Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 VÀI KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN -LỜI MỞ ĐẦU Trong năm giảng dạy mơn tốn trường phổ thông thường nhiều học sinh yêu toán hỏi : Tại giải toán phải bắt đầu thế ? Khi đọc sách giải em không hiểu người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng không liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm ? … Những câu hỏi làm suy nghĩ trăn trở nhiều trình truyền thụ tri thức cho học sinh Đành việc giải tốn q trình mị mẫm tìm tịi dựa hiểu biết người học tốn Tuy nhiên có người phải mị lâu lại có người tìm hướng giải nhanh bí chỗ ?! Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải tốn có nhiều thầy ,cơ giáo đề cập nhiều ,thậm chí cịn thực tầm vĩ mơ xong việc trình bày lại chút kinh nghiệm cá nhân thiết nghĩ không thừa Bằng kinh nghiệm nhỏ nhoi thân xin viết để bổ sung hoàn thiện hầu giúp cho học sinh có thêm phương pháp học tốt Rất mong sư đóng góp xây dựng quí đồng nghiệp ! A/ Quan niệm việc giải tốn : Có thể coi tốn chuỗi hữu hạn gút logíc nguỵ trang cơng phu Người làm tốn cần phải tìm cách mở có hệ thống gút logíc ,q trình gồm hai giai đoạn 1- Định hướng giải 2- Kỷ giải toán Trong trình giải tốn hai nội dung có tiến hành đồng thời có tiến hành riêng biệt,người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa tác dụng nội dung tương hỗ chúng.Mặc dù kỷ giải toán quan trọng việc định hướng giải giai đoạn có tính định bỡi lí sau: i) Kỷ thuật giải toán cao , thành thạo thao tác ,các phép tính chưa có phương hướng ,hoặc chưa có phương hướng tốt khơng có lời giải chưa có lời giải tốt 2i)Định hướng giải toán giúp cho học sinh khả làm việc độc lập ,tư logic , sáng tạo ,linh hoạt B/Nội dung việc định hướng giải toán: 1) Đối với toán người giải toán cần nắm rõ đề cho ,tìm ,nghĩa nắm giả thiết ,các điều kiện liên quan yêu cầu mà đề cần xác định Từ giúp ta phân loại toán ,vạch đường lối để giải tìm phương pháp cơng cụ thích hợp 2) Phân tích giả thiết ,những tiềm ẩn sau giả thiết điều kiện liên quan.Làm sáng tỏ nguồn gốc giả thiết điều kiện tốn ,có cịn phân tích kết nhằm tìm mối liên hệ đối tượng cho đối tượng phải tìm 3) Tìm kiếm toán liên quan nhằm tương tự hoá q trình suy luận ;đồng thời sáng tạo tốn Trong nội dung ,tuy nội dung có yêu cầu khác lại có quan hệ hỗ trợ cho cách đắc lực Vì giải tốn ta cần phải tiến hành toàn diện nội dung Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 C/ Các phương pháp tìm tịi lời giải : I-Phương pháp khai thác giả thiết toán: Đây cơng việc người làm tốn ,làm tốt điều giúp nắm đặc điểm dạng toán ,tức nắm phần hình thức tốn Trên sở thống nội dung hình thức (quan hệ biện chứng triết học ) giúp ta khám phá đặc điểm nội dung tốn (mà hình thức mn màu mn vẻ) 1/Tìm hiểu số biết nói tốn: Ví dụ1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + = (1) *Nhận xét hướng giải :Sự xuất số hai hạng tử đầu phương trình giúp ta nghĩ đến việc phân tích số = + Khi (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = ( phương trình cung đa hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm) sin x cos x sin x 1) 3( cos x 1) cos x sin x (sinx + cosx - sinx.cosx ) ( )0 cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x đến ta đưa việc giải phương 0 cos x sin x 2( trình quen thuộc Ví du2: Cho phương trình : x x x x m (2).Với giá trị m phương trình có nghiệm ? *Nhận xét hường giải: Đây toán đề thi tuyển sinh ,cách giải đề có phần khó hiểu Ta biến đổi biểu thức thức để tìm hình thức thể khác phương trình (2) ( x ) ( 3 ) ( x ) ( ) m Từ số ,biểu thức số có mặt 2 phương trình giúp ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài véc tơ mặt phẳng Oxy, chuyển hướng giải phương pháp toạ độ phẳng sau : 2 Trong mpOxy xét điểm A( ,0) , B( ,0) , M (x, AM ( x , ) => AM= 2 Do : x x BM ( x , ) => BM = 2 x2 x x2 x m Ta cịn có AM BM AB điểm M (x, ) , ta có : , M (x, x2 x AM -BM = m ) Do phương trình có nghiệm với ) thoã AM BM AB hay m Ghi : Các bạn tìm thêm tốn thường gặp có liên quan số biết nói khơng phải biết hù Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 2/Tìm hiểu nhóm hạng tử tham gia tốn: *Nhóm hạng tử tham gia tốn có biểu diễn qua lại Cái khó khăn tốn mối liên hệ vốn có đại lượng tham gia toán thường dễ thấy có lại "ẩn nấp" kín đáo ,đến nỗi người giải tốn tưởng chừng chúng khơng có liên quan với Bài có nhóm hạng tử kiểu ta thường dùng phương pháp đặc ẩn phụ Ví dụ3: Giải phương trình sau sin x cos x , (3) sin x cos x Dễ thấy ẩn phụ cần đặc u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ ) , góc có tg = 3/4 Điều kiện :4sinx + 3cosx +1 u sin x cos x u sin x cos x,5 u u , -5 u ,u u 6 1 u u Ta có : (3) Trở lại tìm x , giải pt i ) 5sin(x+) = < = > x + = k , k < = > x = - + k , k 2i ) 5sin(x+) = < = > sin(x+) = < = > x = ( ) l 2 , l Đôi ta phải biến đổi nhóm hạng tử tham gia phương trình thấy mối liên hệ hạng tử tìm hội để chọn ẩn phụ thích hợp tg ( x ) sin ( x ) 2.0,25 (4) Ví dụ4 :Giải bất phương trình : *Nhận xét định hướng giải : Trong bất phương trình có chứa hàm số mũ có số quan hệ rõ rệt không mối bận tâm Tuy nhiên nhóm hạng tử mũ biểu thức lượng giác liệu có mối liên hệ bên qua hình thức biểu đồng sàn dị tịch chăng? Ta thử thăm dò qua việc biến đổi hai biểu thức mũ Ta có : cos2x = -(sin2x - cos2x) = - (sinx - cosx )( sinx + cosx ) , (tìm cách quy cung) = - sin( x ) sin( x ) 2 sin( x ) cos( x ) cos x 4 sin ( x ) tg ( x ) , đến ta có hội để thực việc đặt ẩn phụ Do đó: cos x tg ( x ) tg ( x ) tg ( x ) u 0, cos x 4 Ta có : (4) < = > 2.2 1 u u tg ( x ) tg ( x ) 4 u2 u 0 < = > < = > u u u 1 u u2 tg ( x ) Trở lại tìm x ,ta giải bất phương trình ,việc giải bất phương trình đơn giản (xin nhường cho bạn đọc) Ghi : Các bạn tìm thêm tốn thường gặp có liên quan nhóm hạng tử có cách biểu để thực hành ,xin chúc bạn thành cơng 3/Tìm hiểu tốn qua việc thể tính chất hình (của điểm) ,vị trí tương đối đường,dạng biểu thức ,khai thác điều kiện v.v… Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có BC= a ,CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC ,CA AB tương ứng ,hb ,hc M điểm tam giác ,khoảng cách từ M đến cạnh BC ,CA,và AB tương ứng x , y z a) Tính P = x y z hb hc b) Xác định vị trí điểm M cho tổng : T = MA + MB + MC đạt giá trị bé *Nhận xét định hướng giải :Do vai trò đỉnh A,B,C , đường cao ,hb ,hc tam giác giá trị x ,y z có vai trị việc tính P qui tính đối tượng phép tương tự ta đạt kết * Để tính x/ha ta xem x chiều cao hai tam giác có chung cạnh đáy BC MBC ABC Ta có x x x.BC 2S S BMC BMC ha BC S BAC S ABC Áp dụng tương tự ta thu y S AMC z S AMB hb S ABC hc S ABC S S CMA S AMB S ABC Do P= BMC 1 S ABC S ABC c) Ta cần đánh giá tổng độ dài đoạn thẳng T = MA + MB + MC, qua đoạn thẳng ,điều dẫn ta nghĩ đến việc thực phép dời hình , phép dời hình bảo tồn khoảng cách Ta thử chọn phép quay để thực thăm dị, có nên chuyển độ dài ba cạnh tam giác không ? làm việc có nhiều sở để lập luận dựa vào bất đẳng thức quan hệ cạnh tam giác thú vị tam giác suy biến Xét phép quay tâm B góc quay 600 - Q(B,600) : C C' BM =BM' => M M' MBM'= 600 Suy : MBM' => BM = MM' (a) kết hợp CM = C'M' (t/c Q(B,600)) Ta T=MA+ MB + MC = AM + MM' + M'C' AC' (B,C cố định tồn M thuộc tam giác ABC thoả điều này) => T = AC' Dấu xảy < = > A,M,M',C thẳng hàng ,khi góc tạo bỡi MC M'C' khiệu :(MC,M'C') = 600 => BMC = 1200 (vì BMM ' = 600 ) M'C' AMB = 1200 => AMC = 1200 Mặt khác ,phép Q(B, 600) : NB Do : BMC = AMB = AMC = 1200 Kluận : Điểm M giao điểm cung chứa góc 1200 dựng cạnh ABC Ghi : Các bạn thử dùng phép đối xứng trục để giải toán cho biết nhận định quay tam giác AMC góc 600 để giải tốn *Trong kiểm tra số mơn đại số khối 11 có tốn sau : Cmr ,nếu x,y > Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 x + y = z x2003 + y2003 < z 2003 Đa số học sinh khơng giải tốn ,nếu nói tốn khó học sinh chưa hẳn ,nhưng hầu hết em quan tâm nhiều số mũ lớn luỹ thữa mà không khai thác triệt để giả thiết toán Ví dụ 6: Cmr ,nếu x,y > x + y = z x2003 + y2003 < z 2003 *Khai thác giả thiết :i) x > ,y> => x + y > nghĩa z > 2i ) x + y = z => x y 1 z z => ( hàm số mũ tính chất hàm mũ tương ứng ) x y 1 ) z z (nghĩ đến số 3i) số mũ luỹ thừa 2003 (cũng chưa lớn phức tạp đâu) Trên sở khai thác giả thiết điều kiện toán bạn đễ dàng nghĩ đến tốn tương tự ví dụ trg 172, Sgk, Đ SỐ l1đã học vận dụng cách giải cho toán x z y z Ta biến đổi dạng ( ) 2003 ( ) 2003 Từ điều kiện x x y y x y => [ ( ) 2003 ( ) 2003 ] z z z z z z ( 2003 >1và t/c nghịch biến hàm số mũ) Từ dễ thấy điều phải chứng minh (tương tự hố qui trình tư giảỉ tốn cơng cụ hiệu giúp ta định hướng nhanh) Ghi : Các bạn phân tích tìm tịi để có cách giải khác II/Phương pháp chuyển hố nội dung hình thức tốn: Trên tản triết học vật biện chứng "Mọi vật ,hiện tượng tồn có mối liên hệ hữu kể mặt đối lập có tính thống ,trong mặt thống có phần đối lập" Trong lĩnh vực tốn học có nhiều loại tốn có liên quan với Mối liên hệ chúng chừng mực cho phép ta chuyển từ toán sang giải toán khác 1/Chuyển tốn đại số , giải tích sang giải tốn hình học Ta xem ví dụ toán minh hoạ Bây ta xét tốn khác Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = f(a) = cos a cos a cos a cos a 13 *Nhận xét định hướng giải:Trong biểu thức hàm có chứa hai bậc mà biểu thức thức hàm cung , việc tìm trị nhỏ hàm số qua công cụ đạo hàm đơn giản Tuy nhiên nhìn thức biểu thức độ dài véctơ phẳng tốn cho ta kỳ vọng chuyển sang giải hình học toạ độ phẳng.Với kỳ vọng buộc ta phải tìm cách đưa hai thức gần gũi với công thức tính độ dài véctơ ( chuyển biểu thức bậc hai tổng hai bình phương ) Ta có : y = f(a) = (1 cos a) (cos a 3) xác định , đến vấn đề cịn khéo chọn toạ độ véc tơ có độ dài tương ứng thức Trong mpOxy chọn u (1 cos a;1) v (cos a 3;2) => f(a) = u + v Ta có : u v (4;3) u v 16 ,ta cịn có : u + v u + v => f(a) Vậy : f(a) = , a Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 2/Chuyển tốn hình học thơng thường sang hình học giải tích : Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a Trên BD AD' ta lấy điểm M, N cho DM=AN=k k a Xác định k để đoạn MN ngắn Chứng minh MN đoạn vng góc chung cùa BD AD Tính độ dài đoạn MN Giải: Chọn hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz cho O trùng với đỉnh A, đỉnh B, D, A' nằm trục Ox, Oy, Oz Ta có A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), D'(0,a,0), k k ,a ,0 M ; N 0, k k , 2 Từ điều kiện toán ta thấy k thuộc (0 ; a ) Ta xác định độ dài đoạn MN ,trên sở ta chọn hàm số tương ứng cho đối k Mặt khác , MN nhỏ < = > MN2 nhỏ Ta đặt f(k) = MN2 , k(0; a ) => f(k) < = > min(MN) Ta có : MN ( k k k ) ;2 a; 2 => f(k) = 3k2 -2 ak + a2 Đây hàm số bậc hai theo k với k(0; a ) Đạo hàm f '(k) = 6k - a ) = => k = ( a ) /3 a a a a MN có độ dài ngắn ,khi toạ độ MN ( ; ; ) cịn có 3 3 MN AD' AD' (0, a, a ) => Do : MN AD' MN BD MN BD BD (a; a;0) Vậy k= - Vậy MN đoạn vuông góc chung BD AD' Dễ tính được: MN = a (đvđd) Ghi : bạn thử giải tốn mà khơng dùng phương pháp toạ độ thử xem! 3/ Chuyển toán đại số sang lượng giác : Ví dụ : Giải bất phương trình 3x (*) 1 x x2 *Nhận xét định hướng giải : Tập xác định bất phương trình : D = (-1 ;1) cho phép ta nghĩ đến việc đặt x = cosa x sina Như bất phương trình đại số chuyển sang bất phương trình lượng giác tương ứng 0 a Thật , ( *) < = > x cos a < = > cotg2a -3cotga +2 > < = > cos a sin a sin a 2 Bạn đọc tự giải tiếp bất phương trình Đ số : -1< x < x 1 Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn cot ga cot ga Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 D/ Kết luận : Tốn học rộng vơ biên, phương pháp luận vơ cùng, phương pháp thật ỏi Mong quý đồng nghiệp góp ý thêm, em học sinh tiếp nhận quà bổ ích cho đường học tốn Chào thân ! Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin ... tốn học có nhiều loại tốn có liên quan với Mối liên hệ chúng chừng mực cho phép ta chuyển từ tốn sang giải toán khác 1/Chuyển toán đại số , giải tích sang giải tốn hình học Ta xem ví dụ toán. .. Trưng Vương Quy Nhơn DeThiMau.vn Tổ : Toán – Tin Lê Trinh Tường Tổng kết kinh nghiệm 03-04 2/Chuyển tốn hình học thơng thường sang hình học giải tích : Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh... tạp đâu) Trên sở khai thác giả thiết điều kiện toán bạn đễ dàng nghĩ đến toán tương tự ví dụ trg 172, Sgk, Đ SỐ l1đã học vận dụng cách giải cho toán x z y z Ta biến đổi dạng ( ) 2003 ( ) 2003