Giáo án Máy tính casio39547

Trường THCS Đại Bình Chiến Biên soạn: Dương Quyết – CHƯƠNG II: ĐA THỨC Định lý Bezout Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a f(a) Hệ quả: Nếu a nghiệm f(x) f(x) chia hết cho x – a Dạng Tính giá trị đa thức Bài tốn: Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) Viết P(x)  a0 x n  a1x n 1   an dạng P(x)  ( (a0 x  a1 )x  a2 )x  )x  an Vậy P(x )  ( (a0 x  a1 )x  a2 )x  )x  an Đặt b0 = a0; b1 = b0x0 + a1; b2 = b1x0 + a2; …; bn = bn-1x0 + an Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá x0 vào biến nhớm M - Thực dãy lặp: bk-1 Ví dụ 1.1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tính Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: ALPHA M + ak A 3x  2x  3x  x x = 1,8165 4x3  x  3x  Ans 8165  ( Ans ^  Ans ^  Ans x  Ans  )  ( Ans ^  Ans x  Ans  )  Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: X 8165 SHIFT STO X ( ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X x  ALPHA X  )  ( ALPHA X ^  ALPHA X x  ALPHA X  )  Kết quả: 1.498465582 Nhận xét:  Phương pháp dùng sơ đồ Horner áp dụng hiệu máy fx-220 fx-500A, máy fx-500 MS fx-570 MS nên dùng phương pháp tính -1ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS giá trị biến x nhanh cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím  xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị Ví dụ 1.2: Tính A 3x  2x  3x  x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 4x3  x  3x  865,321 Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:  235678 SHIFT STO X Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím  xong  Trong kỳ thi dạng tốn ln có, chiếm đến điểm thi Khả tính tốn dẫn đến sai số thường khơng nhiều biểu thức q phức tạp nên tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Dạng 2: Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta ln P(x)=Q(x)(ax+b) + r, r số (không chứa biến x) Thế x b b ta P(  ) = r a a Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P(  dạng toán 2.2 trở thành dạng toán 2.1 Ví dụ 2.1: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia:P= x14  x  x  x  x  x  723 x  1,624 Số dư r = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: 624 SHIFT STO X -2ThuVienDeThi.com b ), lúc a Trường THCS Đại Bình Chiến – Biên soạn: Dương Quyết ALPHA X ^ 14  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X ^  ALPHA X  723  Kết quả: r = 85,92136979 Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho ax +b m + r = hay m = -r = - P(  b ) Như toán trở dạng toán a Ví dụ 3.1: Xác định tham số (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để - Giải Số dư x  7x3  2x  13x  a chia hết cho x+6.- a   (6)4  7(6)3  6   13 6    Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) Ấn phím: ( ) SHIFT STO X () ( ALPHA X ^  ALPHA X x  ALPHA X x  13 ALPHA X )  Kết quả: a = -222 Ví dụ 3.2: (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3? Giải – Số dư a2 = - 3 3    17 3  625 => a =    3 3  17 3  625   Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) () ( ( () ) x3  17 ( () )  625 )  Kết quả: a =  27,51363298 -3ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Chú ý: Để ý ta thấy P(x) = 3x3 + 17x – 625 = (3x2 – 9x + 44)(x+3) – 757 Vậy để P(x) chia hết cho (x + 3) a2 = 757 => a = 27,51363298 a = - 27,51363298 Vi du3.3 Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 H.Dẫn: - Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m Khi đó: P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) Ta có: 2 P1   m 3 m Tính máy giá trị đa thức P1(x) P1 x  ta m = Vi du3.4: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa thức có nghiệm chung x0  H.Dẫn: x0  1 nghiệm P(x) m =  P1  , với P1(x) = 3x2 - 4x + 2 x0  1 nghiệm Q(x) n= Q1  với Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 2 Tính máy ta được: m = 1  P1  = 2 ;n = 1 Q1  = 2 Vi du3.5: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m;Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) -4ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm H.Dẫn: a) Giải tương tự VD 3.4, ta có: m = ;n = b) P(x)  (x - 2) Q(x)  (x - 2)  R(x)  (x - 2) Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), x2 + x + > với x nên R(x) có nghiệm x = Ví dụ 3.6 Cho đa thức f(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x Tim giá trị m để f(x) + m chia hết cho x+6 Với m vừa tìm câu T ính giá trị đa thức P(x) = f(x) + m cho: 1 x= 3 1 1 1 + 1 1 Giải: f(x) + m chia hết cho x+6 nên f(x) + m viết d ạng f(x) + m = Q(x)(x+6) đ ó f(-6) + m =  m = - f(-6) HS lập quy trình tính đ úng k ết  m = - f(-6) = - (- 642)= 642 Với m = 642 ta đa thức P(x) = x4 + 9x3 + 2x2 + 11x + 642 Học sinh tính x = Thay x = vào tính đ úng P(1) = 665 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số P x  thỏa mãn điều kiện đó: Ví dụ 4.1: (5 điểm) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c -5ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến a) Tìm a, b, c biết x nhận giá trị 1,2 ; 2,5 ; 3,7 P(x) có giá trị tương ứng 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm số dư r phép chia đa thức P(x) cho 12x – c) Tìm giá trị x P(x) có giá trị 1989 Giải: a) Thay giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c 1,44a  1,2b  c  1993  ta hệ 6,25a  2,5b  c  2045 13,69a  3,7b  c  2123  Giải hệ phương trình ta a =10 ; b =3 ; c = 1975 b) Số dư phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 giá trị P(-2,5) đa thức P(x) x=-2,5 ĐS ; 2014,375 c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126 Ví dụ 4.2:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1) Xác định số hữu tỉ a b để x = 7 7 nghiệm P(x); 2) Với giá trị a, b tìm tìm nghiệm cịn lại P(x) Giải: x = 6- 35  b =  x  ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 ) x (a+13) = b+6a+65 =  a = -13 ; b =13  P(x) =x3-13x2+13x-1 (x-1)(x2-12x+1) =  x = ; x  0,08392 x  11,916 Ví dụ 4.3:Xác định hệ số a, b, c đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư chia cho (x – 14) có số dư Hướng dẫn: Ta có : P(x) = Q(x)(x – a) + r  P(a) = r Vậy P(13) = a.133 + b.132 + c.13 – 2007 = P(3) = a.33 + b.32 + c.3 – 2007 = P(14) = a.143 + b.142 + c.14 – 2007 = -6ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Tính máy rút gọn ta hệ ba phương trình : 2197.a  169b  13.c  2008  27 a  9b  3c  2009 2744  196b  14c  2010  Tính máy :a = 3,693672994  3,69 b = –110,6192807  –110,62 c = 968,2814519  968,28 Dạng Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài toán mở đầu: Chia đa thức a0x3 + a1x2 + a2x + a3 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b0x2 + b1x + b2 số dư r Vậy a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = (b0x2 + b1x + b2)(x-c) + r = b0x3 + (b1-b0c)x2 + (b2-b1c)x + (r + b2c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b0 = a0; b1= b0c + a1; b2= b1c + a2; r = b2c + a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x-c) trường hợp tổng quát : Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) Cách giải: - Để tìm dư: ta giải tốn - Để tìm hệ số đa thức thương: dùng lược đồ Hoocner để tìm thương phép chia đa thức P(x) cho (x + b ) a Ví dụ 5.1 Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải -Ta có: c = - 5; a0 = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; a4 = a5 = 0; a6 = 1; a7 = -1; b0 = a0 = Qui trình ấn máy (fx-500MS fx-570 MS) -7ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến Biên soạn: Dương Quyết – () SHIFT STO M  ALPHA M   (-5)  ALPHA M   (23)  ALPHA M  ()  (-118)  ALPHA M   (590)  ALPHA M   (-2950)  ALPHA M   (14751)  ALPHA M  ()  (-73756) Vậy x7 – 2x5 – 3x4 + x – = = (x + 5)(x6 – 5x5 + 23x4 – 118x3 + 590x2 – 2590x + 14751) – 73756 Ví dụ5.2: Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5) H.Dẫn: - Sử dụng lược đồ Hoocner, ta có: -2 -3 -5 -5 23 -118 590 * Tính máy tính giá trị sau: () SHIFT STO 1 -1 -2950 14751 -73756 M  ANPHA M + = (-5) :  ANPHA M + (23) :  ANPHA M - = (-118) : ghi giấy -118  ANPHA M + = (590) : ghi giấy  ANPHA M + = (-2950) : ghi giấy -2950  ANPHA M + = (14751) : ghi giấy 14751  ANPHA M - (-73756) : ghi giấy -73756 - = = -8ThuVienDeThi.com ghi giấy -5 ghi giấy 23 590 Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến x7 - 2x5 - 3x4 + x - = = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) – 73756 Vi du5.3: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Vi du 5.4: Chia x8 cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) dư r2 Tìm r2 ? H.Dẫn: - Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số dư r1, r2:   0 0 0  16  32 64  -1  16  16 64  VËy: r2   128 256 16 16 Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Áp dụng n-1 lần dạng tốn 2.4 ta phân tích đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=r0+r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n Ví dụ6.1 Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Giải -Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x-c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: -3 -2 x4-3x2+x-2 0 1 q1(x)=x3+1, r0 = 3 28 q2(x)=x3+3x+1,r1=28 27 q3(x)=x+6, r0 = 27 q4(x)=1=a0, r0 = Vậy x4 – 3x3 + x – = + 28(x-3) + 27(x-3)2 + 9(x-3)3 + (x-3)4 -9ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến Biên soạn: Dương Quyết – Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Nếu phân tích P(x) = r0 + r1(x-c)+r2(x-c)2+…+rn(x-c)n ta có ri  với i = 0, 1, …, n nghiệm thực P(x) khơng lớn c Ví dụ 7.1: Cận nghiệm dương đa thức x4 – 3x3 + x – c = (Đa thức có hai nghiệm thực gần 2,962980452 -0,9061277259) Nhận xét:  Các dạng toán 2.4 đến 2.6 dạng toán (chưa thấy xuất kỳ thi) dựa vào dạng tốn giải dạng tốn khác phân tích đa thức thừa số, giải gần phương trình đa thức, …  Vận dụng linh hoạt phương pháp giải kết hợp với máy tính giải nhiều dạng tốn đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không sử dụng công thức Cardano phức tạp Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng cách khéo léo hợp lí làm Dạng.8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Ví dụ 8.1 Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: b1 c1 d1 e1 a1  16a   8b1 4c1 2d1 e1 27b1 9c1 3d1 e1 81a1  256a  64b1 16c1 4d1  125b1 25c1 5d1 625a1  Vậy ta có: Q(x) = P(x) -  a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 e1 16 e1 25 x2 - 10 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2 Từ tính được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Ví dụ 8.2 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11 Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn: - Giải tương tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính được: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = Ví dụ 8.3 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; Tính P(5)  P(6) A  P(7) P(4) = 10 ? H.Dẫn: - Giải tương tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + tính được: x( x  1) Từ P(5)  P(6) A  P(7) Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn: - Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) =  a, b, c nghiệm hệ phương trình: - 11 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến – Biên soạn: Dương Quyết b c a    MTBT ta giải được: 3b c 11 9a  25a  5b c 27   a   b  c    g(x) = f(x) - x2 - Vì f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vậy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5) f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)+ x2 + Ta tính được: A = f(-2) + 7f(6) = Ví dụ 8.4 Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) H.Dẫn: - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =  d  10  b c d 12 nên:  a    a 4b 2c d   9b 3c d  27 a  lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: f ( x)  x a  ;b 25 ; c 12; d 10  25 x 12 x 10  f (10)  Ví dụ8.5: Chođa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),(x - 3) dư f(-1) =-18 Tính f(2005) = ? H.Dẫn: - Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = có f(-1) = -18 - Giải tương tự 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 12 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến Từ tính f(2005) = – Biên soạn: Dương Quyết Ví dụ 8.6 Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 Giải: Tính giá trị P(x) x = 1, 2, 3, ta kết : 1+a-b+c+d-2007=9 a-b+c+d=2015 32+16a-8b+4c+2d-2007=21 16a-8b+4c+2d=1996     243+81a-27b+9c+3d-2007=33 81a-27b+9c+3d=1797 1024+256a-64b+16c+4d-2007=45 256a-64b+16c+4d=1028 (1) (2) (3) (4) Lấy hai vế phương trình (1) nhân với 2, 3, trừ vế đối vế với phương trình (2), phương trình (3), phương trình (4), ta hệ phương trình bậc ẩn : -14a+6b-2c=2034  -78a+24b+6c=4248 -252a+60b-12c=7032  Tính máy a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2972,5 d = 4211 Ta có P(x)=x5 – 93,5x4 + 870x3 -2972,5x2+ 4211x – 2007 Q(1,15) = 66,15927281  66,16 Q(1,25) = 86,21777344  86,22 Q(1,35) = 94,91819906  94,92 Q(1,45) = 94,66489969  94,66 Ví dụ 8.7: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f Biết P(1) = , P(2) = , P(3) = , P(4) = 16 , P(5) = 25 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) Giải: Ta có P(1) = = 12; P(2) = = 22 ; P(3) = = 32 ; P(4) = 16 = 42 ; P(5) = 25 = 52 Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2 - 13 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = Suy 1; 2; 3; 4; nghiệm đa thức Q(x) Vì hệ số x5 nên Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62 Hay P(6) = 5! + 62 = 156 Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72 Hay P(7) = 6! + 72 = 769 BÀI TẬP Dạng Tính giá trị đa Bài tập 1.1Cho P(x) = x5-14x4+85x3-224x2+274x-110 a) Lập quy trình bấm phím tính giá trị biểu thức x=a b) Tính P x=5,9; 20,11; 22,12; 14,2; 27,2; 26,3; 30,4 Bài tập1.2(Sở GD Hà Nội, 1996) Tính giá trị biểu thức: x  5x3  3x  x  x = 1,35627 b Tính P(x)  17x  5x  8x  13x  11x  357 x = 2,18567 a Tính Bài tập1.3 Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) H.Dẫn: - Lập công thức P(x) - Tính giá trị đa thức điểm: dùng chức - Kết quả: P(1,25) = CALC ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P( ) = Bài tập:1.4Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Q(x) = x + x3 + + x8 + x9 + x10 - 14 ThuVienDeThi.com x = -2,1345 Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến H.Dẫn: - Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( x  1)(1 x x x9 ) x10  x 1 x Từ tính P(0,53241) = Tương tự: Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) = x2 x9  x 1 Từ tính Q(-2,1345) = Bài tập1.5:Cho đa thức P( x) x9 630 x 21 13 x 30 82 x 63 32 x 35 a) Tính giá trị đa thức x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chứng minh P(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) = b) Do 630 = 2.5.7.9 x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; nghiệm đa thức P(x) nên P ( x)  ( x 4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4) 2.5.7.9 Vì só ngun liên tiếp ln tìm số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x ngun tích: ( x  4)( x 3)( x 2)( x 1) x( x 1)( x 2)( x 3( x 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên Bài tập1.6:Cho Q x   a) P x   35 x  37 x  60080 x3  10 x  2007 x  20070 a bx  c  x  10 x  2007 Với giá trị a, b, c P(x) = Q(x) với x thuộc tập xác định b) Tính giá trị P(x) x = 13 - 15 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến Tính n để T x   Biên soạn: Dương Quyết – P x  x  10 x  2007   n2 chia hết cho x + Bài tập1.7:Cho đa thức P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - Tính giá trị P(1,35627) Giải: P(1,35627) = 10,69558718 Bài tập1.8:Cho đa thức P(x) = x8 + 4x7 + 6x6 + 4x5 + x4 T ính giá trị P(x) (làm trịn đến 0,0001) cho x nhận giá trị : - 2,  , 1, - Bài tập1.9:Cho đa thức f(x) = x + x + x + 2008 15 Tính giá trị f(x) cho x nhận giá trị: ; -1 ; 3; - ; 2 Chứng minh rằng: f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Giải: f(x) = x + x + x + 2008 15 Đặt A = x + x + x 15 Ta CM: A số nguyên với x nguyên dương từ f(x) số nguyên 1 8x x + x + = x5 + x3 + x 15 15 1 = x + x +x- x- x 5 x x x x +x Thật vậy: A = Ta CM x5 - x Chia hết cho 5; x3 - x chia hết cho thật vậy: x5 - x = x(x4 - 1)= x(x2 - 1)(x2 + 1) =x(x2 - 1)(x2 - + 5) = x(x2 - 1)(x2 - 4) + 5x(x2 - 1) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) + 5(x-1)x(x+1) (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho - 16 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến Biên soạn: Dương Quyết – x5  x nên nguyên5(x-1)x(x+1) chi hết cho 5 x3 - x = x(x2-1) = (x-1)x(x+1) chia hết Vậy toán CM xong x3  x nguyên Dạng Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Bài tập: 2.1(Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia x  6,723x3  1,857x  6,458x  4,319 x  2,318 Bài tập2.2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho Px   x  5x  4x  3x  50 Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x-3 Tìm BCNN(r1,r2)? Bài tập2.3:Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5) Giải: - Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r  5  P  0.Q 2  Tính máy ta được: r = r r P 5 P  = 2 Bài tập2.4:Tính số dư r phép chia x  6,723 x  1,857 x  6,458 x  4,319 x  2,318 Bài tập2.5:: Tìm số dư phép chia sau: a) x3 – 9x2 – 35x + cho x – 12 b) x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617 Bài tập2.6:Cho f(x) = 2x6-4x5+7x4-11x3-8x2+5x-2007 Gọi r1 r2 số dư phép chia f(x) cho x-1,12357 x+0,94578 Tính B=0,(2006)r1-3,(2007)r2 Dạng Xác định tham số m để đa thức P(x) + m - 17 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình Chiến – Biên soạn: Dương Quyết chia hết cho nhị thức ax + b Bài tập3.1: a)Viết phương trình ấn phím để: Tìm m để đa thức x  x  x  x  17 x  m  1395 chiahết cho x  3 b) Với giá trị m đa thức x  x  11x  29 x   3m chia hết cho 6x + Bài tập3.2:Tìm m để đa thức chia hết cho x  x  x  x  17 x  m  1395 x  3 Bài tập3.3:Cho đa thức P x   x  x  x  x  x  m a) Tìm số dư r phép chia P(x) cho ( x – 3,5 ) m = 2005 b) Tìm giá trị m1 để đa thức P(x) chia hết cho x – 3,5 c) Tìm giá trị m2 để đa thức P(x) có nghiệm x = Bài tập3.4:Cho đa thức P(x) = x4 + x3 + x2 + x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho Q(x) = x + 10 Kết (2,5đ) m = -9090 b) Tìm nghiệm đa thức P(x) với giá trị vừa tìm m Kết x1 = -10, x2  9,49672 (2,5đ) Bài tập3.5:Cho ®a thøc P(x) = + 106x + m a)Tìm m để đa thức P(x) chia hết cho x + b) Với m tìm câu a), hy tìm số dư r chia đa thức P(x) cho x – x4 4x3 19x2 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số P x  thỏa mãn điều kiện đó: Bài tập4.1: Cho biết đa thức P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x – chia hết cho x – Hãy tìm giá trị m, n tính tất nghiệm đa thức Bài tập4.2:Đa thức P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có giá trị 5, 4, 3, 1, -2 - 18 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến x = 1, 2, 3, 4, Tính giá trị a, b, c, d, e tính gần nghiệm đa thức Bài tập4.3:Xác định hệ số a , b ,c đa thức P ( x)  ax  bx  cx  2007 để cho P(x) chia cho (x – 13) có số dư , chia cho (x – 3) có số dư chia cho (x - 14) có số dư ( Kết lấy với chữ số phần thập phân ) Giải: Lập luận đưa đến hệ điểm; tìm a,b,c ý cho điểm Đáp số: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28 Bài tập4.4Cho hai đa thức sau: f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b a)Tìm điều kiện a b để hai đa thức f(x) g(x) có nghiệm chung x = 0,25 ? b) Cho đa thức:Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32 Sử dụng phím nhớ Lập quy trình tìm số dư phép chia đa thức Q(x) cho 2x + 3? c)Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + d)Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625 + Tính P(2 ) + Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + Bài tập4.5:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx – 2007 giá trị x = 1,15; 1,25; 1,35; 1,45 Bài tập4.6:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x – ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ?’ Bài tập4.7:Biết đa thức Q(x) = x4 + mx3 - 44x2 + nx - 186 chia hết cho x + nhận x = nghiệm Hãy tính giá trị m n tìm tất nghiệm cịn lại Q(x) Giải Tõ gi¶ thiÕt => Q(-2) = Q(3) = => t×m m, n m = 6; n = -11 Tõ gi¶ thiÕt => Q(x) cã nghiƯm nguyªn x2 = -2 => Q(x) = (x+2)(x-3)(x2+7x-31) Dùng máy giải ph/tr bậc => nghiệm lại x3 3,076473219 x4 -10,076473219 Bi tập4.8:Xác định hệ số a, b, c, d tính giá trị đa thức Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 - 19 ThuVienDeThi.com Trường THCS Đại Bình – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45(Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập4.8:Biết số dư phép chia đa thức x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 – ax + cho (x + 5) 2007 Tìm a Dạng 5: Tìm đa thức thương chia đa thức cho đơn thức Bài tập5.1: Khi chia đa thức 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x) ? Bài tập5.2:Cho P(x) = x  x3  x  a)Tìm biểu thức thương Q(x) chia P(x) cho x – b)Tìm số dư phép chia P(x) cho x – xác đến chữ số thập phân Bài tập5.3:Tìm số dư phép chia đa thức x5 – 7,834x3 + 7,581x2 – 4,568x + 3,194 cho x – 2,652 Tìm hệ số x2 đ thức thương phép chia Dạng Phân tích đa thức theo bậc đơn thức Dạng Tìm cận khoảng chứa nghiệm dương đa thức Dạng8 tính giá trị đa thức biết số giá trị khác đa thức Bài tập8.1: Cho đa thức P x   x  ax  bx  cx  dx  e cho biết P(1) = , P(2) = , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) ? Bài tập8.2:Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, giá trị tương ứng đa thức P(x) 8, 11, 14, 17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11, 12, 13, 14, 15 Bài tập8.3:Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9 viết quy trình để tính P(9) P(10) ? Bài tập8.4:Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 a) Tìm số dư chia P(x) cho x - ? b) Tìm số dư chia P(x) cho 2x + ? Bài tập8.5:Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại giá trị x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45 Biết x nhận giá trị 1, 2, 3, Q(x) có giá trị tương ứng 9, 21, 33, 45 (Kết lấy với chữ số phần thập phân) Bài tập8.6:Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + + m P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) - 20 ThuVienDeThi.com (H(x) = x ) ... thường khơng nhiều biểu thức q phức tạp nên tìm cách chia nhỏ tốn tránh vượt giới hạn nhớ máy tính dẫn đến sai kết (máy tính tính kết thu kết gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Dạng 2: Tìm dư phép... cách bấm CALC , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím  xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị Ví dụ 1.2: Tính A 3x ... – Biên soạn: Dương Quyết Chiến Tính máy rút gọn ta hệ ba phương trình : 2197.a  169b  13.c  2008  27 a  9b  3c  2009 2744  196b  14c  2010  Tính máy :a = 3,693672994  3,69 b =