Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 2016 m¤n: Toán 842378

PHỊNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 mÔN: TON (Thi gian lm bi 120 phỳt) Bi (4,5 điểm) Cho biểu thức A  4xy y  x2    : 2 y  2xy  x  y x với x   y, y  a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x  y  2x  2y   A = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2016x  2015x  2016 Bài (4,0 điểm) a) Cho A=11 155 56 với n  N * Chứng minh A số phương   (n chữ số 1) (n - chữ số 5) b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thương 5x dư Bài (4,0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x  y  z  xy  yz  zx x 2015  y 2015  z 2015  32016 b) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 1 x x  2(x  m)    xm xm m2  x Bài (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a, biết hai đường chéo cắt ฀  900 (I M O Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM không trùng đỉnh hình vng) a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Gọi N giao điểm tia AM tia DC, K giao điểm BN tia OM ฀ ฀  BCO Chứng minh tứ giác IMNB hình thang BKM 1 c) Chứng minh   CD AM AN Bài (1,5 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB a, b, c Các đường cao tương ứng ha, hb, hc Tam giác tam giác biểu thức (a  b  c) đạt giá trị nhỏ nhất? h a2  h 2b  h c2 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GII NM HC 2015-2016 P N BIU IM CHM mÔN: TOÁN (Đáp án biểu điểm chấm gồm 05 trang) Bài Bài (4,5đ) a/ 2,0 điểm Nội dung Cho biểu thức A  xy y  x2   :  với x   y, y  2  y  xy  x   y x a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x  y  2x  2y   A = Với x   y; y  ta có:   :  2  y  xy  x  y x   xy 1 : A   ( y  x)( y  x)  ( y  x)( y  x) ( y  x)  A xy y  x2  yx yx  xy :  ( y  x)( y  x)  ( y  x)( y  x)  xy 2y A : ( y  x)( y  x) ( y  x)( y  x) Điểm 3đ 0,75đ A A xy ( y  x)( y  x) ( y  x)( y  x) 2y A  x( x  y ) b/ 1,0 điểm 0,75đ Vậy x   y; y  A = 2x(x + y) Ta có 0,25đ 0,25đ 3x  y  x  y    x  xy  x  xy  y  x  y   0,5đ  (2 x  xy )  ( x  xy  y )  (2 x  y )   2  x( x  y )  ( x  y )  2( x  y )    A  ( x  y )  2( x  y )    A  ( x  y  1)  0,5   ( x  y  1)   x  y 1  ( x   y; y  ) Thay y = x + vào A = 2x(x + y) ta : 2x( x + x + 1) =  2x2 + x =  2x2 + x - =  (x + 1)(2x - 1) = + Với x = - 1, ta có y = (loại) ThuVienDeThi.com 0,5 (thoả mãn) Vậy x, y cần tìm x = y = 2 + Với x = , ta có y = Bài1 (4,5đ) 1.Phân tích đa thức thành nhân tử x  2016 x  2015 x  2016 x  2016 x  2015 x  2016  x  2015 x  x  2015 x  2015  1,5đ 0,5đ  ( x  x   x )  2015 x  2015 x  2015)  ( x  x  1)  x  2015( x  x  1) 0,5đ  ( x  1)  x  2015( x  x  1)  ( x   x)( x   x)  2015( x  x  1) 0,5đ  ( x  x  1)( x  x  2016) Bài (4 đ) a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1, chia cho (x+1)(x+2) thương 5x cịn dư Vì f(x) : (x+1) dư  f(x)= (x+1).Q(x)+4 Vì f(x) : (x+2) dư  f(x)= (x+2).P(x)+1 Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 dư nên đa thức dư có bậc nhỏ Do f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b Ta có f(-1) = - a+b =  b = 4+a (1) f(-2) = -2a+b =  b = 1+2a (2) ThuVienDeThi.com 2đ 1đ 1đ a  b  Từ (1) (2)   Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7 a) b) Cho A  11  55  2đ n ( c / s1) ( n 1) c / s Chứng minh A số phương 1đ Ta có A  11   4.11  1 n ( c / s1)  n ( c / s1) 102 n  10n  102 n  4.10n   1  9   10 02      (10n  2)  ( n 1) cs     (33 34)     9 ( n 1) c / s số phương số phương Vậy A  11  55  1đ n ( c / s1) ( n 1) c / s Bài 3(4đ) c) Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm 2đ  x x  2( x  m)    (1) xm xm m2  x ĐKXĐ: x+ m  x- m   x   m  (1  x)( x  m)  ( x  2)( x  m)   2( x  m)  (2m  1) x  m  2(*) 3 + Nếu 2m -1=  m  ta có (*) 0x = (vơ nghiệm) 2 m2 + Nếu m  ta có (*)  x  2m  0,5 0,5đ 0,5đ 0,5đ - Xét x = m  m2  m  m   2m  m 2m  1   2m  2m    m  m     m     2  (Không xảy vế trái ln dương) Xét x= - m m2  m  m   2m  m  m   m  1 2m  1 Vậy phương trình vơ nghiệm m  m = 1  b) Tìm x, y, z biết x  y  z  xy  yz  zx x 2015 y 2015 z 2015 2đ 3 2016 0,5đ Ta có ThuVienDeThi.com x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z  xy  yz  zx   ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)  Chứng minh tìm 1đ x  y   y  z   x  y  z z  x    y 2015  z 2015  32016 ta có  32015  z  Vậy x = y = z = Thay vào x = y = z vào x z 2015  32016  z 2015 2015 0,5đ 6đ Bài 4(6đ) N K M B C I O A D E a) Xét BIO CMO có: 1đ ฀  MCO ฀ IBO ( 450 ) BO = CO ( t/c đường chéo hình vng) ฀  COM ฀ ฀ ( phụ với BOM ) BOI  BIO = CMO (g.c.g)  S BIO  SCMO mà S BMOI  S BOI  S BMO ThuVienDeThi.com 1đ 1 4 b) Ta có CM = BI ( BIO = CMO )  BM = AI BM AM IA AM Vì CN // AB nên    CM MN IB MN  IM // BN ( Định lí Talet đảo) Hay S BMOI  SCMO  S BMO  S BOC  S ABCD  a Hay IMNB hình thang Vì OI = OM ( BIO = CMO ) ฀ ฀  MIO  450  IOM cân O  IMO Vì IM // BN  IM // BK ฀ ฀ ฀ ฀  BKM  IMO  450 ( sole trong)  BKM  BCO c) Qua A kẻ tia Ax vng góc AN cắt CD E Chứng minh ADE  ABM ( g c.g )  AE  AM 1,5đ 0,5đ 0,75đ Ta có ANE vng A có AD  NE nên AD.NE AN AE  2  AD.NE  AN AE  ( AD.NE )  ( AN AE ) S AEN  áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN2 + AE2 = NE2 AD ( AN  AE )  AN AE  Bài5 (1,5đ) 2 0,75đ 1 1 AN  AE     2 2 AN AE AD AE AN AD 1 Mà AE  AM CD = AD    2 CD AM AN 0,5đ A x hc B C D Qua C vẽ Cx song song AB gọi D điểm đối xứng A qua Cx  ฀ BAD  900 ; CD = AC = b; AD = 2hc Xét điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD ฀ Tam BDA có BAD  900 theo định lý pitago AB  AD  BD  ( BC  CD )  c  4hc2  ( a  b)  4hc2  ( a  b)  c (Dấu ‘‘ = ’’ xẩy a = b) Chứng minh tương tự: 4ha2  (b  c )  a (Dấu ‘‘ = ’’ xẩy b = c) 4hb2  ( a  c )  b (Dấu ‘‘ = ’’ xẩy c = a) ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ  4( ha2  hb2  hc2 )  ( a  b  c ) (a  b  c) 4 ha2  hb2  hc2 Dấu ‘‘ = ’’ xẩy a = b = c  *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm trịn ThuVienDeThi.com ... thành nhân tử x  2016 x  2015 x  2016 x  2016 x  2015 x  2016  x  2015 x  x  2015 x  2015  1,5đ 0,5đ  ( x  x   x )  2015 x  2015 x  2015)  ( x  x  1)  x  2015( x  x  1)...PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015- 2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHM mÔN: TON (ỏp ỏn v biu im chm gồm 05 trang) Bài Bài (4,5đ)... y   y  z   x  y  z z  x    y 2015  z 2015  32016 ta có  32015  z  Vậy x = y = z = Thay vào x = y = z vào x z 2015  32016  z 2015 2015 0,5đ 6đ Bài 4(6đ) N K M B C I O A D E