ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN SỐ 57 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG ( Cho tất thí sinh ) Câu I ( điểm ) Cho hàm số : y x x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A MN 2 Câu II ( điểm ) 2 1) Giải phương trình : tan x tan x 3sin x 2) Giải hệ phương trình với x, y x y x y y 2 2 y x y xy x x xy y y Câu III ( điểm ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y 2x 1 (C ) , trục hoành tiếp tuyến (C) x 1 giao điểm (C) với trục tung Câu IV ( điểm ) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB , tam giác SCD vng cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V ( điểm ) Chứng mimh với a 0, b 0, c 1 1 1 3 a b c b 2c c 2a a 2b II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh làm hai phần A B ) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B 2;1 , điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ( xC ) góc BAC 30o ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định toạ độ điểm A C 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z điểm A(1;1;2) Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Oyz) lập phương trình mặt phẳng qua d cách A khoảng Câu VIIa ( điểm ) z 3i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho w số thực zi B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x y x y điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d qua A, gọi B, C giao điểm đường thẳng d với (C) Lập phương trình d cho AB AC nhỏ 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x y z x y z cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VIIb ( điểm ) Tìm tất số thưc để bất phương trình : log x log x 2cos có nghiệm x Hết DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 57 Câu I (2 điểm)1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y x x Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3x - Giới hạn: lim y = - Ơ lim y = + Ơ ; xđ - ¥ Cho y ¢= Û 3x - = Û x = , x = - xđ + Ơ Hm s B trờn cỏc khong (- ¥ ; - 1); (1; + ¥ ) , NB khoảng (- 1;1) Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1tại x CD = - , đạt cực tiểu yCT = –3 x CT = BBT x – y¢ –1 + Điểm uốn: I (0; - 1) vì: – +¥ + +Ơ y y ÂÂ= 6x = x = Þ y = - Giao điểm với trục hồnh:khơng có nghiệm ngun Bảng giá trị x - 1 y - -3 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A MN 2 Nhận xét: đường thẳng d qua A khơng có hệ số góc tức x = cắt (C) nhiếu điểm không thỏa u cầu tốn Do d phải có hệ số góc Vì x A nên y A suy phương trình d có dạng y k x Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: x x (3 k ) x 2k ( x 2)( x x k 1) x x k (*) Để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N (*) có nghiệm phân biệt, x1 ,x2 ; MN 2 Theo vi ét x1 , x2 2; x1 x2 k Ta có : 2 2 MN x2 x1 x2 x1 k k 1 x2 x1 k 1 x2 x1 x1 x2 Hay k 1 1 k k k k (thoả yêu càu toán ).Vậy d có pt : y x 2 Câu II( điểm)1) Giải phương trình : tan x tan x 3sin x Điều kiện cos x 1 tan x 3sin x cos2 x 2sin x 3sin x sin x ;sin x 2 tan x 5 so sánh đ/k chọn sin x x k 2 ; x k 2 k 2) Giải hệ phương trình với x, y 6 Phương trình viết lại 3sin x x y x y y 2 2 y x y xy x x xy y y Từ phương trình (2) ta có đ/k : x y , y 1 2 y2 y y2 DeThiMau.vn x y 1 x y x y Xét hàm số f t t t t liên tuc 0; có f / t t t 1 t 2t t 2 t Suy hàm số nghịch biến 0; nên f y f x y x y 2 t t Thay vào (1) ta có y x x 1 y x Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2) Câu III(1 điểm)3 /Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y 2x 1 (C ) , trục hoành, tiếp x 1 tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung viết pt tt : y x nêu miếng lấy diện tích 1 x2 x2 x ln x x = 0 1 x 1 S x 1 dx x 1 dx x 0 2 Câu IV(1 điểm )Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh 2a , tam giác SAB , tam giác SCD vuông cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Ta có diện tích đáy hình vng ABCD : S =4 a2 Gọi E , F trung điểm AB CD Tam giác SAB nên đường cao 2a SE a Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a Do ta có tam giác SEF vng S (vì EF SE SF ) Trong tam giác SEF kẻ SH vng góc EF H 1 1 2 Ta có SH vng góc mp(ABCD) 2 SH SE SF 3a a 3a a a 2a 1 SH Vậy V S ( ABCD).SH 4a ( đvt 3 Câu V(1 điểm) CMR với a > 0; b> 0; c > ln 1 1 1 3 a b c b 2c c 2a a 2b 1 a 2b a b a 2b + Với a > 0, b > 0, c >0 Giải : ta có: a 2b (1) 1 (2) Từ (1) a 2 b a b b nên b b b a b a 2 b a a 3 (2) ta có: (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) a b a 2b 1 1 1 3 Áp dụng (3) ta có: ( đpcm) a b c b 2c c 2a a 2b + Do dấu " " xẩy a b c Câu VIa(2 điểm) 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B 2;1 , điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc trục hồnh ( xC ) góc BAC 30o ; bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC độ A C DeThiMau.vn Xác định toạ Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có BC R sin 30o BC c 1 c , c 4 (loai ) Suy C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vng góc điểm B Oy ta có tam giác BHA nửa tam giác Nên BA =2 BH HA = A(0;1 3) A(0;1 3) 2 Vậy có A(0;1 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) A(0;1 3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P : x y z điểm A(1;1;2) Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Oyz) Lập phương trình mặt phẳng qua d cách A khoảng Phương trình mp(Oyz): x = ; ) B (0;0;1), C (0, 1; 1) thuộc d , phương trình mặt phẳng có dạng : ax by cz d ( a b c ) Do qua B, C nên : c d d c pt ax + (- 2c)y +cz - c = b c d b 2c a 2c 2c c d ( A, ) a c a 5c ac 2c 2 2 a 4c c Nếu c = 0, chọn a = b 0, d pt x = Nếu a= - 2c chọn c = a= - 2d = -1 , b= - pt : - 2x - 2y + z - = Câu VII a( điểm)Tìm tập hợp z 3i số thưc Gọi z a bi (a, b ) zi a (b 3)i a (b 1)i điểm biểu diễn số phức z cho w w a (b 3)i a (b 1)i a (b 1) a (a 2) (b 3)(b 1) a (b 3) (a 2)(b 1) i a (b 1) a (b 3) (a 2)(b 1) 2a b a a b 1 b 1 số thưc : Vậy tập hợp đường thẳng x y trừ điểm M(0 ; - 1) Câu VIb.(2 điểm)1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x y x y điểm A(1;3) ; Gọi B, C giao đường thẳng d qua A với (C).Lập phương trình d cho AB AC nhỏ Tâm đường tròn I (3; 1), R 2; IA d ( I , A) R nên điểm A nằm ngồi (C) Ta có PA/( C ) AB.AC = d2 R2 = 16 ; AB AC AB AC 2.4 dấu “=”xẩy AB = AC = Khi d tiếp tuyến (C), d có dạng a ( x 1) b( y 3) ax by a 3b Từ ta có d ( I , d ) 3a b a 3a a b 2 b chọn 4a 3b 3b 4ab Vậy phương trình d : x , x y 15 b b a a 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x y z x y z cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 (S) : x 1 y z 1 có tâm w(1;2;1) bán kính R = (S) cắt Ox, Oy, Oz A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) Gọi I tâm đường trịn (A,B,C) I giao điểm d qua w vng góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC) x 2t 2 Giải hệ x y z y t ta t suy z 2t 16 I ( ; ; ) r = IA = 9 2 5 16 2 9 9 Câu VIIb (1 điểm)Tìm tất giá trị để bất phương trình : log x log x 2cos có nghiệm x Với x ; Bpt tương đương với log x 2cos (1) log x DeThiMau.vn mặt khác log x nên theo Cơsi ta có: log x 2 log x (2) Từ (1) (2) ta có x : bpt VT = VP = cos 1 k 2 (k ) bất phương trình có nghiệm log x = x Vậy k 2 ( k ) DeThiMau.vn ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 57 Câu I (2 điểm)1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số : y x x Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3x - Giới hạn:... y2 y y2 DeThiMau.vn x y 1 x y x y Xét hàm số f t t t t liên tuc 0; có f / t t t 1 t 2t t 2 t Suy hàm số nghịch biến 0;... trị x - 1 y - -3 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A MN 2 Nhận xét: đường thẳng d qua A khơng có hệ số góc tức x = cắt (C) nhiếu