PHÒNG GD-ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học : 2014 - 2015 Môn : TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) C©u ( 2,5 ®iĨm ) : Cho biĨu thøc P = x x a) Tìm điều kiện x để P xác định x x x3 x x 1 b) Rót gän P c) Tìm x P = Câu ( 2,5 điểm ) : Tìm tất ba sè thùc x, y, z tho¶: x 2014 34 x 2014 y 2015 z 2016 y 2015 z 2016 C©u ( 2,5 ®iĨm ) : Cho T 12n , víi n N Chứng minh rằng, T số tự nhiên T số phương Câu ( 2,5 ®iĨm ) : Cho đường trịn (O, R) điểm A với OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E, F tiếp điểm) Đường thẳng OA cắt (O) C D (O nằm A C) a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R b) Từ O vẽ đường thẳng vng góc với OE cắt AF M Tính tỷ số diện tích hai tam giác OAM OFM c) Đường thẳng kẻ từ D vng góc với OE cắt EC Q Chứng minh đường thẳng AC, EF QM đồng qui -HẾT ThuVienDeThi.com UBND THỊ Xà BA ĐỒN PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃNĂM HỌC 2014 2015 Môn: TỐN * Đáp án trình bày lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết, rõ ràng * Trong câu, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần câu nói chung phân chia đến 0.25 điểm Đối với điểm thành phần 0.5 điểm tùy tổ giám khảo thống để chiết thành 0.25 điểm * Học sinh khơng vẽ hình Câu cho điểm Câu Trường hợp học sinh có vẽ hình, vẽ sai ý cho điểm ý * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tùy theo mức điểm câu * Điểm toàn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất câu Câu Nội dung Điểm P = x x 1 x3 x x 1 x x 1 x x x a) Ta ph¶i cã : x 1 x x 1 x x 1 b) P = = x x 1 x 1 x x x x = x 1 x x 1 x x x( x 1) = 1 x 1 x x 1 x 1 x x = x - x 1 x x 1 = c) Víi x > 1: P = x - x = x - - x = x 1( x 2) x = x 1 x - = x = ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Ta cã: x 2014 y 2015 x 2014 z 2016 34 x 2014 y 2015 z 2016 + x 2014 + y 2015 + y 2015 + z 2016 z 2016 = 34 + 0.5 (1) Víi ®iỊu kiƯn: x > 2014, y > 2015, z > 2016, theo Cauchy: x 2014 y 2015 y 2016 Suy ra: z 2016 + x 2014 12 (2) 0.25 + y 2015 (3) 0.25 + y 2016 10 (4) 0.25 x 2014 12 + x 2014 + + z 2016 y 2015 34 + y 2015 + (5) Nh thÕ (1) xảy chØ dÊu đẳng thức (5) xảy ra, khi dấu đẳng thức (2),(3),(4) đồng thời xảy ra, chØ khi: x 2014 x 2015 2014 x 4 y 2015 y 2015 y 2015 z 2017 z 2016 z 2016 Tríc hÕt nhËn xÐt r»ng : Nếu tÝch cđa hai sè nguyªn tè số phương số số phương Nếu T số tự nhiên 12n2 + số phương lẻ 0.5 0.25 0.5 0.5 0.25 Giả sö : 12n2 + = (2k - 1)2 ; k N 12n 2k 1 4k k 1 k hc (k - 1) ThuVienDeThi.com 0.5 k k XÐt trêng hỵp k3 , ta cã : n (k 1) Do vµ k - 3 k số nguyên tố cïng nhau, nªn : k -1 a , b ; a, b N a2 3b2 0.5 3b2 Suy : = - Điều vô lí ! (Vì - chia cho d 2, b N , a2 chia hết cho chia cho dư 1, a N ) Víi trêng hỵp (k - 1) Khi ®ã : k -1 n k (k 1) k Do k vµ 0.25 (k - 1) hai số nguyên tố nhau, nên : k 1 kc , d ; c, d N 0.25 Khi ®ã : T = + 2(2k - 1) = 4k = 4c2 = (2c)2 số phương (đ.p.c.m) 0.25 E Q A D I O M F ThuVienDeThi.com C 0.25 a)Ta có AE = AF (t/c tiếp tuyến) OE = OF = R nên OA đường trung trực đoạn thẳng EF Gọi I giao điểm AC EF I OA EF IE = IF OEA có OEA = 900 (t/c tiếp tuyến) EI OA OE R R nên OE = OI OA OI OA R OIE có OIE = 900 nên EI2 = OE2 - OI2 R 3R 3.R = R2 EI 4 EF = 2EI = R AC = AO + OC = 2R + R = 3R SAECF = 1 3 R AC EF = 3R R = 2 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 = OAE b)Ta có OM // AE (cùng OE) nên MOA = OAM = OAM mà OAE Do MOA Suy OMA cân M MO = MA SOAM AM OM = SOFM FM FM cos OMF mà OMF = EAF = 2EAO OE R EAO 300 sin EAO = OA R S 1 2 Do OMF = 600 nên OAM = = SOFM cos600 c) Ta có: EDFO hình bình hành (có đường chéo cắt trung điểm đường), nên : DE //= OF, đó: EDO DOF Vì: DQ // MO (cùng vng góc OE) nên: QDO DOM Từ suy ra: EDQ MOF Mặt khác: tam giác DEC có EO 0.25 0.25 0.25 0.25 DC nên tam giác vng, đó: EDQ 900 OFM Từ ta có: EDQ FOM (g.c.g), suy QD = OM Do đó: QDMO hình bình hành Suy QM DO giao trung điểm đường R Mà I trung điểm OD (OI = ID = ) Nên I trung điểm QM Vậy AC, EF QM đồng quy I ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 0.25 0.25 ThuVienDeThi.com ... PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃNĂM HỌC 2014 2015 Mơn: TỐN * Đáp án trình bày lời giải cho câu Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt... - = x = ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Ta cã: x 2014 y 2015 x 2014 z 2016 34 x 2014 y 2015 z 2016 + x 2014 + y 2015 + y 2015 + z 2016 z... kiƯn: x > 2014, y > 2015, z > 2016, theo Cauchy: x 2014 y 2015 y 2016 Suy ra: z 2016 + x 2014 12 (2) 0.25 + y 2015 (3) 0.25 + y 2016 10 (4) 0.25 x 2014 12 + x 2014 + +