Bộ đề ôn thi học sinh giỏi và thi vào lớp chuyên môn Toán 941315

Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm B Đề thi học sinh giỏi Toán 1: Bài (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị x,y M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị đó? 1  víi mäi n  N* Bµi (1 ®): CMR (n  1) n Bài (1,5 đ): Giải phương trình a/ x x  10 + x  x 18 = 6x -5-x2 Bài (0,5 đ): Chứng minh x, y, z, Bài (1 đ): Chøng minh r»ng x + y + a/    víi mäi (n  1) n x  x  10 + x  x  18 = 6x -5-x2 b/ 2( x  2)  x3 Bài (0,5 đ): Chứng minh x, y, z, z x + y + z số hữu tỉ x , y , z số hữu tỉ Bài (1,5 đ): 1/ Chứng minh đởng thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có x y tung độ b đờng thẳng có dạng a b 2/Cho đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = a/ Chứng minh đờng thẳng ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh víi mäi m c/ Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng lớn Bài (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) VÏ ®êng cao OH, AK biÕt OA = a, ฀AOH a/ Tính cạnh tam giác AKB theo a b/ Tính cạnh tam giác OKA AKB theo a  Tõ ®ã biĨu diƠn sin2  , cos2  theo sin  , cos  Bµi (2 đ) : Cho hình vuông ABCD O điểm thuọc miền hình vuông cho OA : OB : OC = : : TÝnh số đo góc AOB ? Đề ( P) : y  x Bµi 1: (8 điểm) Cho parabol Viết phơng trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến qua điểm A(2;1) số hữu tỉ x , y , z số hữu tỉ Bài (1,5 đ): 1/ Chứng minh đưởng thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hoành điểm có hoành độ a, cắt trục tung điểm có x y tung độ b đường thẳng ®ã cã d¹ng   a b 2/Cho ®­êng th¼ng (m – 2)x + (m – 1)y = a/ Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định với m c/ Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng lớn Bài (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đường cao OH, AK biÕt OA = a, ฀AOH   a/ Tính cạnh tam giác AKB theo a b/ Tính cạnh tam giác OKA vµ AKB theo a vµ  Tõ ®ã biĨu diƠn sin2  , cos2  theo sin , cos Bài (2 đ) : Cho hình vuông ABCD O điểm thuọc miền hình vuông cho OA : OB : OC = : : TÝnh sè ®o gãc AOB ? Một số Đề luyện thi vào chuyên Toán đề Bài (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị x,y M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị ®ã? - -  n  N* Bµi (1,5 đ): Giải phơng trình b/ 2( x 2)  x  1 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Gọi d đờng thẳng qua điểm A(2;1) có hệ số góc m Với giá trị m đờng thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M N, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích điểm M0 từ kẻ đợc hai tiÕp tun cđa parabol (P) vµ hai tiÕp tun vuông góc với x y  xy  x  y Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB CD vuông góc với E điểm cung AD Nối EC cắt OA M, nối EB cắt OD N Bài 2: (4điểm) OM ON số Suy giá AM DN OM ON trÞ nhá nhÊt cđa tỉng , ®ã cho biÕt vÞ trÝ cđa  AM DN ®iĨm E ? Chứng minh tích Giải hệ phơng tr×nh:  x  y  xy  19   x  y  xy  7 Gọi GH dây cung cố định đờng tròn tâm O bán kính R đà cho GH đờng kính K điểm chuyển động cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lớn Đề Bài 1: (8 điểm)Cho phơng trình x  2mx  m   (1) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thoả mÃn hƯ thøc x13  x23  Gi¶ sử phơng trình (1) có hai nghiệm không âm Tìm giá trị m để nghiệm dơng phơng trình đạt giá trị lớn Bài 3: (8 điểm) Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C điểm thuộc nửa đờng tròn phía tam giác ABC, vẽ hình vuông BCDE ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa ®êng trßn Chøng minh r»ng C di chun nửa đờng tròn đà cho đờng thẳng ED qua điểm cố định đờng thẳng FG qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích điểm E G C di chuyển nửa đờng tròn đà cho Tìm quĩ tích điểm D F C di chuyển nửa đờng tròn đà cho Đề Bài 1: (7 điểm)Giải phơng trình: x x  x   64 x  x  x   x x (2) Bài 3: (8 điểm)Cho tam giác ABC cã ฀ABC  600 ; BC  a ; AB c ( a, c hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M cạnh AB, N cạnh AC, P Q cạnh BC đợc gọi hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC Tìm vị trí M cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã Dựng hình vuông EFGH nội tiếp tam giác ABC thớc kẻ com-pa Tính diện tích hình vuông Bài 2: (4điểm)Giải phơng trình: Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có: 1 a b b c c a Bài 2: (6 điểm)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x  3x  y x2  1 Tìm nghiệm nguyên phơng trình: - - ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Đề x4 y Bài 1: (7 điểm) Giải hệ phơng trình: y  4x a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên Bài (4đ) Giải phương trình Chứng minh a, b, c số thoả mÃn bất đẳng thức: a b2 c2 c2 a2 b2 b2 c2 a2         ab bc ca ab bc ca ab bc ca a) x   3x  b) x2 – = (2x + 3)(x + 5) + 23 Bài (6đ) Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF gặp H Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt G a) Chứng minh GH qua trung điểm M BC b) ∆ABC ~ ∆AEF c) BDˆ F  CDˆ E Th× | a |  | b |  | c | Bài 2: (6 điểm) Xác định hình vuông có độ dài cạnh số nguyên diện tích số nguyên gồm chữ số, chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm giống A, B, C lµ mét nhãm ba ngêi thân thuộc Cha A thuộc nhóm đó, gái B ngời song sinh C nhóm Biết C ngời song sinh C hai ngời khác giới tính C B Hỏi ba ngời A, B, C ngời khác giới tính với hai ngời ? Bài 3: (7 điểm) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB CD vuông góc với Đờng tròn (O1) nội tiếp tam giác ACD Đờng tròn (O2) tiếp xúc với cạnh OB OD tam giác OBD tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O3) tiếp xúc với cạnh OB OC tam giác OBC tiếp xúc với đờng tròn (O) Đờng tròn (O4) tiếp xúc với tia CA vµ CD vµ tiÕp xóc ngoµi víi đờng tròn (O1) Tính bán kính đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R d) H cách cạnh tam giác DEF Bài (1đ) Cho ba số thực x, y z cho x + y + z = Chứng minh 2007  2008 x HẾT Bài (1đ) Giải bất phương trình §Ị 10 Bài (4đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2 b) x2 + 7x + 10 Bài (4đ) Cho x2  x  2x  A   x  x  x  10 x  - - ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Đáp án ợi ý đáp án Điểm x    x    x   3x  Điểm  2 x   x   x   x  0,2 i ý đáp án (1đ) (1 đ) Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng xét khơng nghiệm x-3y)2-72=(2x-3y+7)(2x-37-7) (1đ) phương trình 1b) Kết luận phương trình có nghiệm x=3 (1đ) 7x+10 =x2+5x+2x+10 (2đ) Bài 3b) x2-2=(2x+3)(x+5)+23 x2-25=(2x+3)(x+5) x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2) (1đ) (x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5) (x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0 2a) x2-7x+10=(x-5)(x-2) Điều kiện để A có nghĩa (0,5đ) (x+5) [x-5 –(2x+3)] = (x+5)(-x-8)=0  x-5=0 x+8 =0  x=-5 5và x ≠2 x=-8 (2đ) 2x  x  Bài 4a) Ta có BG AB, CH AB, nên BG //CH, x2  x  x2  x  A        tương tự: BH AC, CG AC, nên BH//CG.tứ giác x  x  x  10 x  x  ( x  5)( x  2) x  BGCH có cặp cạnh đối sơng song nên hình x   x  x   (2 x  4)( x  2) bình (2đ) hành Do hai đường chéo GH BC cắt trung điểm đường Vậy GH qua E ( x  5)( x  2) trung điểm M BC 1a) 2-49-12xy+9y2=(4x2-12xy+9y2)-49  x  x  15 ( x  5)( x  3)  x    x  5)( x  2) ( x  5)( x  2) x2 F B H M C D (1,5đ) ( x  2)  1 A  1  , với x nguyên, A nguyên x2 x2 G nguyên, x-2=1 x-2 =-1 nghĩa x=3, x=1 4b) Do BE CF đường cao tam giác ABC nên tam giác ABE (1,5đ) 2 ACF vuông Hai tam giác vuông ABE ACF có chung góc A nên chúng AB AE AB AF (1đ)    (1) đồng dạng Từ suy 3a) Ta xét trường hợp sau 1:    x    x   3x  2 x   3x   x  AC hấy x=3 thuộc khoảng xét nghiệm phương trình 2: - - AF AE AC Hai tam giác ABC AEF có góc A chung (2) Từ (1) (2) ta suy ∆ABC ~ ∆AEF 4c) Chứng minh tương tự ta ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy (1,5đ) ฀ ฀  CDE BDF~DEC BDF ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm ợi ý đáp án 4d) Ta có ฀ ฀ ฀ ฀ BDF  CDE  900  BDF  900  CDE ฀ ฀  ฀AHB  BDF  ฀AHC  CDE  ฀ADF  ฀ADE Điểm (1đ) Suy DH tia phân giác góc EDF Chứng minh tương tự ta có FH tia phân giác góc EFD Từ suy H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Vậy H ba cạnh tam giác DEF Bài 5) Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 + z3 – 3xyz – 3xy(x + y) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2 – 3xy] = x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx 1đ = x  xy  y  ( y  yz  z )  ( x  xz  z )  2 2 = x  y    y  z   x  x   dpcm   2007  2008 x 2007 Bài 6) Điều kiện x  , bất phương trình 0  2008  x x  (2008 x  2007) x  x    x   2007 2008  Hoặc biểu diễn trục số : 1đ  2007 2008 - - ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm b) x - x - = - y + y - Û ( x - - 1) + ( y ìï x - = ìï x = Û ïí Û ïí ïï y - = ïïỵ y = ỵ 3- Bài A = 2- + §Ị 11 Bài 1: a) Giải phương trình: x - x3 + x - 11x + 10 = b) Tìm x, y thoả mãn: x - x - = - y + y - 3- Bài Rút gọn A = 2- 3+ + 3+ 2 = 2+ - 2 2( - 3) 4- + Bài Tìm GTNN (nếu có) biểu thức sau: - 2) = + + 3+ 2+ - 2 2( + 3) 4+ - 2( - 3) 2( + 3) + - 1+ + 1- 2( - 3) + 2( + 3) = 3- 24 = =- - = P = x + 12 x + + x - 20 x + 25 Q = x + y + xy - x + 2008 Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên đường kính AB lấy hai điểm I J đối xứng qua O M điểm (khác A B) (O); đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) E, F, G; FG cắt AB C Đường thẳng qua F song song AB cắt MO, MJ D K Gọi H trung điểm FG a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp b) Chứng minh CE tiếp tuyến đường tròn (O) ĐÁP ÁN Bài 1: a) x - x + x - 11x + 10 = x + 12 x + + x - 20 x + 25 = 2x + + - 2x ³ 2x + + - 2x = Vậy, Pmin=8 (2 x + 3)(5 - x) ³ Û - £ x £ 2 2 Q = x + y + xy - x + 2008 = ( x + y ) - 2( x + y ) + + y + y + + 2006 Bài P = Û ( x - 1)( x - 2)( x + x + 5) = Û ( x - 1)( x - 2) = (vì x + x + = ( x + 1) + > 0, " x Ỵ ¡ ) éx = Û ê ê ëx = = ( x + y - 1) + ( y + 1) + 2006 ³ 2006; " x, y ìï x + y - = ìïï x = Û í Vậy, Qmin=2006 ïí ïỵï y + = ïỵï y = - - - ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Bài M Bi a) Ta có: OI = OJ C A I O J D F K H E G B (2 âiãøm): Cho biãøu thæïc A  y  10 x y  31xy  10 x x Þ Þ Þ DF = DK DH // GK · · HDE = GME · · mà GME = GFE · · Þ HDE = GFE Þ DHEF nội tiếp a) Phán têch A thaình nhỏn tổớ b) Tỗm cỷp sọỳ x, y thoaớ maợn âiãưu kiãûn y - x = âäưng thåìi A = Bi (2 âiãøm): Cho biãøu thỉïc M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 våïi x, y, z, t l cạc säú ngun khäng ám Tỗm caùc giaù trở cuớa x, y, z, t õóứ biãøu thỉïc M cọ giạ trë nh nháút tho mn âiãöu kiãûn: 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Baìi (2 âiãøm): b) Từ câu a suy · · DEH = DFH nội tiếp · · mà DFH Þ OHEC = OCH · · Þ OEC = OHC = 900 Vậy CE tiếp x  2x  Cho haìm säú f(x) = x  2x  tuyến (O) (x  R) a) Chỉïng minh ràịng våïi hai giạ trë x1 , x2 tu ca x cho 1≤ x1< x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) Vồùi giaù trở naỡo cuớa x thỗ f (x) Bi (4 âiãøm): Cho tam giạc cán ABC (AB = AC), âỉåìng cao AH Trãn cảnh BC láúy âiãøm M vaì E cho ME = BC (BM < BE) Qua M k âỉåìng thàóng vng gọc våïi BC càõt AB tải D Qua E k âỉåìng thàóng vng gọc våïi DE càõt âỉåìng thàóng AH tải N a) Chỉïng minh: BM BH = MD HN b) Chỉïng t N l mäüt âiãøm cäú âënh c) Biãút AB = cm, BC = cm Tênh khong cạch giỉỵa tám âỉåìng trn näüi tiãúp v tám âỉåìng trn tiãúp ca tam giạc ABC De 12 - - ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên S­u tÇm yx y yx yx 2 x   x  0  x   12  3    3 yx yx yx 4 x x  0 * y x    16    0  x  12  3 yx yx yx 4 27 x x x 3 hc hc   x 12 15 3 y yx yx 4 y x * y HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HC SINH GII NÀM 2006-2007 Män: Toạn - Låïp Bi 1(2 âiãøm) a) (1 âiãøm) A  3y  3x y  3x y  21xy  10 xy  10 x 3x (0,5 â)   y   x  3y  y  x y  x y  10 x (0,5 â)     x y  x y  10 x 60  y  x  y  x   y  3x b) (1 âiãøm) A   y  3x y hoàûc y x hoàûc x Váûy cọ càûp säú tha mn âiãưu kiãûn A = vaì y  x  * y  3x  x x  3x     3  x  0     - - (x  3 27 15 ; y  ) ; (x = ; y= ) vaì ( x  ; y 12 ) Bi (2 âiãøm) Tỉì 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 ThuVienDeThi.com laỡ: Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tÇm Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198 3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2 3M = 198 + 7t2 Våïi < x1 < x2 thỗ < x1 - < x2 - nãn: > x  12 M  66  t  66 Giạ trë nh nháút ca M l 66 t = Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2) Tỉì (1)  (x + y)(x - y ) = 15 Vỗ x, y laỡ caùc sọỳ nguyón khọng ám, nãn x + y = 15 vaì x - y = Do âoï: 1 1 x  12 < 1 1 x  12 hay f(x1) < f(x2) Vỏỷy vồùi x1 < x2 thỗ f(x1) < f(x2) b) âiãøm x  2x  1  2x  4x  f(x) > >  2 x  2x  2 (3) Hoàûc: x + y = v x - y = (4) Tỉì (3)  x = 8, y = 7, caïc giaï trë ny khäng tha (2) Tỉì (4)  x = 4, y = Thay vo (2) ta cọ: 16 + + 9z2 = 168 9z2 = 144 z2 = 16 z = (z = - loaûi) Váûûy giạ trë nh nháút ca M l 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t = Baìi (2 âiãøm) a) âiãøm x  12 > x  2x   x  2x >  x (x - 2) >  x > hoàûc x < (1) f(x) <  x  2x  <  4x2 - 8x + < 3x2 - 6x + x  2x   x2 - 2x - <  (x - 1)2 - <  (x -1 + (x - - 3) 3) < 1- < x < + (2) Tỉì (1) v (2) suy < f(x) < 12 x1 thỗ f(x1) = 0, f(x2) > nón f(x1) < f(x2) f x   - Nãúu x  1, ta coï A 1 x  12 - - < x < hoàûc < D ThuVienDeThi.com a) Xẹt  MDE v  HEN coï: ฀ ฀ DME = EHN = 900 ฀ ฀ MDE = HEN (gọc cọ cảnh tỉång ỉïng vng gọc) nãn MDE ∾ HEN , suy ra: Bé ®Ị ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên – S­u tÇm MD ME  HE HN Goüi I laỡ tỏm dổồỡng troỡn ngoaỷi tióỳp ABC thỗ IP laỡ âỉåìng AB trung trỉûc ca cảnh AB v I  AH nãn PA    2,5(cm) 2 Hay MD.HN = HE.ME Do BH = ME (  BC ) nãn BM = HE AH ฀ ˆ  90 ) coï cos ( BAH ABH ( H )   0,8 Do âoï: MD.HN = BM.BH (1) AB MD BH (2)  BM HN MD AH ABH coï MD//AH nãn (3)  BM BH BH BH AH Tỉì (2) v (3)   HN   AH HN BH b) ฀ )  0,8  cos( PAI Tỉì (1)  API AI  ( Pˆ  90 ) coï cos ฀ ) ( PAI AP  AI 2,5 AP   3,125 ฀ cos( PAI ) 0,8 Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm) Váûy khong cạch giỉỵa tám âỉåìng trn ngai tiãúp v tám âỉåìng trn näüi tiãúp ca tam giạc ABC laì 0,625cm N  AH cäú âënh vaì HN khäng thay âäøi nãn N laì âiãøm cäú âënh c) A P B C H BC = 6cm  BH = 3cm ˆ  90 ) coï AH2 = AB2 - BH2 AHB ( H = - 32 = 16 = 42 K  AH = 4cm I Goỹi K laỡ tỏm õổồỡng troỡn nọỹi tióỳp ABC, thỗ BK l ฀ v K  AH phán giạc ca B Do âọ: ®Ị 13 Bài 1: (2 điểm) Rút gọn biểu thức     KH BH   KA BA  x2  y với x > 0, y >0 Bài 2: (4 điểm) Suy ra: a Xác định m để phương trình sau vô nghiệm KH KA KH  KA     0,5 8 x  x3 xm x KH = 1,5cm KA = 2,5cm - -   x2  y  x   x2  y  y   10 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm b Tỡm giỏ trị nhỏ biểu thức  ®Ị 14 A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2 Bài 3: (2 điểm) Câu 1/ (1đ) Cho x = Bốn người 1; 2; 3; tham dự hội nghị Biết : 3 9 125  27 3   125 Chứng 27 minh x số nguyên a Mỗi người biết hai bốn thứ tiếng Anh, Nga, Pháp, Câu 2/ (1,5đ) Cho x > , y > , t > Chứng minh Việt b Người biết tiếng Nga, tiếng Pháp c Người biết tiếng Anh, tiếng Pháp phải phiên dịch cho người người NÕu d Người tiếng Nga, tiếng Việt nói chuyện trực tiếp với người y  yt  t  xt  x : x= y= t x.y.t =1 Câu 3/(1,5đ) Cho đa thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c có nghiệm dương x = m Chứng minh đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) có nghiệm dương x = n thỏa mãn m + n  Hỏi người biết thứ tiếng ? Bài 4: (4 điểm) Câu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) có phương trình : (m -1)x+ (m -2)y - = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d(m) có giá trị lớn Xác định đường thẳng a Cho a  b, x  y Chứng minh (a + b) (x + y)  2(ax + by) (1) b Cho a + b  Chứng minh a2006 + b2006  a2007 + b2007 (2) Câu 5/ (4đ) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) với R > r Lấy A E hai điểm thuộc đường trịn (O; r) , A di động , E cố định ( với A ≠ E) Qua E vẽ đường thẳng vng góc với AE cắt đường tròn (O; R) B C Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB (2 điểm) a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khơng phụ thuộc vị trí điểm A b/ (1,5đ) Chứng minh điểm A di động đường tròn (2 điểm) (O; r) A≠ E đường thẳng CM ln qua điểm cố định ( gọi tên điểm cố định K ) (2 điểm) c/ (1đ) Trên tia AK đặt điểm H cho AH = AK Khi A di (2 điểm) Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a ฀ a Nêu cách dựng dựng  ABC cho BAC  60 trực tâm H  ABC trung điểm đường cao BD b Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC, vẽ đường kính AG, HG cắt BC K Chứng minh OK  BC c Chứng minh AOH cân tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC theo a d Tính diện tích tam giác ABC theo a - - xy rng 11 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm động đường trịn (O;r) điểm H di động đường ? Chứng minh nhận xét ? Câu (1,5đ) Câu Câu1 (1đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề cho suy : 1 x  y  z (1) y z x   x y    (1)   y  z     z x  (2)  Đáp án z x y    y z x    y z zy z x (2) xz x y xy  x  y  y  z  z  x   y  z  z  x  x  y  zyzxxy Điểm x  y  z Từ (3) Häc sinh chứng minh xyz Ni dung 125 125 vµ b = 3   27 27 Th× a  b3  vµ a.b = 3 3 x  a  b  x  a  b  3ab(a  b) a  3 9 Câu Ta 0,25 có : đx = m nghiệm đa thức f(x)= ax2 + bx + c Suy am  bm  c  (1), mµ m > (gt) 0,25 đ b c 1    a + b( )  c( ) = (2) m m m m 0,25 Đẳng thức chứng tỏ x= nghiƯm cđa m 0,25 đ ®a thøc g(x) = cx  bx  a  VËy x= n = > (do m > ) (3) m (1)  a + x = - 5x  (x  1)(x  x  6)  (1,5đ) Mµ x  x   0(do ).Suy x  1.VËy x  Z Ta cã m+n = m + 1 (do )  m m m Hay m  n  Câu - - 12 ThuVienDeThi.com Nếu m =1 d(1) đường thẳng y= -1 nên khong cỏch t O n d(1 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tÇm Suy0,25đ EB2+EC2= 2(BG2 +EG2) (2đ) Nếu m =2 d(2) đường thẳng x = nên khoảng cách từ O đến d(2) Áp dụng định lý Pi ta go vào tam giác vuông OGE OGB ta c OG2+GE2= r2 OG2+GB2= R2 (1) Do EB2+EC2+EA2=2(BG2 +EG2)+4OG2 =2 (BG2+OG2)+2 (EG2 0,25đ = 2R2 +2r2 ( không đổi)   Nếu m ≠1 m≠ d(m) cắt trục hồnh A  ;0  cắt trục tung  m 1  B   B  ;  Gọi OH khoảng cách từ O đến đường thẳng AB ta có : M  m2 0,25đ GE O 1 D 2 A    (m  1)  (m  2) 2 0,25đ OH OA OB C 3 1   2m  6m    m     OH 2 2  0,25đ Trường hợp đặc biệt : 0,25đ G E  D Thì chứng minh (2) Câu blà Từ (1) (2) < suy khoảng cách lớn từ O đến d(m) 0,25đ (1,5đ) Hai tam giác ABC ADE có chung trung tuyến AG nên có chung tâm Khi đường thẳng d có cơng thức x - y- = Mà tam giác ADE có trung tuyến OE cố định , Nên điểm cố định K mà trung tuyến CM  ABC qua chín A Câu c tâm  ADE M B (1đ) VËy OH   OH   OH lín nhÊt  m  Câu O K AK n trùng với G ( trung điểm chung hai đoạn thẳng DE BC ) Mà OGE vuông E ( chứng minh trên) , O,E cố định (theo 0,25đ Vậy A di động đường tròn (O; r) H di động đư đường kính OE 0,25đ E Do H thuộc tia AK, mà K trọng tâm  ADE AH  G D Câu a (1,5đ) C Gọi G trung điểm BC OG  BC GB = GC GE = GD (đl) (đl) suy OG đường trung bình  ADE nên OG= AE hay AE = 2OG Ta có EB2+EC2= (BG-EG)2+ (GC+ GD)2=(BG-EG)2+(BG+EG)2 - - 13 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Đề 15 Bài 1: (3 điểm) a Cho n số nguyên dương Hãy so sánh: 1 1   1 +  + 2 n n n+1   n+1 b Tính: 1 + + 22 32 1+ 1+ 1 + + 32 42 1+ 1 + + + 42 52 Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng: n 1  + + + + n  n 2 -1 n1 với n  N Bài 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O có đường kính AB CD vng góc với Gọi M N trung điểm OA OB Đường thẳng CN cắt (O) I ฀ Chứng minh CMI  900 - - 14 ThuVienDeThi.com 1+ 2005 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên S­u tÇm Bài 5: ( điểm) Chứng minh rằng: ( 1999  1997    1)  ( 1998  1996   2)  ĐÁP ÁN Bài 1: ( 1, điểm) a) x2 -25 = y(y+6)  x2 – ( y +3) ( x  y  ).( x  y  )  16 De 16 Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y  ฀ biết a) x2 -25 = y(y+6) b) 1+x + x2 +x3 = y3 Bài 2: ( 1, điểm) Cho P = = 16 (1)  Và từ (1)  x  y   Mặt khác x  y  x  y  có x 1  tính chất chẵn lẽ  nghiệm số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; ) -6) ; ( -5; -6) b)Xét x = -1 ; x =  y tương ứng x  x 1 1 x  4( x  1) a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y= x đường thẳng (D) qua điểm A B (P) có hoành độ -2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường (D) c) Tìm vị trí điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x  [-2 , 4] cho  AMB có diện tích lớn Bài 4: ( 3, điểm) Cho hình vng ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt cạnh AD BC E F ( E,F khơng trùng đỉnh hình vng).Từ E F vẽ đường thẳng song song với BD AC cắt I a) Tìm quỹ tích điểm I b) Từ I vẽ đường vng góc với EF H.Chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định đường IH qua điểm cố định - - Xét x  x  -1 =>x (x+1) >0 => x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý => Bộ số (x ,y) (0 ; 1) ; ( -1; 0) Bài 2: ( 1, điểm) P x   ( x   1)  x    x 1  P   x2    x TXĐ  x  ( x > 2) (  x < 2) Bài 3: ( 2, điểm) a) Khảo sát ( tự làm) b) A(-2;yA )  (P) ; B(a; yB)  (P) => A( -2 ;1) B( ; 4) 15 ThuVienDeThi.com ; ( 5; Bé đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Phng trỡnh (D) : y = x  2 Đặt vế trái A  A  2000  A  2000  A c)  AMB có AB khơng đổi => SAMB max  MH max ( MH  AB) lúc M  (d) //AB tiếp xúc (P) 1 (d) : y= x  k  k   x1  x2  1  y   M tiếp điểm (d) với (P) => M( ; ) 4 Bài : ( 3, điểm) a) Tìm quỹ tích  Thuận: AEI vuông cân => AE = AI ;  AOE = OCF =>AI = CF => FI //AB=> I  AB ( cố định) * Giới hạn I  AB trừ điểm A B * Đảo : Gọi I’ AB (  A ,  B ) Gọi E’, F’ điểm đối xứng I’ qua AC BD =>OA phân giác I฀' OE ' ; OB tia phân giác I฀ ' OF ' ฀ 'OF'  1800 => E’ ; O; F’ thẳng hàng => E * Kết luận : I  AB ngoại trừ điểm A B  ( 1999  1997    )  ( 1998  1996   )  2000  ( 1999  1997    1) Vận dụng n  n   n   n  1999  1998  2000  1999 …… >  ( luôn ) => BĐT chứng minh D C F H A I B K kỳ thi chọn hoc lớp thCS năm họ Môn : Toán (Vòng 1) Đề thức (không kể thời gian giao đề) Thời gian: 120 phút Bài 1: (8 ®iĨm) ( P) : y  x Cho parabol Viết phương trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến qua ®iĨm A(2;1) b)AEHI nội tiếp => ฀AHI  ฀AEI  450  BIHF nội tiếp => ฀  IFB ฀  450  ฀AHB  900  H  đường trịn đường kính BHI ฀ AB => KHA  450 => K cung ฀AB ( c nh ) Gọi d đường thẳng qua điểm A(2;1) có hệ số góc m Với giá trị m đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt M N, tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN m thay đổi Tìm quĩ tích điểm M0 từ kẻ hai tiếp tuyến parabol (P) hai tiếp tuyến vuông gãc víi Bài 5: ( điểm) - - Phòng GD-ĐT TP Trường THCS O E (d) 16 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Bài 2: (4điểm) Bài 1 Giải hệ phương trình: x y  xy  19   x  y xy ý 1.1 Bài 3: (8 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C điểm thuộc nửa đường tròn phía tam giác ABC, vẽ hình vuông BCDE ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa đường tròn Chứng minh C di chuyển nửa đường tròn đà cho đường thẳng ED qua điểm cố định đường thẳng FG qua điểm cố định khác Tìm quĩ tích điểm E G C di chuyển nửa đường tròn đà cho Tìm quĩ tích điểm D F C di chuyển nửa đường tròn đà cho 1.2 Hết lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán (Vòng 1) Đáp án thang điểm: - - 17 ThuVienDeThi.com Nội dung (2,0 điểm) Phương trình đường thẳng d1 qua A(2; 1) có dạng: y = ax + b suy b = - 2a, d1: y = ax - 2a+1 Phương trình cho hoành độ giao điểm d1 (P) là: x  ax  2a   x  3ax  6a   Để d1 tiếp tuyến (P) cần đủ là: a 2 '   9a  24a  12    a   VËy tõ A(2; 1) có hai tiếp tuyến đến (P) là: d1 : y  x  3; d : y x 3 (4,0 điểm) Phương trình ®­êng th¼ng d ®i qua A(2; 1) cã hƯ sè gãc m lµ: y  mx   2m Phương trình cho hoành độ giao điểm d (P) lµ: x  mx  2m   x  3mx  6m  (2) Để d cắt (P) điểm phân biệt cần đủ là:    9m  24m  12    m  m    3    m    m   2    m 4 4 3     m     m     3 3   m  m       m    3 Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Với điều kiện (*), d cắt (P) điểm M N có hoành độ x1 x2 x  3  x   x  1   x  1  nghiÖm phương trình (2), nên toạ độ trung điểm I cđa MN lµ: ; ; ;  y   y  3  y  1   y  1    2x  2x 2x   ;   x  1; x   m x1  x2 3m     x    3  I 2   y  mx   2m  y  x2  x   3 1,0 VËy m thay ®ỉi, q tÝch cđa I phần parabol y x x  , 3 giíi h¹n bëi x  1; x  0,50 1.3 (2,0 ®iĨm) Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm từ vẽ tiếp tuyến vuông góc đến (P) Phương trình đường thẳng d' qua M0 cã hƯ sè gãc k lµ: y  kx  b , đường thẳng qua M0 nên y0  kx0  b  b  y0  kx0 , suy pt cña d': y  kx  kx0 y0 0,50 Phương trình cho hoành độ giao điểm d (P) là: x  kx  kx0  y0  x  3kx  3kx0  y0  (**) 0,50 Để từ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc tới (P) phương trình: 9k  12kx0  12 y0  cã nghiệm phân biệt k1 , k2 k1k2 12 y0   1  y0   0,50 Vậy quĩ tích điểm M0 từ vẽ tiếp tuyến vuông góc (P) đường thẳng y 0,50 (4,0 ®iĨm) x  y 2  xy  19  x  y  xy  19  S  3P  19  S  x  y         (1)  x  y  xy  7  x  y  xy  7  S  P  7  P  xy 1,0 Giải hệ (1) ta được: ( S  1; P  6), ( S  2; P  5) 1,0  x  y  1  x y Giải hệ phương trình tích, tổng: ta có xy  6  xy  5 nghiƯm cđa hƯ ph­¬ng trình đà cho là: 2,0 - - 18 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm 3.1 3.2 3.3 8,0 ฀  KBD ฀ ฀  450 EBI IBD  IBD Do ®ã: ฀  KBD ฀  EBI Gäi K giao điểm Ax GF, I giao điểm củaBEI BDK By ED Ta có: ฀ ฀  900  BDK  BEI ฀  BCA ฀ BEI  90 + VËy: QuÜ tÝch D nửa đường tròn đường kính BK + EBI CBA (góc có Tương tự, quĩ tích F nửa đường tròn đường kính AI cạnh tương ứng vuông góc) BE BC , Do đó: BEI BCA BI BA mà By cố định, suy điểm I cố định + Tương tự, K ccố định + Vậy C di chuyển nửa đường tròn (O) dường thẳng ED qua 3,0 điểm I cố định đường thẳng GF qua điểm K cố định Suy quĩ tích I nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By, Phòng C A E I , C  B  E  B ); quĩ tích K nửa đường trònGD-ĐT đường TP Trường THCS 2,0 kính AK(bên trái Ax, C A  G  A, C  B  G  K ) Xét tam giác BEI BDK, ta cã: BE BI §Ị chÝnh thøc   BD BK 2gian giao ®Ị) kú thi chän hoc sinh giái lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : Toán (Vòng 2) Thời gian: 120 phút (không kể thời Bài 1: (7 điểm) x x x   64 x  Gi¶i phương trình: Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có: 1   b c c a 3,0a  b - - 19 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Phòng GD-ĐT TP Trường THCS kỳ thi chọn hoc sinh giỏi lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán (Vòng 2) Đáp án thang điểm: Bài 2: (6 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ y x 3x  x2  T×m nghiƯm nguyên phương trình: x y  xy  x  y  Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB CD vuông góc với E điểm cung AD Nối EC cắt OA M, nối EB cắt OD N OM ON h»ng sè Suy gi¸ AM DN OM ON  trị nhỏ tổng , cho biết vị trí AM DN điểm E ? Chứng minh tích Gọi GH dây cung cố định đường tròn tâm O bán kính R đà cho GH đường kính K điểm chuyển động cung lớn GH Xác định vị trí K để chu vi tam giác GHK lín nhÊt HÕt - - 20 ThuVienDeThi.com ...  b - - 19 ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Phòng GD-ĐT TP Trường THCS kỳ thi chọn hoc sinh giỏi lớp thCS năm học 2007 - 2008 Môn : toán (Vòng 2) Đáp án... ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm Đáp án ợi ý đáp án Điểm x    x    x   3x  Điểm  2 x   x   x   x  0,2 i ý đáp án (1đ) (1 đ) Ta thấy x=0,2 không... ThuVienDeThi.com Bộ đề ôn thi học sinh giỏi thi vào lớp chuyên Sưu tầm động đường trịn (O;r) điểm H di động đường ? Chứng minh nhận xét ? Câu (1,5đ) Câu Câu1 (1đ) Từ đẳng thức với điều kiện đề cho