Các dạng Toán học luyện thi vào lớp 1041807

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 A Căn thức biến đổi thức A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học cđa x  - Mét c¸ch tỉng qu¸t: x  a   x  a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a b a b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 A a Căn thøc bËc hai - Víi A lµ mét biĨu thøc đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác ®Þnh (hay cã nghÜa)  A  A2  A b Hằng đẳng thức - Với A ta cã - Nh­ vËy: + A2  A A2  A nÕu A  + A2   A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A  vµ B  ta cã: A.B  A B + Đặc biệt với A ta cã ( A )  A2  A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số không âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương A A B B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a không âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu a Định lí: Với A  vµ B > ta cã: - Víi hai biĨu thøc A, B mµ B  0, ta cã + NÕu A  vµ B  + Nếu B < B b Đưa thừa số vào dấu A2 B  A B , tøc lµ A2 B  A B A2 B   A B + Nếu A B A B  A2 B + NÕu B < vµ B  th× A B   A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy ThuVienDeThi.com - Với biểu thức A, B mà A.B vµ B  0, ta cã A  B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta cã A A B  B B - Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A  vµ A  B , ta cã C C ( A  B)  A  B2 AB - Víi biểu thức A, B, C mà A 0, B  vµ A  B , ta cã C ( A  B) C  A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a sè x cho x3 = a - Víi mäi a th× ( a )3  a  a b TÝnh chÊt - Víi a < b th× a  b ab  a b - Víi mäi a, b th× - Với a b 3 a 3a  b 3b A.2 KiÕn thøc bæ xung A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n (  n  N ) cđa sè a lµ mét số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số có bậc lẻ Căn bậc lẻ số dương số dương Căn bậc lẻ số âm số âm Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số số Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức k A xác định với A 2k A xác định với A  k 1 2k   A2 k  A víi  A k 1 2k A.B  k 1 A.2 k 1 B víi  A, B A.B  k A k B víi  A, B mµ A.B  k 1 2k A2 k 1  A víi  A A2 k 1.B  A.2 k 1 B víi  A, B A2 k B  A k B víi  A, B mµ B  ThuVienDeThi.com  k 1 2k  A  B A  B m n k 1 k 1 2k A 2k B A víi  A, B mµ B  B víi  A, B mµ B  0, A.B  A  mn A víi  A, mµ A  m n  A  A víi  A, mµ A  A.2.2 BÊt đẳng thức bất phương trình Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), ,fn(x) biểu thức f1 ( x)  f ( x)   f n ( x)  f1 ( x)  f ( x)   f n ( x) m n Đẳng thức xảy fi ( x) i  1, n cïng dÊu  Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , an số không âm, a1 a2 an n a1.a2 an n Đẳng thức x¶y a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, , an ) vµ (b1, b2, …, bn ) lµ hai bé sè bất kì, (a1b1 a2b2 anbn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) a a a Đẳng thức xảy   n (quy ­íc bi == th× = 0) b1 b2 bn Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x)  (  0)    f ( x)    f ( x)   (  0)  f ( x)   hc f ( x)   A.2.3 DÊu cđa nhÞ thøc bËc nhÊt dấu tam thức bậc hai a Cho nhị thøc f(x) = ax + b (a  0) Khi ®ã ta cã x - -b/a f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a b Cho tam thøc f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi ®ã ta cã  NÕu   x - -b/2a f(x) = ax + bx + c Cïng dÊu víi a  NÕu   x - x1 f(x) Cïng dÊu a Tr¸i dÊu a + Cïng dÊu víi a + Cïng dÊu víi a x2 + Cïng dÊu a A.2.4 BiÕn ®ỉi tam thøc bËc hai Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Khi ®ã ta cã b  f ( x)  ax  bx  c  a ( x  )  víi   b  4ac 2a 4a   b  NÕu a > th× f ( x)  nªn f ( x)  x x  R 4a 4a 2a   b  NÕu a < th× f ( x)  nªn max f ( x)  x xR 4a 4a 2a k * Chó ý NÕu A  (k lµ số dương) ta có A' Amin  A’max  Amax  A’min ThuVienDeThi.com A.3 VÝ dơ minh häa A.4 Bµi tËp chän läc x 3 x 2     Bµi Cho biÓu thøc: P      x 1     x x  x   x  x 1 a Rót gọn P b Tính giá trị P với x   2   2x  x 1 2x x  x  x   Bµi Cho biĨu thøc P      : x    x 1 x x  1 x  a Rót gän P b Tính giá trị P với x c Tính giá trị lớn a ®Ĩ P > a x x 3 2( x  3) ( x  3)   Bµi Cho biÓu thøc P  x 2 x 3 x 1 3 x a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cđa P víi x  11  c Tìm giá trị nhỏ P x   x 3 x 2 x 2  Bµi Cho biÓu thøc : M  1     :   x    x   x x  x    a Rót gän M b T×m x để M > c Tìm giá trị củ m để có giá trị x thỏa m·n: M ( x  1)  m( x  1)  Bµi 5: Cho biĨu thøc: A  x  x2  x  x  x2  x x  x2  x x x2 x a Tìm điều kiện x ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän A c Tìm x để A x  x  x x  x  Bµi 6: Cho A        x    2 x   x a Rút gọn A b Tìm x để A > -6  x   10  x    Bµi 7: Cho B    :  x    x 2  x 2  x4 2 x a Rót gän B b Tìm x để B > 2 Bµi 8: Cho C    x 1 x x 1 x  x 1 a Rót gän C b Chøng minh r»ng C < Bµi 9: Cho biÓu thøc: A  x  x  12 x  a Rót gän A b Tìm x để A = -15 Bài 10: Cho biÓu thøc: y  x    8x2 x  x  1  2x  a Rót gän y b Tìm giá trị nguyên x để y có giá trị nguyên ThuVienDeThi.com Bài 11: Cho biểu thức: A  x  x   x  x  víi x ≥1 a Rót gọn A b Tìm giá trị nhỏ A Bµi 12: Cho biĨu thøc: A  x  x  x  a Rót gọn tìm giá trị A a = -5 b T×m x A = 15     Bµi 13: Cho biĨu thøc: M    1 x  :   1  1 x    x2  a Rút gọn M b Tìm giá trị M x c Tìm giá trị x để M M Bài 14: Cho biÓu thøc: Q = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + a Chøng minh Q ≥ víi mäi x 5 b TÝnh gi¸ trị Q x Bài 15: Cho biÓu thøc: A  x   x   12 x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A = Bài 16: Rút gọn biÓu thøc: A  x   x x tìm giá trị x ®Ĩ A = 3/2 Bµi 17: Cho biĨu thøc: y  x4   x2    x2  a Rót gän y b Tìm giá trị lớn y x 9 x  x 1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: Q    x 5 x 6 x  3 x a Rót gän råi t×m giá trị x để Q < b Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên 3x x x x 2   Bµi 19: Cho biĨu thøc: P  x x 2 x  1 x a Rút gọn P b Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x2 x 2x  x Bµi 20: Cho biĨu thøc: Q   1 x  x 1 x a Rót gän Q b BiÕt x > 1, h·y so s¸nh Q với {Q} c Tìm x để Q = d Tìm giá trị nhỏ Q? x2 Bµi 21 Cho biĨu thøc M  x  (  2) x  a Rót gọn M b Tìm x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn Bài 22 Cho biÓu thøc ThuVienDeThi.com A x    12 x x  ( x  2)  x a Rót gän A b Tìm giá trị nguyên x để giá trị A số nguyên 3x x  x 1 x 2   Bµi 23 Cho biĨu thøc C  x x 2 x x a Tìm điều kiện cỉa x ®Ĩ C cã nghÜa b Rót gän biĨu thøc C c Tìm giá trị nguyên x để giá trị C số nguyên Bài 24 Cho biÓu thøc  x x 3x    x   P      1 , víi x  vµ x  : x  x    x   x 3  a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P < -1/3 c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 25 Cho biểu thức x 9 x  x 1 Q   x 5 x 6 x  3 x a Tìm giá trị x để Q có nghĩa b Rút gọn Q c Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên Bài 26 Cho biÓu thøc x  4( x  1)  x  4( x  1)   1    x 1  x 4( x 1) a Tìm điều kiện x để M có nghĩa b Rút gọn M Bài 27 Cho biÓu thøc  1  1  x3  y x  x y  y    : A   víi x > 0, y >  y  x  y x y  x3 y  xy  x a Rót gän A b BiÕt xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Bài 28 Cho biÓu thøc M     B  ( x  x  1) :  x     x    , víi x  x  x    a Rót gän B b Tìm giá trị x để B có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Bài 29 Cho biÓu thøc:    1 x 1 x 1 x   x P           x    x   x   x   x   x  1 x  1 x a Tìm điều kiện để P có nghĩa b Rút gọn P Bµi 30 Cho biĨu thøc A  x  x   x a Rút gọn biểu thức A b Với giá trị x A = -3 Bài 31: Cho A   x  x 1  x  x 1  1    x 1  x  4( x  1) ThuVienDeThi.com a Tìm điều kiện x để A cã nghÜa b Rót gän A Bµi 32: Cho biĨu thøc: A  x  x   x  x  a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Tính giá trị A x x 1 : x  x x x x x a Tìm điều kiện x để A cã nghÜa b Rót gän A Bµi 33: Cho A  x3  x   Bµi 34: Cho B  x  x 1 x  x 1 x a Tìm điều kiện x ®Ĩ B cã nghÜa b TÜm x ®Ĩ B > 1     2x 1  x 2x x  x  x  x  x  x  Bµi 35: Cho biĨu thøc: E     x  x x x   a Tìm điều kiện để E có nghĩa b Rót gän E  a  b3  a 2  b 2 Bµi 36: Cho A    ab  : 1 1  a b a b a Tìm điều kiện cđa a, b ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän A Bµi 37: Cho biĨu thøc: A  x  x   x  x  a Rót gän A b T×m giá trị x để A = Bài 38: Cho biÓu thøc: A  x  x2  x  x  x2  x x  x2  x x  x2  x a Tìm điều kiện xác định A b Rút gọn A c Tìm x để A < a 2 Bµi 39: Cho biĨu thøc M  a a Tìm số nguyên a để M số nguyên b Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên a Bài 40 Cho biểu thức M a a Tìm số nguyên a để M số nguyên b Chứng minh với a = 4/9 M số nguyên c Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên Bài 41 Xét biểu thức a a B  (1  ):(  ) a 1 a 1 a a  a  a a Rút gọn B b Tìm giá trị cđa a cho B > c TÝnh gi¸ trÞ cđa B nÕu a   Bµi 42 XÐt biĨu thøc ThuVienDeThi.com x 9 x  x 1   x 5 x 6 x  3 x a Rót gän A b Tìm giá trị x để A < c Tìm giá trị nguyên x cho A số nguyên Bài 43 Xét biÓu thøc a 3 b  ab A  ab  a  b  ab  a  b  a Rót gän A b  10 (b  10) Chứng minh a/b = 9/10 b Cho giá trị cđa biĨu thøc A sau ®· rót gän b»ng b  10 Bµi 44 XÐt biĨu thøc  2 x 2 x 4x  x 3 P      :  2 x 2 x x4 x  x a Rót gän P b T×m giá trị x để P > 0, P < c Tìm giá trị x để |P| = Bµi 45:      2 1  Cho biÓu thøc: N   2   x 1   x 1   x 1  1   1         Rót gän råi tÝnh gi¸ trị x để N = 1/3 Bài 46: A x4 x4  x4 x4 16 1  x x Rút gọn tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 3   x  1  x   1  x     Cho biÓu thøc: P   x2 Rút gọn tính giá trị P x = 1/2, tõ ®ã tÝnh α cho sinα = P Cho biÓu thøc: A  Bµi 47 Cho biĨu thøc A  x  x  12 x  a Rót gọn A b Tính giá trị A x = 2/7 Bµi 48: Cho A  x   x  ®ã x  R x2 x Xác định x để giá trị A số tự nhiên x2  x x2  x Bµi 49 Cho biĨu thøc A    x 1 x  x 1 x  x 1 Bµi 50 Cho biĨu thøc A  x  x  x a Rút gọn B b Tính giá trị cđa x ®Ĩ B = -9 x 2 Bµi 51: Cho biĨu thøc: P    x  x  x 6 3 x ThuVienDeThi.com a Rút gọn P b Tìm giá trị lớn nhÊt cđa P  x y x y  Bµi 52: Cho P     xy  xy  a Rót gän P   x  y  xy   : 1    xy    2 c Tìm giá trị lớn P b Tính giá trị P với x B Hệ phương trình B.1 Kiến thức b.1.1 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn a Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c víi a, b, c  R (a2 + b2  0)  TËp nghiƯm cđa phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc nhât hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã vô số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c a c - NÕu a  0, b  th× đường thẳng (d) đồ thị hàm số y  x  b b - NÕu a  0, b = phương trình trở thành ax = c hay x = c/a đường thẳng (d) song song hc trïng víi trơc tung - NÕu a = 0, b phương trình trở thành by = c hay y = c/b đường thẳng (d) song song trùng với trục hoành b Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax by c Hệ hai phương trình bậc hai ẩn:  a ' x  b ' y  c ' ®ã a, b, c, a’, b’, c’  R  Minh häa tËp nghiƯm cđa hƯ hai ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Gäi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ®ã ta có (d) // (d) hệ vô nghiệm  (d)  (d’) = A th× hƯ cã nghiƯm (d) (d) hệ có vô số nghiệm Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm c Giải hệ phương trình phương pháp Quy tắc Giải hệ phương trình phương pháp Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đà cho để hệ phương trình có phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ d Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Quy tắc cộng Giải hệ phương trình phương pháp Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ đà cho b.1.2 Hệ phương trình đưa phương trình bậc hai ThuVienDeThi.com - Nếu hai số x vµ y tháa m·n x + y = S, x.y = P (víi S2  4P) ®ã hai số x, y nghiệm phương trình: x2 + SX + P = B.2 KiÕn thøc bæ xung b.2.1 Hệ phương trình đối xứng loại a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình hệ không đổi b Cách giải Đặt S = x + y, P = x.y, §k: S2 4P Giải hệ để tìm S P Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phương trình: t2 St + P = c Ví dụ Giải hệ phương tr×nh  x  y  x2  y   x  y  xy   x  y  xy      2  x  y  xy  13  x  y  x  y  22  xy ( x  1)( y 1) 12 Giải phương trình x  17  x  x 17  x  (  48 ) x  (  48 ) x  14 b.2.2 Hệ phương trình đối xứng loại a Định nghĩa Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình trở thành phương trình ngược lại b Cách giải Trừ vế theo vế hai phương trình hệ để phương trình hai ẩn Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm thành phương trình tích Giải phương trình tích để biểu diễn x theo y (hc y theo x)  ThÕ x y (hoặc y x) vào phương trình hệ để phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa tìm ròi suy nghiƯm cđa hƯ c VÝ dơ  Gi¶i hệ phương trình x y y   x  13 x  y   2 y  x  x   y  13 y x Giải phương trình x 2x 1 2x2  x  x b.2.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc a Định nghĩa 2 ax bxy cy - Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 2 a ' x  b ' xy  c ' y b Cách giải - Xét xem x = có nghiệm hệ phương trình không - Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phương trình hệ - Khử x giải hệ tìm t - Thay y = tx vào hai phương trình hệ để phương trình ẩn (ẩn x) - Giải phương trình ẩn để tìm x từ suy y dùa vµo y = tx * L­u ý: ta cã thĨ thay x bëi y vµ y bëi x phần để có cách giải tương tự c Ví dụ Giải hệ phương trình ThuVienDeThi.com 10 2  x  xy  y    y  xy  2 2 x  xy  y   2  x  xy  y  B.3 VÝ dơ minh häa B.4 Bµi tËp chọn lọc Bài Giải hệ phương trình ( x  2)( y  2)  xy ( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3)    ( x  4)( y  3)  xy  ( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5)  18 ( x  5)( y  2)  xy  ( x  5)( y  12)  xy 4x    x  y    x  y  15  y  14 13   x  y  36     10   x y  2x  y 1 x  y   16  11   x  y  2( x  1)  31    x   y   10      18  x  y  9x y    28   x  12 y  15    x  2y  x  2y 1    20    x  y x  y  xy  y  x   2  y  x y  x   x   y    2 x   y   ( x  1)  ( y  2)  ( x  1)  ( y  1)  2 ( x  y  3)  ( x  y  1)   x7  y6       13  x  y6 4( x  y )  5( x  y )  40  40 x y  x y 9  ( x  3)( y  5)  xy  ( x  2)( y  5)  xy   3x  y  x  y      3  x  y x  y x x   y y  12     x  x 2  x  12 y ( x  3)  y  2 x  y  10   2 3( x  3)  y   x  y Bài Giải hệ phương trình  x   y    y  x      x   y   y  x    x   y    x  10 x  25  x     x   y   x  10 x  25   x  x  xy  y    x  xy  y   x  y  2( xy  2)  x  y   x x  y y  341   x y  y x  330  x  y  xy    2  x  y  x  y  22 ThuVienDeThi.com ( x  y )  4( x  y )  45  ( x  y )  2( x  y )   xy  x  y    3 x  y    x  y   x  y 1       1,5  x  y  x  y  1 x  y    1    x y 15 7 x  13 y  39  5 x  11 y  33  x   y     x   y    x   y     x  y   1 2  x  y  11   x  xy  y    x  y  xy   2  x  y  xy  13 11  x  xy  y   2 y  x  2  x  x y  y  481  2  x  xy  y  37 2  x  y  x  y   2  y  x  xy   x  y  10  x  y   x3  y   5 2  x  y  x  y x  y    x y 13 y  x    x  y  65  ( x  1)( y  1)  18 x  y   3 2 x  y  x  y  x y  xy    xy  x  y  ( x  1)( y  1)  10  ( x  y )( xy  1)  25  x3  y   2  x y  xy   x  y  97  2  xy ( x  y )  78  x  y  xy    x  y  xy   x  y  xy    2  x  y   x  xy  y  84   x  xy  y  14 x  y  z   2  x  y  z  27  xy  x  y  19  2  x y  xy  84  xy ( x  1)( y  1)  72  ( x  1)( y  1)  x  y   5  x  y  31  x  y  xy   2 x  y  ( x  1)( y  1)  10  ( x  y )( xy  1)   x  xy  y    x  xy  y   x3  x  y   y  x  y  x   y    x  y    x  xy  y    x  xy  y   x  y  z  12   xy  yz  zx  12 2 x  x  xy  y   2 y  y  xy  x   x  ( x  y )  17  2  y  ( x  y )  25  x3  y   4  x  y  2 x  y  y   2 y  x  x   x3   y   y   x x  y   4  x  y  17  x  xy  y  11  2 ( x  y ) xy  108  x3  x  y   y  y  x  x  y  z   3  x  y  z  ( x  y )( x  y )   2 ( x  y )( x  y )   x y   y  2  xy   x 2 x  x  xy  y   2 y  y  xy  x  C¸c bµi HPT cã chøa tham sè Bµi Cho hƯ phương trình x y m 9 x  m y  3 a Víi giá trị m hệ phương trình vô nghiệm b Với giá trị m hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi hÃy tìm dạng tổng quát nghiệm hệ phương trình c Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm Bài Với giá trị m hệ phương trình ThuVienDeThi.com 12 mx y    x  my  Khi hÃy tìm giá trị x y m Bài Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình 2mx y  m  x  y  m 1 Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên Bài Cho hệ phương trình x y x y a Giải hệ phương trình đà cho phương pháp đồ thị b Nghiệm hệ phương trình đà cho có phải nghiệm phương trình 3x 7y = - không ? c Nghiệm hệ phương trình đà cho có phải nghiệm phương trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? Bài Cho hai đường thẳng (d1): 2x – 3y = vµ (d2): 7x – 5y = -5 Tìm giá trị a để đường thẳng y = ax qua giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) Bài Cho ba đường th¼ng (d1): y = 2x – (d2): y = (d3): y = (2m – 3)x – T×m giá trị m để ba đường thẳng đồng quy  x  ay  Bµi 10 Cho hệ phương trình ax y Tìm giá trị a để hệ phương trình ®· cho cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn x > 0, y < Bài 11 Tìm giá trị a b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(-5; -3) điểm B(3; 1) Bài 12 Tìm giá trị m để mx y a Hệ phương trình: có nghiệm thỏa mÃn điều kiện x > 0, y < 2 x  3my  mx y b Hệ phương trình: có nghiệm thoả mÃn điều kiện x > 1, y > 4 x  my  Bµi 13 Cho hệ phương trình mx y 2m x my m Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên Bài 14 Cho hệ phương trình (m 1) x my 2m   mx  y  m Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bài 15 HÃy tìm giá trị m n cho đa thức P(x) = mx3 + (m + 1)x2 – (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x 1) (x + 2) Bài 16 Cho hệ phương trình (m  1) x  y  m    x  (m  1) y  T×m giá trị m để hệ phương trình có nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn: S = x + y đạt giá trị lớn Có nghiệm thỏa mÃn điều kiƯn x  y  Bµi 17 Cho hƯ phương trình mx my m m, n c¸c tham sè  mx  y  2m a Giải biện luận hệ phương trình ThuVienDeThi.com 13 b trường hợp hệ có nghiệm hÃy tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mÃn điều kiện x > 0, y < Bài 18 Tìm a b để hệ phương trình sau có nghiệmcó nghiệm với giá trị tham số m (m  3) x  y  5a  3b  m   x  my  am  2b  3m   y  x  x  a.x Bµi 19 Tìm tham số a để hệ phương trình sau cã nghiÖm nhÊt:   x  y  y  ay x  y m Bài 20 Biết cặp số (x, y) nghiệm hệ phương trình: 2 y x m HÃy tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P = xy + 2(x + y)  x  y  2a  Bài 21 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: Xác định giá trị tham sè a ®Ĩ hƯ tháa 2 y  x  a  a   m·n tÝch xy nhá nhÊt  xy  a  Bài 22 Cho hệ phương trình: 1 x y b Giải biện luận hệ phương trình biết x, y độ dài cạnh hình chữ nhật x my Bài 23 Cho hệ phương trình: mx y a Giải biện luận theo tham số m b Tìm số nguyên m ®Ĩ cho hƯ cã nghiƯm nhÊt (x; y) víi x, y số nguyên x my Bài 24 Cho hệ phương trình: (m lµ tham sè) mx 4 y  10  m a Giải biện luận theo m b Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên dương (m  1) x  my  3m  Bµi 25 Cho hệ phương trình: x y m Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (m 1) x my 2m Bài 26 Cho hệ phương trình:  mx  y  m  X¸c định tất giá trị tham số m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm (x; y) mµ tÝch P = xy đạt giá trị lớn mx y 2m Bài 27 Cho hệ phương trình: x  my  m  a Gi¶i hƯ m = -1 b Tìm m để hệ có vô sè nghiƯm, ®ã cã nghiƯm: x = 1, y = mx  y  m  Bài 28 Giải biện luận hệ phương trình sau ®©y theo tham sè m:  2 x  my   x  my  Bµi 29 Cho hệ phương trình: mx y a Giải hệ m = b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) mµ x > vµ y < c Tìm số nguyên n để có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên x my Bài 30 Cho hệ phương trình:  mx  3my  2m  a Gi¶i hƯ m = - ThuVienDeThi.com 14 b Gi¶i biện luận hệ đà cho theo m x y m Bài 31 Cho hệ phương trình: (m tham số nguyên) x y Xác định m để hệ có nghiệm nhÊt (x; y) mµ x > 0, y < mx  y  Bµi 32 Cho hƯ phương trình: x my a Giải biện luận hệ đà cho b Tìm điều kiƯn cđa m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x; y) tháa m·n hÖ thøc: x  y   m2 m2  mx  2my  m Bài 33 Cho hệ phương trình:  x  (m  1) y  a Chøng minh r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm nhÊt (x; y) điểm M(x; y) luôn thuộc đường thẳng cố định m thay đổi b Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ c Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính mx  y  m  Bµi 34 Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình: có nghiệm (x; y) với x; y x my m số nguyên x my Bài 35 Cho hệ phương trình: mx y a Giải biện luận theo m b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên c Chứng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x; y), điểm M(x; y) luôn chạy đường thẳng cố định d Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính Bài 36 Giải biện hệ phương trình: 2m x 3(m 1) y  x  y  m 1  x  my  a  b  c   x  y   m  x  y  m  m( x  y )  y  2mx  y Bài 37 Cho hệ phương trình: mx y a Giải hệ phương trình lúc m = b Giải biện luận hệ phương trình theo tham số mx y Bài 38 Cho hệ phương trình (m tham số ):   x  y  m a Chøng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm b Giải hệ lúc m khác Bài 24 Tìm nghiệm nguyên dương nhỏ hệ phương tr×nh: x  5y   x  y  z  20 a  b   x  11z  3 x  y z 37 Bài 39 Với giá trị x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 – 4x – 6y – 8z +3 =  x  y 25 Bài 40 Với giá trị m, hệ phương trình: có nghiệm? mx y m     2  x y 2a Bài 62 Cho hệ phương trình: Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm nghiệm xy  2a ThuVienDeThi.com 15  x  y  z 14 Bài 41 Giải hệ phương tr×nh:  1   x y z (x, y, z số dương)   2x 3y 6z          x y m Bài 42 Cho hệ phương trình: y x Xác định m để hệ phương trình cã nghiÖm kÐp x  y   x y m Bài 43 Cho hệ phương trình: Xác định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm y x  xy  x  y  71 Bµi 44 Cho x, y hai số nguyên dương cho: Tìm giá trị biểu thức: M = x2 +y2  x y  xy  880  x  my  m  Bµi 45 Cho hệ phương trình: mx y 3m a Giải biện luận hệ phương trình b Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị m hệ phương trình cã nghiÖm nhÊt? (a  1) x  y a Bài 46 Cho hệ phương trình:  (a lµ tham sè)  x  (a  1) y a Giải hệ phương trình với a = b Giải biện luận hệ phương trình c Tìm giá trị nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên d Tìm giá trị a ®Ĩ nghiƯm cđa hƯ tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y nhỏ Bài 47 Lập phương trình đường thẳng qua gốc O song song với AB biÕt: A(-1; 1), B(-1; 3) A(1; 2), B(3; 2) A(1; 5), B(4; 3) Bài 48 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Bài 49 Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chøng minh r»ng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Bài 50 Cho ®iĨm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) HÃy xác định tứ giác ABCD hình gì? 2(m  1) x  (m  2) y  m Bài 51 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:  (m  1) x  my  3m  (m  1) x  2my   Bài 52 Cho hệ phương trình: (m tham sè) 2mx  (m  1) y  (m 1) a Giải hệ phương trình b Tìm giá trị m để hệ phương trình cã nghiÖm nhÊt tháa m·n x < 0, y < (m  1) x  y  3m Bài 53 Cho hệ phương trình: (m lµ tham sè)  x  (m  1) y m a Giải hệ phương trình b Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nguyên c Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiƯm d­¬ng nhÊt  x  my  m Bài 54 Cho hệ phương trình: (m lµ tham sè) mx  y  m  a Giải hệ phương trình b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mÃn ®iỊu kiƯn xy nhá nhÊt 4 x  y z Bài 55 Các số không âm x, y, z thỏa mÃn hệ phương trình: 8 x  y  z  a Biểu thị x y theo z b Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thøc: A = x + y – z ThuVienDeThi.com 16 x  y  z  a  Bµi 56 Giải hệ phương trình: x y  z  a  x3  y  z  a3   x y 2a Bài 57 Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm nhÊt:   x  y  4a Bµi 58 a Tìm giá trị nguyên tham số a m để hệ phương trình có nghiệm số dương, số âm ax y x  y  m ;    x  ay  2 x  y  x y m b Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình sau: cã nghiƯm x > vµ y < 3 x  y  mx  y  m2 c Với giá trị khác m hệ phương trình: có nghiệm thỏa mÃn x  y   m 3 3 x  my  Bµi 59 a.x  y Cho hệ phương trình: x y a Giải hệ phương trình với a = b Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Tìm giá trị a để hệ phương trình sau vô nghiệm C Phương trình C.1 Kiến thức C.1.1 Phương trình bậc ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng ax + b = Trong ®ã a, b  R vµ a  b Cách giải biện luận - Nếu a = Khi đó: + b = phương trình có VSN + b  th× ph­ong tr×nh VN - Nếu a Khi phương trình có nghiệm x = - b/a C.1.2 Phương trình bậc hai ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong a, b, c  R vµ a  b Cách giải biện luận - Nếu a = Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc - Nếu a Khi   b  4ac (hc  '  b '2  ac ) +   (hc  '  ): Pt v« nghiƯm b b' +   (hc  '  ): Pt cã nghiƯm kÐp x1  x2   (hc x1  x2   ) 2a a +   (hc  '  ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt b'   ' b   x1,2  (hc x1,2  ) a 2a  Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x – x1)(x x2) C.1.3 Định lí Viet a Định lí thuận ThuVienDeThi.com 17 - Nếu phương trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× tổng tích hai nghiệm S x1  x2   b vµ a c a b Định lí đảo - Nếu hai số x y cã tỉng x1  x2  S vµ tÝch x1.x2  P tháa m·n S  P th× hai số x y hai nghiệm phương tr×nh t2 – St + P = C.2 KiÕn thức bổ xung P x1.x2 C.2.1 Phương trình đa thức, phương trình bậc cao C.2.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C.2.3 Phương trình vô tỉ C.2.4 Phương trình nghiệm nguyên C.3 Ví dụ minh họa C.4 Bài tập chọn lọc Bài Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nhÊt mét nghiÖm chung x2 + mx + = 0; x2 + x + m = Bµi Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = Chøng minh r»ng nÕu p1 p2  2(q1  q2 ) th× hai phương trình đà cho có nghiệm Bài Với giá trị bào k hai phương trình sau: 2x2 + (3k + 1)x - = 0; 6x2 + (7k – 1)x - 19 = Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung, t×m nghiƯm chung Bài Chứng minh phương trình sau lu«n cã nghiƯm víi mäi a, b, c (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = Bµi Cho a, b, c số đo độ dài cạnh m ột tam giác Chứng minh phương trình sau v« nghiƯm: a2x2 + (a2 + b2 – c2)x + b = Bài Cho ba phương trình x2 + 2ax + ac = 0; x2 – 2bx + ab – c = 0; x2 + 2cx + c = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét ba phương trình có nghiệm Bài Cho phương trình: ax2 + bx + c = Chøng minh r»ng phương trình đà cho có nghiệm hai ®iỊu kiƯn sau ®­ỵc tháa m·n a a(a + 2b + c) < b 5a + 3b + 2c = Bài Tìm giá trị k để phương trình: kx2 (1 2k)x + k = có nghiệm số hữu tỉ Bài 10 Cho phương trình: 2x2 3x + = Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Không giải phương trình hÃy tìm giá trị c¸c biĨu thøc sau:  x1  x2 x x 1  a A   b B  c C  x12  x22 d D   x1 x2 x2  x1 x1 x2 Bài 11 Cho phương trình: x2 + (2m – 1)x – m = a Chøng minh phương trình có nghiệm với m b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị m để biểu thức A x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 12 Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: 3x2 + 5x = Không giải phương trình hÃy lập phương trình bậc hai Èn y cã c¸c nghiƯm 1 y1  x1  ; y2  x2  x2 x1 Bµi 13 Cho phương trình x x Không giải phương trình hÃy tính giá trị biểu thức a A x13 x23 3x  x x  3x b B  3 x1 x2  x1 x2 ThuVienDeThi.com 18 Bµi 14 Cho phương trình (k 1)x2 2kx + k – = Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm phương trình trên, hÃy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào k Bài 15 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình: a x2 + (m 2)x + m + = tháa m·n x12  x22  10 b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = tháa m·n x1 = 2x2 c x2 - mx + m + = tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = Bài 16 Cho phương trình bậc hai: mx2 (5m – 2)x + 6m - = a T×m giá trị m để phương trình có hai nghiệm hai số đối b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm hai số nghịch đảo Bài 17 Cho phương tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phương trình thỏa mÃn A 10 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài 18 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 2x2| Bài 19 Cho phương trình: x2 – mx + m – = a Chứng minh phương trình có nghiệm với m b Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: x1 x2  P x1  x22  2( x1 x2  1) Bài 20 Cho phương trình: x2 + px + q = Tìm giá trị p q cho hai nghiệm phương trình thỏa mÃn x1  x2   3  x1 x2 35 Bài 21 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 = cã c¸c nghiệm x1, x2 Lập phương trình bậc hai có nghiÖm y1, y2 cho: a y1 = x1 – 3, y2 = x2 – b y1 = 2x1 – 1, y2 = 2x2 – Bµi 22 LËp phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mÃn: x1  x2   3  x1  x2  26 Bµi 23 Chøng minh r»ng ba phương trình sau có phương trình v« nghiƯm x2 + ax + b - = x2 + bx + c - = x2 + cx + a - = Bµi 24 Cho phương trình: x2 + 2x + a = (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) – 2(a – 1)(x2 + 1) = (2) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) vô nghiệm Bài 25 Cho phương trình: x2 2(m + 1)x + m = a Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m b Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x1(1 – x1) + x2(1 x2) tron x1, x2 hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m Bài 26 Cho phương trình (m 1)x2 2mx + m + = a Chøng minh r»ng ph­¬ng trình có nghiệm với m b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm cã tÝch b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tỉng hai nghiệm phương trình c Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m x x d Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn đẳng thức:    x2 x1 Bµi 27 Tìm giá trị m n để hai phương trình sau tương đương x2 + (4m + 3n)x – = x2 + (3m + 4n)x + 3n = ThuVienDeThi.com 19 Bài 28 Cho phương tr×nh ax2 + bx + c = cã hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 a Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = có hai nghiệm dương phân biệt b Chứng minh S = x1 + x2 + x3 + x4  Bài 29 Cho phương trình: x2 (2m + 1)x + m2 + m = a BiÕt r»ng phương trình có nghiệm x1 = 2,tìm m tìm nghiệm lại b Tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mÃn bất đẳng thức -2 < x1 < x2 < Bài 30 Tìm a cho nghiệm phương trình x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt Bµi 31 Cho a, b, c lµ ba sè dương khác có tổng 12 Chứng minh ba phương trình sau: x2 + ax + b = x2 + bx + c = x2 + cx + a = Có phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm Bài 32 Cho biết phương trình x2 + bx + c = 0, với b, c số hữu tỉ có nghiệm Tìm cặp số (b, c) Bài 33 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m – 1)x + m = T×m m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền Bài 34 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình sau thỏa mÃn ®iỊu kiƯn: x12  x22  : mx2 – 2(m – 2)x + (m – 3) = Bµi 35 Cho phương trình: mx2 2(m + 1)x + (m – 4) = (m lµ tham sè) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn Xác định m để nghiệm x1, x2 phương trình thỏa mÃn x1 + 4x2 = Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 36 Cho phương trình x2 – 2(m – 2)x + (m2 + 2m – 3) = 1 x1  x2   Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mÃn x1 x2 Bài 37 Chứng minh tồn phương trình có hệ số hữu tỉ nận nghiệm là: 3 2 2 3 2 Bài 38 Cho phương trình x2 + 5x = (1) Không giải phương trình (1), hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Bài 39 Xác định số m, n phương trình x2 + mx + n = cho c¸c nghiệm phương trình m n Bài 40 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mäi a vµ b: (a + 1)x2 – 2(a + b)x + (b – 1) = Bµi 41 Chøng minh phương trình sau có nghiệm với m: x2 – (3m2 – 5m + 1)x – (m2 – 4m + 5) = 4 x  y Bài 42 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x y m Bài 43 Tìm giá trị a để hai phương trình sau có nhÊt mét nghiÖm chung: x2 + ax + = (1) vµ x2 + x + a = (2) Bài 44 Tìm giá trị m để phương tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm x ≥ 0: (m + 1)x2 – 2x + (m – 1) = Bài 45 Xác định m để phương trình: (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + 2(m + 1) = có hai nghiệm âm, dương, trái dấu Bài 46 Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x3 – m(x + 1) + = Bµi 47 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với mäi a, b vµ c: x(x – a) + x(x – b) + (x – a)(x – b) = ThuVienDeThi.com 20 ... hai có dạng: 2 a ' x  b ' xy  c ' y b Cách giải - Xét xem x = có nghiệm hệ phương trình không - Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phương trình hệ - Khử x giải hệ tìm t - Thay y = tx vào hai... Phương trình bậc hai ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong a, b, c  R vµ a  b Cách giải biện luận - Nếu a = Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc - Nếu a Khi ... trình có vô số nghiệm? Khi hÃy tìm dạng tổng quát nghiệm hệ phương trình c Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm Bài Với giá trị m hệ phương trình ThuVienDeThi.com 12 mx y    x  my  Khi