(SKKN CHẤT 2020) kỹ thuật tính một số tổng hữu hạn ở THCS và bài tập vận dụng

A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong quỏ trỡnh học toỏn trường THCS học sinh cần biết cách tổ chức công việc mỡnh cỏch hợp lớ, sỏng tạo Người thầy cần rèn luyện cho em kỹ độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Điều đặt cho người thầy lao động tập trung, nghiêm túc, biết tỡm tũi phương pháp hay để giúp học sinh trau dồi tư logic việc giải toán tổ chức hoạt động học tập Là giáo viên dạy Toán trường THCS trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tơi nhận thấy việc giải tốn chương trỡnh THCS không đơn đảm bảo kiến thức sách giáo khoa, điều kiện cần chưa đủ Muốn giỏi toán học sinh cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mĩ, sáng tạo, để tự tỡm cỏch giải đến đích cách gần nhất, mĩ Muốn người thầy phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt nhiều toán khác để tạo hứng thứ, tinh thần yêu thích cho học sinh Trong nhiều nội dung tốn học ln đũi hỏi giỏo viờn phải cú nhỡn tổng thể dạng toỏn mà mỡnh định giải cho học sinh, để từ giáo viên đưa phương pháp hướng dẫn gần nhất, dể hiểu nhằm giúp học sinh tiếp thu tốt Trong chương trỡnh Toỏn THCS cỏc toỏn liên quan đến tính tổng đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toỏn liên quan đến tính tổng, người ta phải cách giải thông minh nhất, tỡm cỏc biện phỏp hữu hiệu phự hợp với trỡnh độ kiến thức bậc học THCS để giải toán loại Do đó, đũi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sỏng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cỏch logic cú hệ thống Trong đa số học sinh cỏc trường THCS khơng có hứng thú với loại tốn này, hầu hết em học sinh cảm thấy khó khăn gặp toán tớnh tổng khụng biết vận dụng để giải tập khác Đồng thời tài liệu tổng hợp cho dạng toán ít, tài liệu đưa số mà Vỡ để giúp em khắc phục khó khăn đó, tơi chọn nghiờn cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: " Kỹ thuật tớnh số tổng hữu hạn THCS tập vận dụng" Nhằm cung cấp cho em cách hệ thống tập tính tổng tập liên quan đến tổng tập tự luyện download by : skknchat@gmail.com MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Cung cấp cho học sinh, phụ huynh bạn đồng nghiệp có tài liệu bổ sung tốn liên quan đến tính tổng - Rèn luyện cho học sinh tư sáng tạo giải tốn nói chung tốn tớnh tổng nói riêng Cung cấp cho học sinh hướng tiếp cận gặp tập dạng toỏn - Phỏt huy trớ lực học sinh nhằm tỡm nhiều cỏch giải hay, phỏt triển nhiều toỏn - Giúp học sinh tự tin gặp toán tương tự giải toán thi cử AI ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIấN CỨU Đối tượng nghiên cứu - Học sinh THCS - Một số giỏo viờn phụ huynh học sinh Phạm vi nghiờn cứu : Hệ thống kiến thức Số học Đại số THCS BI IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu - Đánh giá - Suy diễn - Phõn tớch – tổng hợp Tài liệu hổ trợ nghiờn cứu - Tạp chí toán học tuổi trẻ, toán tuổi thơ - 1001 toán sơ cấp( 1) - Một số sáng kiến kinh nghiệm mạng internet đồng nghiệp tớnh tổng THCS - Nõng cao phỏt triển toỏn 6, 7, 8, 9.(Vũ Hữu Bỡnh – NXBGD) - Một số tài liệu khỏc Phạm vi ỏp dụng - Áp dụng vào việc giảng dạy chuyên đề trường học - Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THCS, ơn tập cho học sinh thi vào trường chuyên, lớp chọn THPT - Bổ sung tài liệu tham khảo cho học sinh, phụ huynh học sinh cán giáo viên V ĐÓNG GÓP VỀ MẶT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI: - Đề tài nhằm cung cấp cho học sinh, bạn đồng nghiệp quý phục huynh số toỏn kỹ thuật làm toán liên quan đến tổng hữu hạn THCS Giúp em có hệ thống phương pháp giải dạng tốn - Giúp học sinh có định hướng gặp toán liên quan đến tổng hữu hạn THCS download by : skknchat@gmail.com - Cung cấp thêm tài liệu phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thi vào THPT B NỘI DUNG CHƯƠNG I : KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn cỏc số tự nhiờn Bài toỏn 1.1: Với n số tự nhờn, tớnh cỏc tổng sau: a) S1 = + + + … + n b) S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) c) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n + 2) Lời giải: a) S1 = + + + … + n (1) Ta viết lại tổng S1 theo thứ tự ngược lại sau: S1 = n + n - + … + (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: 2S1 = (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) = n (n + 1) n n S Nhận xột: Đây tổng quen thuộc đơn giản mà em biết Việc tớnh tổng đơn giản song có nhiều vận dụng quan trọng Chẳng hạn ta sử dụng để tính tổng S2.Chỳng ta cú thể mở rộng tổng với khoảng cách hai số hạng liên tiếp lớn Bài toán tổng quát là: S = a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) (Khoảng cỏch giứa hai số liờn tiếp k; với a, n, k cỏc số tự nhiờn) Ta tính S = n(nk + 2a)/2 b) Ta cú: kk Thay k 1, ta có : 1.2 Thay k 2,ta có : Thay k 3, ta có : Thay k n,ta có : n n Cộng theo vế cỏc biểu thức trờn, ta cú: Nhận xột: Kỹ thuật để tính tơng xuất phát chổ : Tớch n(n + 1) tích số tự nhiên liên tiếp ta tạo thêm số tự nhiên liền sau n + download by : skknchat@gmail.com số tự nhiên liền trước n – để tạo thừa số rút gọn cách tương tự ta tính tổng S3 c)Với số tự nhiờn k ta cú: k k (k 2) k k (k 2) k k 1 k k k (k 3) k k k (k 2) Thay k 1,ta có : 1.2.3 Thay k 2,ta có : 2.3.4 Thay k 3, ta có : 3.4.5 0.1.2.3 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 Thay k n,ta có : n n n n n n (n 3) Cộng liên đẳng thức theo vế ta được: S3 n n n (n 2) n n n (n 3) Nhận xột: Tổng trờn cú thể tổng quỏt lờn nhiếu số hạng tích, với cách tính nờu nhận xột cõu b) Bài toỏn 1.2: Với n số tự nhiờn, tớnh cỏc tổng sau: a) S1 = 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 + … + (2n + 1)(2n + 3) b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 99.1 Lời giải: a) Với số tự nhiờn k ta cú: 2k (2k 3) 1 2k (2k 1)(2k 3) 2k (2k 3)(2k 5) Thay k 1,ta có : 1.3 1 1.3.5 3.5.7 Thay k 2,ta có : 3.5 Thay k 3,ta có : 5.7 1 3.5.7 5.7.9 7.9.11 5.7.9 n,ta có : 2n (2n 3) S1 2n (2n 1)(2n 3) 1 2n (2n 3)(2n 5) 1.3.5 1 2n (2n 1)(2n 3) 66 2n (2n 1)(2n 3) 1.3.5 download by : skknchat@gmail.com Nhận xột : Về kỹ thuật tính tổng giống tính tổng 1, tạo số liền sau liền trước số hạng tích (2n + 1)(2n + 3) (2n + 5) (2n – 1), sau khai triển rút gọn Đặc biệt tổng nới rộng khoảng cách số hạng tích thành toán tổng quát sau : S na.(a k) (a k).(a 2k) (a nk).(a nk k) k (a nk).(a nk k).(a nk 2k) (a nk k)(a nk).(a nk k) b) S2 = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 99.1 1.99 1.99 2.(99 1) 3.(99 2) 99.(99 98) 2.99 3.99 99.99 (1.2 2.3 98.99) 99.99.100 98.99100 166650 Nhận xột: Bài toỏn tổng quỏt tổng S2 là: Sn = 1.n + 2.(n - 1) + 3.(n - 2) + … +( n - 1).2 + n.1 = n.(n 1)(n 2) Bài toỏn 1.3: Tớnh cỏc tổng sau: a)S 11 111 11 1 n sô Lời giải: a) Ta cú: S 11 111 n sô1 10 102 9999 1 103 n 10 n (10 10 10 10 n) Xột riờng tổng : S = 10 + 102 + 103 + 10n Ta cú 10.S = 102 + 103 + 10n + 10n+1 Suy : 10.S – S = 10n+1 – 10 Hay : Từ ta có: S1 download by : skknchat@gmail.com b)S a aa aa a n Sô a a.(1 11 111 11 1) n sô a.(10 n 9n 10) 81 Bài toỏn 1.4: Với n số tự nhiờn khỏc 0, tớnh tổng: S=1! + 2.2! + 3.3! + … + n.n! Lời giải: Ta cú : 1! = 2! – 1! 2.2! = 3! – 2! 3.3! = 4! - 3! ………… n.n! = (n + 1)! – n! Suy S = 2! – 1! + 3! – 2! + 4! - 3! + … + (n + 1)! – n! = (n + 1)! - Dạng tổng 2: Tổng phõn thức Bài toỏn 2.1: Với n số tự nhiờn khỏc khụng Tớnh cỏc tổng sau: a) A 1.2 b) B c) C 1.3 Lời giải: a) Ta cú: A 1.2 A b) Ta cú: download by : skknchat@gmail.com Cộng theo vế cỏc đẳng thức ta được: Nhận xột: Tổng A B mở rộng thêm nhiều tích liên tiếp mẫu, với cách làm tương tự Bài toán tổng quát sau: Sn Ta cú ngay: (với m n cỏc số tự nhiờn khỏc khụng) c) Ta cú: C = 1- C=1Nhận xột: Tổng C ta cú thể nới rộng khoảng cỏch số tớch mẫu Bài toỏn tổng quỏt sau: Sn (với a số tự nhiờn khỏc khụng, m n cỏc số tụ nhiờn) Ta tính được: Sn Và ta cú thể nới rộng nhiều tớch với cựng khoảng cỏch mẫu (k N , k 1) 14 download by : skknchat@gmail.com Thay k 2,ta có : Thay k 3,ta có : Thay k n,ta có : Cộng theo vế đẳng thức ta có : 1 2.32 3.42 [ 22 Bài toỏn 7: Tỡm số nguyờn dương n cho : 13 3 n3 n2 3n 7225 (Trích đề thi Olympic 30 - 04) Lời giải : Với m N*, xột : [3 m] k k [3 m] k Với số k cho trước, số số m thỏa : [3 m] k m3 (k 1)3 k là: (k 1)3 k 3k 3k Gọi tổng tương ứng chúng Sk , ta cú : Sk = k(3k 3k 1) = 3k 3k k Do [3 n3 1] n 1;[3 n3 ] [3 n3 1] [3 n3 2n 4] n[3 n3 1] Với n > 3 n1 (2n 5)n(3k 3k k) (2n 5)n Sk k (n 1)n 3n4 2n3 7n2 20n Suy ra: 3 3 n3 n2 3n 7225 3n4 2n3 7n2 20n 7225 3n4 2n3 7n2 20n 28900 (n 10)(3n3 28n2 287n 2890) Do n suy : n 10 Bài toỏn 8: Cho a1 , a2 , …, an cỏc số thực thỏa món: 15 download by : skknchat@gmail.com a12 a12 a12 a n n a2 2014 Chứng minh rằng: a n 4028 (Trích đề thi vào lớp 10 chun Tốn – ĐH Vinh – năm học: 2009 – 2010) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho dóy số: a , a , …, a , n a 1 , , n n Ta cú: 1 a n n n 2014 Lại cú: k2 Với k = 1, ta cú: 1 12 Với k = 2, ta cú: 1 22 21 ……………………………………… Với k = n, ta cú: 1 n2 n1 Cộng theo vế đẳng thức ta được: 2 a a n a2 a n n 4028 Bài toỏn 9: Rỳt gọn biểu thức: P (14 4)(54 4)(94 4) (214 4) (34 4)(74 4)(114 4) (234 4) Lời giải: Ta cú: n4 + = (n2)2 + 4n2 + - 4n2 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 + - 2n).(n2 + + 2n) = [(n - 1)2 + 1] [(n + 1)2 + 1] Do : 16 download by : skknchat@gmail.com P (14 4)(54 4)(94 4) (214 4) (34 4)(74 4)(114 4) (234 4) (02 1)(22 1) (422 1)(622 1) (82 1)(102 1) 2(202 1)(22 1) (2 1)(3 1) (6 1)(8 1) (10 1)(12 1) (22 1)(24 1) 1 242 577 Nhận xột : Bài toỏn tổng quỏt : Với n số tự nhiên lớn 1, ta có : P Bài toỏn 10 : Với n số tự nhiên lớn 1, tính : A 23 33 43 n3 23 33 43 n3 Lời giải : Ta có : Thay k 2,ta có : Thay k 3,ta có : Thay k n,ta có : Suy : A 3.(1,52 0,75) 4.(1,52 0,75) (n 1)[(n 0,5)2 0,75] (2,52 0,75) 2.(3,52 0,75) (n 1)[(n 0,5)2 0,75] 3.4 (n 1) 1.2 (n 1) (1,52 0,75).n.(n 1) (n 0,5)2 Bài toỏn 11: Với n số nguyên dương (n 2), đặt : Pn 1 Tỡm tất cỏc số nguyờn dương n (n 2) cho P số nguyờn n ( Trích đề thi HSG Tỉnh lớp – Hà Tĩnh – Năm học : 2014 – 2015) 17 download by : skknchat@gmail.com Lời giải : Với số tự nhiên k lớn 1, ta có : 1 k Thay k = 2, ta được: Thay k = 3, ta được: Thay k = 4, ta được: Thay k = n, ta được: Nhõn theo vế đẳng thức trên, ta có : 1.4 P 2.5 n 2.3 3.4 Suy : P n Do để Từ tỡm n = CHƯƠNG III : BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có : a)1 22 b) c) 2 d) e) g) 12 4 n Bài 2: Với n số tự nhiờn khỏc 0, tớnh : a) A 18 download by : skknchat@gmail.com b)B 1 c)C d )D 22 e)E 1(2n 1) g)G ( 33 35 32n 32n h)H Bài 3: Với n số tự nhiên lớn 1, chứng minh : a) b)1 c)(1 d )2 n e) n g)0,71 Bài 4: Tỡm số tự nhiờn x, biết: 13 23 a) b) Bài 5: Tớnh: 100 a) A 50 33 x3 1406 b)B Bài 6: a)Viết số 108 thành tổng số tự nhiên liêp tiếp lớn b) Hóy viết số 100 thành tổng cỏc số tự nhiờn lẽ liờn tiếp 19 download by : skknchat@gmail.com C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên kỹ thuật số toỏn liên quan đến tổng hữu hạn THCS điển hỡnh thường gặp Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp nói phải vận dụng cho thích hợp, phương pháp khơng nên quan trọng hóa đề cao giải dạng toán Điều cốt yếu sử dụng phương pháp cho phụ hợp để đạt hiệu tốt nhất, nhanh Điều đũi hỏi người thầy phải có kinh nghiệm tốt giảng dạy, phải thật đào sâu giảng dạy Sau nhiều năm giảng dạy tâm đắc với toán liên quan đến tổng hữu hạn THCS tụi tự rỳt số kinh nghiệm quý bỏu sau : 20 download by : skknchat@gmail.com Thường xuyên khắc phục sai lầm giải tốn tớnh tổng nói riêng tập nói chung Điều có ý nghĩa lớn việc giỳp học sinh hiểu sõu, nắm vững cỏc kiến thức bản, rèn luyện kỹ trỡnh bày chớnh xỏc, ngắn gọn - Hệ thống cỏc kỹ thuật cần thiết cho cỏc toỏn dạng này, giúp học sinh bạn đồng nghiệp có cơng cụ hữu hiệu để giải tập cách chắn, hiệu tiết kiệm thời gian - Luôn nắm kiến thức bản, kỹ cần thiết toán liên quan đến tổng hữu hạn giúp học sinh có cách giải sáng tạo - Biết sử dụng mối liên hệ đại số số giỳp thờm cụng cụ hữu ớch cho cỏc em giải cỏc toỏn liên quan đến tổng hữu hạn Dù cố gắng với tuổi đời tuổi nghề non trẻ nên đề tài tơi trỡnh bày khụng thể trỏnh khỏi thiếu sút Tụi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp từ cấp trên, bạn đồng nghiệp quý phụ huynh học sinh để viết hồn chỉnh - Tơi xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIấN CỨU IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, TÀI LIỆU NGHIấN CỨU V ĐÓNG GÓP VỀ MẶT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI B NỘI DUNG CHƯƠNG I :KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn cỏc số tự nhiờn Dạng tổng 2: Tổng phõn thức Dạng tổng 3: Tổng lũy thừa Dạng tổng 4: Tổng phần nguyờn, phần lẻ CHƯƠNG II: BÀI TẬP VẬN DỤNG CHƯƠNG III : BÀI TẬP TƯƠNG TỰ download by : skknchat@gmail.com C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 22 download by : skknchat@gmail.com ... NỘI DUNG CHƯƠNG I :KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn cỏc số tự nhiờn Dạng tổng 2: Tổng phõn thức Dạng tổng 3: Tổng lũy thừa Dạng tổng 4: Tổng phần nguyờn,... học sinh giỏi thi vào THPT B NỘI DUNG CHƯƠNG I : KỸ THUẬT TÍNH MỘT SỐ DẠNG TỔNG HỮU HẠN Ở THCS Dạng tổng 1: Tổng hữu hạn cỏc số tự nhiờn Bài toỏn 1.1: Với n số tự nhờn, tớnh cỏc tổng sau: a) S1... biết Việc tớnh tổng đơn giản song có nhiều vận dụng quan trọng Chẳng hạn ta sử dụng để tính tổng S2.Chỳng ta cú thể mở rộng tổng với khoảng cách hai số hạng liên tiếp lớn Bài toán tổng quát là: