2 Đặc trưng của môđun Buchsbaum
2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc
Trong mục này ta luôn kí hiệuR là một k-đại số phân bậc với iđêan cực đại (thuần nhất) m = ⊕n≥1[R]n.
Định nghĩa 2.3.1. Cho M là một R-môđun phân bậc Noether có chiều dương. Khi đó M được gọi là một môđun Buchsbaum phân bậc nếu Mm là môđun Buchsbaum (trên Rm). M được gọi là một môđun h-Buchsbaum nếu mọi hệ thuần nhất của các tham số ứng với M là một M-dãy yếu.
Mệnh đề 2.3.2. Giả sử rằng trường cơ sở k là vô hạn. Cho a ⊂ R là một iđêan có cơ sở bao gồm các phần tử thuần nhất cùng bậc r và M1, . . . , Mn là R-môđun Noether phân bậc với dimRMi/aMi = 0
với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó tồn tại các phần tử a1, . . . , at ∈ a tạo thành một M-cơ sở thuần nhất của a với mọi = 1, . . . , n.
Mệnh đề 2.3.3. Cho M là một R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > 0. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(i) Có một hệ thuần nhất các tham số của M trong m2 mà là một M-dãy yếu.
(ii) Mỗi hệ thuần nhất các tham số của M trong m2 là một M-dãy yếu.
(iii) m·Him = 0 với mọi i 6= d.
Định lý 2.3.4. Cho M là một R-môđun Noether phân bậc với
dim M > 0. Nếu ánh xạ tự nhiên (k = R/m)
ϕiM : ExtiR(k, M) → Him(M)
là toàn ánh với mọi i < dim M thì M là một môđun Buchsbaum.
Hệ quả 2.3.5. Cho môđun M như trong Định lý 2.3.4. Giả sử thêm rằng r := depth M < dim M =: d và Him(M) = 0 với mọi i 6= r, d. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là một môđun Buchsbaum.
(ii) M là một môđun h-Buchsbaum.
Định lý 2.3.6. Giả sử rằng k là một trường vô hạn. Nếu M là một R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > 0. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) M là một môđun Buchsbaum.
(ii) M là một môđun h-Buchsbaum.
(iii) Lấy một M-cơ sở thuần nhất x1, . . . , xt của m. Khi đó, với mỗi hệ i1, . . . , id các số nguyên với 1 ≤ i1 < · · · < id ≤ t, dãy xr1
i1, . . . , xrd
id là một M-dãy yếu với mọi r1, . . . , rd ∈ {1,2}. (iv) Ánh xạ tự nhiên
λiM : Hi(m, M) → Him(M)
là toàn ánh với mọi i < d.
Nếu R là một k-đại số tự do thì (i)-(iv) là tương đương với phát biểu sau:
(v) Ánh xạ tự nhiên
ϕiM :ExtiR(k, M) →Him(M)
là toàn ánh với mọi i < d.
Bây giờ, với mỗi R-môđun phân bậc M, ta định nghĩa một tập hợp các số nguyên
g(M) := {i ∈ Z|[M]i 6= 0}.
Mệnh đề 2.3.7. Cho M là một R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > 0 và m · Him(M) = 0 với mọi i < d. Nếu với
mỗi cặp số nguyên i, j với 0 ≤ i < j < d và mọi p ∈ g(Him(M)), q ∈ g(Hjm(M)),
(i+p)−(j +q) 6= 1
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Atiyal, M.F and I.G. Macdonald (1969), Introducation to Com- mutative Algebra, Reading, Mass.
[2] Auslander, M. and D.A. Buchsbaum (1958). Codimension and Multiphicity. Ann: Math, 68, 625-657.
[3] Brodman, M.P and R.Y Sharp (1998), Local Cohomology and Algebraic introducation with Geometric Applications, Cam- bridge University Press.
[4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the parame- ter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85. 490-534.
[5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press.
[6] Stiickrad, J. and W. Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Ap- plications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York.