PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Đề thức Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 28/11/2012 Năm học 2012 - 2013 Số báo danh (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức: P 15 x 11 x 2 x x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm m để có x thỏa mãn P x m x 3 x 3 Cho hàm số: f x x x Tìm f a với a 3 17 3 17 2012 Câu 2: (4,0 điểm) Giải phương trình: x x x 5 x Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức: xy x y x y xy Câu 3: (4,0 điểm) Tìm số thực x cho x 2012 13 2012 số nguyên x Cho ba số thực x, y, z thoả mãn xyz Chứng minh rằng: x y Nếu x y z ba số x, y, z có số lớn z Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD điểm P nằm tam giác ABC a) Giả sử BPC = 1350 Chứng minh AP2 = CP2 + 2BP2 b) Các đường thẳng AP CP cắt cạnh BC AB tương ứng điểm M N Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN Chứng minh P thay đổi tam giác ABC, đường thẳng PQ qua D Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh AC Biết độ dài đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 không lớn Chứng minh SABC (SABC diện tích tam giác ABC) Câu 5: (2,0 điểm) Với x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x3 x3 8y3 4y3 y x y Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Hướng dẫn chấm Đề thức Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Ngày thi: 28/11/2012 (Đáp án có 04 trang, gồm 05 câu) Nội dung đáp án Câu a) ĐKXĐ: x 0; x Ta có: P = = 15 x 11 0,5 x 2 x 3 1 x x 3 = 15 x 11 x x x x x 1 x 3 x 12 x x = x 1 x 3 x = b) Với x 0; x ta có P (4,0đ) P 15 x 11 x 1 x 3 x 11 3 x x 3 2 x 3 x 1 x 1 x 3 x2 x 3 15 Điểm x 1 x 3 x 3 0,75 0,75 5x x x 1 x 3 0,5 25 x x 3 x 3 m Lại có: x x 2 x m x 2m x 2m m 3 2m m2 0,25 0,25 Vậy m 2; m 3 Ta có: a 3 17 3 17 a 6 3 17 3 17 a 6a Từ đó: f a a 6a 2012 Đặt (4,0đ) a 6a 2012 0,5 0,5 x y (với y ) 0,5 y y x Khi đó, ta có: y x x 5y y 5y x 1,25 Từ tìm nghiệm phương trình là: x 4 0,75 Ta có: xy x y x y xy y x 1 xx 1 y x 1 (1) Nhận thấy x = nghiệm PT (1) Chia vế phương trình cho x – 1, ta được: ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 2y2 x y 0 x 1 PT có nghiệm x, y nguyên, suy (2) nguyên nên x – thuộc x 1 1;1 0,25 x – = -1 x = x–1=1 x=2 0,25 Thay x = vào PT(2) ta được: y y y ; y Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên x, y 0,1; 2,1 Thay x = vào PT(2) ta được: y y y ; y 0,25 0,25 0,25 ĐK: x Đặt a x 2012 , b 13 2012 x 0,25 Thay x a 2012 vào biểu thức b , ta được: 2012 ab 2025 b a 2012 a 2012 Để a, b Z a b , ab 2025 b 13 0,5 0,25 Từ đó, suy a b 45 x 45 2012 Thử lại với x 45 2012 thấy a, b số nguyên (4,0đ) 0,25 Xét tích: 0,75 (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – xy – yz – zx + x + y + z –1 1 x = x + y + z - mà x y z 1 y z (vì xyz = 1) 1 (x –1)(y – 1)(z – 1) >0 x y z 0,75 Nếu thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) dương xyz > (loại) Nếu thừa số: (x –1), (y – 1), (z – 1) âm (x –1)(y – 1)(z – 1) MIA = NIC 0,25 S Suy MAI Do M, I, N thẳng hàng nên A, I, C thẳng hàng Trở lại toán: Dễ thấy tứ giác NBMQ hình chữ nhật Qua P Q kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vng Do P thuộc đường chéo AM hình chữ nhật ABMR nên SBLPK = SPIRS (1) P thuộc đường chéo CN hình chữ nhật NBCH nên SBLPK = SPTHF (2) Từ (1)&(2) suy ra: SPIRT = SPTHF => SFQRS = SQITH Theo nhận xét trên, suy Q thuộc đường chéo PD hình chữ nhật SPTD, tức PQ qua điểm D N F Q H K P I T B L M C 0,25 A 0,5 K H => SABC = CH.AB Mà CH CC1 1, ta có: BB1 BK 1 AB sin A sin A sin A sin 60 ThuVienDeThi.com D 0,25 Khơng tính tổng qt, giả sử: A B C => Â 600 TH1: 60 Â < 900 Kẻ CH AB, BK AC => SABC (1) 3 TH2: Â 90 => AB BB1 1; CH CC1 A S R 0,5 B1 C1 B A1 C 0,5 0,5 2 => SABC 1.1 (2) Từ (1)&(2) suy SABC 3 Ta chứng minh hai bất đẳng thức: x3 x2 x3 8y3 x2 y y3 y x y 3 Thật BĐT (1) (2,0đ) 0,25 (1) y2 x2 2y2 0,25 (2) x3 x4 x3 8y3 x2 2y2 0,5 x y xy (đúng với x, y) BĐT (2) y3 y x y x y4 2y2 x y x y y x y Do x y x y y y x y 0,5 Nên x y x y x y 2 y x y y x y 3 Suy BĐT (2) Từ (1) (2) ta Q Dấu “=” xảy x = y Vậy P = x = y Chú ý: 0,25 0,25 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết sai để làm phần khơng tính điểm phần ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRIỆU SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Năm học 2012 - 2013 Hướng dẫn chấm Đề thức Mơn thi: Tốn Lớp: THCS Ngày thi: 28/11 /2012 (Đáp án có 04 trang, gồm 05 câu) Nội... 0,25 0,25 0,25 ĐK: x Đặt a x 2012 , b 13 2012 x 0,25 Thay x a 2012 vào biểu thức b , ta được: 2012 ab 2025 b a 2012 a 2012 Để a, b Z a b , ab 2025 b... = y Vậy P = x = y Chú ý: 0,25 0,25 Thí sinh làm cách khác, điểm tối đa Nếu thí sinh tiếp tục sử dụng kết sai để làm phần khơng tính điểm phần ThuVienDeThi.com