : S → R = k[H] = k[ta , tb , tc ] đồng cấu k-đại số cho ϕ(X) = ta , ϕ(Y ) = tb , ϕ(Z) = tc p = p(a, b, c) := Ker ϕ Vì ϕ đồng cấu phân bậc nên p iđêan S Vì H khơng đối xứng nên, theo [5], iđêan p sinh định thức cấp hai ma trận Xα Y β Zγ Y β Zγ Xα α, β, γ, α , β , γ số nguyên dương Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày lại chi tiết kết nửa nhóm số khơng đối xứng sinh ba phần tử báo “Genus of numerical semigroups generated by three elements”, đăng tạp chí Journal of Algebra (2012) số 358, trang 67-73 tác giả Hirokatsu Nari, Takahiro Numata Kei-ichi Watanabe Cụ thể, luận văn tập trung tìm hiểu cơng thức tính g(H) qua F (H) số nguyên α, β, γ α , β , γ ; tìm hiểu đặc trưng nửa nhóm số giả đối xứng, nửa nhóm số đơn qua số nguyên dương α, β, γ, α , β , γ Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị nửa nhóm số số Frobenius, số giả Frobenius, giống, loại nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng Phần cuối chương trình bày số kiến thức tính chất phân bậc vành đa thức n biến trường Trong chương 2, tiết 2.1 trình bày kết ma trận xác định iđêan định nghĩa nửa nhóm số H khơng đối xứng sinh ba phần tử Cơng thức tính giống nửa nhóm số thơng qua số giả Frebonius lũy thừa biến xuất ma trận xác định iđêan định nghĩa H nội dung tiết 2.2 Tiết 2.3 dành để trình bày cấu trúc nửa nhóm số giả đối xứng sinh ba phần tử Tiết 2.4 đưa đặc trưng nửa nhóm số đơn H sinh ba phần tử thông qua iđêan định nghĩa H Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho việc theo dõi chương sau khái niệm nửa nhóm số, tập Apery, chiều nhúng, số Frobenius, số giả Frobenius, nửa nhóm số đối xứng giả đối xứng, tính chất phân bậc vành đa thức n biến trường Chương viết dựa theo tài liệu [6], [9] 1.1 Nửa nhóm số Định nghĩa 1.1.1 Một vị nhóm N có phần bù hữu hạn N gọi nửa nhóm số Chú ý 1.1.2 Từ Định nghĩa 1.1.1, ta thấy tập H ⊂ N nửa nhóm số H thỏa mãn điều kiện sau: i) ∈ H; ii) a + b ∈ H với a, b ∈ H; iii) Card(N \ H) < ∞ Bổ đề 1.1.3 Cho A tập khác rỗng N Khi A nửa nhóm số gcd(A) = Chứng minh Giả sử A nửa nhóm số d = gcd(A) Rõ ràng, h thuộc A d | h Vì A nửa nhóm số nên N \ A hữu hạn Suy N \ A có phần tử lớn x Vì x + x + thuộc A Suy d | x + 1, d | x + Do đó, d = Để chứng minh chiều ngược lại, ta cần chứng minh N \ A tập hữu hạn Vì gcd(A) = nên tồn số nguyên z1 , , zn a1 , , an cho z1 a1 + z2 a2 + + zn an = Bằng cách đánh số lại chuyển số hạng chứa zi âm sang vế phải, ta tìm i1 , , ik , j1 , , jl tập {1, , n} cho zi1 ai1 + + zik aik = − zj1 aj1 − − zjl ajl Đặt h = −zj1 aj1 − − zjl ajl Khi h ∈ A h + ∈ A Ta chứng minh n ≥ (h−1)h+(h−1) n ∈ A Thật vậy, chia n cho h ta tìm số nguyên q r cho n = qh + r với ≤ r ≤ h − Vì n = qh + r ≥ (h − 1)h + (h − 1) nên q ≥ h − ≥ r Do n = (rh + r) + (q − r)h = r(h + 1) + (q − r)h ∈ A Vậy tập N \ A hữu hạn A nửa nhóm số Cho H nửa nhóm số Đặt H ∗ = H \ {0} Kí hiệu H ∗ + H ∗ tập phần tử H viết thành tổng hai phần tử H ∗ Bổ đề sau cho ta thông tin hệ sinh tối tiểu H Chú ý rằng, hệ sinh nửa nhóm số H gọi tối tiểu khơng có tập thực hệ sinh sinh H Bổ đề 1.1.4 H ∗ \ H ∗ + H ∗ hệ sinh tối tiểu H Chứng minh Ta chứng minh H ∗ \ H ∗ + H ∗ hệ sinh H nằm hệ sinh khác H Rõ ràng biểu thị qua hệ H ∗ \H ∗ +H ∗ Giả sử h ∈ H ∗ Nếu h ∈ H ∗ + H ∗ tồn x, y ∈ H ∗ cho h = x + y Nếu x, y ∈ / H ∗ + H ∗ ta kết thúc chứng minh Nếu x y ∈ H ∗ + H ∗ x y viết thành tổng hai phần tử H ∗ Tiếp tục trình sau hữu hạn bước (do x, y < h) ta tìm h1 , , hn ∈ H ∗ \ H ∗ + H ∗ cho h = h1 + · · · + hn Điều chứng tỏ H ∗ \ H ∗ + H ∗ hệ sinh H Giả sử A hệ sinh H x ∈ H ∗ \ H ∗ + H ∗ Vì x = nên tồn t ∈ N \ {0}, c1 , , ct ∈ N a1 , , at không đồng thời thuộc A cho x = c1 a1 + · · · + ct at Do x ∈ / H ∗ + H ∗ nên có số i ∈ {1, , t} cho ci = 1; x = cj aj = với j = i Vì x ∈ A 1.2 Tập Apery, số Frobenius, số giả Frobenius giống Tập Apery khái niệm có vai trò quan trọng nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm số Định nghĩa 1.2.1 Cho H nửa nhóm số n phần tử khác H Tập Apery n H tập hợp Ap(n, H) = {h ∈ H | h − n ∈ / H} Ví dụ 1.2.2 Giả sử H nửa nhóm số sinh {5, 7, 9} Khi H = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, →} Do Ap(5, H) = {0, 7, 9, 16, 18} Bổ đề sau giúp ta xác định tập Apery nửa nhóm số Đặc biệt, tập Ap(n, H) có n phần tử Bổ đề 1.2.3 Cho H nửa nhóm số n phần tử khác H Khi Ap(n, H) = {0 = w(0), w(1), , w(n − 1)}, w(i) phần tử nhỏ H đồng dư với i theo môđun n, với i ∈ {0, , n − 1} Chứng minh Vì H nửa nhóm số nên phần bù H N hữu hạn Suy tồn c ∈ N cho x ∈ H với x ≥ c Cho i ∈ {0, , n − 1} Khi đó, cn + i ∈ H cn + i ≡ i (mod n) Do đó, tồn w(i) phần tử nhỏ e1 −→ l e2 −→ m e3 −→ n Ker ϕ = p = (l, m, n) Chú ý deg e1 = p, deg e2 = q, deg e3 = s Bây ta tính Ker ψ1 Lấy f e1 +ge2 +he3 ∈ Ker ψ1 , f, g, h ∈ S Suy ta có ψ1 (f e1 + ge2 + he3 ) = Kéo theo f Z γ+γ − X α Y β + g X α+α − Y β Z γ + h Y β+β − X α Z γ Vì g X α+α − Y β Z γ h Y β+β − X α Z γ thuộc X α , Y β f Z γ+γ − X α Y β ∈ X α , Y β Do f ∈ X α , Y β Tương tự ta có g ∈ Y β , Z γ = nên , h ∈ Zγ, Xα rằng, X α l + Y β m + Z γ n = Y β l + Z γ m + X α n = Vì Ker ψ1 = X α e1 + Y β e2 + Z γ e3 , Y β e1 + Z γ e2 + X α e3 Đặt deg X α e1 + Y β e2 + Z γ e3 = aα + p = s, deg Y β e1 + Z γ e2 + X α e3 = bβ + p = t Suy ta có đồng cấu ψ2 : S(−s) ⊕ S(−t) → S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r) 36 Chú ý Dễ dàng kiểm tra ψ2 đơn cấu Vì ta có dãy khớp ψ2 → S(−s) ⊕ S(−t) → S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r), α β X Y β γ ma trận biểu diễn ψ2 Y Z Suy dãy khớp γ α Z X ψ2 ψ1 ϕ → S(−s) ⊕ S(−t) → S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r) → S → R → giải tự R S Đặt w = a + b + c Ký hiệu KS mơđun tắc S Vì KS ∼ = S(−w) nên HomS (−, KS ) = HomS (−, S(−w)) Tác động hàm tử HomS (−, S(−w)) vào giải tự R = S/ p ta dãy phức ψ∗ → HomS (S, S(−w)) →1 HomS (S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r), S(−w)) ψ∗ →2 HomS (S(−s) ⊕ S(−t), S(−w)) → Khi ta có Ext2S (S/ p, S) = HomS (S(−s) ⊕ S(−t), S(−w)) / Im ψ2∗ Suy ta có dãy khớp Im ψ2∗ → HomS (S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r), S(−w)) → Ext2S (S/ p, S) → ta có dãy khớp HomS (S(−s) ⊕ S(−t), S(−w)) → HomS (S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r), S(−w)) → Ext2S (S/ p, S) → Chú ý HomS (S(−s) ⊕ S(−t), S(−w)) ∼ = HomS (S(s − w) ⊕ S(t − w), S) ∼ = S(s − w) ⊕ S(t − w) 37 Tương tự ta có HomS (S(−p) ⊕ S(−q) ⊕ S(−r), S(−w)) ∼ = S(p − w) ⊕ S(q − w) ⊕ S(r − w) Suy ta có dãy khớp → S(s − w) ⊕ S(t − w) → S(p − w) ⊕ S(q − w) ⊕ S(r − w) → Ext2S (S/ p, S) → Chú ý Ext2S (S/ p, S) ∼ = KR , KR mơđun tắc R = S/ p Vì ta có dãy khớp → S(−ω) → S(p − ω) ⊕ S(q − ω) ⊕ S(r − ω) → S(s − ω) ⊕ S(t − ω) → KR → Rt−α nên KR có hệ sinh tối tiểu (t−α | α ∈ PF(H)) Do Vì KR = α∈PF(H) −α deg(t ) = −α nên S(α) → KR → α∈PF(H) giải tự KR Chú ý S(s − w) ⊕ S(t − w) → KR → hệ sinh tối tiểu KR Do tính giải tự tối tiểu nên S(α) ∼ = S(s − w) ⊕ S(t − w) α∈PF(H) Vì ta có PF(H) = {s − w, t − w} Đặt f = s − w f = t − w Khi PF(H) = {f, f } f = aα + p − (a + b + c) = αa + (γ + γ )c − (a + b + c), f = bβ + p − (a + b + c) = β b + (γ + γ )c − (a + b + c) 38 2.2 Giống nửa nhóm số sinh ba phần tử Bổ đề 2.2.1 Cho H = a, b, c nửa nhóm số khơng đối xứng với iđêan định nghĩa sinh định thức cấp × ma trận α β γ X Y Z β γ α Y Z X Khi (i) Nếu β b > αa hay tương đương với f > f (a) với p, q, r ∈ N, f − f + pa + qb + rc ∈ / H p < α, q < β r < γ (b) Card{h ∈ H | f − f + h ∈ / H} = αβγ (ii) Nếu β b < αa hay tương đương với f < f (a) với p, q, r ∈ N, f − f + pa + qb + rc ∈ / H p < α , q < β r < γ (b) Card{h ∈ H | f − f + h ∈ / H} = α β γ Chứng minh Ta giả sử β b > αa Chú ý rằng, theo Mệnh đề 2.1.3 Mệnh đề 2.1.2 ta có f − f + αa = β b − αa + αa = β b ∈ H, f − f + βb = β b − αa + βb = (β + β)b − αa = γ c ∈ H, f − f + γc = β b − αa + γc = α a − γc + γc = α a ∈ H Suy f − f + pa + qb + rc ∈ H p ≥ α q ≥ β r ≥ γ Ngược lại, giả sử p < α, q < β, r < γ tồn u, v, w ∈ N cho f − f + pa + qb + rc = ua + vb + wc ∈ H Vì f − f = β b − αa nên ta có (β + q − v)b = (α − p + u)a + (w − r)c 39 Nếu β + q − v ≤ p < α nên (r − w)c = (α − p + u)a + (v − β − q)b ∈ H Suy r − w ≥ γ + γ theo Mệnh đề 2.1.2 Điều mâu thuẫn r − w < γ Do ta có β + q − v > Nếu w ≥ r β + q − v ≥ β + β , mâu thuẫn với q < β Vì r > w Suy ta có (α − p + u)a = (β + q − v)b + (r − w)c ∈ H Theo Mệnh đề 2.1.2(i), ta có α + α ≤ α − p + u hay u − p ≥ α Nghĩa X α−p+u − Y β +q−v Z r−w ∈ p = p(a, b, c) Kéo theo tồn đa thức g, h, s ∈ S cho X α−p+u −Y β +q−v Z r−w = g(X α+α −Y β Z γ )+h(Y β+β −X α Z γ )+s(Z γ+γ −X α Y β ) Đồng hai vế ta thấy điều Mệnh đề 2.1.2(i) r − w < γ Vậy f − f + pa + qb + rc ∈ / H khẳng định a) chứng minh Áp dụng kết ý a), ta có f − f + pa + qb + rc ∈ / H p < α, q < β r < γ Vì p, q, r có α, β, γ cách chọn Card{h ∈ H | f − f + h ∈ / H} = αβγ Vì vài trị α α ; β β ; γ γ nên lập luận tương tự ta có khẳng định Định lý sau cho ta cơng thức tính giống nửa nhóm số thông qua số F (H), α, β, γ Định lý 2.2.2 Cho H = a, b, c nửa nhóm số khơng đối xứng Khi (i) Nếu β b > αa, 2g(H) − (F (H) + 1) = αβγ, (ii) Nếu β b < αa, 2g(H) − (F (H) + 1) = α β γ 40 Chứng minh Giả sử β b > αa Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có PF(H) = {f, f }, f < f Suy F (H) = f Lấy h ∈ H Khi f − h ∈ f − H = {f − s | s ∈ H} tồn s ∈ H cho f − h = f − s hay f − (f − h) = s ∈ H Vì thế, với h ∈ H, ta có f − h ∈ / f − H f − (f − h) ∈ / H Áp dụng Bổ đề 2.2.1(i), ta có Card [[(f − H) ∩ N] \ (f − H)] = Card {h ∈ H | f − f + h ∈ / H} = αβγ Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.12, ta có N \ H = ((f − H) ∩ N) ∪ ((f − H) ∩ N) Vì g(H) = Card(N \ H) = Card [(f − H) ∩ N] + Card [[(f − H) ∩ N] \ (f − H)] Vì f = F (H) nên (f − H) ∩ N = {f − h | h ∈ H, h ≤ f } = {F (H) − h | h ∈ H, h ≤ F (H)} Vì h ∈ H với h > F (H) nên Card((F (H) − H) ∩ N) = F (H) + − g(H) Kéo theo g(H) = (F (H) + − g(H)) + αβγ, 2g(H) − (F (H) + 1) = αβγ Chứng minh tương tự ta có (ii) Hệ Định lý 2.2.2 đưa đặc trưng cho nửa nhóm số giả đối xứng Hệ 2.2.3 H giả đối xứng (i) Nếu β b > αa α = β = γ = (ii) Nếu β b < αa α = β = γ = 41 Chứng minh Giả sử β b > αa Theo Định lý 2.2.2, ta có 2g(H) − (F (H) + 1) = αβγ Theo Hệ 1.3.8(ii), ta có H giả đối xứng 2g(H) = F (H) + Vì αβγ = Do α, β, γ số nguyên dương nên α = β = γ = Khẳng định (ii) chứng minh tương tự Ví dụ 2.2.4 Cho H = 4, 5, Khi H = {0, 4, 5, 7, 8, →} Ta tính F (H) = 6, g(H) = P F (H) = {3; 6} Vì = 2g(H) = F (H) + nên H giả đối xứng Nếu α = β = γ = hệ 4α + (1 + γ)7 − 16 = + (1 + γ)7 − 16 = có nghiệm α = 2, γ = Vì (β + β )5 = α4 + γ nên β = Do đó, iđêan định nghĩa H sinh định thức cấp ma trận 2 X Y Z Y Z X 2.3 Cấu trúc nửa nhóm số giả đối xứng sinh ba phần tử Trong phần này, ta giả sử H = a, b, c nửa nhóm số giả đối xứng Mục tiêu tiết xác định nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c có F (H) số nguyên chẵn f cho trước Chẳng hạn, theo [9, Bài tập 10.8] , không tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c có F (H) = 12 Trên thực tế, ta đưa nhiều ví dụ số nguyên chẵn f cho không tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c có F (H) = f (Trong [12], tác giả số nguyên dương chẵn số Frobenius số nửa nhóm số sinh nhiều phần tử) 42 Vì H giả đối xứng nên H khơng đối xứng Do đó, theo tiết trước, iđêan p = p(a, b, c) vành k[X, Y, Z] iđêan sinh định thức tối đại ma trận 2.1 theo Hệ 2.2.3 ta giả sử α = β = γ = Nhắc lại rằng, theo (2.3), trường hợp ta có a = β γ + β + 1, b = γ α + γ + 1, c=αβ +α +1 (2.4) Suy a + b + c = α β + β γ + γ α + α + β + γ + Định lý 2.3.1 Cho H = a, b, c nửa nhóm số giả đối xứng giả sử p(a, b, c) sinh định thức tối đại ma trận X Y Z β γ α Y Z X Khi ta có αβγ = F (H) + Chứng minh Nếu β b < αa theo Hệ 2.2.3, ta có α = β = γ = Kéo theo a = b = c = 3, mâu thuẫn Vì β b < αa Theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f < f Do đó, theo Mệnh đề 2.1.3 (2.4), ta có F (H) = f = β b + (1 + γ )c − (a + b + c) = β (γ α + γ + 1) + (1 + γ )(α β + α + 1) − (α β + β γ + γ α + α + β + γ + 3) = 2α β γ − Tiếp theo, với số nguyên dương chẵn f cho trước, ta liệt kê tất khả xảy tập {α , β , γ } dựa phân tích thừa số nguyên tố F (H) số + Nhận xét 2.3.2 Cho σ hoán vị {α , β , γ } Khi dễ thấy σ hốn vị chẵn tập {a, b, c} thu từ {σ(α ), σ(β ), σ(γ )} 43 (2.4) ta có nửa nhóm H = a, b, c không thay đổi Tuy nhiên, σ hốn vị lẻ tập {a, b, c} thay đổi Do đó, từ phân F (H) + 1, nhìn chung ta có hai nửa nhóm số khác tích thừa số nguyên tố Ví dụ 2.3.3 Ta xác định tất nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c f có F (H) = f = 18 Vì α β γ = + = 10 nên theo Định lý 2.3.1 ta có {α , β , γ } = {10, 1, 1} {α , β , γ } = {5, 2, 1} Nếu ta thay {α , β , γ } = {10, 1, 1} theo thứ tự vào (2.4) a, b, c bội ta không nhận nửa nhóm số Do ta có hai nửa nhóm số H với F (H) = 18 Nếu (α , β , γ ) = (5, 2, 1), ta H = 5, 7, 16 Nếu (α , β , γ ) = (5, 1, 2) ta có H = 4, 11, 13 Nếu f số ngun chẵn khơng chia hết cho 12 theo [12], tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = f Mệnh đề 2.3.4 (xem [12]) Cho H = a, b, c nửa nhóm số F (H) = f Khi Nếu f số ngun chẵn khơng chia hết cho 3, f + 3, f + nửa nhóm giả đối xứng với số Frobenius f Nếu f chia hết cho không chia hết cho 12 H= 4, f f + 2, + 2 nửa nhóm số giả đối xứng với số Frobenius f Nếu f chia hết cho 12 có nhiều trường hợp cho khơng tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = f 44 Mệnh đề 2.3.5 Giả sử f chia hết cho 12 Nếu tồn nửa nhóm số giả đối xứng f H = a, b, c với F (H) = f + có ước nguyên tố dạng 3k + (k ≥ 1) f Chứng minh Ngược lại, giả sử + khơng có ước ngun tố dạng 3k + 2 f f (k ≥ 1) Vì + ≡ (mod 3) nên ước nguyên tố + dồng dư 2 với modulo Do H giả đối xứng nên theo Định lý 2.3.1, ta có α , β , γ f ước + Suy α , β , γ tích ước nguyên tố đồng dư với modulo Kéo theo α ≡ β ≡ γ ≡ (mod 3) Khi đó, theo (2.4) ta thấy a, b, c bội H = a, b, c không nửa nhóm số Nghĩa khơng tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = f , mâu thuẫn với giả thiết Vì f + có ước nguyên tố dạng 3k + (k ≥ 1) Ví dụ 2.3.6 Giả sử f số nguyên dương chia hết cho 12 Khi (i) Theo Mệnh đề 2.3.5, khơng có nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = 12, 24, 36, 60, 72, 84, 96, 120, 132, 144, 156, 180, 192 Chẳng hạn, với F (H) + = khơng có ước nguyên tố dạng 3k + 2, (k ≥ 1) F (H) = 12, nên theo Mệnh đề 2.3.5, khơng có nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = 12 (ii) Tồn nửa nhóm số giả đối xứng H = a, b, c với F (H) = 48, 168 Chẳng hạn, H = 7, 11, 31 nửa nhóm số giả đối xứng sinh phần tử với F (H) = 48 H = 11, 19, 103 nửa nhóm số giả đối xứng sinh phần tử với F (H) = 168 (iii) Chiều ngược lại Mệnh đề 2.3.5 không Thật vậy, f = 1596 f +1 = 799 = 17·47 có thừa số nguyên tố đồng dư với (mod 3) Nhưng thay (α , β , γ ) = (17, 47, 1) (tương ứng (47, 17, 1)) (2.4) ta có (a, b, c) = (95, 19, 817) (tương ứng (35, 49, 847)) Đây khơng phải nửa nhóm số (a, b, c) có chung thừa số ngun tố 19 (tương ứng 7) Dễ dàng f = 1596 nhỏ ví dụ 45 2.4 Nửa nhóm số đơn Cho H nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {a1 , a2 , , an } Giả sử a1 phần tử nguyên dương nhỏ H Với i ∈ {1, , n}, đặt δi := {k ∈ N \ {0} | kai ∈ {a1 , , an } \ {ai } } Khái niệm nửa nhóm số đơn định nghĩa Bài tập 10.3 [9] sau Định nghĩa 2.4.1 Ta nói H nửa nhóm số đơn a1 = (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + + (δn − 1) + Ví dụ 2.4.2 Xét nửa nhóm số H = 4, 5, Ta có a1 = Hơn nữa, ta có 3.5 = 2.4 + 1.7 2.7 = 1.4 + 2.5 Vì δ2 = 3, δ3 = Suy (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + = = a1 Do đó, H = 4, 5, nửa nhóm số đơn Mệnh đề 2.4.3 Cho H = a1 , a2 , , an nửa nhóm số đơn Khi kiểu H n − Do H đơn với n ≥ H khơng đối xứng Chứng minh Vì H nửa nhóm số đơn nên theo Bài tập 10.3(ii) [9], ta có Ap(a1 , H) = {0, a2 , , (δ2 − 1)a2 , , an , , (δn − 1)an } Suy Max≤H Ap(a1 , H) = {(δ2 − 1)a2 , , (δn − 1)an } Theo Mệnh đề 1.2.13, ta có PF(H) = {w − a1 | w ∈ Max ≤H Ap(a1 , H)} 46 Suy PF(H) = {(δ2 − 1)a2 − a1 , (δ3 − 1)a3 − a1 , , (δn − 1)an − a1 } Suy t(H) = Card(PF(H)) = n − Kết phần Định lý sau Định lý 2.4.4 Cho H = a, b, c nửa nhóm số xác định ma trận (2.1) Giả sử a số nguyên dương nhỏ thuộc H Khi H nửa nhóm số đơn β = γ = Chứng minh Theo 2.3 Mệnh đề 2.1.2, ta có a = βγ + β γ + β γ δ2 = β + β , δ3 = γ + γ Suy H nửa nhóm số đơn a = (δ2 − 1) + (δ3 − 1) + hay βγ + β γ + β γ = β + β + γ + γ − 1, tương đương với (β − 1)(γ − 1) + (β − 1)(γ − 1) + (β γ − 1) = Vì β, β , γ, γ số nguyên dương nên suy β γ − = Do β , γ > nên β = γ = 47 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu giống nửa nhóm số sinh ba phần tử Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại dạng ma trận có định thức cấp × sinh iđêan định nghĩa nửa nhóm số khơng đối xứng H • Trình bày lại chứng minh chi tiết cơng thức tính g(H) qua F (H) số nguyên α, β, γ α , β , γ (xác định iđêan định nghĩa H) • Trình bày lại chứng minh chi tiết H giả đối xứng αβγ = α β γ = • Trình bày lại thuật tốn xác định số nửa nhóm số giả đối xứng sinh ba phần tử biết trước F (H) 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Khamlien PHONXAYYAVONG (2020), “Về nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bốn phần tử”, Luận văn thạc sĩ năm học 2018-2020 Tiếng Anh [2] Barucci V., Dobbs D.E., Fontana M (1997), “Maximality properties in numerical semigroups and applications to one-dimensional analytically irreducible local domains, Mem Amer Math Soc., 598 [3] Frăoberg R., Gottlieb C., Hăaggkvist R (1987),On numerical semigroups, Semigroup Forum, 35, 6383 [4] Goto S., Watanabe K (1978), “On graded rings”, J Math Soc Japan, 30, 172–213 [5] Herzog J (1970), “Generators and relations of abelian semigroups and semigroup rings”, Manuscripta Math., 3, 175–193 [6] Peeva I., (2010), "Graded Syzygies", Springer, New York [7] Nari H., Numata T., Watanabe K (2012), “Genus of numerical semigroups generated by three elements”, J Algebra, 358, 67-73 [8] Rosales J C., Branco M B (2003), “Irreducible numerical semigoups”, Pacific J Math., 209, 131-143 [9] Rosales J C., García-Sánchez P A (2009), “Numerical semigroups”, Developments in mathematics, 20, Springer, New York 49 [10] Rosales J C., García-Sánchez P A (2004), “Numerical semigroups with embedding dimension three ”, Arch Math, 83, 488-496 [11] Rosales J C , García-Sánchez P A (2005), “Pseudo-symmetric numerical semigroups with three generators, J Algebra, 291, 46-54 [12] Rosales J C., García-Sánchez P A., García-García J.I (2004), “Every positive integer is the Frobenius number of an irreducible numerical semigroup with at most four generator”, Ark Mat, 42, 301-306 [13] Selmer S (1977), “On a linear Diophantine problem of Frobenius ”, J Reine Angew Math., 293/294, 1–17 [14] Watanabe K (1973), “Some examples of one dimensional Gorenstein domains”, Nagoya Math J., 49, 101–109 50 ... Iđêan định nghĩa nửa nhóm số sinh ba phần tử 26 2.2 Giống nửa nhóm số sinh ba phần tử 39 2.3 Cấu trúc nửa nhóm số giả đối xứng sinh ba phần tử 42 2.4 Nửa nhóm số đơn ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LẠI THỊ HẢO VỀ GIỐNG CỦA NỬA NHÓM SỐ SINH BỞI BA PHẦN TỬ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:... nửa nhóm số có số Frobenius số cố định cho trước Trước hết ta chứng minh bổ sung số Frobenius vào nửa nhóm số, kết thu nửa nhóm số 10 Bổ đề 1.3.2 Giả sử H nửa nhóm số khác N Khi H ∪ {F (H)} nửa