Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 download by : skknchat@gmail.com Cơng trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thái Hòa Phản biện 1: TS LÊ ĐỨC THOANG Phản biện 2: TS MAI QUÝ NĂM Luận văn bảo vệ Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, họp Trường Đại học Quy Nhơn vào ngày 31 tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin tư liệu, Trường Đại học Quy Nhơn - Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn download by : skknchat@gmail.com Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 10 Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa 2.3 12 12 phương 17 Môđun Buchsbaum phân bậc 22 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO i download by : skknchat@gmail.com 26 MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hốn Noether địa phương, M Rmơđun hữu hạn sinh với dim M = d ≥ q iđêan tham số Khi đó,định lý đa thức Hillbert nói hàm độ dài λM,q (n) = l (M/q n M ) 0) Đặc biệt, bậc đa thức đa thức theo n n đủ lớn (n d, cịn tích hệ số nd với d! bội số e(q,M) Hơn nữa, hiệu I (M )=l (M/q n M )− e(q,M)) cho ta nhiều thông tin cấu trúc Mơđun M Ví dụ mơđun Cohen-Macaulay lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn,có thể đặc trưng điều kiện đây: (i) Hom (M) = với i = d (ii) Mọi hệ tham số M dãy quy (iii) Iq (M )=0 với iđêan tham số q M Từ ý tưởng nghiên cứu Iq (M ) hàm theo q dẫn đến việc hình thành lý thuyết môđun Buchsbaum sau: Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với Môđun M tùy ý, Iq (M ) số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q Năm 1973, Vogel v Stă uckrad ó xõy dng nhiu phn vớ d để chứng tỏ giả thiết Buchsbaum không trường hợp tổng quát Tuy nhiên, Vogel lớp môđun thỏa mãn giả thiết download by : skknchat@gmail.com Buchsbaum nhiều kết tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : “Một số đặc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng đều, đối ngẫu, giải phức đối ngẫu Một số nội dung dự kiến gồm: 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 1.5 Đối ngẫu Chương 2: Môđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đặc trưng mơđun Buchsbaum, mơđun Buchsbaum phân bậc tích segre mơđun Cohen-Macaulay phân bậc Nội dung dự kiến gồm: 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 2.3 Mơđun Buchsbaum phân bậc Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi download by : skknchat@gmail.com xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa Nội dung tiết trình bày theo [1] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S ⊂ R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Xét tập S × R = {(s, r) | s ∈ S r ∈ R} định nghĩa S × R quan hệ hai ngôi: ∀(s, r), (t, k) ∈ S × R, (s, r) ∼ (t, k) ⇔ ∃u ∈ S : u(st − kr) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương Với (s, r) ∈ S × R, r ta kí hiệu lớp tương đương (s, r) tập thương (S × R)/∼ S −1 R s hay RS Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: Với r k r k tr + sk r k rk ∈ Rs , + = = s t s t st s t st Chúng ta kiểm tra (RS , +, ) vành giao hốn có đơn vị download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.1.1 Vành RS gọi vành thương vành R tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, vành RS cịn kí hiệu Rp Mệnh đề 1.1.2 Cho R vành giao hốn có đơn vị, S tập nhân đóng R I iđêan R Khi khẳng định sau r (i) Tập IRS = IS = { | r ∈ I s ∈ S} iđêan vành RS s (ii) Với p ∈ Spec(R), Spec(Rp ) = {qRp | q ∈ Spec(R) q ⊂ p} (iii) Với p ∈ Spec(R), vành Rp vành địa phương với iđêan cực đại pRp Cho M R-môđun Xét vành thương RS với S tập nhân đóng Xét tập S × M = {(s, m) | s ∈ S m ∈ M } Trên tập S × M ta định nghĩa quan hệ hai ngôi: ∀(s, m), (t, n) ∈ S × M, (s, m) ∼ (t, n) ⇔ ∃u ∈ S : u(tm − sn) = Khi đó, quan hệ ∼ quan hệ tương đương S × M với m tập thương (s, m) ∈ S × M , ta kí hiệu lớp tương đương (s, m) s (S × M )/∼ S −1 M hay MS Ta định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng sau: m n m n tm + sn , ∈ MS , + = s t s t st m a m a am Với ∈ MS , ∈ RS , = s r s r rs Với download by : skknchat@gmail.com Chúng ta kiểm tra MS RS -môđun Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS vành RS gọi môđun địa phương hóa M tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p ∈ Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp 1.2 Sự phân tích ngun sơ Nội dung chương trình bày theo [5] Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x ∈ M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) hay Ass(M ) Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau (i) p ∈ Ass(M ) tồn môđun N M cho R/p ∼ = N (ii) Nếu p phần tử cực đại tập iđêan {Ann(x) | x ∈ M x = 0} p ∈ Ass(M ) Hệ 1.2.3 Ass(M ) = ∅ ⇔ M = Bổ đề 1.2.4 Cho S tập nhân đóng R Đặt R = S −1 R, M = S −1 M Khi AssR (M ) = AssR (M ) ∩ {p ∈ Spec(R) | p ∩ S = ∅} download by : skknchat@gmail.com Định lý 1.2.5 Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Khi Ass(M ) ⊆ Supp(M ) phần tử cực tiểu Supp(M ) thuộc Ass(M ) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi Ass(M ) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Một môđun N M gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N ) = {p}, ta nói N p-nguyên sơ hay N liên kết với p Cho N môđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qr với Qi nguyên sơ M Hơn nữa, phân tích nguyên sơ gọi rút gọn bỏ Qi iđêan nguyên tố liên kết M/Qi phần tử khác với i r Hiển nhiên, phân tích nguyên sơ N đưa phân tích ngun sơ rút gọn Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q1 ∩ ∩ Qr phân tích nguyên sơ rút gọn Qi liên kết với pi , ta có Ass(M/N ) = {p1 , , pr } Định lý 1.2.9 Cho R vành Noether M R-môđun Khi = Q(p), Q(p) mơđun p-nguyên sơ p∈Ass(M ) download by : skknchat@gmail.com Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số Trong chương 2, trình bày mốt số đặc trưng mơđun Buchsbaum, mơđun phân bậc theo [6] Kí hiệu R vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun Noether Cho q iđêan R cho (M/qM ) < ∞ Khi đó, ta có hàm Hilbert-Samuel Pq (n) = (M/qn+1 M ) tồn số nguyên e0 (q; M ) > 0, e1 (q; M ), , ed (q; M ) cho với n đủ lớn, ta có Pq (n) = e0 (q; M ) n+d n+d−1 + e1 (q; M ) + · · · + en (q; M ) d d−1 Hệ số e0 (q; M ) gọi số bội M ứng với iđêan q Năm 1965, D A Buchsbaum đặt giả thiết: Tồn số tự nhiên I(M ) cho hiệu A (M/qM ) − e0 (q, M ) = I(M ) số với iđêan tham số q M Tuy nhiên, giả thiết không Và mục đích phần trình bày tính chất R-mơđun M thỏa mãn giả thiết 12 download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 2.1.1 Cho M R-môđun Noether Một hệ phần tử x1 , , xr ∈ m gọi M -dãy yếu, với i = 1, , r (x1 , , xi−1 ) · M : xi = (x1 , , xi−1 ) · M : m Ta biết M -dãy phần hệ tham số M Đối với M -dãy yếu ta có kết sau Bổ đề 2.1.2 Cho M R-môđun Noether với chiều d dương Khi đó, M -dãy yếu x1 , , xr với r ≤ d phần hệ tham số M Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M Noether gọi môđun Buchsbaum hệ tham số M M -dãy yếu R gọi vành Buchsbaum mơđun Buchsbaum Bổ đề 2.1.4 Giả sử R ảnh toàn cấu vành địa phương B Một R-môđun M môđun Buchsbaum R mơđun Buchsbaum coi B-môđun “hạn chế vô hướng” Định nghĩa 2.1.5 Cho a ⊂ R iđêan M R-môđun Noether với dim M = d dim M/aM = Một hệ phần tử x1 , , xt R gọi M -cơ sở a điều kiện sau thỏa mãn: (i) x1 , , xt tạo thành sở tối tiểu a (ii) Với hệ i1 , , id số nguyên với ≤ i1 < · · · < id ≤ t phần tử xi1 , , xid lập thành hệ tham số M Mệnh đề 2.1.6 Cho a ⊂ R iđêan M1 , , Mn R-môđun Noether với dimR Mi /aMi = với i = 1, , n Khi a1 , , at ∈ a tạo thành Mi -cơ sở a với i = 1, , n download by : skknchat@gmail.com Hệ 2.1.7 Cho M môđun Buchsbaum Giả sử x1 , , xr phần hệ tham số M với r < dim M Khi M/(x1 , , xr )M M/U ((x1 , , xr )M ) môđun Buchsbaum Hơn nữa, Mp môđun Cohen-Macaulay với iđêan nguyên tố p = m p ∈ SuppM Mệnh đề 2.1.8 Gọi M mô-đun Noether R với d := dim M > Các điều kiện sau tương đương: (i) M mô-đun Buchsbaum, tức là, hệ tham số chuỗi M yếu (i)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : m (ii) Với hệ tham số x1 , , xd M i = 0, , d − có (x1 , , xi ) · · · M : xi+1 = (x1 , , xi ) · M : xvới x ∈ m cho x1 , , xi , x tạo thành phần hệ tham số M (ii)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : xvới mọix ∈ m cho x1 , , xd−1 , x lại tạo thành hệ tham số M (iii) Với hệ tham số x1 , , xd M có với i = 0, , d − 1: (x1 , , xi ) · · · M : xi+1 = (x1 , , xi ) · M : x2i+1 download by : skknchat@gmail.com (iii)’ Với hệ tham số x1 , , xd M có (x1 , , xd−1 ) · · · M : xd = (x1 , , xd−1 ) · M : x2d (iv) Với phần hệ tham số x1 , , xi M với i < d có U ((x1 , , xi ) · · · M ) = (x1 , , xi ) · M : m Định lý 2.1.9 Cho M R-môđun Noether với dim M = d Khi M mơđun Buchsbaum có số nguyên I(M ) ≥ cho l(M/qM ) − e0 (q, M ) = I(M ) với iđêan tham số q M Bổ đề 2.1.10 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương M môđun Buchsbaum bao đầy đủ m-adic M M môđun Buchsbaum R Trong trường hợp I(M ) = I(M ) Bổ đề 2.1.11 Cho M R-môđun Noether a ⊂ R iđêan cho M/aM môđun Buchsbaum có chiều dương Khi đó, với phần hệ tham số x1 , , xr M/aM b := (x1 , , xr )R (a · M : m) ∩ bk · M ⊆ a · bk−1 · M với k ≥ 1(b0 := R) Bổ đề 2.1.12 Cho M mơđun Buchsbaum R có chiều dương Với hệ tham số x1 , , xd M , ta đặt q := (x1 , , xd ) · R Khi qk+1 · M : xd ∩ q · M = qk · M với k ≥ Nếu depthM ≥ qk+1 · M : xd = qk · M với k ≥ download by : skknchat@gmail.com Đặc trưng vành địa phương Buchsbaum R dẫn đến khái niệm R-dãy yếu Một số tác giả nghiên cứu tổng quát dãy quy M Fiorentini [1], C Huneke [1], N V Trung [10] hay P Schen-zel [3] Chúng ta khái niệm trùng khớp khi xét vành địa phương Buchsbaum Định nghĩa 2.1.13 Cho R vành địa phương có độ dài n > Giả sử x1 , , xn hệ tham số R Khi x1 , , xn R-dãy yếu (x1 , , xi ) · R : xi+1 = (x1 , , xi ) · R : m với i = 0, , n − x1 , , xn cho d-dãy với tập {i1 , , ij } (có thể tập ∅) tập {1, , n} với k, m ∈ {1, , n} \ {i1 , , ij } ta có (xi , , xij ) · R : xk · xm = xi1 , , xij · R : xk x1 , , xn dãy quy tương đối với số nguyên i = 1, , n ta có (xi , , xij , xi+1 , , xn ) · R : xi ∩ (x1 , , xn ) · R = (x1 , , xi−1 , xi+1 , , xn ) · R Một phần tử x iđêan m-nguyên sơ q phần tử tuyệt đối cho q R (qk+1 : x) ∩ q = qk với số nguyên k ≥ 1, x1 , , xn gọi hệ tuyệt đối tham số xi phần tử tuyệt đối cho ảnh (x1 , , xn ) · R R/(x1 , , xi−1 ) · R với số nguyên i = 1, , n download by : skknchat@gmail.com x1 , , xn có thuộc tính (F ) (xi , , xij ) · R : xi ∩ (x1 , , xn ) · R = (x1 , , xi−1 ) · R với số nguyên ≤ i ≤ n Nếu i = ta (O : x1 ) ∩ (x1 , , xn ) · R = Mệnh đề 2.1.14 R vành Buchsbaum năm điều kiện Định nghĩa 2.1.13 thỏa mãn với hệ tham số R Trong trường hợp năm điều kiện tương đương 2.2 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương Cho R vành địa phương với iđêan cực đại m trường k := R/m Ta biết rằng, môđun Noether R môđun Cohen-Macaulay Hmi (M ) = với ≤ i < dim M (xem [6]) Kết sau cho ta thấy đối đồng điều địa phương công cụ để nghiên cứu môđun Buchsbaum Mệnh đề 2.2.1 Cho M R-môđun Noether với chiều dương Các điều kiện theo sau tương đương: (i) Tồn hệ tham số M m2 M -dãy yếu (ii) Mỗi hệ tham số M m2 M -dãy yếu i (iii) m.Hm (M ) = với ≤ i < dimM Hơn nữa, số điều kiện thỏa mãn ta có (iv) l(M/q.M )−e0 (q, M ) độc lập q với iđêan tham số q ⊆ m2 download by : skknchat@gmail.com Mệnh đề 2.2.2 Cho M mô-đun Buchsbaum với d := dim M ≥ Khi tham số ideal q M (i) d l(M/q l+1 · M) = i=0 t+d−i · ei (q, M )với t ≥ d−i (ii) d−i ei (q, M ) = j=0 d−i−1 · l Hmj (M ) với i = 1, , d, j−1 p = −1, p = −1 p := −1 (iii) d I(M ) = ei (q, M ) i=1 Hệ 2.2.3 Nếu M môđun Buchsbaum m · Hmi (M ) = với i = dim M Đặc biệt, môđun đối đồng điều địa phương mơđun có độ dài hữu hạn Hệ 2.2.4 Cho M mơđun Buchsbaum chiều d > Khi đó, với t ≥ có số tự nhiên It (M ) cho với iđêan tham số q M , ta có l(M/qt+1 · M ) − t+d · e0 (q, M ) = It (M ) d Định lý 2.2.5 Cho M R-môđun Noether với d := dim M ≥ Nếu ϕiM : ExtiA (k, M ) → Hmi (M ) toàn ánh với i = d M mơđun Buchsbaum download by : skknchat@gmail.com Mệnh đề 2.2.6 Cho M R-môđun Noether với r := depth M < dim M =: d Hmi (M ) = với i = r, d Các mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) m · Hmr (M ) = (iii) Cho x1 , , xr M -dãy m2 Khi (x1 , , xr ) · M : m = (x1 , , xr ) · M : m Định nghĩa 2.2.7 Cho r, d số nguyên với ≤ r ≤ d Và cho k trường, X1 , , Xd , Y1 , , Yd vô hạn Đặt Rd := k [X1 , , Xd , Y1 , , Yd ]md md iđêan sinh từ Rd := k X1 , , Xd , Y1 , , Yd Chúng ta định nghĩa quy nạp theo r, iđêan a ⊂ Rd thuộc kiểu (r, d) sau: a thuộc kiểu (1, d) a = (X1 , , Xd )Rd ∩ (Y1 , , Yd )Rd ; a thuộc kiểu (r + 1, d) với r + < d, a = a1 ∩ a2 a) Rd /a1 vành Cohen-Macaulay với dim Rd /a1 = d, b) tự đẳng cấu Rd xác định phép đổi biến (Xi ↔ Yi ) biến a1 thành a2 , c) a1 + a2 = (Xd , Yd ) · Rd + b · Rd , b ⊂ Rd−1 iđêan thuộc kiểu (r, d − 1) download by : skknchat@gmail.com Bổ đề 2.2.8 Cho a ⊂ Rd iđêan kiểu (r, d) với ≤ r < d Khi Hmi d (Rd /a) = với i = r, d Hmr d (Rd /a) ∼ = k Do Rd /a mơđun Buchsbaum (trên Rd ) chiều d với depthRd /a = r Định lý 2.2.9 Gọi M R-môđun Noether có chiều dương d Các phát biểu sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) Các ánh xạ tắc λiM : H i (m, M ) → Hmi (M )(so với Bổ đề 0.1.5) toàn ánh với i < d (iii) Cho x1 , , xi M -cơ sở M iđêan cực đại m A Với hệ i1 , , id số nguyên thỏa ≤ i1 < · · · < id ≤ t, dãy xri11 , , xridd M -dãy yếu với r1 , , rd ∈ {1, 2} Mệnh đề 2.2.10 Gọi M R-môđun Noether với depth M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) M mơđun Buchsbaum (ii) Có ước khác không x ∈ m2 M cho M/x · M môđun Buchsbaum (ii’) M/x · M môđun Buchsbaum cho ước khác không x ∈ m2 M (iii) Có ước khác không x ∈ m M cho: download by : skknchat@gmail.com a) M/x · M môđun Buchsbaum b) x · Hmi (M ) = với i < dim M (iii’) Đối với tất ước khác không x ∈ m M a) b) (iii) (iv) Có ước khác không x ∈ m M cho: c) M/x · M môđun Buchsbaum d) x · Hmi (M/x2 · M ) = với i < dim M − (iv’) Đối với tất ước khác không x ∈ m M , điều kiện c) d) (iv) Mệnh đề 2.2.11 Giả sử P ∈ V ∩Fu độ dài (f1 , , fr )·R > Nếu P điểm Buchsbaum V /k P điểm Buchsbaum V ∩ Fu /k(u) Điều ngược lại grade(f1 , , fr )·R > (f1 , , fr )· R ⊆ p2 · R Kết chứng minh N V Trung, (xem [2]), Định lý Nó cung cấp thơng tin thuộc tính nâng trường hợp depth M = Mệnh đề 2.2.12 Cho M R-môđun Noether chiều dương d depth M = Khi M mơđun Buchsbaum điều kiện sau thỏa: (i) m · Hm0 (M ) = (ii) M/Hm0 (M ) mơđun Buchsbaum download by : skknchat@gmail.com (iii) Có M -cơ sở x1 , , xt m cho Hm0 (M ) ∩ (xi1 xxid ) · M = với ≤ i1 < · · · < id ≤ t Hệ 2.2.13 Cho M R-môđun Noether với d := dim M ≥ depth M > Giả sử thêm R ảnh toàn cấu vành Gorenstein hay Hm1 (M ) mơđun Noether Khi đó, M mơđun Buchsbaum M/xM : m môđun Buchsbaum với x ∈ m với dim M/xM = d − Mệnh đề 2.2.14 Cho R vành địa phương với d := dim R ≥ iđêan a, b A với a ∩ b = 0, dim R/a + b < d Giả sử A/a R/b vành Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, R vành Buchsbaum a + b = m B := R/(a + b) vành Buchsbaum kích thước d − Bổ đề 2.2.15 Cho M R-môđun Noether có chiều dương Khi M mơđun Buchsbaum R M ∗ môđun Buchsbaum R Ngoài ra, I(M ∗ ) = I(M ) 2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc Trong mục ta ln kí hiệu R k-đại số phân bậc với iđêan cực đại (thuần nhất) m = ⊕n≥1 [R]n Định nghĩa 2.3.1 Cho M R-môđun phân bậc Noether có chiều dương Khi M gọi môđun Buchsbaum phân bậc Mm môđun Buchsbaum (trên Rm ) M gọi môđun h-Buchsbaum hệ tham số ứng với M M -dãy yếu download by : skknchat@gmail.com Mệnh đề 2.3.2 Giả sử trường sở k vô hạn Cho a ⊂ R iđêan có sở bao gồm phần tử bậc r M1 , , Mn R-môđun Noether phân bậc với dimR Mi /aMi = với i = 1, , n Khi tồn phần tử a1 , , at ∈ a tạo thành M -cơ sở a với = 1, , n Mệnh đề 2.3.3 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) Có hệ tham số M m2 mà M -dãy yếu (ii) Mỗi hệ tham số M m2 M -dãy yếu (iii) m · H im = với i = d Định lý 2.3.4 Cho M R-môđun Noether phân bậc với dim M > Nếu ánh xạ tự nhiên (k = R/m) ϕiM : ExtiR (k, M ) → Him (M ) toàn ánh với i < dim M M môđun Buchsbaum Hệ 2.3.5 Cho môđun M Định lý 2.3.4 Giả sử thêm r := depth M < dim M =: d H im (M ) = với i = r, d Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M môđun h-Buchsbaum (iii) m · H rm (M ) = download by : skknchat@gmail.com Định lý 2.3.6 Giả sử k trường vô hạn Nếu M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M môđun h-Buchsbaum (iii) Lấy M -cơ sở x1 , , xt m Khi đó, với hệ i1 , , id số nguyên với ≤ i1 < · · · < id ≤ t, dãy xri11 , , xridd M -dãy yếu với r1 , , rd ∈ {1, 2} (iv) Ánh xạ tự nhiên λiM : H i (m, M ) → H im (M ) toàn ánh với i < d Nếu R k-đại số tự (i)-(iv) tương đương với phát biểu sau: (v) Ánh xạ tự nhiên ϕiM : ExtiR (k, M ) → H im (M ) toàn ánh với i < d Bây giờ, với R-môđun phân bậc M , ta định nghĩa tập hợp số nguyên g(M ) := {i ∈ Z|[M ]i = 0} Mệnh đề 2.3.7 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > m · H im (M ) = với i < d Nếu với download by : skknchat@gmail.com cặp số nguyên i, j với ≤ i < j < d p ∈ g(H im (M )), q ∈ g(H jm (M )), (i + p) − (j + q) = M mơđun Buchsbaum download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Atiyal, M.F and I.G Macdonald (1969), Introducation to Commutative Algebra, Reading, Mass [2] Auslander, M and D.A Buchsbaum (1958) Codimension and Multiphicity Ann: Math, 68, 625-657 [3] Brodman, M.P and R.Y Sharp (1998), Local Cohomology and Algebraic introducation with Geometric Applications, Cambridge University Press [4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the parameter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85 490-534 [5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press [6] Stiickrad, J and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York 26 download by : skknchat@gmail.com ... tài : ? ?Một số đặc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất đại số địa phương, đại số đồng... trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19... hệ tham số M Định nghĩa 2.1.3 Một R-môđun M Noether gọi môđun Buchsbaum hệ tham số M M -dãy yếu R gọi vành Buchsbaum mơđun Buchsbaum Bổ đề 2.1.4 Giả sử R ảnh toàn cấu vành địa phương B Một R-môđun
Ngày đăng: 03/04/2022, 14:50
Xem thêm:
