Bài tập ôn học kì 1 Hình 943645

Bài Cho đường tròn (O;15cm) , dây AB=24cm(AB khác đường kính) Kẽ OH vng góc với AB( H  AB) , OH kéo dài cắt tiếp tuyến B (O) điểm C a) Tính độ dài đoạn OC CB ? b) Chứng minh AC = CB suy AC tiếp tuyến đường trịn ? c) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường tròn K Chứng minh điểm B, O,K thẳng hàng ? d) Khi cho dây AB chạy đường đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy đường nào? Vì sao? a)Tính độ dài đoạn OC CB ? B O jH C K A HB=12 (cm); OH = (cm)  OC = 25 (cm) b)Chứng minh AC = CB suy AC tiếp tuyến đường tròn ? Chứng minh  OBC =  OAC ( c-g-c) vì: OB = OA = 15 (cm) BOC = AOC ( OH đường cao  OAB cân O nên OH phân giác) OC: chung Suy ra: AC = CB ( hai canh tương ứng) Nên ta có OBC = OAC = 900 Vậy AC tiếp tuyến (O) 0,5 c)Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường tròn K Chứng minh điểm B, O,K thẳng hàng ? 0,5 KA  AB nên KAB = 900 , Do KB đường kính nên K,O,B thẳng hàng 0,5 d)Khi cho dây AB chạy đường đường tròn (O) Hỏi điểm H chạy đường nào? Vì sao? ThuVienDeThi.com Khi dây AB = 24cm chạy đường trịn tâm (O) bán kính 15cm OH = 9cm Do 0,5 H cách O khoảng cm nên H chạy đường tròn (O;9cm) Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính 3cm Từ điểm A cách O 5cm vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) a) Chứng minh AO vng góc với BC; b) Kẻ đường kính BD Chứng minh DC song song với OA; c) Tính chu vi diện tích tam giác ABC d) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BD, đường thẳng cắt tia DC E Đường thẳng AE OC cắt I; đường thẳng OE AC cắt G Chứng minh IG trung trực đoạn thẳng OA B A H O G D E C I Ta có OB = OC = R = 2(cm) AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) => AO đường trung trực BC hay OA  BC Xét tam giác BDC có OB = OD = OD = BD (= R) => Tam giác BDC vuông C => DC  BC C Vậy DC // OA ( Vì vng góc với BC) - Xét tam giác ABO vng có BO  AB ( theo tính chất tiếp tuyến) => AB = OA2  OB  52  32  4cm Gọi H giao điểm AO BC BC Tam giác ABO vng B có đường cao BH => HB.OA = OB.AB ( Hệ thức lượng tam giác vng) Tính HB = 2,4 cm; BC = 4,8 cm Vì AO trung trực BC nên HB = HC = ThuVienDeThi.com Lại có AB2 = OA.AH => AH = 3,2cm Vậy chu vi tam giác ABC AB + AC + BC = = + + 4,8 =12,8 (cm) BC.OA 3, 2.4,8 Diện tích tam giác ABC là:   7, 68(cm ) 2 Chứng minh hai tam giác ABO tam giác EOD (g.c.g) Chứng minh Tứ giác ABOE hình chữ nhật => OE  AI Chứng minh tam giác AOI cân I Sử dụng tính chất đường cao tam giác IG đường cao đồng thời trung trực đoạn thẳng OA Bài 3: Cho ( O,R ), lấy điểm A cách O khoảng 2R Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) I Đường thẳng qua O vng góc với OB cắt AC K a) Chứng minh: Tam giác OAK cân K b) Đường thẳng KI cắt AB M Chứng minh: KM tiếp tuyến đường trịn (O) c) Tính chu vi tam giác AMK theo R B M O / I / A K C a) Ta có: AB  OB ( T/c tiếp tuyến ) OK  OB ( gt ) ฀  ฀A ( SLT )  AB / / OK  O Mà ฀A  ฀A (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ฀  ฀A  O 1 Vậy ฀ OKA cân K b) Ta có : OI = R , OA = 2R => IA = R => KI trung tuyến ฀ OKA Mà ฀ OKA cân K ( Cmt) => KI  OA Hay KM  OA Vậy KM tiếp tuyến (O) ฀  90 ), có: OA = 2R , OB = R => AB = R c) Xét ฀ AOB ( B P฀ AKM = AM + MK + AK = AM + MI + IK + KA Mà MB = MI KI = KC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) AB = AC => P฀ AKM = AM+MB+KC+KA = AB+AC = 2AB = R 3 ThuVienDeThi.com Bài 4: Cho đường tròn tâm (O; R) điểm A có AO = 2R Kẻ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đường tròn Gọi I trung điểm MN BC cắt OA MN H K Chứng minh : AO  BC Tính độ dài OH theo R Chứng minh tam giác ABC tam giác Chứng minh AI AK = AO AH B Hình vẽ N I K M O H A C AB = AC ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt ) OB= OC =R Suy AO đường trung trực đoạn BC suy AO  BC ThuVienDeThi.com Chỉ  OAB vuông B, AO  BC H OB R OB2 = OA.OH ==> OH = = OA OB  SuyraBAO  300 OA  BAC =2  BAO = 600 (1) Sin  BAO =  ABC có AB = AC suy  ABC cân A (2) Từ (1) và(2) Suy  ABC tam giác IN = IM (GT) Suy OI  MN hay  OIA = 900  AIO  AHK có  OIA = 900  AHK= 900  IAO chung Suy  AIO ฀  AHK(g.g) Suy : AI AO  => AI.AK = AO.AH AH AK Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm đường kính AB =2R Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn dựng tia Ax, By vng góc với AB Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By C D ฀  900 a) Chứng minh COD b) Chứng minh tích AC.BD khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn c) AD cắt BC I, MI cắt AB H Chứng minh MH  AB d) Biết AM = R Tính diện tích tam giác BMD theo R ThuVienDeThi.com a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: ฀AOC  COM ฀ ฀ ฀  DOB MOD y D ฀ ฀  COM  MOD  x M 1800  900 ฀  900 hay COD C I A B O H b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AC = CM; BD = DM => AC.BD = CM.DM = R2 (không đổi) IA AC  c) Ta có AIC  DIB => ID BD IA CM  => => IM // AC ID DM Mà AC  AB nên IM  AB Hay HM  AB d) MB  R (áp dụng Pytago AMB) - Chứng minh BMD R   S BMD  3R (đvdt) Bài 6: Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm CB a) Chứng minh M thuộc đường trịn tâm O đường kính AB b) Kẻ OH vng góc MB H, OH cắt tiếp tuyến (O) B I Chứng minh: IM tiếp tuyến (O) c) Cho AB = 20cm, AM = 12cm Tính OI BI d) Gọi K giao điểm OI (O) Chứng minh BK phân giác góc MBI a C I M K H A O B Ta có:  ABC cân A, mà M trung điểm BC => ฀AMB  1v ThuVienDeThi.com => M thuộc đường tròn tâm (O) đường kính AB b Xét  OBI  OMI có: ฀ ฀ OM = OB, OI cạnh chung, MOH  BOH ( OH đường cao tam giác MOB cân O nên phân giác ) Suy ra:  OBI =  OMI (c-g-c) ฀ ฀  1v Do OMI  OBI Vậy IM tiếp tuyến (O) M c Xét  OBI vuông B, BH  OI Suy ra: OB2 = OH.OI => OI= OB2 : OH = 102: = 50 (cm), ( OH = ½ AM) => d BI2 = OI2 – OB2 = 40  50  (cm)    10 =>BI =   ฀ ฀  900 B Ta có  BHK vng H => HKB ฀ ฀  900  OBI vuông B => OBK B ฀ ฀  OBK Mà HKB (  OKB cân O) ฀ B ฀ Do đó: B Bài 7: Cho tam giác ABC cân A ( Aˆ  900 ) có đường cao AD, BE cắt H Gọi O trung điểm AH a) Chứng minh điểm A, H, E thuộc đường tròn ( O) b) Chứng minh DE tiếp tuyến (O) c) Biết DH = 2cm, AH = 6cm Hãy tính số đo góc ADE.(Làm tròn độ) A O H B D E C ThuVienDeThi.com a Vì O trung điểm AH  OA = OH = AH Tam giác AEH vng E có EO đường trung tuyến  OE =  OA = OH = OE  điểm A, H, E thuộc (O) AH b.Vì OA = OE  Tam giác ABC cân A  Eˆ1  Aˆ1 (1) Tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đương trung tuyến  D trung điểm BC  DB = DC = BC Tam giác BEC vuông E có ED đường trung tuyến  DE = BC ˆ ˆ  DB = DE   DBE cân D  E3 = B1 (2) Ta lại có: Aˆ  Bˆ (cùng phụ Cˆ ) (3) 1 Từ (1), (2), (3)  Eˆ1  Eˆ ˆ  900  Eˆ  Eˆ  OED ˆ  900  OE  ED E Mà Eˆ1  Eˆ  AEB Vậy DE tiếp tuyến (O) E c Ta có AH = 6cm  OH = OE = 3cm; DH = 2cm  OD = 5cm OE  = 0,6 Trong tam giác vng OED có: SinODE = OD ˆ  37 hay ADE ˆ  37  ODE Bài 8: Cho ABC vuông A, có AB = 3cm, BC = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B góc C b) Vẽ (O) ngoại tiếp ABC Đường cao AH ABC cắt (O) D Chứng minh BC đường trung trực AD c) Tiếp tuyến D (O) cắt đường thẳng BC E Chứng minh EA tiếp tuyến (O) d) Chứng minh EA2 = EB EC A E B H 2O C D ThuVienDeThi.com a) Tính độ dài cạnh AC, số đo góc B góc C  vng ABC, có: *) AC = BC  AB  62  32  3 cm ฀ = 60o *) cos B = AB : BC = 0,5  B ฀ = 90o - 60o = 30o C b) Chứng minh BC đường trung trực AD Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC trung điểm BC Xét (O), ta có: BC  AD H ( gt) (1)  H trung điểm dây AD (2) Từ (1) (2) suy ra: BC đường trung trực AD c) Chứng minh EA tiếp tuyến (O) cân ABO ( OA = OB), có: OH đường trung trực ( cmt)  OH đường phân giác  Ơ1 = Ơ2 Xét AEO DEO, ta có: OA = OD = R; Ô1 = Ô2 ( cmt) ; EO: chung Suy :AEO = DEO ( c.g.c) ฀ ฀ EAO  EDO  90o  EA  OA A  EA tiếp tuyến (O) d) Chứng minh EA2 = EB EC Ta có : OA = OB = AB = 3cm Nên OAB tam giác ฀  BAO  60o  Â1 = EÂO – BÂO = 90o – 60o = 30o Xét  EAB  ECA, ta có : ฀ = 30o Ê1 : chung; Â1 = C Suy :  EAB  ECA(g.g) EA EB  EA2  EB.EC   EC EA Bài 9: Cho đường trịn (O; R) điểm A nằm ngồi đường tròn (O) cho OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AB đường tròn (O) (B tiếp điểm) 1) Chứng minh tam giác ABO vuông B tính độ dài AB theo R 2) Từ B vẽ dây cung BC (O) vng góc với cạnh OA H Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh tam giác ABC 4) Từ H vẽ đường thẳng vng góc với AB D Đường trịn đường kính AC cắt cạnh DC E Gọi F trung điểm cạnh OB Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng B K D F I O E A H ThuVienDeThi.com ฀ 1) Ta có: ABO  900 (AB tiếp tuyến của(O) B)  ABO vuông B  AB  OB  OA2 (Đ/L Pytago)  AB  OA2  OB  2 R   R  R  R  3R  AB  R 2) Ta có BOC cân O (OB = OC = R) Mà OH đường cao ( BC  OA H)  OH đường phân giác BOC ฀ ฀  BOA  COA Chứng minh AOC = AOB (c-g-c)  Mà ฀ ฀ ACO  ABO ฀ ABO  900 (AB tiếp tuyến của(O) B) ฀  ACO  900  AC  OC mà C thuộc (O)  AC tiếp tuyến đường tròn (O) 3) Chứng minh ABC cân A (1) Xét ABO vng 0, có ฀ Sin ABO  OB R   OA R ฀  BAO  300 Ta có: AO tia phân giác góc BAC (T/c tiếp tuyến cắt nhau) ฀ ฀ BAC  BAO  2.300  600 (2)  Từ (1) (2) suy ABC 4) Gọi I giao điểm AF HD Áp dụng hệ Talet để I trung điểm HD Gọi K trung điểm BD Chứng minh KI đường trung bình BHD  KI // HB Mà HB  OA H (gt)  KI  AH 10 ThuVienDeThi.com Chứng minh I trực tâm AHK  AI đường cao AHK  AF  HK (3) Chứng minh HK đường trung bình BDC HK // CD (4) Từ (3) (4)  AF  CD Ta có: AEC nội tiếp đường trịn đường kính AC  AEC vng E  AE  CD mà AF  CD (cmt) Vậy Ba điểm A, E, F thẳng hàng Bài 10: Cho góc xOy 1200, đường trịn (O) cắt tia Ox, tia Oy B C Tiếp tuyến (O) B C cắt A Gọi H giao điểm OA BC a/ Chứng minh : Tam giác ABC tam giác b/ Chứng minh : BH2 = OH.HA c/ Vẽ đường kính CD (O) Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R (O) d/ Đường thẳng qua O vng góc với OB cắt AC F, đường thẳng qua O vng góc với OC cắt AB E Chứng minh : EF tiếp tuyến (O) x D B E A H O F y 4a/ C Chứng minh : Tam giác ABC tam giác ˆ  900 Ta có AB tiếp tuyến (O,R)=> ABO ˆ  900 AC tiếp tuyến (O,R)=> ACO ˆ  3600  ( ACˆ O+ABO+xOy) ˆ ˆ BAC = 3600  (900  900  1200 )  600 (1) Ta có : AB= AC (Vì AB, AC hai tiếp tuyến (O) cắt A) =>  ABC cân A (2) Từ (1) (2) suy :  ABC tam giác b/ Chứng minh : BC2 = 4OH.HA:  OBC cân O ( OB=OC bán kính (O) ) 11 ThuVienDeThi.com 4b/ 4c/ 4d ˆ  COA ˆ ( Do AB, AC hai tiếp tuyến (O) ) Mà BOA Nên : OA  BH  OBA vuông B, OA  BH=> BH2 = OH.HA Tính diện tích tam giác BCD theo bán kính R (O) ˆ 1800  xOy 1800  1200   300  OBC cân O => BCˆ D  2 CD = 2R ( đvđd) Ta có  DBC nội tiếp đường trịn (O) có CD đường kính =>  DBC vuông B => BC = CD cosC = 2R cos300= 2R = R ( đvđd) BD = CD sinC = 2R sin300= 2R.1/2 = R ( đvđd) SBCD = BC.BD/2= R R/2 = R2 ( dvdt) Chứng minh : EF tiếp tuyến (O) Ta có OE  OC , AF  OC  OE / / AF    OEAF hình bình hành OF  OB, AB  OB  OF / / AE  ˆ  CAO ˆ ( Do AB, AC tiếp tuyến (O) ) Lại có BAO  OEAF hình thoi => EF  OI I (I giao điểm OA EF) (3) ˆ ˆ  COA ˆ  BOC  120  600 Mặt khác, ta có : BOA 2  OBA vuông B=> OA=OB/cosO =R/cos600 =2R Mà OEAF hình thoi=> OI = OA/2 = 2R/2 = R => OI bán kính (O) ) (4) Từ (3) (4) => EF tiếp tuyến (O) 12 ThuVienDeThi.com ... ˆ  DB = DE   DBE cân D  E3 = B1 (2) Ta lại có: Aˆ  Bˆ (cùng phụ Cˆ ) (3) 1 Từ (1) , (2), (3)  E? ?1  Eˆ ˆ  900  Eˆ  Eˆ  OED ˆ  900  OE  ED E Mà E? ?1  Eˆ  AEB Vậy DE tiếp tuyến (O)...  12 00 )  600 (1) Ta có : AB= AC (Vì AB, AC hai tiếp tuyến (O) cắt A) =>  ABC cân A (2) Từ (1) (2) suy :  ABC tam giác b/ Chứng minh : BC2 = 4OH.HA:  OBC cân O ( OB=OC bán kính (O) ) 11 ThuVienDeThi.com... ฀ ฀  1v Do OMI  OBI Vậy IM tiếp tuyến (O) M c Xét  OBI vuông B, BH  OI Suy ra: OB2 = OH.OI => OI= OB2 : OH = 10 2: = 50 (cm), ( OH = ½ AM) => d BI2 = OI2 – OB2 = 40  50  (cm)    10 =>BI