ĐỀ THI CUAR TRƯƠNG QUANG AN DẠY KÈM 01208127776 CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 2015, biết x 3 2 3 2 ; y 17 12 17 12 b) Chứng minh rằng: 1 10 2 2015 Bài 2: Giải phương trình sau: a) 2x 1 12 x x b) x y với x; y Q Bài 3: Tìm đường thẳng y = x + điểm có tọa độ thỏa mãn đẳng thức y 2015 y x 2014 x Bài 4: Cho ABC (AB = AC) Vẽ đường trịn có tâm O nằm BC tiếp xúc với cạnh AB, AC D, E Gọi I điểm chuyển động cung nhỏ DE (I khác D E) Tiếp tuyến đường tròn I cắt cạnh AB, AC tương ứng M, N a) Chứng minh rằng: Chu vi tam giác AMN không đổi b) Chứng minh hệ thức 4.BM CN BC c) Xác định vị trí điểm I cung nhỏ DE để AMN có diện tích lớn Bài 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = biểu thức: S = 2015 Tìm giá trị nhỏ 2016 2016 2016 x 2016 y 1005 Ghi chú: Thí sinh khơng sử dụng máy tính ThuVienDeThi.com Lời giải tóm tắt Bài Điểm a) Ta có x3 = + 3x x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y y3 – 3y = 34 Do P = + 34 + 1972 = 2012 1 + + + 50 1 1 Ta có S > + + + = 50 = (1) 50 50 50 50 2 2 2 Mặt khác: 1= < ; ; ; = 1 2 2 50 50 50 49 Cộng vế theo vế có: 2 S< 1 2 50 49 S < 2{( ) ( 1) ( 50 49 ) }= 50 =10 (2) b) Đặt S = + 6.0 điểm Từ (1) (2) < S < 10 (đpcm) a) Đk: x ≤ -1 x ≥ Ta có 2x 1 12 x x x x x x 2 x x x x Đặt 2 x x t , có: t2 - 3t + = t = t = Với t = 1: x2 – x – = x2 – x – = x1,2 13 (tm) Với t = 2: x2 – x – = x2 – x – = x3 2; x4 (tm) Vậy phương trình cho có nghiệm b) ĐK: x > y ≥ Bình phương hai vế ta có: 4.0 điểm x y 3xy x y 3xy (*) Nếu x + y – ≠ từ (*) suy xy x y Do VP x y x y xy x y 2 (*) số hữu tỉ cịn VT số vơ tỉ Vơ lý Vậy x + y – = Từ (*) suy : x y 2 x x y xy y 2 xy ĐK: x ≥ Giả sử điểm (x0; y0) thuộc đường thẳng y = x + thỏa mãn y y x x Khi đó, ta có: y0 y0 x0 x0 y0 y0 x0 y0 x0 x0 y0 y0 x0 x0 y0 x0 y0 x0 2.0 y0 x0 y0 x0 y0 x0 Thay vào y = x + tìm x0 = 1; y0 = thỏa mãn ThuVienDeThi.com điểm a) AD = AE; IM = ID; IN = IE (t/c tiếp tuyến A cắt nhau) Chứng minh chu vi 2AD không đổi M N I B = C = (1800 - A)/2 Suy BMO, OMN CON đồng dạng với suy E D B b) Ta có MON = (1800 - A)/2; O BM BO BC BM CN BO.CO CO CN BM CN BC C c) Ta có SAMN lớn SBMNC bé Ta có: S BMNC SOBM SOMN SOCN 6.0 R BM MN CN ( R: bán kính đường trịn) điểm 1 BM MI NI CN R BM MD NE CN R 2 R 2 BM BD 2CN CE R BM CN BD BD CE R; BD không đổi S BMNC nhỏ BM + CN nhỏ Mặt khác ta có BM CN BM CN R Dấu “=” xảy BM = CN Hay BM + CN bé 2R BM = CN = R MN // BC hay I trung điểm cung nhỏ DE Vậy SAMN lớn I trung điểm cung nhỏ DE Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho số 2010 x , y ; ta có: x 2010 y 2010 2011 2010 y .T x y x x 2012 2010 y 2010 y x 20112 2012 2011.1006 T 2010 2011 1005 2011.1006 2010 S 1005 1005 2010 1.1006 2010 2010 1006 1 1006 2011 1005 1005 1005 1005 2010 2010 x x 2010 y x 2010 y y x 2012 Dấu xảy 2011 x y 2011 x y y 2012 2012 2012 2010 x 2012 Vậy giá trị nhỏ S 2011 1005 y 2012 ThuVienDeThi.com 2.0 điểm Vì trình độ có hạn dạy núi khơng có điều kiện nghiên cứu trình độ cơng nghệ thơng tin cịn hạn chế ,cơng tác xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân học xong hệ Cao Đẳng Sư Phạm dạy hợp đồng cho trường núi , mức tiền 15000 đồng /tiết dạy nên viết chưa hoàn thiện tốt Mong đồng nghiệp góp ý đề viết tốt Xin mời bạn giải toán sau với nhiều cách giải Mong nhận lời giải bạn đọc tạp chí tốn tuổi trẻ để học hỏi giao lưu Đối với tơi tốn giải 13 cách Các bạn nghiên cứu thêm cách giải khác thân tìm thêm cách giải Người u tốn Quảng Ngãi Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An ThuVienDeThi.com ... dạy nên viết chưa hồn thi? ??n tốt Mong đồng nghiệp góp ý đề viết tốt Xin mời bạn giải toán sau với nhiều cách giải Mong nhận lời giải bạn đọc tạp chí tốn tuổi trẻ để tơi học hỏi giao lưu Đối với... P = + 34 + 197 2 = 2012 1 + + + 50 1 1 Ta có S > + + + = 50 = (1) 50 50 50 50 2 2 2 Mặt khác: 1= < ; ; ; = 1 2 2 50 50 50 49 Cộng vế theo vế có: 2 S< 1 2 50 49 S < 2{( ... ThuVienDeThi.com 2.0 điểm Vì trình độ có hạn dạy núi khơng có điều kiện nghiên cứu trình độ cơng nghệ thơng tin cịn hạn chế ,cơng tác xã nghèo ,ít tiếp cận với mạng INTERNET ,bản thân học xong