Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006 Mơn: Giải tích Thời gian: 180 phút Câu Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi hàm ∞ (−1) n n n=1 x−1 x+1 n Câu Xét tính liên tục khả vi hàm (x2 + y ) sin y = y f (x, y) = 0 y = Câu Giả sử f : R → R hàm đo tồn tích phân Lơbe If Với n = 1, 2, cho hàm fn (x) = |f (x)| < n |f (x)| ≥ n f (x) n+1 1) Chứng minh lim fn (x) = f (x), với x ∈ R n→∞ 2) Có kết luận lim Ifn = If hay không? n→∞ Câu Giả sử C[−1,1] không gian hàm số liên tục [−1, 1] với chuẩn f = sup |f (x)|, với f ∈ C[−1,1] x∈[−1,1] X = {f ∈ C[−1,1] : f (1) = 0}, Y không gian dãy số hội tụ với chuẩn x = sup |xn |, với x = {xn } ∈ Y n∈N Cho ánh xạ T : X → Y xác định công thức T (f ) = f n n+1 , với f ∈ X 1) Chứng minh Y không gian Banach 2) Xét tính compact tập K = {f ∈ X : f ≤ 1} X 3) Chứng minh T ánh xạ tuyến tính liên tục tính chuẩn T 4) Xét tính trù mật Y \ T (X) Y Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh DeThiMau.vn Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn: Đại số Thời gian: 180 phút Câu Cho V không gian vectơ tất ma trận vuông cấp phần tử thực Xét ánh xạ f :V a b c d → V −a −b −c −d → 1) Chứng minh f phép biến đổi tuyến tính V 2) Tìm ma trận f theo sở tắc V 3) Tìm Kerf , Imf Câu Giả sử f phép biến đổi cho A= tuyến tính có ma trận sở 1 −2 1) Tìm giá trị riêng vectơ riêng f 2) Vectơ riêng f tìm câu 1) có tọa độ sở nào? 3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao? Câu 1) Cho G tập tất giá trị phức bậc n 1, với n số nguyên dương Chứng minh phép nhân số phức thông thường, G nhóm Cyclic 2) Cho A vành I tập A Chứng minh I Ideal A I hạt nhân đồng cấu từ A Câu Cho A[x] vành đa thức ẩn vành A giao hốn có đơn vị 1) Chứng minh A trường A[x] vành 2) Gọi R trường số thực I Ideal vành R[x] sinh x2 + Chứng minh vành thương R[x]/I trường 3) Nếu A trường A[x] có phải trường khơng? Tại sao? Câu Cho A ma trận vuông cấp phần tử thực n ∈ N, n ≥ Chứng minh An = A2 = Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh DeThiMau.vn .. .Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006 Môn: Đại số Thời gian: 180 phút Câu Cho V không gian vectơ tất ma trận vuông cấp... phần tử thực n ∈ N, n ≥ Chứng minh An = A2 = Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh DeThiMau.vn ... A giao hốn có đơn vị 1) Chứng minh A trường A[x] vành 2) Gọi R trường số thực I Ideal vành R[x] sinh x2 + Chứng minh vành thương R[x]/I trường 3) Nếu A trường A[x] có phải trường khơng? Tại sao?