Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 347021

®Ị thi häc sinh giái líp 12 – b¶ng b Môn: Toán Bài 1:(2đ) Xét chiều biến thiên hàm sè: y  x  x  x  Bài 2:(2đ) Parabol: y x2 chia hình tròn x  y  lµm phần Tính diện tích phần Bài 3:(2đ) Tìm m để phương trình x4 ( 2m+3)x2 + m + = cã nghiÖm x1, x2, x3, x4 tho¶ m·n : -2 < x1 < -1 < x2 < < x3 < < x4 < Bài 4:(2đ) Giải bất phương trình: x 3 x   x  Bài 5:(2đ) Giải phương trình: cos x cos x   sin x  3 sin x Bài 6:(2đ) Biết tồn x để cạnh ABC thoả mÃn: a = x2 + x + 1; b = 2x + 1; c = x2 – Hái ABC cã đặc điểm gì? 3x Bài 7:(2đ) Tính Lim  x  x    2x Bài 8:(2đ) Giải hệ phương trình: log x  log y  log z    log y  log z  log x  log z  log x  log y  16 16  Bài 9:(2đ) Cho mặt cầu (C) tâm O, bán kính R n điểm không gian: A1, A2 ., An Với điểm M thuộc mặt cầu (C) người ta dùng ®iĨm N     cho: MN  MA1  MA2   MAn Tìm tập hợp điểm N M thay đổi  a2  b2  a  b 2 c  d  c  d  Bµi 10:(2đ) Biết số a,b,c,d thoả mÃn: Chứng minh: a  c 2  b  d 2 2 DeThiMau.vn đáp án hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng B Môn : Toán Điể Nội dung m Bài (2đ) x2  x 1   x  x    x vi x  x   x  R  x  x  x    x  x  §k:  x      x 1 x     x  x   x   x   x0  0.5 Tập xác định hàm số R Ta cã: y’ = 0.5 x  x   2x  x  x  x  x  x  2  2 x  12   x  x  x  x  x  x  2  2x   2x  0 0.75 x  x  x  x  x  2 Hàm số đồng biến toàn tập xác định R 0.25 Đường tròn có b¸n kÝnh: R=  2 y 0.5 (2đ) Diện tích hình tròn là: S = R (đvdt) A Gọi diện tích phần gạch chéo S1, phần lại S2 Cần tính S1.Phương trình ®­êng trßn: x2 + y2 =  y =  8 x -2 B O x §­êng tròn Parabol cắt điểmA, B có toạ độ nghiệm hệ: x2 x  y  y  0  x  2  y     2 y2 y  2y    x  y   x2  0.5 x3 S1 = 2   x  dx  2  x dx 0 đặt x = 2 sin t  dx  2 cos tdt cËn x 02 thµnh cËn t 04 0.5 DeThiMau.vn   S1       4 8 8  sin t 2 cos tdt   16  cos tdt   8 (1  cos 2t )dt  2  (®vdt) 3 3 0 0.5 4   S  S  S1  8   2    6  ( ®vdt) 3 Txđ phương trình : R 2 (*) (2đ) Đặt x = X , ta có phương trình: f(X) = X ( 2m+3).X + m + = để phương trình đà cho cã nghiƯm ph©n biƯt x1 < x2 < x3 < x4 phương trình (*) có hai nghiệm thoả mÃn: < X1 < X2 Khi x1   X ; x   X ; x3  < X ; x4  X Do ®ã: -2 X >  > X2 > > X1 >   af (1)   m3  m     af (0)    m    m  5 af (4)   m   m     kh«ng tån m thoả mÃn toán X1 < 0.5 0.5 Giải bất phương trình : (x-3) x   x  Tx® :R   0.5 Bpt : x  3 x   x               x3      x3  x   2   x3   x   x  6x      x3 x 4  x3   x3        x   x3  x  3    x3 x 4  x3   x3       x3   x  3   2     x   x  x    x    DeThiMau.vn 1.0   x3 5    x  3  x    ; 3; Đây tập nghiệm bấtt phương trình x   (2®) cos x    2k  x   2k , k  z  sin x  §k:  áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: VF = 0.5 0.5 2 sin x   sin x 0.5 áp dụng Bđt Bunhiacôpxki cho vế trái ta được: cos x cos x    3   VT  12  12  để phương trình có nghiệm VT=VF = 0.5 3 2   sin x  sin x sin x   x    2k    cos x   cos x  cos x    3  0.5 k z họ nghiệm phương trình Để a, b, c cạnh ABC: a = x2 + x + 1; b= 2x+1; c = x2 điều kiện cần 0.5 là: x  1 ( x  x  1)  (2 x  1)  x   x  3   1     2 ( x  x  1)  ( x  1)  x   2 x  x     x    ;   1;   x  2  ( x  1)  (2 x  1)  x  x    x   x 1   1.0 Víi ®iỊu kiƯn x>1, tõ giả thiết toán ta kiểm tra thấy: a2 = b2 + c2 +bc Theo định lý hàm số c«sin ta cã: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA => 0.5 cosA= (2đ) Ta có đặt 2 mµ < A <  => A = VËy ABC cã gãc A = 3  3x      3x   2x    1    3x   2x 6t   th× 6t = 3x-1  x  Khi x   th× t   t 3x  DeThiMau.vn 0.5 0.5 3x   Khi ®ã lim  x  x    2x  1  lim1   t   t 4t  t     1   1   lim1    1    = e4 t   t    t   0.5 0.5 t   1 v×  lim t    e; lim1    1 t   t  t   t (2đ) Đk: x > 0; y > 0; z > Khi ®ã hƯ phương trình tương đương với: 1 log x  log y  log z  log ( x yz )    1  log y  log z  log x   log ( y xz )  2  log ( z xy )  1  log z  log x  log y   2  x yz   x yz  (1)   2  y zx    y xz  (2)  z xy  16  z xy  16 (3)   0.5 Nh©n (1), (2), (3) vÕ víi vÕ ta x2y2z2 = 4.9.16 x.y.z=24 0.5 x (2®) 0.5  42  ; 24  y  27 16 32  ; z2   24 24  MN  MA1  MA2   MAn   0.5  (1)        MO  OA1  MO  OA2   MO  OAn  n MO  OA1   OAn    0.5  Gäi tæng: OA1  OA2   OAn  OK ( §iĨm K hoàn toàn xác định tuỳ thuộc vào cách cho hƯ ®iĨm A1, A2, A3, , An)          Khi ®ã: (1)  MO  ON  n MO  OK  ON  OK  (n  1) MO  KN  (n  1) MO  0.5 0.5   KN  (n  1) MO  (n  1).R (n 2) 0.5 Tập hợp điểm N mặt cầu tâm K, bán kính (n-1)R Trên mặt phẳng toạ độ xét điểm : (2đ) M(a,b) N(c,d) Tõ gi¶ thiÕt ta cã: 10 DeThiMau.vn y 0.5 M 2  (a  )  (b  )   1 (c  )  (d  )  2  1/2 1 2 2 , vµ N n»m đường tròn tâm K ( , ) , bán kính R= 1/2 -1 M nằm đường tròn tâm I ( , ) bán kính R= M1 -1/2 1/2 0.5 1/2 1/2 1 x K N1 -1 N 0.5 Nèi IK cắt đường tròn giao điểm xa nhÊt M1 vµ N1  MN M1N1 =2 M  ( I , R); N  ( K , R)  (a  c)  (b  d ) 2 (đpcm) Tài liệu tham khảo: Bài 1,7,9: Sách luyện giảng môn Toán tập Bài : Sách tuyển chọn ôn luyện môn Toán Tập Bài : Sách luyện giảng tập Bài 4, : Sách luyện giảng môn Toán - tập Bài : Sách phương pháp giải toán lượng giác Bai : Sách tuyển chọn «n lun m«n To¸n – TËp DeThiMau.vn 0.5 ... Sách luyện giảng môn Toán tập Bài : Sách tuyển chọn ôn luyện môn Toán Tập Bài : Sách luyện giảng tập Bài 4, : Sách luyện giảng môn Toán - tập Bài : Sách phương pháp giải toán lượng giác Bai...®¸p ¸n h­íng dÉn chÊm ®Ị thi häc sinh giái lớp 12 Bảng B Môn : Toán Điể Nội dung m Bài (2đ) x2 x   x  x    x vi x  x   x  R  x... môn Toán - tập Bài : Sách phương pháp giải toán lượng giác Bai : Sách tuyển chọn ôn luyện môn Toán – TËp DeThiMau.vn 0.5