Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp: 1 limC = C ; lim = > ; lim = ; limqn = |q| < n n *Các phép toán giới hạn : lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ; un limun limvnlim = limvn *Các định lý giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn Định lý 2: Cho dãy số (un),(vn) (wn) Nếu n ta có un ≤ ≤ wn limun = limwn = A limvn = A Định lý 3: Nếu limun = lim = un Nếu limun = lim = un u1 *Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn S = 1–q 1.Dùng định nghĩa,tính giới hạn sau: 2n + 1 a) lim b) lim c) lim n -1 n2 n +1 2.Tính giới hạn sau: – n2 + n – 3n – 2n2 + n – a) lim b) lim c) lim 2n2 – n2 – n2 + 4n – 2n d) lim e) lim n + n 2n 2sinn + 3cosn f)lim( n2 – 2n – n) g) lim 3n – 3.Tính giới hạn sau: 2n – a) lim b) lim( n + – n) c) lim n) n2 + n n–1 d) lim n – 1) e) lim 3n2 + f) lim h) lim 2n n2 + n 3n2 + 2n + 2n – – n 3n + g) lim n3 n2 n n2 1 n 1 i) lim( n2 + n – n2 + 1) j) lim n( n2 + – n2 – 2) k) lim( n 2n n ) 4n2 + – 2n – l) lim m) lim(1 + n2 – n4 + 3n + 1) n2 + 4n + – n n2 + – n6 n) lim n4 + – n2 4.Tính giới hạn 2n + 2n + 4.3n + 7n + 2n – 5.3n a) lim b) lim c) lim 2n + 4.3n 2.5n + 7n 3n + (– 2)n + 3n (– 1)n + 2n 3n – 4n d) lim e) lim f) lim (– 2)n + + 3n + 1 + (– 3)n 3n + 4n + a + a2 + … + an g) lim với |a| < ; |b| < 1 + b + b2 + … + bn 4.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = + un a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 1 5.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = – un a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 6.Tìm số hữu tỉ sau : a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515 1 1 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – ) 32 42 n2 22 Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1 = + xn – xn2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – 2| < ( )n n ≥ b) Tính limxn DeThiMau.vn 10.Cho dãy số xác định : u1 = ; un +1= un2 + 2 a) Chứng minh rằng: un < n b) Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = un +1= + un a) Chứng minh un < n b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun Giới hạn hàm số *Các phép toán giới hạn hàm số lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) x a x a x 2x x 2 x x x 5x 3x e) lim x 3 x 8x x 2x g) lim x 1 x x x 5x x i) lim x 1 x2 1 2.Tính giới hạn sau: x 5 3 a) lim b) lim x 4 x 0 4x c) lim d) lim 4x2 x a x 2 lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x) x a x a lim f (x) f (x) x a x a g(x) lim g(x) lim x 4 x3 x2 x 1 x 1 x 3x x4 1 f) lim x 1 x x x 3x h) lim x 2 x2 xm 1 k) lim n m,nN x 1 x d) lim 1 x 1 x x e) lim x x 4x x 2 2 x 3 x x 49 f) lim x x 4 1 x c) lim 2x x 2x x h) lim x 3x x 4x x2x x2 x x 1 i) lim j) lim k) lim x 2 x 1 x 1 x 1 x32 4x x a g) lim x 1 lim f (x) lim f (x) x a x a x a *Các định lý giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) L x a x a lim f (x) L x a x a x a f (x) Nếu lim f (x) lim 0 x a x a f (x) s inx x lim 1 lim 1 Định lý 4: x 0 x x sinx sin kx kx lim 1 lim 1 x 0 x kx sin kx *Các dạng vô định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 1.Tính giới hạn sau: x 3x 5x x 3x a) lim b) lim x 1 x 2 x2 x 1 Định lý 3: Nếu lim f (x) lim l) lim x 1 2x 2 x3 x 3x m) lim x x n) lim x 1 x 1 x2 1 x 1 x x 3x o) lim x 1 x 1 3.Tính giới hạn sau: x x5 x3 lim a) lim b) x 2 x 1 x 1 8x 3 8 x 3 x 1 x 1 x4 x c) lim d) lim e) lim x 0 x 0 x x x 5x 1 x 1 10 x x 2 x 10 x lim f) lim g) x 2 x 3 x2 x 9 3 8x 11 x x6 x2 h) lim i) lim x 2 x 2 x 3x x 4 (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) x n nx n g) lim h) lim x 1 x 1 (1 x) (x 1) 4.Tính giới hạn sau: 6x a) lim sin 3x b) lim 5x c) lim sin 4x d) lim cos DeThiMau.vn x 2x x sin x x sin x x 0 x e) lim cos 3x x 0 cos x 3x f) lim cos x cos x 0 h) lim sin x cos x sin x x 2x x g) lim cos x 0 i) lim sin x cos x sin 8x x x j) lim cos x sin x x 0 x2 1 1 sin x cos x 1 l) lim( ) m) lim( x ) tgx x 0 sin x cos x x 0 sin x x 0 cos x cos x cos x cos x n) lim o) lim p) x x 0 x2 sin x sin x cos x cos x 1 sin x cos x q) lim r) lim lim x 0 x 0 tgx tg x x 1 1 x2 k) lim 4.Tính giới hạn sau: tgx s inx cosx a) lim b) lim c) lim x 0 x 0 x s inx x tg x sin 3x x cosx tgx d) lim e) lim(1 cos2x)tgx f) lim x x-/2 x x cot gx 2 tg x 3tgx i) lim x.sin x x x ) cos(x + cosx sin 2x sin 2x j) lim k) lim x 0 x 0 tg x x s inx - cosx - tgx x g) lim x m) lim(cos x+1 cos x ) x 1 x 1 ) x 1 b) lim ( x 2 ( x 1)( x 3x ) x x 4x x2 ) x 4 e) lim ( x x x ) x x 3x x 2x f) lim ( x x ) g) lim x ( x x ) h) lim x ( x x ) c) lim x d) lim x x i) lim ( x 2x x x ) i) lim x b) lim ( x x x 1) x d) lim sin x2 cos 2x c) lim x sin cos x x e) lim x x3 1 x 2x x x x f) lim( x x x ) x g) lim(2x 4x 4x 3) h) lim x x x x x x i) lim(x 3x x ) x j) lim x x x3 1 7.Tìm số a,b để a) lim ( x x ax b) x b) lim ( x x2 1 ax b) = x 1 Tính giới hạn sau: a) lim x x x 2x x x x b) lim x x 3x x 2x Hàm số liên tục 1 b) lim x x 3x x 5x x x x 5.Tính giới hạn sau: x 3x x2 a) lim h) lim l) lim(sin x sin x ) a) lim( 9x x 4x 2x x 2x h) lim x x x 1 x3 x 7x x2 x 1 x2 x 1 j) lim k) lim x x 14x 16x x x x2 1 6.Tính giới hạn hàm số sau j) lim x x x 3x 4x x Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục xo lim f (x) f (x o ) x xo *Hàm số f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm xo (a;b) *Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b] lim f (x) f (a) lim f (x) f (b) x a x b Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn DeThiMau.vn số c (a;b) cho f(c) = Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) 1.Xét liên tục hàm số sau: x + 3x – a) f(x) = x2 + x – b)f(x) = b)f(x) = x2 + x2 + 3x 2.Xét liên tục hàm số sau: x 3x x a) f(x) = xo = 2x x x3 x b) f(x) = x x 11 x xo = x sin x x c) f(x) = x x xo = x 3x x x d) f(x) = xo = x x x2 x e) f(x) = x xo = 1 2x khix x x f) f(x) = xo = x x x 1 cosx x g) f(x) = sin x xo = x 1 2x x h) f(x) = x xo = 1 x 3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0 3x 2x x a) f(x) = x0 = 2x a x x 2x x b) f(x) = x a x x0 = 1 cos4x x x.sin 2x c) f(x) = xo = x a x x 1 x 1 x x x d) f(x) = xo = a x x x 4.Xét liên tục hàm số sau: x 3x x 2 a) f(x) = x 2 1 x x 3x 10 x 4 2x b) f(x) = x2 3x x x x 5.Tìm a để hàm số sau liên tục R 3x x a) f(x) = x ax + x sin(x ) x b) f(x) = cos x x a 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục R DeThiMau.vn sin x x x x a) f(x) = asinx b x b) f(x) = ax b x 2 4 x x x cos x Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = c) x + x + x + 2/3 = d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + = f) cosx – x + = Chứng minh phương trình a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Cho số a,b,c khác Chứng minh phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = Có nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0; ] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh ba số f(0), f(1) ,f(1/2) dấu c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) a b c 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : =0 + + m + m + m m a)Chứng minh af( ) < với a m + b)Cho a > , c < ,chứng minh f(1) > c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b] Chứng minh phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b] 12 Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = 13.Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] , hai số dương f(a) + bf() Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm + [a;b] 14.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo (1;2) xo > 12 DeThiMau.vn ... a g) lim x 1 lim f (x) lim f (x) x a x a x a *Các định lý giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x)... un a) Chứng minh un < n b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun Giới hạn hàm số *Các phép toán giới hạn hàm số lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) x a x a x 2x x 2... x sinx sin kx kx lim 1 lim 1 x 0 x kx sin kx *Các dạng vô định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 1.Tính giới hạn sau: x 3x 5x x 3x a) lim b) lim x 1 x 2 x2 x 1 Định lý