Đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn thi: Toán 11 – THPT55114

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 01 Môn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang cú cõu) Câu 1: 1)Giải phương trình: sin x.sin x  cos3 x.cos x    tan( x  ) tan( x  ) 2)Giải bất phương trình sau: x  x   x   x  x  3 x    x  10  (1) 0 C©u 2: Cho tập hợp số nguyên liên tiếp sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , tập hợp chứa nhiều tập hợp trước phần tử, phần tử tập hợp lớn phần tử cuối tập hợp trước đơn vị Gọi Sn tổng phần tử tập hợp thứ n Tính S999 u1  2012 (n  N*) Câu Cho dãy số (un) xác định sau:    u 2012u u  n 1 n n u u u u Tìm lim(     n ) u u3 u u n 1 Câu Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ P Q hai điểm hai cạnh AB AD cho AP  AB;AQ  AD I J hai điểm thuộc đoạn B’Q IB' A’P cho IJ song song với AC Hãy xác định tỉ số QB' Câu a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a.b.c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 S   (ab  2)(2ab  1) (bc  2)(2bc  1) (ac  2)(2ac  1) b) Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a3  b2 b3   c2  c3  a2 HD Ta có: P + = a3 1 b  b2  b3 1 c  c2  c3 1 a  a2 DeThiMau.vn  c2    2  c2  c2 1 b2  P    2 1 b2 1 b2 a3 b3 a2 b2 a6 b6 c6 1 a2  33  33  33 16 16 16 2 1 a2 1 a2 9 3 3      P  (a  b  c )   P  2 23 2 26 2 2 2  c3 c2   Để PMin a = b = c = -Hết - ĐÁP ÁN THI HSG Nội dung Đ iể m C â u C §iỊu kiƯn â      u sin  x   cos  x         sin  x     x   m  m  ฀  *  3    sin  x   cos  x         3 3      Ta cã tan  x   tan  x     cot  x   tan  x    1  6  3  3  3 Suy (1)  sin x sin 3x  cos3 x cos 3x   sin x sin x sin 3x   cos x  cos x cos 3x     sin x  cos x  cos x  cos x  sin x  co 1 1   cos x  cos x cos x   cos x 1  cos x    cos3 x   cos x   x    k 4  sin x  cos x  cos x   cos x  cos x  cos x  Kết hợp điều kiện (*) ta x    k  k  ฀  DeThiMau.vn   ฀  Điều kiện: x  Khi ta có:  x  3  x  x   x  x    x  18  x  20   x  10   x    x  10   x    x  10   Bất phương trình cho tương đương với x  x   x   x  x  3   x  x   x   x  x  3   6 x  x6 3 x x    x  x  3  2 x  x2  x  6  x  x  2  x    x  x     x    x  34 x  108    x  17  181  x  34 x  108    x  17  181 KL : S  3;17  181   17  181;   C Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối â n  n  1 Khi Sn tổng n số hạng cấp      n  u 2 n  n  1 số cộng có số hạng đầu u1  , công sai d=-1(coi số hạng cuối tập hợp thứ n số hạng đầu cấp số cộng này), ta có 1 Sn  n  2u1   n  1 d   n  n  1 2 Vậy S999  999  9992  1  498501999 C - CM dãy tăng : u n 1  u n  2012u n2  n â - giả sử có giới hạn a : a  2012a  a  a   2012 VL u nên limu =  n un u 2n (u  u n ) 1 - ta có :   n 1  (  ) u n 1 u n 1u n 2012u n 1u n 2012 u n u n 1 1 1 Vậy : S  lim(  ) 2012 n  u1 u n 1 20122 C  12  IB'  QB' â 29 u đáp số 12/29 DeThiMau.vn C a2 4    â (ab  2)(2ab  1) 2 1 (b  )(2b  ) (b   2b  ) (b  ) u a a a a a đáp số : 1/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 02 Mơn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang có câu) tan x  tan x    sin  x   tan x  4  Câu Giải phương trình: Điều kiện: cos x   x    k (*) Phương trình cho tương đương với: cos x(tan x  tan x)  sin x  cos x  2sin x  2sin x.cos x  sin x  cos x  2sin x(sin x  cos x)  sin x  cos x  (sin x  cos x)(2sin x  1)  DeThiMau.vn  + Với sin x  cos x   tan x  1  x    k + Với 2sin x    sin x   x    k 2 ; x  5  k 2 Đối chiếu điều kiện (*), suy nghiệm phương trình cho là: x   k ; x    k 2 ; x  5  k 2 (k  ฀ ) C©u 2: Cho khai triÓn 1  x  x   x14   a0  a1 x  a2 x   a210 x 210 Chøng minh r»ng: C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0  15 15 Ta cã 1  x15   1  x  x   x14  1  x     1 C15k xi  k 15 15 210 15 15 Suy hƯ sè cđa x khai triÓn 1  x   1 k i  k 15  i 0 k 0 15 15 15 k lµ C15k  C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0 Mặt khác x15 15 x15   x 225 Suy hÖ sè cđa x15 khai triĨn 1  x15  lµ 15 VËy C150 a15  C151 a14  C152 a13   C1515 a0  15 (®pcm) 15 15 C©u 3:Cho dãy (Un), (n = 0,1,2,3 ) xác định bởi: u0  un 1  4un  15un2  60 a) Hãy xác định số hạng tổng quát un (u2 n  8) biểu diễn thành tổng bình phương ba số b) Chứng minh số nguyên liên tiếp a)Theo ta có: un21  8unun 1  un2  60  Thay n n-1 ta được: un2  8un 1un  un21  60  (1) (2) Trừ theo vế (1) cho (2) được:  un1  un1  un1  8un  un1    un1  8un  un1  (3) (do un 1  4un 16un 1  un 1  un 1  Phương trình đặc trưng (3) t   15 t  8t     t   15 Số hạng tổng quát: un    15     15  n n b) Với số n 1 , tồn số k ฀ để:   15     15   k 15 n n 2n 2n n n Suy    15     15   15.k    15     15   15.k  2  Do vậy,   1  u2 n      15 5   4  2n 15  2n 2    3.k    k  1  k   k  1  DeThiMau.vn C©u 4:Cho hình chóp SABCD, ABCD hình vng cạnh , SA (ABCD), SA = Mặt phẳng () qua BC tạo với AC góc 30o, cắt SA, SD M N Tính diện tích thiết diện BCNM BC // AD Ta có: ()  (SAD)  MN  MN // BC // AD BC  (); AD  (SAD)  Mà: BC  BA; BC  SA (SA  (ABCD))  BC  (SAB)  BC  BM Suy thiết diện BCNM thang vuông B, M Dựng AH  BM ฀  30o Ta có: BC  AH (vì BC  (SAB)) Suy ra: AH  ()  ACH Tam giác ABM vuông A, đường cao AH có: 1 1       AM  2 2 AM AH AB 3  BM  (tam giác ABM vuông cân) MN  Diện tích hình thang vuông BCNM: S   1  3   3,1820 MB.(MN  BC)     S 2 N M H  A D C B C©u 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa mÃn x  y  z  Chøng minh r»ng: x  y  z  y  z  x z  x  y    xyz (1)  yz  zx  xy Ta cã  yz  zx  xy    x  y  z   yz  zx  xy   y  z    z  x    x  y   (2) yz   yz  zx   zx  xy   xy  yz  y  z  Ta cã  yz   yz  yz   yz   yz   yz   1    yz   yz    2  yz Do ®ã  y  z    z  x   x  y         yz   yz  zx   zx  xy   xy    yz  zx  xy     18 yz  zx  xy  18  VËy (2) ®óng (®pcm) 63 DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 03 Mơn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang có câu) Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình  3x    x  1  y   y 1)   x  y  x  y    6 x  y   2) sin 3x  cos3x  2cos  x     4  x2 x3  lim x ( ) Câu II x  x x DeThiMau.vn Câu Cho 10 thÝ sinh ngåi quanh bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, loại đề có nhiều đề khác Một cách phát đề gọi hợp lệ thí sinh nhận loại đề hai thí sinh ngồi cạnh không nhận loại đề Hỏi có cách phát đề hỵp lƯ ? Câu IV  Cho hình chóp S.ABC có ASB  ASC  45 ; cos(BSC )  ; SB=SC= SA SA=a K trung điểm BC; M điểm nằm đoạn thẳng AK Đặt AM=x Chứng minh: SA  (ABC) Mặt phẳng (a) qua M vng góc với AK Tìm x để thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(a) có diện tích lớn Câu V a3 b3 c3 abc Cho a, b, c  Chứng minh:    2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Hết: Câu I Giải hệ phương trình, hệ phương trình  3x    x  1  y   y 1)   x  y  x  y    6 x  y  3x    x  1  y   y 1  2  x  y  x  y    6 x  y Điều kiện: x  ; y  2 (2)   y   x  3 y  x  x   0;    3x  5 Vậy ta có: y  x 1 2 x  y    y  x   vơ nghiệm x  ; y  x  y    y  x  , thay vào (1) ta có: DeThiMau.vn 3x    x  1  x    x     3x  1  3x    x  3  x  *  *  3x   x   x   y  12 Kết luận:  x, y    4;12    sin 3x  cos3x  2cos  x     4    sin 3x  cos3x  2cos  x     4   sin 3x  cos3x   cos x  sin x    2)  sin 3x  sin x  cos3x  cos x   cos x  sin x     2sin x cos x  2sin x sin x   cos x  sin x     2sin x  cos x  sin x    cos x  sin x      Đặt: t  cos x - sin x  cos  x   ; t    2;  4  Ta có: 2(1  t )t  t    2t  t    t  Câu II Đặt x  I  lim y 0 lim x ( x  x2 x3  ) x x x   y  y  y   3y y2   y  (1  y )  y  (1  y )   lim    y 0 y2 y2     y ( y  3)  y2   lim   y 0  y  y  (1  y ) y (3 (1  y )  (1  y )3  y  (1  y ) )   y3  lim   y 0   y   y (1  y )  (1  y )3  y  (1  y ) 1   1  2 Vậy I     Câu Cho 10 thí sinh ngồi quanh bàn tròn Ngân hàng đề thi có 10 loại đề khác nhau, loại ®Ị cã nhiỊu ®Ị kh¸c Mét c¸ch ph¸t ®Ị gọi hợp lệ thí sinh nhận loại đề hai thí sinh ngồi cạnh không nhận loại đề Hỏi có cách phát đề hợp lệ ? Lời giải Gọi sn số cách phát đề hợp lệ cho n thÝ sinh a1 , a2 , , an DeThiMau.vn Ta viÕt  a j ( i  j ) a j nhận loại đề a j trường hợp ngược lại Xét cách phát đề hợp lệ cho ( n  1) thÝ sinh a1 , a2 , , an , an1 - NÕu a1  an bỏ thí sinh an1 ta cách phát đề hợp lệ cho n thí sinh a1 , a2 , , an Khi ®ã cã 10-2=8 cách phát đề cho thí sinh an1 (khác với ®Ị cđa a1, an ) - NÕu a1  an bỏ hai thí sinh an , an1 ta cách phát đề hợp lệ cho ( n  1) thÝ sinh a1 , a2 , , an1 Khi có 10-1=9 cách phát đề hợp lệ cho an , an1 (cơ thĨ an  a1 , an1 phát đề khác a1 ) Nh­ vËy ta cã hÖ thøc sau sn1  sn  n1 , n  MỈt khác, dễ tính : s2 10.9 90, s3 10.9.8 720 Do tính s10  3486784410 Câu IV  Cho hình chóp S.ABC có ASB  ASC  45 ; cos(BSC )  ; SB=SC= SA SA=a K trung điểm BC; M điểm nằm đoạn thẳng AK Đặt AM=x Chứng minh: SA  (ABC) Mặt phẳng (a) qua M vng góc với AK Tìm x để thiết diện hình chóp S.ABC cắt mp(a) có diện tích lớn S E N F Q A C M P K B CM: AB=AC= a ( sử dụng định lí cosin tam giác);  SAB =  SAC(c-g-c) ; vuông cân A:  SA  AB  SA  ( ABC )  SA  AC 2.BC  AK; SA  AKTrong mặt phẳng (ABC) qua M kẻ đt song song BC cắt AB; AC P, QTong mặt phẳng (SAK) qua M kẻ đt song song với SA cắt SK N Từ N kẻ đt song song với BC cắt SB; SC F; E thiết diện hình chữ nhật PQEF : Std  PQ.PF Ta có : BC=a ; AK= a/ Tính PQ  x 3; PF  (a  x) x  a  x) a Std  x (a  x)  (  a  Std Max  x  M trung điểm AK 4 10 DeThiMau.vn Câu V a3 b3 c3 abc Cho a, b, c  Chứng minh:    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: a3 b3 c3   a  ab  b b  bc  c c  ca  a a4 b4 c4    a  a  ab  b  b  b  bc  c  c  c  ca  a   a  b2  c2  a  b3  c3  a 2b  ab  b 2c  bc  c a  ca a 2 a  b2  c2  a  b  c   a  b  c      a  b2  c2   a  b  c  a  b  c a  b  c  a 1 2  b2  c2   b2  c2   a  b  c  1 1 2  a b c 2   abc Đẳng thức xảy a  b  c SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 04 Mơn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I.Giải phương trình: 2 sin x     cos x  (1) 12  u1   un2  2012un Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:  un 1  2013  n ui S   Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: n i 1 ui 1  n N* Tìm lim Sn n  Câu III Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3 b3 c3   1  b 1  c  1  c 1  a  1  b 1  a  Câu IV 11 DeThiMau.vn 1)Cho hình chop S ABCD đáy hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm 3 M, N cho SM  SA , DN  DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC H, K a) Chứng minh rằng: MH / /  SBD  b) Gọi O giao điểm SB với  MNH  Chứng minh: OK / / SC 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM  x, AN  y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ Câu V 1)Nếu số chọn ngẫu nhiên từ tập hợp gồm chữ số tổng chữ số 43 Tính xác xuất để số chọn chia hết cho 11 n  8n  2) Tìm tất số nguyên dương n cho phần nguyên 3n số nguyên tố Câu I.Giải phương trình: 2 sin x       cos x  (1) 12   (1)  sin 2x    sin   12  12        sin  2x    sin  12  12         sin 2x    sin  sin  sin cos 12  12 12    5   sin 2x    cos  sin 12  12 12   5  7   k2 hay 2x    k2 12 12 12 12    x   k hay x   k  k  Z   2x   k  Z 12 DeThiMau.vn u1   un2  2012un Câu II Cho dãy {un} xác định bởi:  un 1  2013  n ui S   Thành lập dãy: {Sn} xác định bởi: n i 1 ui 1  n N* Tìm lim Sn n  Giải: Tacó: un2  2012un un2  2013un  un  2013 2013 u  u  1  n n  un (*) ; n  N * 2013 u1   u1  u2   un  un 1  un 1  Suy un dãy tăng Giả sử un bị chặn lúc tồn số L cho lim un  L ( L  2) Từ (*) ta có : n  un (un  1)  lim un n  n  n  2013 L  L( L  1) L L  (vô lý) 2013 L  lim(un 1 )  lim  un không bị chặn Suy lim un    lim   n n Mặt khác : 0 un un2  2012un un (un  1) un 1    un 2013 2013  un (un  1)  2013(un 1  un )  2013  un 1  1   un  1   u 1   un   un  2013  n 1  1   2013     un   un 1   un  un 1     u   Cho n    2013     2013 1   u2   u1  u2    u2    u2   2013    u3   u2  u3   Tương tự    un   2013    un 1   un  un 1   Cộng vế theo vế ta : n Sn   i 1  ui   2013 1   ui 1   un 1     lim Sn  lim 2013 1  n  n   Câu III Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P     2013 un 1   a3 b3 c3   1  b 1  c  1  c 1  a  1  b 1  a  13 DeThiMau.vn HD: Áp dụng BĐT cauchy ta có: a3  b  c 3a    1  b 1  c  Câu IV 1)Cho hình chop S ABCD đáy hình thang, đáy lớn AB Trên SA, BD lấy hai điểm 3 M, N cho SM  SA , DN  DB Qua N kẻ đường thẳng d song song với AB cắt AD, BC H, K a) Chứng minh rằng: MH / /  SBD  b) Gọi O giao điểm SB với  MNH  Chứng minh: OK / / SC a) Chứng minh: MH / /  SBD  Chỉ DA SM   Suy MH / / SD  (SBD)  MH//  SBD  DA SA b) Chứng minh: OK / / SC Chỉ được: MO / / SB  O  SB   BO AM BK BN BO BK   ;      OK / / SC SB SA BC BD SB BC 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM  x, AN  y Tìm x, y để diện tích tồn phần tứ diện DAMN nhỏ Kẻ DH  MN , (DMN)  (ABC) suy DH  (ABC) Mà ABCD tứ diện đều, nên suy H tâm tam giác ABC Ta có: SAMN = AM.AN.sin600 = = xy ; SAMN = SAMH + SANH 1 AM.AH.sin300+ AN.AH.sin300 = (x+y) 2 Suy 3 xy = (x+y)  x+y= 3xy (0  x,y  ) 4 D C B H N M A Diện tích tồn phần tứ diện DAMN: S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN = 1 AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600 2 14 DeThiMau.vn 1 DH.MN + AM.AN.sin600 = xy + 3xy(3xy  1) 2 Từ 3xy  x  y  xy  xy   xy  + Suy S  3(4  2) , x  y  Câu V 1)Nếu số chọn ngẫu nhiên từ tập hợp gồm chữ số tổng chữ số 43 Tính xác xuất để số chọn chia hết cho 11 Trong số 10, chữ số lớn nên tổng d1 + d2 + d3 + d4 + d5 chữ số lớn 45 Nhưng theo giả thiết, tổng chữ số số chọn 43 = 45 – nên xảy trường hợp sau: - Một chữ số 7, tất chữ số lại 79999 ; 97999 ; 99799 ; 99997 : có số - - Hai chữ số 8, ba chữ số cịn lại có tất 5.4  10 số Chẳng hạn: 88999 ; 89899 ; ; 99988 - Vậy tất có 15 số số có chữ số có tổng 43 để số chọn chia hết cho 11 cần đủ là: d1 - d2 + d3 - d4 + d5 chia hết cho 11 Chỉ có số 15 số nói thoả mãn điều kiện đó: 97999 ; 99979 98989 Nên xác xuất cần tìm  15 n  8n  2) Tìm tất số nguyên dương n cho phần nguyên 3n số nguyên tố Gọi S tập hợp số nguyên tố Trường hợp 1: n  3k n 8n 1 A    3k  8k  3 3n 9k  A  3k  8k  k  3k  8  A  S  k   n  Trường hợp 2: n  3k  1 1 n 8n A    3k  2k   8k    3k  10k   3 3n 3 3n 3n  A  3k  10k    k  3 3k  1  A  S  k   n  Trường hợp 3: n  3k   n  1 15 DeThiMau.vn 16  8k    3k  12k    3 3n 3n 2  A  3k  12k   k  4k  2  S A  3k  4k  Kết luận:  A  S  n  1;3 16 DeThiMau.vn ... ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 04 Môn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu I.Giải phương... (2) ®óng (®pcm) 63 DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2012 – 2013 01698735393 ĐỀ THI THỬ 03 Mơn thi: Tốn 11 – THPT Thời gian: 180... DeThiMau.vn C a2 4    â (ab  2)(2ab  1) 2 1 (b  )(2b  ) (b   2b  ) (b  ) u a a a a a đáp số : 1/3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC