2 Bài toán của Xem Lôi Đơ (Sam Loyd)49982

2 Bài tốn Xem Lơi-đơ (Sam Loyd) Samuel Loyd tác giả biên soạn câu đố tiếng Mỹ Câu đố/Bài tốn ơng tinh tế, đòi hỏi người giải vận dụng khả tư nhạy bén Xin giới thiệu toán hay khó ơng để bạn tham khảo Bài 1: Làng có thầy giáo tài lập dị Ông mở Sam Loyd, Mĩ, (1841 - 1911) lớp học định thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi khác nhau, đồng thời trao phần thưởng cho học sinh nam học sinh nữ vào ngày tổng số tuổi bên họ lớn bên lần - Ngày đầu tiên, lớp có nam sinh nữ sinh Tuổi cậu bé gấp đôi tuổi cô bé nên phần thưởng hơm thuộc cậu bé - Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo bạn gái đến trường Hôm tổng tuổi bạn gái gấp đôi tuổi cậu bé Hai cô bé nhận thưởng chia - Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo anh em đến trường Số tuổi hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi hai bạn gái Phần thưởng thuộc cậu bé - Hôm sau nữa, chị gái hai nữ sinh đến trường Tuổi họ lại gấp đôi tuổi hai anh em nam snh nên cô gái giành phần thưởng Câu hỏi Samuel Loyd đưa là: Cậu bé tuổi, biết chị gái hai nữ sinh tham gia lớp học vào ngày trịn 21 tuổi? Giải Cách 1: (Đây cách lập phương trình thường áp dụng củ HS phổ thông) Gọi A số tuổi cô bé đầu tiên; B số tuổi cậu bé Gọi C số tuổi Nữ sinh thứ 2; D số tuổi Nam thứ Theo đề thì: Ngày 1: 2A = B [1] Ngày : A + C = 2B Kết hợp [1]  (A +C) = 4A  C = A [2] ThuVienDeThi.com Ngày : 2× ( A+C)= B+D Kết hợp [1] & [2]  B + D = A [3] Ngày : A+ C + 21= × (B+D)  16 A = A + 21  12 A = 21  A = 21/12 = 1,75  Vậy tính B = Cách 2: (Đây cách giải bất ngờ thú vị) Cậu bé ngày tuổi 364 ngày, cô bé tuổi 363 ngày ( 2=2x1) Hôm sau cậu bé tuổi, cô bé dẫn theo bạn gái tuổi ( tổng tuổi, cậu bé tuổi) Hôm thứ cậu bé dẫn anh trai 11 tuổi (tổng 14 tuổi) bé trịn tuổi ( tổng tuổi) Hôm thứ tư cô bé dẫn chị 21 tuổi ( tổng 28 tuổi), tổng tuổi cậu bé 14 tuổi Tuy nhiên, kết không thực tế với H S Việt Nam, bé gái chưa đầy tuổi bé trai - 3,5 tuổi học (!?).Ở Việt Nam chẳng tính tuổi có số lẻ thập phân Khơng biết có cách giải hay không ? Thao phải tăng số tuổi nhân vật lên cho hợp lí Chẳng hạn cho nhân vật thứ năm = 35 tuổi xin mạn phép ơng Lyod sửa đoạn cuối Đề toán sau: “…Một lớp học thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi khác nhau, định trao phần thưởng cho học sinh nam học sinh nữ vào ngày tổng số tuổi bên lớn bên lần - Ngày đầu tiên, lớp có nam sinh nữ sinh Tuổi cậu bé gấp đơi tuổi bé nên phần thưởng hơm thuộc cậu bé - Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo bạn gái đến trường Hôm tổng tuổi bạn gái gấp đôi tuổi cậu bé Hai cô bé nhận thưởng chia - Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo anh em đến trường Số tuổi hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi hai bạn gái Phần thưởng thuộc cậu bé Hôm thứ tư, mẹ cô gái đến trường…biét bà mẹ 35 tuổi, Hỏi cậu bé hôm tuổi ?” Theo cách giải thứ hai (t ín ) ta có giải : H S Nam H S nữ So sánh Ngày thứ B (6T+363 ng ày) A (3T+364 ngày) B=2 A Ngày thứ B (6 T + 364 ngày) A(4T)+C(8T+363 ngày) A + C = 2B Ngày thứ B(7) T + D (17T) A(4T)+C(8T+364 ngày) B = 2(A +C) Ngày thứ B + D (cộng 24 T) A(4T)+C(9T) + E(35) 2B= A+C+35 ThuVienDeThi.com Bài thứ hai Một điều chủ muốn cắt từ mảnh đất hình chữ nhật dải đất có chiều rộng khơng đổi dọc theo bốn bờ mảnh đất (phần xanh hình bên) cho diện tích phần cắt diện tích phần cịn lại Trong sách mình, Xem Lơi-đơ đưa cách làm người điền chủ (nhưng không chứng minh): Lấy nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu trừ đường chéo nó, chia cho 4, chiều rộng dải đất cắt Hãy chứng tỏ cách làm Giải * Chứng minh theo phương pháp đại số Gọi a & b kích thước hình chữ nhật, x chiều rộng dải đất cân chia Theo đề ta có PT 1/2 ab = (a – 2x)(b – 2x)  8x2 – 4( a + b) x + ab =0 Giải PT bậc với ∆’ = 4( a2 + b2) > nhận nghiệm Thay ta có (ĐPCM) * Chứng minh hình học a/ Hình ban đầu hình vng Diện tích S1 = a2 Hình cịn lại S2 = ½ S1 = ½ a2  Cạnh hình vng S1  Cạnh hình vuông S2  ThuVienDeThi.com Nếu thay x = ¼(2a – vào cơng thức Loyd ta có )  (ĐPCM) Xem hình b/ Hình chữ nhật Với a, b, d có số đo “Bộ số Pytagor” ta chứng minh hình Chẳng hạn a = m ; b= m ; d = 10 m Thay b = 3/4a vào công thức Loyd ta có x = ½( a – b)  x = * Trường hơp tổng quát CM PT đại số PHH sưu tầm tư liệu & biên soạn bà giải 12/ 2015 ThuVienDeThi.com ...Ngày : 2? ? ( A+C)= B+D Kết hợp [1] & [2]  B + D = A [3] Ngày : A+ C + 21 = × (B+D)  16 A = A + 21  12 A = 21  A = 21 / 12 = 1,75  Vậy tính B = Cách 2: (Đây cách giải bất ngờ... PT 1 /2 ab = (a – 2x)(b – 2x)  8x2 – 4( a + b) x + ab =0 Giải PT bậc với ∆’ = 4( a2 + b2) > nhận nghiệm Thay ta có (ĐPCM) * Chứng minh hình học a/ Hình ban đầu hình vng Diện tích S1 = a2 Hình... (3T+364 ngày) B =2 A Ngày thứ B (6 T + 364 ngày) A(4T)+C(8T+363 ngày) A + C = 2B Ngày thứ B(7) T + D (17T) A(4T)+C(8T+364 ngày) B = 2( A +C) Ngày thứ B + D (cộng 24 T) A(4T)+C(9T) + E(35) 2B= A+C+35