Cho H là một nửa nhóm số với hệ sinh tối tiểu {a1, a2, . . . , an}. Giả sử a1 là phần tử nguyên dương nhỏ nhất của H. Với mỗi i ∈ {1, . . . , n}, đặt
δi := min{k ∈N\ {0} |kai ∈ h{a1, . . . , an} \ {ai}i}.
Khái niệm nửa nhóm số đơn được định nghĩa trong Bài tập 10.3 trong [9] như sau.
Định nghĩa 2.4.1. Ta nói H là nửa nhóm số đơn nếu
a1 = (δ2−1) + (δ3−1) +. . .+ (δn −1) + 1.
Ví dụ 2.4.2. Xét nửa nhóm số H =h4,5,7i. Ta có a1 = 4. Hơn nữa, ta có
3.5 = 2.4 + 1.7
2.7 = 1.4 + 2.5.
Vì thế δ2 = 3, δ3 = 2. Suy ra (δ2−1) + (δ3−1) + 1 = 4 = a1. Do đó, H =h4,5,7i
là nửa nhóm số đơn.
Mệnh đề 2.4.3. Cho H =ha1, a2, . . . , ani là một nửa nhóm số đơn. Khi đó kiểu của H là n−1. Do đó nếu H là đơn với n≥ 3 thì H không đối xứng.
Chứng minh. Vì H là nửa nhóm số đơn nên theo Bài tập 10.3(ii) trong [9], ta có
Ap(a1, H) ={0, a2, . . . ,(δ2−1)a2, . . . , an, . . . ,(δn −1)an}.
Suy ra
Max≤HAp(a1, H) ={(δ2−1)a2, . . . ,(δn−1)an}. Theo Mệnh đề 1.2.13, ta có
Suy ra
PF(H) ={(δ2−1)a2−a1,(δ3−1)a3−a1, . . . ,(δn−1)an−a1}.
Suy ra t(H) = Card(PF(H)) =n−1.
Kết quả chính của phần này là Định lý sau.
Định lý 2.4.4. Cho H = ha, b, ci là nửa nhóm số được xác định bởi ma trận
(2.1). Giả sử a là số nguyên dương nhỏ nhất thuộc H. Khi đó H là nửa nhóm số đơn khi và chỉ khi β0 =γ = 1.
Chứng minh. Theo 2.3 và Mệnh đề 2.1.2, ta có a = βγ + β0γ +β0γ0 và δ2 =
β+β0, δ3 =γ+γ. Suy ra H là nửa nhóm số đơn khi và chỉ khi
a= (δ2−1) + (δ3−1) + 1
hay
βγ+β0γ+β0γ0 =β +β0+γ +γ0−1, tương đương với
(β−1)(γ−1) + (β0−1)(γ−1) + (β0γ −1) = 0.
Vì β, β0, γ, γ0 là các số nguyên dương nên suy ra β0γ −1 = 0. Do β0, γ > 0 nên β0 =γ = 1.
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu về giống của nửa nhóm số sinh bởi ba phần tử. Luận văn đạt được các kết quả chính sau:
• Trình bày lại dạng ma trận có các định thức con cấp 2×2 sinh ra iđêan định nghĩa của nửa nhóm số không đối xứng H.
• Trình bày lại và chứng minh chi tiết công thức tính g(H) qua F(H) và các số nguyên α, β, γ hoặc α0, β0, γ0 (xác định trong iđêan định nghĩa của H). • Trình bày lại và chứng minh chi tiếtH là giả đối xứng nếu và chỉ nếuαβγ = 1
hoặc α0β0γ0 = 1.
• Trình bày lại thuật toán xác định một số nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử khi biết trước F(H).
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Khamlien PHONXAYYAVONG (2020), “Về nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử”, Luận văn thạc sĩ năm học 2018-2020.
Tiếng Anh
[2] Barucci V., Dobbs D.E., Fontana M. (1997), “Maximality properties in numer- ical semigroups and applications to one-dimensional analytically irreducible local domains”, Mem. Amer. Math. Soc., 598.
[3] Fr¨oberg R., Gottlieb C., H¨aggkvist R. (1987),“On numerical semigroups”,
Semigroup Forum, 35, 63–83.
[4] Goto S., Watanabe K. (1978), “On graded rings”, J. Math. Soc. Japan, 30, 172–213.
[5] Herzog J. (1970), “Generators and relations of abelian semigroups and semi- group rings”, Manuscripta Math., 3, 175–193.
[6] Peeva I., (2010), "Graded Syzygies", Springer, New York.
[7] Nari H., Numata T., Watanabe K. (2012), “Genus of numerical semigroups generated by three elements”, J. Algebra, 358, 67-73.
[8] Rosales J. C., Branco M. B. (2003), “Irreducible numerical semigoups”,Pacific J. Math., 209, 131-143.
[9] Rosales J. C., García-Sánchez P. A. (2009), “Numerical semigroups”, Devel- opments in mathematics, 20, Springer, New York.
[10] Rosales J. C., García-Sánchez P. A. (2004), “Numerical semigroups with em- bedding dimension three ”, Arch. Math, 83, 488-496.
[11] Rosales J. C. , García-Sánchez P. A. (2005), “Pseudo-symmetric numerical semigroups with three generators, J. Algebra, 291, 46-54.
[12] Rosales J. C., García-Sánchez P. A., García-García J.I. (2004), “Every positive integer is the Frobenius number of an irreducible numerical semigroup with at most four generator”, Ark. Mat, 42, 301-306.
[13] Selmer S. (1977), “On a linear Diophantine problem of Frobenius ”, J. Reine Angew. Math., 293/294, 1–17.
[14] Watanabe K. (1973), “Some examples of one dimensional Gorenstein do- mains”, Nagoya Math. J., 49, 101–109.