Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 2553429

Kú thi häc sinh giái líp 12 – THPT M«n thi : to¸n häc (Thêi gian : 180 - không kể thời gian giao đề) Đề thức Bài 1: ( điểm ) Cho hàm số : y  x   x 1 (C) 1/ Khảo sát hàm số 2/ Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến diểm tạo với đường tiƯm cËn mét tam gi¸c cã chu vi nhá nhÊt Bài 2: (2 điểm ) 1 Biện luận theo m số nghiệm dương phương trình :  t  dt  m  x  t Bài 3: (2 điểm ) Giải phương trình : x   x  x   x  x  x x Bài 4: (2 điểm ) Tìm giá trị thực m để phương trình sau có nghiệm x 0;  :  4 4  6m Sin x  32m  1Sinx  2m  2Sin xCosx 4m 3Cosx Bài 5: (2 điểm ) Tìm tam giác ABC có B = 2A ba cạnh có số đo ba số nguyên liên tiếp Bài 6: (2 điểm ) Tìm đa thức Px có bậc lớn thoả mÃn hệ ®iỊu kiƯn sau :    x   x  P' '  x   x x  P'  x   12 P x   ; x  R    P  27  Bµi 7: (2 ®iĨm )  3Cos x log    y   Gi¶i hÖ sau :  2 2 y  y    y  3  Bµi 8: (2 điểm ) Hai hình chóp tam giác có chung chiều cao , đỉnh hình chóp trùng với tâm đáy hình chóp Mỗi cạnh bên hình chóp cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên l hình chóp thứ tạo với đường cao góc Cạnh bên hình chóp thứ tạo với đường cao góc Tìm thể tích phần chung hai hình chóp Bài 9: (2điểm ) Cho sè thùc a, b, c  chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau : Log b  c a  Log c  a b  Log a b c  Họ tên thÝ sinh : Sè báo danh DeThiMau.vn Lời giải chi tiết biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Bài 1 Lời giải chi tiết §iÓm a) TX§ : D = R b) Sù biÕn thiªn:  CBT: y '    ; y’ = cã nghiÖm x = ; x = x  12 HS ®ång biÕn ;0 ; 2; nghịch biến khoảng 0;1; 1;2 điểm Cực trị : Cực đại x =0 y CD Cực tiểu x=2 y CT Nhánh vô cực tiệm cận: Tiệm cận đứng x = 1; tiệm cận xiên y = x+1 Lim y  ; Lim y   x   x    BBT :  o x y’ + - ‖ - + y c) Đồ thị : Đồ thị qua gốc toạ độ O=(0;0) Tâm ®èi xøng I=( 1;2 ) ®iÓm y O -1 x 1 a2  a 1 a 1 a2 a  2a x  a  PTTT ( C ) M là: y  y a   y ' a  x  a   y  a 1 a  12 (d) TiƯm cËn ®øng x = ; TiƯm cËn xiªn y = x + Gäi M  a; y a   C ; a  th× y a   a   DeThiMau.vn 0.5 điểm Giao điểm tiệm cận I=( ; )  2a  Giao ®iĨm cđa d víi tiƯm cËn ®øng x = lµ A  1;   a 1 Víi tiệm cận xiên : B 2a 1;2a  Ta cã AI  ; BI  2 a  , nªn AI BI  a > a Lại có AIB   0.5 ®iĨm suy AB  AI  BI  AI BICos   AI  BI  AI BI Theo bất đẳng thức C« si : AB  AI BI  AI BI   AI BI     AB  2  (1) Đặt p chu vi tam giác ABI :    p  AB  AI  BI  AB  AI BI  2 44 Dấu đẳng thức x¶y  AI  BI  a   VËy Minp  2   44  a   1   Hay điểm cần tìm M ;2    2   Bài 0.5 điểm 0.5 điểm x x x t2  1  1 Ta cã   t  dt   tdt   dt    Ln t   x  ln x  t t 2 1 1 1 PT đà cho tương đương víi x  ln x  m (1) Số nghiệm dương PT số giao điểm đường thẳng y = m đồ thị hàm số f x x ln x với hoành độ dương XÐt hµm sè : f  x   x  ln x trªn 0;  Đạo hàm y ' x ; y '   x  1 x Lim y  Lim y   x x   0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm x 0 BBT  x  o y’ | o + y |  DeThiMau.vn  Từ BBT ta : +/ Với m PT vô nghiệm +/ Với m PT có nghiệm dương x = +/ Víi m  th× phương trình có nghiệm dương phân biệt Bài 0.5 điểm ĐK : x Đặt a   x ; b   x ; c   x Ta cã x   a   b   c  ab  bc  ca 3  a  ab  bc  ca a  b c  a     Do ®ã 4  b  ab  bc  ca  b  c a  b   5  c  ab  bc  ca c  a b  c     Nh©n vế với vế PT ta a b b  c c  a   15 ( * )  15 a  b   15  Thay lÇn lượt phương trình hệ vào PT ( * ) sÏ cã : b  c   c  a  15   Céng vế phương trình hệ, có PT thay PT hệ vào PT vừa có.Ta nghiệm phương trình đà cho là: 671 x 240 Bài 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm điểm Nhận thấy Cosx=0 không thoả mÃn PT , chia vế cho Cos x ta phương trình : tgx  1tg x  2mtgx  4m Đặt tgx = t , ta cã PT : t  1t  2mt  4m  3  (1) Để PT đà cho có nghiệm x 0; PT (1) phải có nghiệm t   4 Do PT (1) lu«n cã nghiƯm t  1 0;1 nªn PT t  2mt  4m   ChØ cã nghiệm t = nghiệm thuộc đoạn [ ; ] t2 3 m §Ĩ ý r»ng t = không thoả mÃn Do f t 2t  XÐt f(t) trªn [0;1] ta cã : DeThiMau.vn 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 1  t  4t     0; t  0;1 f ' t     t  2  m 1 LËp b¶ng biến thiên từ BBT ta : m Bài điểm Ta chứng minh bổ đề: Điều kiện cần đủ để tam giác ABC cã B= 2A lµ b  a  ac (1) Thật vậy: Theo định lý CôSin tam giác Bài b a c  2acCosB  a  ac  c  2aCosB  a  c  a  2aCosB áp dụng định lý Sin, ta RSinC RSinA  RSinACosB  SinC  SinA  Sin A  B   Sin A  B   SinA  SinB  A Do ®ã B = 2A vµ  A, B   Vì cạnh số nguyên liên tiếp nên với x N * a < b, ta có trường hợp sau : a) Nếu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi từ (1) ta x=1 suy a=1,b=2,c=3 Không thoả mÃn tính chất cạnh tam gi¸c b) NÕu a=x,b=x+2,c=x+1 : Tõ (1) ta cã PT x  x   Suy a=4,b=6,c=5 ( tho¶ m·n ) c) NÕu a=x+1,b=x+2,c=x : Tương tự x x , PT nghiệm nguyên dương nên không thoả mÃn Vậy có tam giác thoả mÃn tam giác có độ dài cạnh : a = 4,b = 6,c =5 Giả sử đa thức cần tìm là: Px a n x n  a n 1 x n 1   a1 x  a0 ; a n  P'  x   na n x n 1  n  1a n 1 x n    2a x  a1 P' '  x   nn  1a n x n   n  1n  a n 1 x n 3   2a Từ yêu cầu , ta có điều kiện cần : Hệ số luỹ thừa bậc (n + 1) phải mà hệ số nn 1a n 2na n  nn  3a n L¹i a n  0; n  nªn nn  3a n   n  Do vËy đa thức phải có dạng P x a3 x  a x  a1 x  a ; a3  Thay ®a thøc vào điều kiện (1) : 12a3 2a x  8a  24a3  2a1 x  8a1  8a  48a3 x  12a0  16a  0; x  6a  a   a  6a 4a  12a  a      a1  12a3  a1  a  6a3   a  8a   3a  4a  Nªn P x   a3 x  x  12 x Mặt khác P1 27 ; Suy 27 a3  27  a3   ®iÓm ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 điểm Vậy đa thức cần tìm : P x   x  x  12 x  DeThiMau.vn Bµi Víi x  R ta cã   y    3Cos x  Log  2 Log  Log  2  ( y  4) y (1) Đẳng thức x¶y  Cos x   Cosx   x    k ; k  Z (2) Với điều kiện (1) / y / / y  /  ( y  3)  trë thµnh : y  y   5  y  , kÕt hỵp víi (1) ta cã y = - (3) Kết hợp (1);(2) (3) ta có nghiệm hệ đà cho : x   k ; k  Z  y Bài 0.5 điểm Đặt hình chóp tam giác : O.ABC O.ABC với O tâm tam giác ABC O tâm tam giác ABC Theo OO đường cao chung hình chóp Đặt D,E,F giao điểm cặp cạnh bên tương ứng hình chóp Phần thể tích chung hình chóp thẻ tích cđa khèi ®a diƯn OO' C vuông O nên OO' l cos Do tính đối xứng nên OO qua tâm I cña DEF Trong IOE ta cã : OI  IE cot g ®iĨm 0.5 ®iĨm 0.5 điểm 0.5 điểm ODEFO Ký hiệu V thể tích V OO'.S DEF Trong IO' E cã: O' I  IE cot g OO' l cos   cot g  cot g cot g  cot g Tam gi¸c DEF ®Ịu , ®­êng cao EJ  EI 2 DE EJ DiÖn tÝch S DEF  víi DE   EI 3 3l cos  Do ®ã S DEF  4(cot g  cot g ) l 3 cos  VËy thĨ tÝch phÇn chung hình chóp : V 4(cot g  cot g ) Suy OO'  IE (cot g  cot g )  IE  DeThiMau.vn 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm C' A' O 0.5 ®iĨm B' D I F E C A O' B Bµi Log a Log b Log c    (1) Log b  c  Log c  a  Log a  b  1 Do a.b.c  nªn    a  b  ab ,t­¬ng tù ta : a b b c bc & c  a  ac Log a Log b Log c 2x 2y 2z Khi ®ã VT 1       (2) Log bc Log ca Log ab y  z z  x x  y Víi x  Log a; y  Log b; z  Log c 2x 2y 2z Ta chøng minh:    3; x, y, z  yz zx x y  2x   2y    2z               x y yz  zx Bất đẳng thức 1     2 x  y  z .    x y y z z x áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái , ta điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy x; y; z   Log a  Log b  Log c  abc2  abc2 x  y  z  Chó ý : Nếu thí sinh có lời giải theo cách khác mà cho điểm theo biểu điểm DeThiMau.vn điểm 0.5 điểm 0.5 ®iĨm ... giải chi tiết biểu điểm đề thi học sinh giỏi toán khối 12 Bài ý Bài 1 Lời giải chi tiết Điểm a) TXĐ : D = R b) Sù biÕn thi? ?n:  CBT: y '    ; y’ = cã nghiÖm x = ; x = x  12 HS đồng biến ;0... Thay đa thức vào điều kiện (1) : 12a3  2a x  8a  24a3  2a1 x  8a1  8a  48a3 x  12a0  16a  0; x  6a  a   a  6a 4a  12a  a      a1  12a3  a1  a  6a3   a  8a... trªn [0;1] ta cã : DeThiMau.vn 0.5 ®iĨm 0.5 ®iĨm 1  t  4t     0; t  0;1 f ' t     t  2  m Lập bảng biến thi? ?n từ BBT ta : m Bài điểm Ta chứng minh bổ đề: Điều kiện cần