Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn Toán lớp 9 THCS47742

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀLẠT TRƯỜNG PTCS PHAN CHU TRINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG LỚP THCS Năm học 2006-2007 Đề Thi Môn : TOÁN Ngày thi: 16/11/2006 (Phần Số Học Và Đại Số) Bài 1(4đ) 1) Chứng minh với số tự nhiên n ta có 2.7n + bội 2) Số 19k +5k +1995k +1996k với k số chẵn có phải số phương không? Vì sao? Bài 2(4đ) 1) Phân tích thành nhân tử: a3 +b3 +c3 -3abc 1 2) Cho    vaø abc ≠ Chứng minh biểu thức: a b c bc ac ab M    không phụ thuộc vào a,b,c a b c Bài (4đ) 1) Cho: 1 1 A     1 2 3 120  121 1 B  1   35 Hãy so sánh A B 3) Cho a, b, c số đo ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1    2(   ) với p nửa chu vi tam giác p a p b p c a b c Bài (8đ): 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao BE AD Gọi H trực tâm G trọng tâm tam giác ABC AD a) Chứng minh : tgB.tgC = HD b) Chứng tỏ HG//BC  tgB.tgC = 2) Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ đường thẳng cắt đường thẳng AC, AB, BC M,N,K Chứng minh raèng : a) DM = MN MK DM DM  1 b) DN DK  Heát DeThiMau.vn  HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07 (Phần Số Học Và Đại Số) Bài 1(4đ) 1) ฀ 1(mod 3) =>7n ฀ (mod 3) =>2.7n ฀ (mod 3) =>2.7n +1 ฀ (mod 3)฀ 0(mod 3) =>2.7n +1 = 3k=> 2.7n +1 bội 2) 19 ฀ -1(mod 4)=>19k ฀ (-1)k (mod 4) 19k ฀ 1(mod 4) (do k chaün) ฀ 1(mod 4)=> 5k ฀ 1(mod 4) 1995 ฀ -1(mod 4)=>1995k ฀ (-1)k (mod 4) 1995k ฀ 1(mod 4) (do k chaün) 1996 ฀ (mod 4)=> 1996k฀ 0(mod4) =>19k +5k +1995k +1996k ฀ 3(mod 4) 19k +5k +1995k +1996k = 4k+3 (kZ) =>19k +5k +1995k +1996k khoâng thể số phương Bài 2(4đ): 1) a3 +b3 +c3 -3abc = =(a3+3a2b+3ab2+b3) +c3 (3abc+3a2b+3ab2) =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(a+b+c) (a  b)  (a  b)c  c  3ab  0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) 2) Theo câu a ta có a+b+c = a3 +b3 +c3 -3abc = 0=> a3 +b3 +c3 = 3abc áp dụng kết qủa neáu 1 1 1        a b c a b c abc ta coù: bc ac ba abc abc abc M 2 2    a b c a b c 1  abc(   )  abc  3(abc  0) a b c abc =>Kết luận 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 Bài 3(4đ) 1 A    1 2 3  120  121  1     120  121  121   10 1   B  1 35 2     2 2 35 2     1 2 35  35 1  B  2(    1 2 35  36 B  2(6  1)  10 Vaäy B >A 1 2) Chứng minh :   x y x y p dụng bđt ta có: 1 4    p a p b 2p a b c 1 4    p b p c 2p bc a 1 4    p c p a 2p ca b 1 1 1 2(   )  4(   ) p a p b p c a b c 1 1 1    2(   ) p a p b p c a b c (Hoïc sinh chứng minh cách khác, cho điểm tối đa) 0.25 DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.75 0.5 0.25 Bài (8đ): 1) a) tìm tgB= AD AD ,tgC= BD CD AD BD.CD BDH ฀ ADC  BD.CD  AD.DH AD =>tgB.tgC= DH AM b) cm :  ( M trung điểm GM BC)  ADM có HG//BC  HG // DM AM AH   GM HD   tgB.tgC => tgB.tgC= (nếu học sinh chứng minh hai chiều chiều thứ 0.75đ, chiều ngược lại 0,75đ) 2) a) cmđược MD AM MD CM (1), (2)   MK MC MN MA MD DM MA CM   MK MN MC MA MD  MK MN Từ (1) => MK MC MK MC    MK  MD AM  MC KD AM  MC (1') Từ (2)=> MD MC MD MC    MN  MD AM  MC ND AM  MC (2 ') MK DM  DK DN DM DM MK DM DK      1 DN DK DK DK DK Từ (1’,2’) => DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 4)=>19k ฀ (-1)k (mod 4) 19k ฀ 1(mod 4) (do k chaün) ฀ 1(mod 4)=> 5k ฀ 1(mod 4) 199 5 ฀ -1(mod 4)=> 199 5k ฀ (-1)k (mod 4) 199 5k ฀ 1(mod 4) (do k chaün) 199 6 ฀ (mod 4)=> 199 6k฀ 0(mod4) =>19k +5k + 199 5k... k chaün) 199 6 ฀ (mod 4)=> 199 6k฀ 0(mod4) =>19k +5k + 199 5k + 199 6k ฀ 3(mod 4) 19k +5k + 199 5k + 199 6k = 4k+3 (kZ) =>19k +5k + 199 5k + 199 6k số phương Bài 2(4đ): 1) a3 +b3 +c3 -3abc = =(a3+3a2b+3ab2+b3)... ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG NĂM HỌC 06-07 (Phần Số Học Và Đại Số) Bài 1(4ñ) 1) ฀ 1(mod 3) =>7n ฀ (mod 3) =>2.7n ฀ (mod 3) =>2.7n +1 ฀ (mod 3)฀ 0(mod 3) =>2.7n +1 = 3k=> 2.7n +1 bội 2) 19