SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1:(3 điểm) a/ Cho a,b số thực không âm tùy ý a b a + b 2(a b) Chứng tỏ : Khi có dấu đẳng thức ? b/ Xét u, v, z, t số thực không âm thay đổiù có tổng Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = u+ v+ z + t Bài 2: (2 điểm) Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông DE = 5cm EH =12cm a/ Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông DEH b/ Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có bán kính r, tiếp xúc tiếp xúc với cạnh tam giác vuông DEH hình Tính độ dài r D r r H E Bài 3:(2 điểm) a/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : 2x + 9y = 2005 (*) b/ Chứng minh : x.y 55833 (x,y ) nghiệm nguyên (*) Bài 4: (2 điểm) Với giá trị tham số m, xét hàm số : y = x2 – 2mx – – m2 a/ Chứng tỏ với giá trị m tuỳ ý, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành hai điểm phân biệt B, C giao điểm khác gốc tọa độ O b/ Đường tròn qua giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm điểm K khác A Chứng minh m thay đổi, K điểm cố định Bài 5: (1 điểm) Có hộp, hộp chứa trái banh Chứng tỏ ghi số tất trái banh cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau : 1/ Mỗi banh ghi số nguyên, chọn số nguyên từ đến 23 2/ Trong hộp, hai banh ghi số 3/ Với hai hộp bất kì, có nhiều số xuất đồng thời hai hộp - Heát - DeThiMau.vn Sở Giáo dục đào tạo Thừa Thiên Huế §Ị chÝnh thøc Kú THI TUN SINH LíP 10 chuyªn toán Môn: toán - năm học 2005-2006 Đáp án thang điểm DeThiMau.vn Bài ý Nội dung Điểm 1.a 3,0 0,50 0,25 0,25 + a b a + b ab + Daáu đẳng thức a=0 b=0 + a + b 2(a b) a+b - ab ( a - b )2 + Dấu đẳng thức a=b 0,25 Giá trị nhỏ S: +Dùng câu a/ S= u + v + z + t u v + z t (u v) ( z t ) = 1.b 1.(do u+v+z+t=1) + Dấu đẳng thức xảy chỉ: (u hay v 0) vaø ( z hay t 0) vaø (u v hay z t 0) vaø (u v z t 1) Khi u=1,v=z=t=0 u+v+z+t=1và S=1 Vậy : MinS=1 Giá trị lớn S: +Dùng câu a/ S= u + v + z + t 2(u v) + 2( z t ) 2[2(u v) 2( z t )] = 0,50 0,25 0,25 0,50 + Dấu đẳng thức xảy khi: u v, z t , 2(u v) 2( z t ), u v z t 1 u v z t vaø S 0,25 Vaäy : MaxS=2 2,0 2.a (1đ) Câu a + DH = 13 + Gọi I tâm đường tròn nội tiếp Ta có : dt(DEH)= dt(IDE)+ dt(IEH)+ dt(IDH) + dt(DEH)= 30 1 + Gọi R bán kính đường tròn nội tiếp.Ta coù : 30 = R.5+ R.12 + 2 0,25 0,25 0,25 R.13 R=2 (cm) 2.b (1ñ) D r r J r r r H 0,25 E Câu b + Gọi J tâm đường tròn có tiếp xúc với cạnh DH Khoảng cách từ J đến cạnh DH, HE, ED : r; r; 3r 0,25 + dt(DEH)= dt(JDH) +dt(JHE) +dt(JED) 0,25 1 30 = r.13+ r.12 + 3r.5 r= = 1,5 (cm) 2 2 DeThiMau.vn 0,50 2,0 3.a (1ñ) 3.b (1ñ) + Ta có: 2005 chia 55 dư 7, neân: 2005 222 111 111 503 111 Suy ra: (503;111) nghiệm + 2x+9y=2005 2x+9y=2.503 + 9.111 2(x-503)=9(111-y) + Vì (2;9) =1 nên tồn số nguyên t để x-503=9t hay x=503 +9t + Nghiệm phương trình : x=503 +9t , y=111-2t ; t số nguyên tuỳ ý + 55833 – xy= 55833 –(503 +9t).( 111-2t) = 18t2 +7t 18t2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Khi t +7t + Khi t -1 18t2 +7t = t(18t+7) > + Vì với số nguyên t có : 55833 xy Dấu đẳng thức t=0 0,25 x=503 ;y=111 2,0 + Đồ thị hàm số cắt trục tung A( 0; -1-m2) A phía trục hoành (1đ) + Xét phương trình : x2 - 2mx – - m2= Do ' = +2 m2 >0 neân phương trình có hai nghiệm:x1;x2 + Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt B(x1;0), C(x2;0) +Vì : x1.x2 < nên B, C khác O O û B, C + K phía trục hoành 4.b (1đ) + Hai tam giác vuông OBA OKC đồng dạng cho : OB.OC = OA.OK + OB.OC= x1 x = x1 x = m = OA 4.a + Do OK=1 K( 0;1) K điểm cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 + Ở hình dưới, đường tượng trưng cho hộp, điểm đường tượng trưng cho banh + Có đường; đường chứa giao điểm có tất 23 giao điểm + Mỗi cách đánh số 23 giao điểm, từ đến 23, cho điều kiện toán Ví dụ : Hộp I : Hộp II : Hộp III : Hoäp VI : Hoäp V : Hoäp VI : 0,25 13 10 14 15 20 18 22 0,25 11 16 19 21 23 12 17 ta cách ghi số banh hộp thỏa 0,25 0,25 1 2 13 5 10 14 15 13 14 10 15 DeThiMau.vn 11 16 18 20 22 12 17 19 21 23 Bài 3: Cách 2: a) x y 2005 x 2005 y Mà 2005 lẻ, nên 9y phải số lẻ, suy y số lẻ: y 2t t Z x 2005 9(2t 1) x 998 9t t Z Vậy: nghiệm phương trình là: x 998 9t , y 2t t Z 1987 1987 4.18.998 b) xy 998 9t 2t 1 18t 1987t 998 18 t 36 4.18 1987 4.18.998 xy 55833, 68056 xy 55833 4.18 1987 55 , ta coù: xy 998 9.55 2.55 1 55833 Với t 36 Do đó: xy 55833 SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) BÀI 1:(3 điểm) a/ Chứng tỏ rằng: a3 – b3 + c3 + 3abc = (a-b+c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc - ca), với số thực a,b,c b/ Chứng minh d, e, f số nguyên thoả: d + e + f = d= e = f= 33 b/ Tìm số hửu tỉ p, q, r để có đẳng thức : = p + q +r 3 1 BÀI 2:(2 điểm) Xét hệ phương trình : 3 x my x 3 y mx y (m tham số) a/ Giải hệ cho m=1 b/ Chứng minh m>1 hệ xét có nghiệm thoả điều kiện x y BÀI 3: (2 điểm) Tam giác nhọn ABC có trực tâm H; AH cắt BC D a/ Chứng tỏ đường tròn nội tiếp tam giác BDH ADC bán kính hai tam giác BDH ADC baèng b/ Cho BC = 221cm; HD = 65cm Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC, biết tam giác BDH ADC BÀI 4: (2 điểm) 1 + + =1 x y z b/ Chứng tỏ tìm 2005 số nguyên dương đôi khác mà tổng tất a/ Tìm số nguyên dương x , y, z thoả điều kiện sau : x < y < z DeThiMau.vn nghịch đảo chúng BÀI 5: (1 điểm) Với a, b, c số thực dương Đặt : 1 A= ; a (1 b) b(1 c) c(1 a ) 1 C= ; 1 a 1 b 1 c Chứng minh : A + B C + D ab bc ca ; 1 a 1 b 1 c b c a D= 1 b 1 c 1 a B= - Hết - SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM BÀI (3đ) Câu a + Khai triển vế phải + So sánh kết với vế trái Câu b +Đặt x= ,Ta có x3=2 ; d+ex+fx2=0 (1) ; dx+ex2+2f=0 (2) + Khử x (1) , (2) : x(e2-df)=2f2-de vaø 2(e2-df) =(2f2-de)3 (3) + Do d,e,f số nguyên nên từ (3) cho :e2-df= 2f2-de = (Dùng phản chứng ) +Từ : e3=2f3 , suy e=f= d=0 Câu c + Dùng a/ với a= 1;b = ; c= : = (1 - + )( + 3 ) 1 hay : = (1 + ) 3 1 3 33 (1 + )) = -1 + 3 1 + Câu b cho thấy có : p = -1 ; q = ; r = -1 + Do : 3 = (3-3 )( BÀI 2(2đ) x my x (1) 3 y mx y (2) Caâu a + (1) – (2) : (3+m)(x-y) = (x-y)(x+y) x=y x+y= 3+m + Với x=y ta có : 3x –mx = x2 x=0 x= 3-m DeThiMau.vn Với m = , trường hợp hệ có nghiệm : (x;y) = (0;0) ; (2;2) 2 + Với x+y=3+m=4 ,ta có : 3x –(4-x) = x x -4x +4= x=2 + Nghiệm hệ phương trình m=1 : ( x= , y = ) ; ( x= , y = ) Caâu b + Nếu hệ có nghiệm (x;y) mà x y : x+y= 3+m + (1) + (2) : (3-m)(x+y) = (x+y) – 2xy Suy xy = m(m+3) + x ,y nghiệm : t2 – (3+m)t +m(m+3) = (3) + Khi m > t = (3+m)(3-3m)