Đề thi thử đại học môn toán số 57 năm học 2013 2014 thời gian làm bài: 180 phút46947

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN SỐ 57 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG ( Cho tất thí sinh ) Câu I ( điểm ) Cho hàm số : y  x  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A  MN  2 Câu II ( điểm )   2 1) Giải phương trình : tan x   tan x   3sin x    2) Giải hệ phương trình với x, y  ฀  x y  x  y  y    2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Câu III ( điểm ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y  2x 1 (C ) , trục hoành tiếp tuyến (C) x 1 giao điểm (C) với trục tung Câu IV ( điểm ) Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB , tam giác SCD vng cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V ( điểm ) Chứng mimh với a  0, b  0, c  1 1 1      3    a b c b  2c c  2a   a  2b II PHẦN TỰ CHỌN ( Thí sinh làm hai phần A B ) A Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B  2;1 , điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox ฀ ( xC  ) góc BAC  30o ; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định toạ độ điểm A C 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A(1;1;2) Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Oyz) lập phương trình mặt phẳng   qua d cách A khoảng Câu VIIa ( điểm ) z  3i  Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho w  số thực zi B Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( điểm ) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  : x  y  x  y   điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d qua A, gọi B, C giao điểm đường thẳng d với (C) Lập phương trình d cho AB  AC nhỏ 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x  y  z  x  y  z  cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu VIIb ( điểm ) Tìm tất số thưc  để bất phương trình : log x  log x  2cos  có nghiệm x  Hết DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 57 Câu I (2 điểm)1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y  x  x  Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3x - Giới hạn: lim y = - Ơ lim y = + Ơ ; xđ - ¥ Cho y ¢= Û 3x - = Û x = , x = - xđ + Ơ Hm s B trờn cỏc khong (- ¥ ; - 1); (1; + ¥ ) , NB khoảng (- 1;1) Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1tại x CD = - , đạt cực tiểu yCT = –3 x CT = BBT x – y¢ –1 + Điểm uốn: I (0; - 1) vì: – +¥ + +Ơ y y ÂÂ= 6x = x = Þ y = - Giao điểm với trục hồnh:khơng có nghiệm ngun Bảng giá trị x - 1 y - -3 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A  MN  2 Nhận xét: đường thẳng d qua A khơng có hệ số góc tức x = cắt (C) nhiếu điểm không thỏa u cầu tốn Do d phải có hệ số góc Vì x A  nên y A  suy phương trình d có dạng y  k  x    Phương trình hồnh độ giao điểm d (C) là: x   x  (3  k ) x  2k    ( x  2)( x  x  k  1)     x  x  k   (*) Để d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N  (*) có nghiệm phân biệt, x1 ,x2  ; MN  2 Theo vi ét x1 , x2  2; x1 x2   k Ta có : 2 2  MN   x2  x1    x2  x1  k   k  1  x2  x1    k  1  x2  x1   x1 x2    Hay   k  1   1  k    k  k    k  (thoả yêu càu toán ).Vậy d có pt : y  x    2 Câu II( điểm)1) Giải phương trình : tan x   tan x   3sin x    Điều kiện cos x  1  tan x   3sin x  cos2 x  2sin x  3sin x    sin x  ;sin x  2  tan x  5 so sánh đ/k chọn sin x   x   k 2 ; x   k 2  k  ฀  2) Giải hệ phương trình với x, y  ฀ 6 Phương trình viết lại  3sin x   x y  x  y  y    2 2  y   x  y  xy  x  x  xy  y   y Từ phương trình (2) ta có đ/k : x  y , y  1  2 y2   y  y2  DeThiMau.vn  x  y 1  x  y   x  y Xét hàm số f  t   t   t  t liên tuc  0;  có f /  t   t t 1  t  2t    t  2   t  Suy hàm số nghịch biến  0;  nên f  y   f  x  y   x  y 2 t  t   Thay vào (1) ta có  y    x  x  1   y   x  Vậy hệ có nghiệm (x ;y) = (4 ; 2) Câu III(1 điểm)3 /Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số : y  2x 1 (C ) , trục hoành, tiếp x 1 tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung viết pt tt : y   x  nêu miếng lấy diện tích 1  x2   x2      x  ln x       x  =  0  1 x  1  S     x  1  dx     x  1 dx x   0 2 Câu IV(1 điểm )Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh 2a , tam giác SAB , tam giác SCD vuông cân đỉnh S Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Ta có diện tích đáy hình vng ABCD : S =4 a2 Gọi E , F trung điểm AB CD Tam giác SAB nên đường cao 2a SE  a Tam giác SCD vuông cân đỉnh S nên đường cao SF = a Do ta có tam giác SEF vng S (vì EF  SE  SF ) Trong tam giác SEF kẻ SH vng góc EF H 1 1    2  Ta có SH vng góc mp(ABCD) 2 SH SE SF 3a a 3a a a 2a 1  SH  Vậy V  S ( ABCD).SH  4a ( đvt  3 Câu V(1 điểm) CMR với a > 0; b> 0; c > ln  1 1 1     3   a b c b  2c c  2a  a  2b 1   a  2b   a  b  a  2b      + Với a > 0, b > 0, c >0 Giải : ta có:   a  2b  (1)    1         (2) Từ (1)  a 2 b   a  b  b  nên b b b a b a 2 b  a  a 3   (2) ta có: (3) (Với a > 0; b> 0; c > 0) a b a  2b 1 1 1      3   Áp dụng (3) ta có:  ( đpcm) a b c b  2c c  2a   a  2b + Do  dấu "  " xẩy a  b  c Câu VIa(2 điểm) 1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B  2;1 , điểm A thuộc Oy, điểm C ฀ thuộc trục hồnh ( xC  ) góc BAC  30o ; bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC độ A C DeThiMau.vn Xác định toạ Gọi C(c;0) ; A(0;a) ; ta có BC  R sin 30o   BC    c      1   c  , c  4 (loai ) Suy C(0 ;0) trùng với điểm O Gọi H hình chiếu vng góc điểm B Oy ta có tam giác BHA nửa tam giác Nên BA =2 BH HA =  A(0;1  3) A(0;1  3) 2 Vậy có A(0;1  3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) A(0;1  3) , B(-2 ;1) , C(0 ;0) 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm A(1;1;2) Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Oyz) Lập phương trình mặt phẳng   qua d cách A khoảng Phương trình mp(Oyz): x = ; ) B (0;0;1), C (0, 1; 1) thuộc d , phương trình mặt phẳng   có dạng : ax  by  cz  d  ( a  b  c  ) Do   qua B, C nên : c  d   d  c   pt   ax + (- 2c)y +cz - c =  b  c  d  b  2c a  2c  2c  c d ( A, )     a  c  a  5c   ac  2c 2 2 a  4c  c Nếu c = 0, chọn a =  b  0, d      pt   x = Nếu a= - 2c chọn c = a= - 2d = -1 , b= - pt   : - 2x - 2y + z - = Câu VII a( điểm)Tìm tập hợp z  3i  số thưc Gọi z  a  bi (a, b  ฀ ) zi  a   (b  3)i   a  (b  1)i  điểm biểu diễn số phức z cho w  w  a   (b  3)i  a  (b  1)i a  (b  1) a (a  2)  (b  3)(b  1)   a (b  3)  (a  2)(b  1)  i a  (b  1) a (b  3)  (a  2)(b  1)  2a  b       a   a       b  1   b  1 số thưc : Vậy tập hợp đường thẳng x  y   trừ điểm M(0 ; - 1) Câu VIb.(2 điểm)1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  : x  y  x  y   điểm A(1;3) ; Gọi B, C giao đường thẳng d qua A với (C).Lập phương trình d cho AB  AC nhỏ Tâm đường tròn I (3; 1), R  2; IA   d ( I , A)  R  nên điểm A nằm ngồi (C) Ta có PA/( C )  AB.AC = d2 R2 = 16 ; AB  AC  AB AC  2.4  dấu “=”xẩy  AB = AC = Khi d tiếp tuyến (C), d có dạng a ( x  1)  b( y  3)   ax  by  a  3b  Từ ta có d ( I , d )   3a  b  a  3a a b 2 b  chọn  4a  3b   3b  4ab   Vậy phương trình d : x  , x  y  15  b  b    a  a  2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x  y  z  x  y  z  cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C khác O Tìm tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 (S) :  x  1   y     z  1  có tâm w(1;2;1) bán kính R = (S) cắt Ox, Oy, Oz A(2;0;0), B(0;4;0), C( 0;0;2) Gọi I tâm đường trịn (A,B,C) I giao điểm d qua w vng góc mp(ABC),và mp(ABC); Ptmp(ABC)  x   2t 2  Giải hệ x  y  z    y   t ta t  suy  z   2t  16 I ( ; ; ) r = IA = 9 2 5   16      2        9    9 Câu VIIb (1 điểm)Tìm tất giá trị   ฀ để bất phương trình : log x  log x  2cos  có nghiệm x  Với x  ; Bpt tương đương với log x   2cos    ฀ (1) log x DeThiMau.vn mặt khác log x  nên theo Cơsi ta có: log x  2 log x (2) Từ (1) (2) ta có  x  : bpt  VT = VP =  cos   1      k 2 (k  ฀ ) bất phương trình có nghiệm log x =  x  Vậy     k 2 ( k  ฀ ) DeThiMau.vn ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 57 Câu I (2 điểm)1) Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị (C) hàm số : y  x  x  Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ¢= 3x - Giới hạn:... y2   y  y2  DeThiMau.vn  x  y 1  x  y   x  y Xét hàm số f  t   t   t  t liên tuc  0;  có f /  t   t t 1  t  2t    t  2   t  Suy hàm số nghịch biến  0;... trị x - 1 y - -3 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên 2) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho x A  MN  2 Nhận xét: đường thẳng d qua A khơng có hệ số góc tức x = cắt (C) nhiếu