Bài toán ba số Pythagore Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - khoảng năm 500 đến 490 TCN) nhà triết học người Hy Lạp người sáng lập phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras Ông thường biết đến nhà khoa học toán học vĩ đại với định lý tiếng (*): Định lý Pythagore : a2 + b2 = c2 Bộ ba số Pythagore Từ định lý đó, ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, c, cho a2 + b2 = c2 Khi ta viết ba (a, b, c), ba biết (3, 4, 5) Nếu (a, b, c) ba số Pythagore, ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k số Pythagor Một ba số Pythagore gọi ba số Pythagor nguyên tố a, b c số nguyên tố Tên gọi ba số xuất phát từ định lý Pythagore Các ba số Pythagore lấy làm độ dài cạnh tam giác vuông với độ dài cạnh huyền c Tuy nhiên, độ dài cạnh tam giác vuông không tạo thành ba số Pythagor chúng không số nguyên Chẳng hạn, tam giác với cạnh a = b = c = √2 tam giác vuông , (1, 1, √2) khơng ba số Pythagore √2 khơng số ngun DeThiMau.vn Khơng có ba số Pythagore có số chẵn có số liền (trừ 3,4 5) Có 16 ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100: ( 3, 4, 5) ( 9, 40, 41) (16, 63, 65) (36, 77, 85) ( 5, 12, 13) (11, 60, 61) (20, 21, 29) (39, 80, 89) ( 7, 24, 25) (12, 35, 37) (28, 45, 53) (48, 55, 73) ( 8, 15, 17) (13, 84, 85) (33, 56, 65) (65, 72, 97) Công thức tổng quát Công thức sau tổng quát tất ba số Pythagore (không đơn trị): a = k*(2mn) b = k*(m2 - n2) c = k*(m2 + n2) m n hai số nguyên dương với m > n k số nguyên dương tùy ý Đặc biệt với k = dẫn tới cơng thức cổ điển cho Euclid (kh 300 TCN) sách Elements ông, thường gọi công thức Euclid: a = 2mn b = m2 - n2 c = m2 + n2 Bộ ba số sinh công thức Euclid nguyên tố m n số nguyên tố chúng số chẵn Nếu n m chẵn, a, b, c chẵn, ba số khơng ngun tố Mọi ba ngun tố (có thể đổi vai trị a b) sinh từ cặp số nguyên tố m, n, mà chúng lẻ Tính chất sơ cấp Trong ba Pitago ngun thủy, kí hiệu: Hai cạnh góc vng: cạnh góc vng a,b; chẵn cạnh huyền cạnh góc vng Mối liên hệ khác ba số ba Pitago, DeThiMau.vn (c − a)(c − b)/2 số phương Điều có ích kiểm tra xem ba số có phải ba Pitago hay không, điều kiện cần, chưa đủ Ví dụ, ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 số phương, lại khơng phải ba Pitago Điều kiện (nếu a cạnh góc vng chẵn) " (c − a) (c − b)/2 đồng thời số phương" điều kiện cần đủ để (a,b,c) lập thành ba Pitago; ba Pitago khơng ngun thủy Nếu hai số ba Pitago nguyên tố ba Pitago ngun thủy Trong số a, b, c có nhiều số phương Tồn vô số ba Pitago nguyên thủy có cạnh huyền số phương Tồn vơ số ba Pitago nguyên thủy có cạnh góc vng số phương Tổng cạnh huyền cạnh góc vng chẵn ba Pitago ngun thủy số phương lẻ; trung bình cộng cạnh huyền cạnh góc vng lẻ số phương Diện tích (A = ab/2) số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn Trong hai số a, b có số lẻ; c số lẻ Trong hai số a, b có số chia hết cho Trong hai số a, b có số chia hết cho Trong ba số a, b, c có số chia hết cho Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có số chia hết cho Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có số chia hết cho Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có số chia hết cho Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có số chia hết cho 11 Tất ước nguyên tố c số nguyên tố có dạng 4k + Chứng minh DeThiMau.vn Tất số tự nhiên "lớn khơng phải số có dạng 4k + 2" thuộc ba Pitago nguyên thủy Tất số tự nhiên lớn thuộc Pitago (ngun thủy khơng), ví dụ số 6,10,14 18 không thuộc ba Pitago nguyên thủy nào, lại thuộc ba Pitago không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 18, 80, 82 Tồn vô số ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn ("cạnh góc vng lớn" cạnh có độ dài lớn hai cạnh góc vng) Tổng qt: Với số ngun j lẻ bất kì, tồn vô số ba Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng chẵn j Tồn vô số ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lớn ("cạnh góc vng lớn" cạnh có độ dài lớn hai cạnh góc vng) Tổng qt: Với số ngun k > bất kì, tồn vơ số ba Pitago ngun thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng lẻ 2k Nếu j k số nguyên dương lẻ, không thiết phân biệt, ba Pitago nguyên thủy cho Cạnh huyền tất ba nguyên thủy có hiệu với cạnh góc vng chẵn số phương, có hiệu với cạnh góc vng lẻ hai lần số phương: Khơng có ba Pitago nguyên thủy mà hiệu cạnh huyền cạnh góc vng số ngun tố lẻ Với số tự nhiên n, tồn n ba Pitago có diện tích, khác độ dài cạnh huyền Với số tự nhiên n, có n ba Pitago khác có cạnh góc vng a, với a số tự nhiên Với số tự nhiên n, có n ba Pitago khác có cạnh huyền Trong ba Pitago, bán kính đường trịn nội tiếp "3 bán kính ba đường trịn bàng tiếp" số tự nhiên Bán kính đường trịn nội tiếp DeThiMau.vn Khơng có ba Pitago mà cạnh huyền cạnh góc vng lại cạnh góc vng bộ ba Pitago nguyên thủy khác (*) Theo tài liệu sau bổ sung nhà tốn học Ấn Độ Baudhayana tìm Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 TCN, 300 năm trước Pythagoras ST & GT PH H Hoạt 6/2012 Nguồn : Bách khoa toàn thư mở Wikipedia DeThiMau.vn ... ab/2) số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn Trong hai số a, b có số lẻ; c số lẻ Trong hai số a, b có số chia hết cho Trong hai số a, b có số chia hết cho Trong ba số a, b, c có số chia... thời số phương" điều kiện cần đủ để (a,b,c) lập thành ba Pitago; ba Pitago khơng nguyên thủy Nếu hai số ba Pitago ngun tố ba Pitago nguyên thủy Trong số a, b, c có nhiều số phương Tồn vơ số ba. .. m2 + n2 Bộ ba số sinh công thức Euclid nguyên tố m n số nguyên tố chúng số chẵn Nếu n m chẵn, a, b, c chẵn, ba số khơng ngun tố Mọi ba nguyên tố (có thể đổi vai trò a b) sinh từ cặp số nguyên