Đề 1 thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7 Môn: Toán41822

§Ị thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- Môn: Toán Thời gian: 120 phút Bi 1:( điểm) a) Thực phép tính: A  212.35  46.92 22.3  84.35  510.73  255.492 125.7   59.143 b) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : 3n   2n   3n  2n chia hết cho 10 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: x    3,   5 a c a2  c2 a Bài 3: (2 điểm) Cho  Chứng minh rằng: 2  c b b c b Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng ฀ ฀ ฀ ฀ c) Từ E kẻ EH  BC H  BC  Biết HBE  50 ; MEB  25 Tính HEM BME §Ị thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn: Toán Thêi gian: 120 n 16  2n ; b) 27 < 3n < 243 Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) Bài Thực phép tính: Bài a) Tìm x biết: ( 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 2x   x b) Tìm giá trị nhỏ A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC ThuVienDeThi.com §Ị thi chän häc sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn: Toán Thời gian: 120 phút x y ; xy=84 Câu 1: Tìm cặp số (x; y) biết: 1+3y 1+5y 1+7y b/   12 5x 4x a/ C©u 2: Tìm giá trị nhỏ lớn biÓu thøc sau : A = x  +5 ; B= x  15 x2  C©u 3: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC a, Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b, Gọi N trung điểm DE Trên tia ®èi cđa tia NA lÊy M cho NA = NM C/minh: AB = ME vµ ABC= EMA Chøng minh: MA  BC §Ị thi chän häc sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn: Toán Thời gian: 120 2  3 2003     1     1  Câu ( điểm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- 6.    3.    1 : (  ; b2 3       2           12  a a3 C©u ( điểm) a, Tìm số nguyên a để số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y cho x-2xy+y=0 a a c Câu ( điểm) a, Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) với b,d khác b d b, Cần số hạng tổng S = 1+2+3+ để số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm) Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2-2y2=1 Đề thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- Môn: Toán Thời gian: 120 phút 163.310 120.69 1 Bài 1: a) So sánh hợp lý: ; b) Tính A =     46.312  611  16  2 c) Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chøng minh r»ng: x = y = z 200 1000 Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x 1 x  x  x  c) x    20 d)    2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tìm số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = b) x y z   x2 + y2 + z2 = 116 Bài : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x y ; x1, x hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương ứng y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= b) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c BiÕt víi a, b, c, d Z f (1) 3; f (0) 3; f (1) Chøng minh r»ng a, b, c ®Ịu chia hÕt cho n n c) Chứng minh : Với số nguyên dương n :    chia hết cho 10 Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi c) Đường thẳng Dn vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC ThuVienDeThi.com n n §Ị thi chän học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn: Toán Thời gian: 120 Câu Tìm x biết: a) x 1  5.3 x 1  162 Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: b) Cho Tính A = b) 3x +x2 = c) (x-1)(x-3) < x y z   x  y  z  100 a b c d    (a, b, c, d > 0) 2b 2c 2d 2a 2011a  2010b 2011b  2010c 2011c  2010d 2011d  2010a    cd ad ab bc Câu a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 27  x (với x nguyên) 12  x Câu a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c Chứng minh f(x) nhận -1 nghiệm a c số đối b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =  x     y   2007 Câu Cho  ABC vuông A M trung điểm BC, tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Gọi I K chân đường vng góc hạ từ B C xuống AD, N chân đường vng góc hạ từ M xuống AC a) Chứng minh BK = CI BK//CI b) Chứng minh KN < MC c)  ABC thỏa mãn thêm điều kiện để AI = IM = MK = KD d) Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống BC Chứng minh đường thẳng BI, DH, MN đồng quy §Ị thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: Toán Thời gian: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: Tìm số nguyên x thoả mÃn: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A =x +8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385 TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chøng minh ID =1/4BD §Ị thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n Thêi gian: 120 a b c a abc Câu ( 2đ) Cho: Chøng minh:    b c d d bcd a c b Câu (1đ) Tìm A biÕt r»ng: A =   bc ab ca Câu (2đ) Tìm x Z để A Z tìm giá trị x3 x2 Câu (2đ) Tìm x, biết: a) A = a) Câu (3®) x3 = b) A = b)  2x x3 ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH AE, CK  AE, (H,K  AE) Chứng minh MHK vuông cân ThuVienDeThi.com Đề thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n Thêi gian: 120 x  x  03y Bài 1: (1,5 điểm) Tính A  biết x  ; y số nguyên âm lớn 2 x y  x 11  x x  16 y  25 z    Tìm x+y+z Bài 2: (2 điểm) Cho   16 25 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y  Z biết 2xy+3x = ; 16 - 72 + 90 Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng A(AB 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: ( (4 ®iÓm) 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1  (1      49) (         ) 9 14 14 19 44 49 12 ThuVienDeThi.com = 1  (12.50  25) 5.9.7.89 (  )   49 89 5.4.7.7.89 28 Bài (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết: 2x x  Ta cã: x +  => x  - + NÕu x  - th× x   x  => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu -  x < - Th× x   x  => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã giá trị x thoả mÃn b) Tìm giá trị nhá nhÊt cña A = x  2006  2007  x Khi x thay ®ỉi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006  x  2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhá nhÊt lµ 2006  x  2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đường thẳng, ta có: xy= (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: x 12 x y xy 1      : 11  y 12 11 33 => x = 12 ( vòng)  x  (giê) 33 11 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ĩ kim ®ång hå tõ 10 giê đến lúc nằm đối diện đường thẳng 11 Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy ®iÓm I cho CI = CA, qua I vÏ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI F ABM =  DCM v×: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F ฀AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID  AC I Vµ FAI = CIA (so le trong) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) A Tõ (1) vµ (2) =>  CAI =  FIA (AI chung) => IC = AC = AF B (1) H M ThuVienDeThi.com (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) =>  AFE =  CAB =>AE = BC Đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp Môn: Toán Đáp án đề toán Câu 1: Tìm tất số nguyên a biÕt * a = => a = 0; * a = => a = hc a = - 3; * a a  ;  a  => a = 0; 1; 2; ; = => a = hc a = - ; * a a = => a = hc a = - = => a = hc a = - Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: * 10 nhỏ  11 9 9 63 63 63     => 10 x 11 70 x 77 => -77 < 9x < -70 V× 9x  => 9x = -72 => x = Vậy phân số cần tìm Câu Cho ®a thøc: P x  = x + 2mx + m vµ Q x  = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m  4m = -1  m = -1/4 x y xy 84 x y =>    4  ; xy=84 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x =  14 => y2 = 4.4 = 16 => x =  C©u 4: Tìm cặp số (x; y) biết: a / Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 ; b/ x = - 6; y = -14 1+3y 1+5y 1+7y   12 5x 4x 1+3y 1+5y 1+7y  7y   5y 2y  5y   3y 2y       12 5x 4x 4x  5x x 5x  12 5x  12 2y 2y 1 3y y    y => => -x = 5x -12 => x = Thay x = vµo ta được: x x 12 12 2 1 1 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = VËy x = 2, y = thoả mÃn đề 15 15 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thøc sau : A = x  +5 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: Ta cã : x   DÊu = x¶y  x= -1  A  M DÊu = x¶y  x= -1 VËy: Min A =  x= -1    x  15 x   12 12 B= = =1+ 2 x 3 x 3 x 3 Ta cã: x  DÊu = x¶y  x =  P E N  x +  ( vÕ d­¬ng ) D 12 12 12 12     1+  1+  B  x 3 x 3 x 3 A DÊu = x¶y  x = VËy : Max B =  x = A:Đề 3- Câu 6: K T ThuVienDeThi.com I a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = XÐt BAE(c.g.c ) => DC = BE AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI  => CTI = 900 => DC b/ Ta cã: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP Xét AHC EMA ( ®pcm) MH EPA cã: CAH = AEP ( cïng phơ víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA c©u b) EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) Đáp án §Ị thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp Môn: Toán Câu 1.a 1.b 2.a Hướng dẫn chấm Thực theo bước kết -2 cho ®iĨm tèi ®a Thùc hiƯn theo tõng b­íc ®óng kÕt 14,4 cho điểm tối đa a a  a (a  1)  3 = a a 1 a 1 a 1 a a3 a số nguyên nên số nguyên số nguyên hay 0,25 a a Ta có : a+1 ước ta cã b¶ng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 a2  a  VËy víi a 4,2,0,2thì số nguyên a 2.b §iÓm 1§iÓm 1§iÓm 0,25 0,25 0,25 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau : y  x    2 x   1  y  0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 0,25 1  y  1  x   2 x   y  Hc  3.a VËy cã cỈp số x, y thoả mÃn điều kiện đầu Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) 3.b a c Hay ad=bc Suy  ( ĐPCM) b d Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) 0,5 0,5 Gọi số số hạng tổng n , ta cã : n(n  1)  111a  3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,25 VËy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1    32  200 1   2 800 1000 >   2 =   2 200 1000 1   2 ThuVienDeThi.com 2   3.2.5.2 2.3 b) P  2   2.3 10  12 11 12 10 212.310  310.212.5 1    12 12 11 11  11 11  3 2.3  1 6.212.310 4.211.311   7.211.311 7.211.311 x y z y x z x z y x y z c) Vì x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy   ;  ;   tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng  x y z   ¸p dơng y z x x y z x yz    1 x  y  z y z x yzx Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 Tìm x =1,5 ; x = -0,5 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 c) x    20 (0,25điểm) (0,5điểm) x    20  x    20 ; x    20 x    20  x   28  x = 25; x = - 31 x    20  x   12 : vô nghiệm d) x 1 x  x  x  x 1 x2 x 3 x4     1 1  1  1 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    2009 2008 2007 2006  x  2010 x  2010 x  2010 x  2010    0 2009 2008 2007 2006 1    x  2010        x  2010   x  2010  2009 2008 2007 2006  Bài 3: a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 =  (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 =  3x - = 0; y2 - = ; x - z = b)  x=z= ;y = -1;y = x y z   x2 + y2 + z2 = 116 x y z x  y  z 116     4 16   16 29 Từ giả thiết  Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) Bài 4: a) V× x, y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 2 x1 y2 y y y y y y  y2 52 y  y          1     4 94 13 x2 y1 y1   3 ) y12  36  y1  6 Víi y1= - th× y2 = - ; Víi y1 = th× y2= b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ThuVienDeThi.com ) f (0)  c  ) f (1)  a  b  c   a  b  1 ) f (1)  a  b  c   a  b  2  Tõ (1) vµ (2) Suy (a + b) +(a - b)   2a   a  v× ( 2; 3) =  b VËy a , b , c ®Ịu chia hÕt cho 3n   2n   3n  2n = 3n   3n  2n   2n = 3n (32  1)  2n (22  1) = 3n 10  2n   3n 10  2n1 10 = 10( 3n -2n-1) n n n n Vậy     10 với n số nguyên dương c) B H D M I N Bài 5: A a b c d AIC = BHA  BH = AI BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 AM, CI đường cao cắt N  N trực tâm  DN  AC BHM = AIM  HM = MI BMH = IMA mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900  HMI vuông cân  HIM = 450 mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM phân giác HIC C (0,5điểm) (0,75điểm) (0,75điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) *) Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng, ủửụùc ủieồm toỏi Đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp Môn: Toán P ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG âu a) (1,5đ) ,5 đ) x 1 (1+5) = 162  x 1 = 27 => x-1= => x = b) (1,5đ) 3x +x2 =  x(3 + x) = x=0 x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < x-1 > x-3 nên x   (x-1)(x-3) <   1 x  x   âu a) (1,5đ) x y z ,0 đ) Từ   ta có: 0,75 0,75 0,75 0,75 0,5 1,0 0,75 x y z x 2 y z 2 x  y  z  100        4 16 25 18 32 75  25  25 ĐIỂM ThuVienDeThi.com 0,75 NỘI DUNG CÂU ĐIỂM  x    y   x  36  x  10     64 ( Vì x, y, z dấu) y    x    z  100  y  8    z  10 b) (1,5 đ) Ta có a b c d abcd      (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) 2b 2c 2d 2a 2b  2c  2d  2a suy a = b = c= d Thay vào tính P = âu a) (1,5đ) ,0 đ) Ta có x + y + xy =2  x + + y(x + 1) =  (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + y + phải ước Lập bảng ta có: 0,5 0,5 0,5 0,75 x+1 -1 -3 y+1 -3 -1 x -2 -4 y -4 -2 0,5 Vậy cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) (1,5 đ) 0,25 Q= 0,25 27  x = 2+ 12  x 12  x A lớn lớn 12  x * Xét x > 12 Vì phân số có tử mẫu số dương, tử không 12  x 0,25 0,25 0,25 đổi nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ 12-x   Vậy để lớn  x  Z  x = 11 12  x 12-x nhỏ  A có giá trị lớn x =11 âu a) (2,0 đ) ,0 đ) Ta có: nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a c hai số đối b) (2,0 đ) Ta có  x     , x =>  x     Dấu "=" xảy  x = y   , y Dấu "=" xảy  y = -3 0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 Vậy P =  x     y   2007  + 2007 = 2011 ThuVienDeThi.com 0,5 CÂU NỘI DUNG Dấu "=" xảy  x = y = -3 Vậy giá trị nhỏ P = 2011  x = y = -3 âu ,5 đ) ĐIỂM 0,5 B K D M H I A N O' C O a) (2,0 đ) - Chứng minh  IBM =  KCM => IM= MK - Chứng minh  IMC =  KMB => CI = BK góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ AM = MC =>  AMC cân M => đường cao MN đồng thời đường trung tuyến  AMC => N trung điểm AC  AKC vng K có KN trung tuyến => KN = Mặt khác MC = AC BC 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 Lại có  ABC vng A => BC > AC => 1 BC > AC hay MC > KN 2 Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD cần AI = IM Mặt khác BI  AM => BI vừa trung tuyến, vừa đường cao  ABM =>  ABM cân B (1) Mà  ABC vng A, trung tuyến AM nên ta có  ABM cân M (2) Từ (1) (2) ruy  ABM => góc ABM = 600 Vậy vng  ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI DH cắt tia MN Gọi O giao điểm BI tia MN, O’ giao điểm DH tia MN Dễ dàng chứng minh  AIO =  MHO’ => MO = MO’ => O  O’ Suy BI, DH, MN đồng quy Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI BH cắt tia đối tia MN Chứng minh tương tự trường hợp Vậy BI, DH, MN đồng quy (Học sinh sử dụng cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy đường cao ) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý: - Lời giải trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hồn chỉnh, lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh trình bày nhiều cách giải khác cho điểm tng ng Đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp Môn: Toán Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc +, Nếu số a,b,c số lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2 -, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 Tóm lại có số (a,b,c) thoà mÃn toán (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ) a.(1đ) 5x-3 -2 x>1 *Nếu 3x+1 x1 x x4 (0,25®) (1)4-x+2x=3 => x=-1( thoả mÃn đk) (0,25đ) *4-x x>4 (0,25đ) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) áp dụng a+b a+bTa cã A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25®) x  =>0x8 (0,25®) 8  x  * x  => 8  x  * x không thoà mÃn(0,25đ) x Vậy minA=8 0x8(0,25đ) Câu4 Ta có S=(2.1)2+(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 A =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ) Câu5.(3đ) D E C B ThuVienDeThi.com M Chøng minh: a (1,5®) Gäi E trung điểm CD tam giác BCD có ME đường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID đường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME Đường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) Đáp án §Ị thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp Môn: Toán Câu Ta có a b c a  (1) b c d d Ta l¹i cã a b c abc    (2) b c d bca abc a Tõ (1) vµ(2) =>    d bcd  a c b abc C©u A = =   bc ab ca 2a  b  c  NÕu a+b+c  => A = NÕu a+b+c = => A = -1 C©u a) A = + x2 ®Ĩ A Z x- ước => x – = ( 1; 5) * x = => A = * x = => A = - b) A = -2 x3 * x = => A = * x = -3 => A = ®Ĩ A  Z x+ ước => x + = ( 1; 7) * x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 C©u a) x = hc - b) x = - 11 c) x = Câu ( Tự vẽ hình) MHK cân t¹i M ThËt vËy:  ACK =  BAH (gcg) => AK = BH  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH VËy:  MHK c©n M Đáp án Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp Môn: Toán Bi1: (1,5 điểm) + Tìm được: x = (0,5đ) ; y = -1 ThuVienDeThi.com + Với x = - ; y = -1  A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1  A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ (0,75đ) =  (2 – x)( + ) =  x = + + Thay x =  = = = = (1đ) = (0,25đ) +  x + y + z = 100 Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = + Chỉ x, y Zx (0,5đ) Ư(4) 2y + lẻ (0,5đ) + Lập bảng (1đ) x -4 -2 -1 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm) a) Chỉ được; a + b + c + d =  đpcm (hoặc tính P(1) =  đpcm) + x = (1) (0,25đ) b) + Rút được: + Biến đổi P = (3 = 3x( +3 )+( + x) + ( (0,5đ) + x) – 9x + (1đ) + x) – 9x + + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ câu 1): a) Chỉ F giao điểm trung trực  BEC  F trung trực BC  BFC cân (học sinh chứng minh: FC = FE; FB = FE (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) đpcm) b) + Tính EBC = 15 + Hạ FK AB  FKB = FHC (ch + cgv) BFC vuông cân  FBC = 45 + Kết luận BFE K F (0,5đ) (0,75đ) (0,25đ) (0,25đ) B A F H C Đáp án Đề 10 thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp Môn: Toán ThuVienDeThi.com Bi 1: (1điểm) =  = = N, x ≠  x, y, z = = = = 0,5đ 0,25đ 0,25đ = =1 x = 2; y = 3; z = Vậy = 235 Bài 2: (1,5 điểm) Suy ra: = a(b – c) 0,5đ 0,25đ 0,25đ  = (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ  = = Ta có: + + + ac + biến x khi: + ab + (vì + 16 = 25) (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) = Bài 3: (2,5điểm) a/ (1 điểm) f(x) = ( = - 25) + (20 + 4m) +7 - đa thức bậc - 25 = 20 + 4m ≠ 0,5đ 0,25đ 0,25đ  m = m ≠ -5 Vậy m = f(x) đa thức bậc biến x b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 g(x) = - 72 + 90 = + 0,25đ 0,25đ +9 +9 ≥  g(x) = Với giá trị x ta có: Giá trị nhỏ g(x) =0 Khi  - 2.4 -9=0 =9 + ≥ 0,25đ 0,25đ = x= 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia a số dư r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r  5a < 112  a 22 (1) *a > r  5a + r < 5a + a 112 < 6a a > 112 : a ≥ 19 (2) Từ (1) (2)  a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: 0,5đ 0,5đ a 19 20 21 22 r = 112 – 5a 17 12 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra: CH = CF Kết luận  FCH cân C -Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh  FIG cân I - Suy ra: AH = IG, IGK = AHK - Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g) - Suy AK = KI ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB E Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân A, B Suy ra: BE = BF AE = AH BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra:  ABI cân B Mà BO phân giác góc B, BK đường trung tuyến  ABI nên: B, O, K ba điểm thẳng hàng 0,5đ 0,5đ 0,5đ A E H K O B G F I C §¸p ¸n §Ị 11 thi chän häc sinh giái cÊp trường lớp Môn: Toán Bi 1: (2,0 im) 28  x = 28  y 0,25 x y x y  47 x y 22      x  8; y  14 11   0,25 0,25 x y x y y z y z x y z    ;       15 20 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x  3y  4z (1)     30 60 96 30  60  96 3x y z 3x  y  z (1)     45 80 120 45  80  120 x  y  z x  y  z 2x 3x  : = : 30  60  96 45  80  120 30 45 2x  3y  4z 245 x  y  z 186  1 M   186 3x  y  z x  y  z 245 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2: ( 2,0 điểm) Ta cã 2H = 2011  2010  2009  2  2H-H = 2011  2010  2010  2009  2009  2  2    H = 2011  2.2 2010  H  2011  2011    2010H = 2010 0,25 0,25 0,25 0,25 Thực tính: 2.3 3.4 4.5 16.17     2 16 2 17       2 2 M = 1 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... 3.2.5.2 2.3 b) P  2   2.3 10  12 11 12 10 212 . 310  310 . 212 .5 ? ?1    12 12 11 11  11 11  3 2.3  1? ?? 6. 212 . 310 4. 211 . 311   7. 211 . 311 7. 211 . 311 x y z y x z x z y x y z c) Vì x,... Ta có: * 11 2 = 5a + r  5a < 11 2  a 22 (1) *a > r  5a + r < 5a + a 11 2 < 6a a > 11 2 : a ≥ 19 (2) Từ (1) (2)  a = 19 ; 20; 21; 22 lập bảng số: 0,5đ 0,5đ a 19 20 21 22 r = 11 2 – 5a 17 12 Bài 5:... 12 00 Trên tia đối tia CB lÊy ®iĨm D cho CD=2CB TÝnh gãc ADE Câu ( 1? ?iểm) Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2-2y2 =1 Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7- Môn: Toán Thời gian: 12 0 16 3. 310  12 0.69