Tài liệu Kỹ thuật Cauchy bất đối pptx

K thut Cauchy bt i Vừ Quc Bỏ Cn - Phm Th Hng Trng i hc Y Dc Cn Th E-mail: can_hang2007@yahoo.com Lắnh vỹc bĐt ng thực l mởt lắnh vỹc ữủc quan tƠm nhiãu nhĐt toĂn sỡ cĐp. Trong õ, cĂc dÔng b i toĂn ối xựng hoc hoĂn v l nhỳng dÔng thữớng gp nhĐt lnh vỹc n y. Trong b i viát trữợc, chúng tổi  giợi thiằu cũng cĂc bÔn k thuêt CYH, mởt k thuêt rĐt hay v mÔnh giÊi quyát cĂc dÔng toĂn n y. ị tững cừa k thuêt l ữa mởt bĐt ng thực hoĂn v (ối xựng) ban Ưu vã mởt bĐt ng thực hoĂn v (ối xựng) khĂc những dạ chựng minh hỡn. Ơy cụng l iãu m mồi ngữới hay l m khi sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz-Holder. Thá những,  bao giớ cĂc bÔn thỷ dũng Cauchy Schwarz-Holder ữa mởt b i toĂn tứ ối xựng sang bĐt ối chữa? ối vợi phƯn ổng cĂc bÔn am mả bĐt ng thực, hƯu hát ãu chữa thỷ qua vợi viằc n y, vẳ nõ l m mĐt tẵnh tẵnh ối xựng cừa b i toĂn (mởt tẵnh chĐt rĐt quan trồng cõ th ữủc ựng dửng giÊi ữủc nhiãu b i toĂn). Tuy nhiản, tỗn tÔi mởt k thuêt nhữ thá, mc dũ ta ữa b i toĂn vã khổng ối xựng nỳa những ta văn cõ th giÊi ữủc b i toĂn, õ l "K thuêt Cauchy bĐt ối". Ơy l mởt tẳm tỏi nhọ cừa chúng tổi vã nhỳng k thuêt sỷ dửng bĐt ng thực kinh in. RĐt mong nhên ữủc sỹ trao ời, õng gõp ỵ kián cừa cĂc bÔn. K thuêt cừa chúng ta ch cõ mởt ỵ tững ỡn giÊn l s-p xáp thự tỹ cừa cĂc bián trữợc. Sau õ ch l sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz-Holder. l m ró cho ỵ tững n y, chúng ta s xt nhỳng vẵ dử sau (bÔn s thĐy l ỵ tững hát sực ỡn giÊn v dạ hiu nản chúng tổi cụng khổng bẳnh luên gẳ thảm mội vẵ dử) Vẵ dử 1 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng (ab + bc + ca) 1 (b + c) 2 + 1 (c + a) 2 + 1 (a + b) 2 9 4 : (Iran 1996, Ji Chen) LI GII. Do tẵnh ối xựng nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ 1 (b + c) 2 + 1 (c + a) 2 1 2 1 a + c + 1 b + c 2 = (a + b + 2c) 2 2(a + c) 2 (b + c) 2 Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc (ab + bc + ca) (a + b + 2c) 2 2(a + c) 2 (b + c) 2 + 1 (a + b) 2 9 4 Tứ Ơy, sỷ dửng tẵnh thuƯn nhĐt, ta hÂy chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab ) 1 4 x c(1 c): BĐt ng thực tr th nh f(x) = x + c + (1 + 2c) 2 (x + c) 2(c + c 2 + x) 2 9 4 0 Ta cõ f 0 (x) = 1 (1 + 2c) 2 (c + x c 2 ) 2(c + c 2 + x) 3 1 www.VNMATH.com The love m akes us stronger 2 f 00 (x) = (1 + 2c) 2 (c 2c 2 + x) (c + c 2 + x) 4 0 Nản f 0 (x) ỗng bián, suy ra f 0 (x) f 0 1 4 = (2c 1)(8c 3 + 20c 2 + 38c + 7) (2c + 1) 4 0 Do õ f(x) nghch bián, vêy nản f(x) f 1 4 = c(1 2c) 2 (1 + 2c) 2 0: BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng. Vẵ dử 2 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng (b + c) 2 a 2 + bc + (c + a) 2 b 2 + ca + (a + b) 2 c 2 + ab 6: (Darij Grinberg) LI GII. Do tẵnh ối xựng nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ (b + c) 2 a 2 + bc + (c + a) 2 b 2 + ca (a + b + 2c) 2 a 2 + b 2 + c(a + b) Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc (a + b) 2 c 2 + ab + (a + b + 2c) 2 a 2 + b 2 + c(a + b) 6 Tứ Ơy, sỷ dửng tẵnh thuƯn nhĐt, ta hÂy chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab ) 1 4 x c(1 c): BĐt ng thực tr th nh 1 x + c 2 + (1 + 2c) 2 1 + c 2x 6 , f(x) = 12x 2 (7 + 2c 16c 2 )x + 1 + c 5c 2 2c 3 + 4c 4 0 Ta cõ f 0 (x) = 24x 7 2c + 16c 2 Xt cĂc trữớng hủp sau Trữớng hủp 1. 16c 2 2c 1 0; khi õ f 0 (x) = 6(4x 1) + 16c 2 2c 1 0 ) f(x) f 1 4 = 1 2 c(1 + 2c)(1 2c) 2 0 Trữớng hủp 2. 8c 2 22c + 7 0; khi õ f 0 (x) = 24x 7 2c + 16c 2 24c(1 c) 7 2c + 16c 2 = (8c 2 22c + 7) 0 ) f(x) f (c(1 c)) = (1 2c) 3 0 Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com The love m akes us stronger 3 Trữớng hủp 3. 16c 2 2c 1 0 8c 2 22c + 7 0 , 5 16 < p 17+1 16 c 11 p 65 8 < 3 8 ; khi õ ta cõ f 0 (x) = 0 , x = 7 + 2c 16c 2 24 Tứ Ơy, ta dạ d ng suy ra f(x) f 7 + 2c 16c 2 24 = 1 48 (1 20c + 20c 2 + 32c 3 + 64c 4 ) = 1 48 g(c) Dạ thĐy g(c) l h m lỗi nản g(c) < max g 5 16 ; g 3 8 = max 1751 1024 ; 47 64 < 0: BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng. Vẵ dử 3 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng 1 b 2 + bc + c 2 + 1 c 2 + ca + a 2 + 1 a 2 + ab + b 2 9 (a + b + c) 2 : (Vasile Cirtoaje) LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta ữủc 1 a 2 + ac + c 2 + 1 b 2 + bc + c 2 (a + b + 2c) 2 (b + c) 2 (a 2 + ac + c 2 ) + (a + c) 2 (b 2 + bc + c 2 ) Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc (a + b + 2c) 2 (b + c) 2 (a 2 + ac + c 2 ) + (a + c) 2 (b 2 + bc + c 2 ) + 1 a 2 + ab + b 2 9 (a + b + c) 2 Do tẵnh thuƯn nhĐt nản ta cõ th chuân hõa cho a + b = 1; t x = ab thẳ ta cõ 1 4 x c(1 c): Khi õ, bĐt ng thực trản tr th nh f(x) = (1 + 2c) 2 2x 2 + 3cx + 2c 4 + 3c 3 + 2c 2 + 1 1 x 9 (1 + c) 2 0 Ta cõ f 0 (x) = (1 + 2c) 2 (3c + 4x) (2x 2 + 3cx + 2c 4 + 3c 3 + 2c 2 ) 2 + 1 (1 x) 2 f 00 (x) = 2(1 + 2c) 2 (12x 2 + 18cx + 5c 2 6c 3 4c 4 ) (2x 2 + 3cx + 2c 4 + 3c 3 + 2c 2 ) 3 + 1 (1 x) 3 M 12x 2 + 18cx + 5c 2 6c 3 4c 4 12c 2 (1 c) 2 + 18c 2 (1 c) + 5c 2 6c 3 4c 4 = c 2 (35 48c + 8c 2 ) 0 do 1 2 c 0 Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com The love m akes us stronger 4 Nản f 00 (x) > 0; suy ra f 0 (x) ỗng bián, do õ f 0 (x) f 0 1 4 = 16 9 64(1 + 3c) (1 + 2c) 2 (1 + 2c + 4c 2 ) 2 16 9 64 (1 + 2c) 2 (1 + 2c + 4c 2 ) 2 = 16 9 1 36 (1 + 2c) 2 (1 + 2c + 4c 2 ) 2 16 9 1 36 (1 + 1) 2 (1 + 1 + 1 2 ) 2 = 0 Suy ra f(x) nghch bián nản f(x) f 1 4 = 8 4c 2 + 2c + 1 + 4 3 9 (1 + c) 2 = (1 2c) 2 (4c 2 + 14c + 1) 3(c + 1) 2 (4c 2 + 2c + 1) 0: BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. Vẵ dử 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng (a + b + c) 1 p a 2 + ab + b 2 + 1 p b 2 + bc + c 2 + 1 p c 2 + ca + a 2 4 + 2 p 3 : (Vó Quốc BĂ Cân) LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Holder, ta ữủc 1 p b 2 + bc + c 2 + 1 p c 2 + ca + a 2 s (a + b + 2c) 3 (a + c) 3 (b 2 + bc + c 2 ) + (b + c) 3 (a 2 + ac + c 2 ) Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc s (a + b + 2c) 3 (a + c) 3 (b 2 + bc + c 2 ) + (b + c) 3 (a 2 + ac + c 2 ) + 1 p a 2 + ab + b 2 2 2 p 3 + 1 p 3(a + b + c) Chuân hõa cho a + b = 1; t x = ab ) 1 4 x c(1 c) thẳ bĐt ng thực tr th nh f(x) = s (1 + 2c) 3 (1 + 4c)x 2 + cx(1 + 3c 2c 2 ) + 2c 5 + 4c 4 + 4c 3 + c 2 + 1 p 1 x 2 2 p 3 + 1 p 3(1 + c) 0 Ta cõ f 0 (x) = [2(1 + 4c)x + c + 3c 2 2c 3 ](1 + 2c) 3=2 2[(1 + 4c)x 2 + cx(1 + 3c 2c 2 ) + 2c 5 + 4c 4 + 4c 3 + c 2 ] 3=2 + 1 2(1 x) 3=2 f 00 (x) = (1 + 2c) 3=2 A 4[(1 + 4c)x 2 + cx(1 + 3c 2c 2 ) + 2c 5 + 4c 4 + 4c 3 + c 2 ] 5=2 + 3 4(1 x) 5=2 vợi A = 8(1 + 4c) 2 x 2 + 8cx(1 + 4c)(1 + 3c 2c 2 ) c 2 (20c 4 + 108c 3 + 65c 2 + 14c + 1) 8c 2 (1 c) 2 (1 + 4c) 2 + 8c 2 (1 c)(1 + 4c)(1 + 3c 2c 2 ) c 2 (20c 4 + 108c 3 + 65c 2 + 14c + 1) = c 2 (172c 4 444c 3 33c 2 + 82c + 15) 0 do 1 2 c 0 Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com The love m akes us stronger 5 Nản f 00 (x) > 0; suy ra f 0 (x) ỗng bián, do õ f 0 (x) f 0 1 4 = 16(2c 2 4c 1) (1 + 2c) 2 (1 + 2c + 4c 2 ) 3=2 + 4 p 3 9 16(2c 2 4c 1) (1 + 2c) 2 (1 + 1 + 1 2 ) 3=2 + 4 p 3 9 = 4 3 p 3 1 + 4(2c 2 4c 1) (1 + 2c) 2 = 4(4c 2 4c 1) p 3(1 + 2c) 2 < 0 Suy ra f(x) nghch bián nản f(x) f 1 4 = 4 p 1 + 2c + 4c 2 + 2 p 3 2 2 p 3 + 1 p 3(1 + c) Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc 4(c + 1) p 4c 2 + 2c + 1 + 2 p 3 (c + 1) 4 + 2 p 3 , 1 p 3 c 2 1 c + 1 p 4c 2 + 2c + 1 , 1 p 3 c 6c 2 4c 2 + 2c + 1 + (c + 1) p 4c 2 + 2c + 1 , 4c 2 + 2c + 1 + (c + 1) p 4c 2 + 2c + 1 6 p 3c Ta cõ p 4c 2 + 2c + 1 c + 1; 6 p 3c 21 2 c Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc 4c 2 + 2c + 1 + (c + 1) 2 21 2 c , 1 2 (1 2c)(4 5c) 0 úng do 1 2 c 0 : BĐt ng thực ữủc chựng minh. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng. Nhên xt. Xem xt lới giÊi n y, nhiãu bÔn s cho rơng lới giÊi quĂ phực tÔp, những trản quan im cĂ nhƠn, chúng tổi cho rơng lới giÊi n y cụng rĐt "ỡn giÊn". BÔn ch cƯn th nh thÔo k thuêt tẵnh toĂn Ôo h m thẳ cõ th dạ d ng l m ữủc b i n y theo k thuêt cừa ta. Vẵ dử 5 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng 2a 2 + 5bc (b + c) 2 + 2b 2 + 5ca (c + a) 2 + 2c 2 + 5ab (a + b) 2 21 4 : (PhÔm Kim Hũng) LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Ta cõ bĐt ng thực tữỡng ữỡng vợi 2a 2 + 5bc (b + c) 2 + 2 + 2b 2 + 5ca (c + a) 2 + 2 + 2c 2 + 5ab (a + b) 2 37 4 , 2(a 2 + b 2 + c 2 ) 1 (a + c) 2 + 1 (b + c) 2 + 9c b (b + c) 2 + a (a + c) 2 + 2c 2 + 5ab (a + b) 2 37 4 Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com The love m akes us stronger 6 Sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ 1 (a + c) 2 + 1 (b + c) 2 1 2 1 a + c + 1 b + c 2 = (a + b + 2c) 2 2(a + c) 2 (b + c) 2 b (b + c) 2 + a (a + c) 2 1 a+c + 1 b+c 2 1 a + 1 b = ab(a + b + 2c) 2 (a + b)(a + c) 2 (b + c) 2 Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc (a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + 2c) 2 (a + c) 2 (b + c) 2 + 9abc(a + b + 2c) 2 (a + b)(a + c) 2 (b + c) 2 + 2c 2 + 5ab (a + b) 2 37 4 Chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab ) 1 4 x c(1 c): BĐt ng thực tr th nh (1 + c 2 2x)(1 + 2c) 2 (c + c 2 + x) 2 + 9cx(1 + 2c) 2 (c + c 2 + x) 2 + 5x + 2c 2 37 4 , f(x) = [1 + c 2 + (9c 2)x](1 + 2c) 2 (c + c 2 + x) 2 + 5x + 2c 2 37 4 0 Ta cõ f 0 (x) = 5 [2 + 2c 5c 2 9c 3 + (9c 2)x](1 + 2c) 2 (1 + c + x) 3 f 00 (x) = 2[3 + 4c 11c 2 18c 3 + (9c 2)x](1 + 2c) 2 (1 + c + x) 4 Náu 9c 2 thẳ ta cõ 3 + 4c 11c 2 18c 3 + (9c 2)x 3 + 4c 11c 2 18c 3 + c(1 c)(9c 2) = 3 + 2c 27c 3 = c 3 3 c 3 + 2 c 2 27 c 3 3 (1=2) 3 + 2 (1=2) 2 27 = 5c 3 0 Náu 2 9c thẳ ta cõ 3 + 4c 11c 2 18c 3 + (9c 2)x 3 + 4c 11c 2 18c 3 + 1 4 (9c 2) = 1 4 (10 + 25c 44c 2 72c 3 ) 1 4 (10 + 3c 72c 3 ) do 1 2 > c = 1 4 c 3 10 c 3 + 3 c 2 72 1 4 c 3 10 (1=2) 3 + 3 (1=2) 2 72 = 5c 3 0 Vêy nản f 00 (x) 0; suy ra f 0 (x) ỗng bián, do õ f 0 (x) f 0 1 4 = (2c 1)(40c 3 + 388c 2 + 414c + 91) (2c + 1) 4 0 Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com The love m akes us stronger 7 Suy ra f(x) nghch bián nản f(x) f 1 4 = 2c(c + 2)(2c 1) 2 (2c + 1) 2 0: BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng. Cuối cũng l mởt số b i têp tỹ luyằn, xin ữủc d nh cho cĂc bÔn B i toĂn 1 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng ab a 2 + b 2 + 3c 2 + bc b 2 + c 2 + 3a 2 + ca c 2 + a 2 + 3b 2 3 5 : (PhÔm Kim Hũng) CHể ị. B i n y cõ ng thực xÊy ra tÔi a = b = c v a = b = 3 2 c nản khĂc vợi cĂc vẵ dử trản. Vêy thẳ ta phÊi l m thá n o Ăp dửng k thuêt n y? CĂc bÔn hÂy thỷ suy nghắ xem nh! B i toĂn 2 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng b + c a 2 + bc + c + a b 2 + ca + a + b c 2 + ab 6 a + b + c : (Vasile Cirtoaje) Xin cÊm ỡn cĂc bÔn  theo dói b i viát n y! Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng www.VNMATH.com . iãu m mồi ngữới hay l m khi sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz-Holder. Thá những,  bao giớ cĂc bÔn thỷ dũng Cauchy Schwarz-Holder ữa mởt b i toĂn tứ ối xựng. K thut Cauchy bt i Vừ Quc Bỏ Cn - Phm Th Hng Trng i hc Y Dc Cn Th E-mail: can_hang2007@yahoo.com Lắnh