Bài giảng môn toán lớp 12 Các bất đẳng thức có tính thuần nhất44478

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CĨ TÍNH THUẦN NHẤT  Các toán BĐT cực trị biểu thức chứa nhiều biến số vấn đề thường đề cập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Khơng thể có phương pháp chung để giải cho loại toán, chừng mực nêu số kỹ thuật giải chung cho tốn,đó việc mà nhà sư phạm nên làm giúp cho học sinh có kiến thức đứng trước tốn thuộc loại  Vì lý việc đề cập đến số kỹ thuật,một số cách giải có tính thơng dụng lớp toán thuộc dạng việc cần thiết giúp cho người học nâng cao khả tự học tự khai thác phát giải toán Trên sở kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập học sinh, đúc kết thành kinh nghiệm tìm cực trị chứng minh số bất đẳng thức nhiều biến số Để thuận tiện cho việc nghiên cứu xin đề cập đến phương pháp chứng minh hàm có tính ba biền Bài tốn: Tìm cực trị biểu thức Q = F  x, y, z  biết F  tx, ty, tz   F  x, y, z  (1) với t  Hàm số F thỏa mãn điều kiện (1) gọi hàm ba biến x,y,z Sau số ví dụ Bài số Cho a, b, c  thỏa mãn a  ab  b2  c2 Chứng minh a3  b3  3abc  5c3 Lời giải: Nếu c = từ gt a  ab  b2   (a  b)2  ab   a  b  BĐT Nếu c  Đặt a  xc, b  yc  x, y   Bài toán cho trở thành : Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x2  xy  y  Chứng minh : x3  y3  3xy  Ta có x  y  , x2  xy  y   x3  y3  x  y KL  x  y  3xy  (1) Ta có:  x2  xy  y  ( x  y)2  x y2 vế trái (1)  x  y  3xy  x  y  ( x  y )2    Dấu xây a = b = c Bài số (KA 2009) Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x( x  y  z )  yz Chứng minh ( x  y)3  ( x  z )3  3( x  y)( x  z )( y  z )  5( y  z )3 Lời giải: x y x z ,b a, b  KL  a3  b3  3ab  yz yz (gt)  a  ab  b2  Đây toán + Cách 1: Đặt a  + Cách 2: Đặt y  ax, z  bx  a, b   Bài toán cho trở thành : Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện  a  b  3ab Chứng minh : (1  a)3  (1  b)3  3(a  b)(a  1)(b  1)  5(a  b)3 (2) Ta thấy biểu thức điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh đối xứng a b, Đặt t  a  b, t  DeThiMau.vn (2)  4t  6t  4t   t (2t  1)(t  2)  t  Bài số Cho số thực dương a, b, c (a  b  c)3 4(a  b  c)  4 Chứng minh :   c   ab(a  c) a b a  c   Lời giải: Đặt a  xb, c  yb  x, y   S  x  y ( x  y  1)3 4( x  y  1) 5y BĐT  Đặt  với S  P   4y  x( x  y ) x x y  P  xy S2 (coi hàm bậc ẩn P) f ( P)  (5  S ) P  ( S  S  S  1)  ,  P  f (0)  ( S  1) ( S  1)  S   Suy BĐT  S2  f    ( S  2)    Bài số (KA 2013) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32a  b  3c   32b3  a  3c  a  b2  c Lời giải:  a  b  Vì a, b, c số thực dương nên ta có  a  c  b  c   4c    1  1   c  c  3 a b 32   32   2 32a 32b3 a  b2 c c a b   Lại có P           3 3 c c c  b  3c   a  3c  b  a    3     c  c  a b Do đặt x  ; y  ( x, y  0) , toán cho trở thành “Cho số thực dương x, y c c thỏa mãn điều kiện  x  1 y  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 32 x3  32 y  x  y ”  y  3  x  3 Ta có  x  1 y  1   xy  x  y  3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 32 x3  y  3  1 6x   ; 2 y3 32 y  x  3  1 6y   2 x3  x  3x  y  y  6x 6y 2  2 x  y  2 Vậy ta có P  y3 x3  x  3 y  3  x  y    x  y   xy    xy   x  y        xy   x  y    x  y  x  y  xy  xy DeThiMau.vn Đặt t  xy , gt  t  2t     t   P   xy  ( xy )  xy  Xét hàm số f (t )   3t  t  8t  ,  t  f '(t )  3  4t t  8t    t  t  8t  t  8t   2(t  16)  447 (4  t  t  8t  9) t  8t  2  Với  t   f (t )  f (1)   Vậy P   Dấu xảy x  y   a  b  c Vậy P   a  b  c Đơi lời bình luận Kĩ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật giảm biến” Một để tiến hành việc giảm biến bậc hai vế biểu thức điều kiện bậc tử mẫu phân thức biểu thức P Khi giảm biến c, toán trở thành toán hai biến x, y mà biểu thức điều kiện biểu thức P biểu thức đối xứng x y Đến đây, ta thấy biểu thức P thu cồng kềnh có bậc cao Dự đốn dấu xảy x  y  Khi Cauchy cho ba số dương 32 x3  y  3 32 x3  y  3 ,  32 y  x  3  Vì áp dụng bất đẳng thức 1 , , ta thu biểu thức cần đánh giá gọn 2 quan trọng dấu xảy x  y  Kĩ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật chọn điểm rơi” Sau tập tương tự Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  ab  2bc  2ca  Chứng minh rằng: c2 c2 ab    2 2 (a  b  c) a  b a  b Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Chứng minh 4a 4b 2ab 7c  3ab     bc ac c c Cho a, b, c dương , a  b  c Tìm giá trị nhỏ nhất: DeThiMau.vn (a  c ) ab  bc  ca a  c2 P  ac(a  b  c) 2bc Cho a, b, c dương , a  b  c Tìm giá trị nhỏ nhất: c2 3c ab  c P   a  b ab c2 (KA11) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z   2x  3y y  z z  x DeThiMau.vn ... tốn chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật giảm biến” Một để tiến hành việc giảm biến bậc hai vế biểu thức điều kiện bậc tử mẫu phân thức biểu thức P Khi giảm biến c, toán trở thành toán hai biến...  3 ,  32 y  x  3  Vì áp dụng bất đẳng thức 1 , , ta thu biểu thức cần đánh giá gọn 2 quan trọng dấu xảy x  y  Kĩ thuật toán chứng minh bất đẳng thức gọi “kĩ thuật chọn điểm rơi” Sau... biến c, toán trở thành toán hai biến x, y mà biểu thức điều kiện biểu thức P biểu thức đối xứng x y Đến đây, ta thấy biểu thức P thu cồng kềnh có bậc cao Dự đốn dấu xảy x  y  Khi Cauchy cho