Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Đề số Câu 1: (2đ) Rút gän biÓu thøc : A = 2 12 18 128 C©u 2: (2đ) Giải phương trình : x2 +3x +1 = (x+3) x Câu 3: (2 đ) Giải hệ phương trình 2 x y xy 3 x y x 3y Câu 4: (2đ) Cho PT bËc hai Èn x : X2 - (m-1) x + m2 - 3m + = c/m : PT cã nghiƯm vµ chØ m Gäi x1 , x2 lµ nghiƯm cđa PT c/m x1 x2 x1 x2 Câu 6: (2đ) : Cho parabol y = x đườn thẳng (d) : y = x a/ VÏ (P) vµ (d)trên hệ trục toạ độ b/ Gọi A,B giao điểm (P) (d) hệ toạ trục toạ độ Oxy Tìm M AB (P) cho SMAB lớn Câu 7: (2đ) a/ c/m : Víi sè d¬ng a 1 th× 1 1 a b/ TÝnh S = a 1 1 a a 1 1 1 1 2 2 2006 2007 C©u ( điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) ( O’,AO) , Trªn (O’) lÊy M ( M ≠ A, M O ) Tia OM cắt (O) C Gọi D giao điểm thứ hai CA víi (O’) a/ Chøng minh r»ng tam gi¸c AMD cân b/ Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E Xác định vị trí tương đối đương thẳng EA (O) (O) c/ Đường thẳng AM cắt OD H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng d/ Tại vị trí M cho ME // AB h·y tÝnh OM theo a C©u ( điểm ): Cho tam giác có số đo đường cao số nguyên , bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác Đề Số Trường THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Câu1 (6 điểm): a) Chứng minh biểu thức: A= x ( x 6) x - (x - x + 3) (2 - x ) - 10 x - 2x - 12 x- x - không phụ thuộc vào x b) Chøng minh nÕu a, b, c vµ a', b', c' độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng thì: aa'+ bb'+ cc'= (a + b + c) (a' + b' + c') c) TÝnh: B = 17 + 28 16 Câu2 (4 điểm): Giải phương trình: a) 10 x3 - 17 x2 - x + = b) x2 - x + 1+ x2 + 12 x + 9= C©u3 (2 điểm): Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > Câu (2 điểm): Chứng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Câu (6 điểm): Cho điểm M nằm đường tròn (O), đường kính AB Dựng đường tròn (M) tiếp xúc với AB Qua A B, kẻ tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn (M) a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng b) Chứng minh AC + BD không đổi c) Tìm vị trí điểm M cho AC BD lín nhÊt §Ị sè (2 điểm) Bài 1: Trường THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Chứng minh: 3 -1 = 3 + 9 (2 điểm) Bài 2: Cho 4a + b = ab (2a > b > 0) TÝnh sè trÞ biĨu thøc: M = ab 4b b 2 (2 điểm) Bài 3: Chứng minh: a, b nghiệm phương trình: x2 + px + = c,d nghiệm phương trình: x2 + qx + = th× ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 p2 (2 điểm) Bài 4: Giải toán cách lập phương trình Tuổi anh em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi anh, em (2 điểm) Bài 5: Giải phương trình: x4 + x 2006 = 2006 (2 điểm) Bài 6: Trong hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 VÏ (P) T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P) Chøng tá (d) qua điểm cố định A (P) (2 điểm) Bài 7: Cho biểu thức A = x – xy + 3y - x + Tìm giá trị nhỏ mà A đạt (4 điểm) Bài 8: Trường THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Cho hai đường tròn (O) (O) Kẻ tiếp tuyến chung ngoµi AB vµ tiÕp tuyÕn chung EF, A,E (O); B, F (O’) a Gäi M lµ giao điểm AB EF Chứng minh: AOM ∾ ∆ BMO’ b Chøng minh: AE BF c Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh: O,N,O thẳng hàng (2 điểm) Bài 9: Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thước d góc nhọn đường chéo đề số Trêng THCS Thä Léc – Thä Xu©n DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Câu 1(2đ) : Giải PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, x x x x = Câu 2(2đ): a, Thực phép tính : 13 100 53 90 b, Rót gän biÓu thøc : B= a2 b2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Víi a + b + c = Câu 3(3đ) : a, Chứng minh : 1 1 10 2 50 b, T×m GTNN cña P = x2 + y2+ z2 BiÕt x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đưa em từ giải nhì lên giải số giải nhì gấp đôi giải Nếu giảm số giải xuống giải nhì giải số giải 1/4 số giải nhì Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải Câu (4đ): Cho ABC : Gãc A = 900 Trªn AC lÊy ®iĨm D VÏ CE BD a, Chøng minh r»ng : ABD ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE tứ giác nội tiếp c, Chứng minh FD BC (F = BA CE) d, Gãc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a TÝnh AC, đường cao AH ABC bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đường tròn (O,R) điểm F nằm đường tròn (O) AB A'B' dây cung vuông góc với F a, Chứng minh r»ng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh r»ng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gọi I trung điểm AA' TÝnh OI2 + IF2 ®Ị sè Trêng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Câu1: Cho hàm số: y = x x + x x a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ y giá trị x tương ứng c.Với giá trị x y Câu2: Giải phương trình: a 12 x x = b 3x 18 x 28 + x 24 x 45 = -5 – x2 + 6x c x 2x x3 + x-1 C©u3: Rót gän biĨu thøc: a A = ( -1) 2 12 18 128 bB= 1 + 22 + + 2006 2005 2005 2006 + 2007 2006 2006 2007 Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M bên hình vẽ thoả mÃn MAB=MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên hình vẽ a Tính góc AMN Chøng minh MD=MN b Chøng minh tam gi¸c MCD Câu5: Cho hình chóp SABC có SA SB; SA SC; SB SC BiÕt SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính Vhchóptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhÊt ®Ị sè Trêng THCS Thä Léc – Thä Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Câu 1(2đ) Cho x = 75 Tính giá trị biểu thức : Câu 2(2đ) : Cho ph©n thøc : B= A = x3 + 3x – 14 x x x x 3x x 2x Tìm giá trị x để B = Rút gọn B Câu 3(2đ) : Cho phương trình : x2 + px + = cã hai nghiƯm lµ a b phương trình : x2 + qx + = cã hai nghiƯm lµ b vµ c Chøng minh hÖ thøc : (b-a)(b-c) = pq – mx y 10 m (1) (m tham số) Câu 4(2đ) : Cho hệ phương trình : (2) x my Giải biện luận hệ theo m Với giá trị số nguyên m hệ có nghiệm (x,y) với x, y số nguyên dương Câu 5(2đ) : Giải phương trình : x x x 10 x Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có đường cao có phương trình : y = -x + y = 3x + Đỉnh A có toạ độ (2;4) HÃy lập phương trình cạnh tam giác ABC Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trước x,y>0 thay đổi cho : a b Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ x y Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 900) có ®êng cao AH Gäi trung ®iĨm cđa BH lµ P Trung điểm AH Q Chứng minh : AP CQ Câu 9(3đ) : Cho đường tròn (O) đường kính AB Một điểm M thay đổi đường tròn ( M khác A, B) Dựng đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn tâm M a) Chøng minh CD lµ tiÕp tun cđa (O) b) Chứng minh tổng AC+BD không đổi Từ tính giá trị lớn AC.BD c) Lờy điểm N có định (O) Gọi I trung điểm cuả MN, P hình chiếu I MB Tính quỹ tích P Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác S.ABC có mặt tam giác ®Ịu Gäi O lµ trung ®iĨm ®êng cao SH cđa h×nh chãp Chøng minh r»ng : AOB = BOC = COA = 900 §Ị sè Trêng THCS Thä Léc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Bài 1(2 ®iĨm) TÝnh sè trÞ cđa biĨu thøc: A = (1,2345) +(0,7655) - (1,2345) (0,7655) +4,938.3,062 Bµi 2(2 ®iĨm) TÝnh: (1,2345) (0,7655) 2006 2006 2006 2006 )(1 + )(1 + ) (1 + ) 2007 B= 2007 2007 2007 2007 (1 + )(1 + )(1 + ) (1 + ) 2006 (1 + Bài 3(2 điểm) Giải phương trình: 1 1 + = + 2 2 x - (a + 1) x - (a + 1) (x + a ) - (x + 1) - a ( a lµ h»ng sè) Bài 4(2điểm) Có thùng đựng nước Lần thứ ngêi ta ®ỉ ë thïng I sang hai thïng số nước số nước thùng có lúc Lần thứ hai người ta đổ thùng II sang hai thùng gấp đôi số nước thùng có lúc Lần thứ ba người ta ®æ ë thïng III sang hai thïng mét sè nước số nước thùng có lúc Cuối thùng có 24 lít nước Tính số lít nước thùng lúc đầu Bài 5(2điểm) Giải phương trình: ( x + x + x - 2) = x - x - x + Bài 6(2điểm) Đồ thị hàm số: y = a x ®i qua ®iĨm A( -2; -2) a, Xác định hệ số a b, Ngoài điểm A, parabol y = a x có điểm cách hai trục toạ độ? Bài 7(2điểm) Tìm số nguyên x, y, z thoả mÃn bất đẳng thức: x + y + z < xy + 3y + z - Bài 8(2điểm) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ ®êng cao AH Gäi P lµ trung ®iĨm cđa BH Q trung điểm AH 1, Chứng minh hai tam giác ABP CAQ đồng dạng 2, Chứng minh AP vuông góc với CQ Bài 9(2điểm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc nhän néi tiÕp đường tròn (O; R) Hai đường cao BD CE cắt H Chứng minh rằng: OA vuông góc với DE Bài 10(2điểm) Một điểm A di động nửa đường tròn đường kính BC cố định Đường thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác góc BAC tam giác ABC D Khi A di động nửa đường tròn đường kính BC D chuyển động đường nào? Đề sè Trêng THCS Thä Léc – Thä Xu©n DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Phần I: Trắc nghiệm khách quan ( 1.5đ) Câu 1: Với a>0, b>0; biểu thức A: B: a-4b Câu 2: Cho bất đẳng thức: ( I) : + 10 x2 y2 (x y )(x y ) (III): 30 2 D: ChØ I vµ II ( 1.5đ) phân thức xy b/ (x xy y )(x y ) x y (x y )2 a b ( 1.5đ) Bất đẳng thức A: Chỉ I B: Chỉ II C: Chỉ III Câu 3: Trong câu sau; câu sai Ph©n thøc D: d/ x y (x y )(x xy y ) c/ x4 x2y2 y Phần II: Bài tËp tù luËn C©u 4: Cho ph©n thøc: M= x x x x 3x x 2x a/ Tìm tập xác định M b/ Tìm giá trị cảu x đê M=0 c/ Rút gọn M Câu 5: (4.0đ) Giải phương trình : 2(3 x) 3x x 7x 5x 4(x 1) 5 (1) a/ 14 24 12 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x b/ 5 (2) 41 43 45 47 49 Câu 6: ( 6.0đ) Cho hai đường tròn tâm O tâm O cắt A B Một cát tuyến kể qua A cắt đường tròn (O) C (O) D gọi M N trung ®iĨm cđa AC vµ AD Trêng THCS Thä Léc – Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội a/ Chứng minh : MN= CD b/ Gäi I lµ trung điểm MN chứng minh đường thẳng vuông góc với CD I qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi c/ Trong số cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến có độ dài lớn Câu 7: ( 3.5đ) Cho hình chóp tứ giác SABCD AB=a; SC=2a a/ Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần hình chãp b/ TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Trêng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn 10 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Đề số Bài (2đ): Cho biểu thức: xy x x 1 1 : 1 xy 1 xy A = xy x xy x xy a Rót gän biĨu thøc b Cho 1 T×m Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta cã: 1 S= 1 1 1 tõ ®ã tÝnh tæng: 2 n n n 1 (n 1) 1 1 1 1 2 2005 20062 Bµi (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x 6a 5a (2a 3) x a 1 ( x a )( x a 1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thøc: x1 x2 2 x x1 Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m x 1 y 3m y x 1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ đà cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x x x 10 x 14 x x 2 Giải hệ phương tr×nh: y x 27 x 27 y 27 y 27 z x z 27 z 27 0 Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k 1)y = (k tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi hÃy tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Trường THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn 11 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mÃn đẳng thức: x y 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P ( x 1)( y 1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vuông AMCD, BMEF a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động đường thẳng AB cố định khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng Bài 10 (2đ): Cho xOy đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam gi¸c cã diƯn tÝch nhá nhÊt Trêng THCS Thä Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn 12 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Đề số 10 Câu 1( 2đ) Phân tích đa thức sau thõa sè a4 + 8a3 + 14a2 – 8a 15 Câu 2( 2đ) Chứng minh biểu thøc 10n + 18n - chia hÕt cho 27 với n số tự nhiên Câu 3( 2đ) Tìm số trị ab Nếu 2a2 + 2b2 = 5ab , vµ b > a > ab Câu 4( 4đ) Giải phương trình a) 4y2 x 4y2 x x2 b) x x 2006 2006 C©u 5( 3đ) Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn cđa hai trêng THCS ®i thi häc sinh Giái lín 27 ,số học sinh thi văn trường thứ 10, số học sinh thi toán trường thứ hai 12 Biết số học sinh thi trường thứ lớn lần số học sinh thi Văn trường thứ hai số học sinh thi trường thứ hai lớn lần số học sinh thi Toán cđa trêng thø nhÊt TÝnh sè häc sinh ®i thi trường Câu 6( 3đ) Cho tam giác ABC cân A đường cao AH = 10 cm dường cao BK = 12 cm Tính độ dài cạnh tam giác ABC Câu 7(4đ) Cho (O;4cm) vµ (O’;3cm) n»m ngoµi , OO’=10cm TiÕp tuyÕn chung tiếp xúc với đường tròn tâm O E đường tròn O F, OO cắt đường tròn tâm O A B, cắt đường tròn tâm O C D (B,C nằm điểm A D) AE cắt CF M, BE cắt DF t¹i N CMR : MN AD Trêng THCS Thä Léc – Thä Xu©n DeThiMau.vn 13 ... số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn hai trường THCS thi học sinh Giỏi lớn 27 ,số học sinh thi văn cđa trêng lµ thø nhÊt lµ 10, sè häc sinh thi toán trường thứ hai 12 Biết r»ng sè häc sinh ®i thi. .. + BD không đổi c) Tìm vị trí điểm M cho AC BD lớn Đề số (2 điểm) Bài 1: Trường THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Chứng minh: 3 -1 = 3 + 9 (2 điểm)... COA = 90 0 §Ị sè Trêng THCS Thọ Lộc Thọ Xuân DeThiMau.vn Bộ đề ôn thi học sinh giỏi lớp GV: Trần Văn Nội Bài 1(2 điểm) Tính số trị biểu thức: A = (1,2345) +(0,7655) - (1,2345) (0,7655) +4 ,93 8.3,062