Đề thi học sinh giỏi casio cấp trường năm học: 2016 – 2017 môn Toán39374

TRƯỜNG THCS NGA THÁI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CASIO CẤP TRƯỜNG Năm học: 2016 – 2017 (Thời gian 150 phỳt) S Quy định: 1-Thí sinh dùng loại máy tính CASIO :fx-500A,fx-500MS,fx-500ES, fx-570MS,fx-570ES,Vn-500MS.Vn-570MS máy tính có chức tương đương 2-Thí sinh phải ghi rõ quy trình ấn phím sử dụng máy ghi rõ cho loại máy Bi (2.0 im) : A ≈ 1.31996863306853 a) Tính: A= 4 3 2 1 b) Có: a0122013  9991  2014 b 1 c d e f Chứng tỏ a = tìm b, c, d,e, f Chứng tỏ a = 2: a0122013 < 2014*(9991+1) = 20121874 nên a  a = 2: 20122013 chia 2014 thương 9991 a = 1: 10122013 chia 2014 thương 5025 a = 0: 122013 chia 2014 thương 60 Vậy a = Kết quả: a = 2; (1.0 điểm) b = 14; c = 2; d =22; e = ; f = 2; (.0 điểm) Bài (2.0 điểm) : a) Tìm tất số có 10 chữ số luỹ thừa bậc số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị Sơ lược cách giải: Kết quả: - Lấy bậc 1000000000 (Số nhỏ có 10 chữ số) được: 63 1073741824; - Lấy bậc 9999999999 (Số lớn có 10 chữ số) được: 100 2219006624; Cho I chạy từ 63 đến 100 Tính I5 Các số thỏa điều kiện (Chữ số tận 4182119424; 4) là: 7339040224 (0.5 điểm) (0.5 điểm) 2013 b) Tìm chữ số hàng chục 17 Sơ lượt cách giải: Kết quả: : 17*17 = 289 (Chia 100 dư 89) : 89*17 = 1513 (Chia 100 dư 13) Chữ số hàng chục … 13:61*17 =1037 (Chia 17 dư 37) 20 : 53*17 = 901 (Chia 100 dư 1) Vậy 1720 chia 100 dư  172000 chia 100 dư (0.5 điểm)  172013 chia 100 dư 37 (0.5 điểm) ThuVienDeThi.com Bài (2.0 điểm) : a) Đa thức bậc f(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1) = f(-2) ; f(2) = f(-3) Hãy tìm b, c, d b) Phương trình 2x3 + mx2 + nx +12 = có hai nghiệm x1 = ; x2 = -2 Hãy tìm nghiệm thứ ba phương trình Sơ lược cách giải: Kết quả: b= c= d= (0.5 điểm) (0.5 điểm) x3 = (0.5 điểm) (0.5 điểm) Bài (2.0 điểm) : Bàn cờ vua có 64 ô Ô thứ đặt hạt gạo, ô thứ hai trở đặt số gạo gấp đôi ô trước a) Số hạt gạo đặt thứ 64 b) Tổng số hạt gạo đặt bàn cờ Sơ lược cách giải: Kết quả: 64 32 32 - Số hạt gạo ô 64 = 2 Ô 64 = - 232 = 4294967296 Thực kỹ thuật nhân tràn số 4294967296 x 4294967296 để 18.446.744.073.709.556.616 (0.5 điểm) tìm 264 (0.50 điểm) - Tổng số gạo bàn cờ : 2+22+23+ … + 264 =2(1+2+22+ … + 263) B Cờ = 63 64 = (2-1)(1+2+2 + … + ) = (2 -1).2 36.893.488.147.419.113.230 - Thực nhân giấy để lấy kết (0.50 điểm) (0.5 điểm) Bài (2.0 điểm) : a) Một người vào bưu điện chuyển tiền cho người thân Trong ví có triệu đồng Phí chuyển tiền 0.9% tổng số tiền gởi Tìm số tiền tối đa mà người thân nhận b) Một số tiền 58.000.000 đồng gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau tháng tiền lãi cộng thành vốn ) Sau 25 tháng vốn lẫn lãi 84.155.000 đ Tính lãi suất/tháng ( tiền lãi 100 đồng tháng ) Sơ lược cách giải: Gọi x số tiền người thân nhận Có : x + 0.9%x = 5000000 x = 5000000 :(1+0.9%) (0.5 điểm) Áp dụng cơng thức tính lãi suất kép : P = A(1+x)n Với A vốn ban đầu; x lãi xuất; P số tiền (cả gốc lẫn lãi sau n tháng) Rút x = n P 1 A ThuVienDeThi.com Kết quả: x  4955401.38751239 (0.50 điểm) Lãi xuất x  0.015 = 1.5% Thay số tính x (1.00 điểm) (0.50 điểm) Bài (2.0 điểm): Cho số : a = 222222; b = 506506; c = 714714; d = 999999 a) Tìm BCNN số b) Tìm ước chung số a,b,c,d Sơ lược cách giải: Kết quả: BCNN(a,b) = ab/UCLN(a,b) x = BCNN(a,b) BCNN(a,b,c,d) = 60213939786 y = BCNN(x,c) (0.5 điểm) z = BCNN(y,d) BCNN(a,b,c,d) = z (0.50 điểm) Sơ lược cách giải: Tìm UCLN(a,b,c,d) = 1001 1001 = 7*11*13 Các ước: 1; 7; 11; 13; 7*11; 7*13; 11*13; 7*11*13 (1.5 điểm) (2  3) n  (2  3) n Bài (2.0 điểm) : Cho dãy số u n  a) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un + un b) Tìm u15; u20 Kết quả: 1; 7; 11; 13; 77; 91; 143; 1001 Kết quả: Đặt a  (2  3); b  (2  3) ta có a + b = ab = a n  b n (a  b)(a n 1  b n 1 )  a n 1b  ab n 1 un   3 n 1 n 1 n 2 4(a  b )  ab(a  b n  ) un  n 1 n 1 4(a  b ) (a n   b n  ) un   =4un-1 - un-2 3 u15 = 109.552.575 u20 = 79.315.912.984 (1 điểm) Vậy un = 4un- - un-2 hay un+2 =4un+1 - un (1 điểm) Bài (2.0 điểm): Một hình thoi có chu vi 52cm có diện tích 120cm2 Hãy tính số đo góc nhọn (Ghi dạng độ, phút, giây) Sơ lược cách giải: Kết quả: Gọi 2a, 2b độ dài đường chéo Ta có : 4(a2 + b2) = 52  = 2 = 4a.b = 120 Giải a = ; b = 12 góc nhọn hình thoi Ta có : 5 Tan() =   = arctan( ) 12 12 Gọi  (1.5 điểm) ThuVienDeThi.com Bài (2.0 điểm) : Cho ABC vng A có BC = 2,55m; A cạnh AB AC tỉ lệ với 15, AD phân giác góc A a, Tính góc B, góc C B b, Tính chu vi tam giác ABD Lời giải tóm tắt: a, tan C  C Kết AB  ; AC 15 a) Góc B ≈ 61055'39'' góc C = 2804'21''; góc B = 61055'39'' b, AC = BC.sin61055'39'' = 2,25m; AB = BC.8:15 = 1,2m Ta có D BD DC BD  DC BC 2,55 17 102 suy BD = m      AB AC AB  AC AB  AC 3,45 23 115 AB AC p ( p  BC) AD = AB  AC Góc C ≈ 2804'21'' b) Chu vi tam giác ABD là: 3,19373m Tính chu vi tam giác ABD là: BD + AD + AB = 3,19373m Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 450, góc B 590, AB – BC = 12cm a, Tính độ dài cạnh tam giác ABC ? b, Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tóm tắt: ,Góc C = 760 Áp dụng định lí hàm số Sin ta có BC AC AB AB  BC 12     sin A sin B sin C sin C  sin A sin C  sin A suy AB = 44,24027cm; AC =39,08222cm ; BC =32,24027cm b, Áp dụng công thức S= abc công thức Hêrông S= 4R p ( p  a )( p  b)( p  c) (S diện tích tam giác ABC, a,b,c độ dài cạnh, R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác, p nửa chu vi tam giác) suy R= abc:(4 p( p  a)( p  b)( p  c) )= 22,79731cm ThuVienDeThi.com Kết a) AB = 44,24027cm; AC =39,08222cm ; BC =32,24027cm b) R ≈ 22,79731cm ... Với A vốn ban đầu; x lãi xuất; P số tiền (cả gốc lẫn lãi sau n tháng) Rút x = n P 1 A ThuVienDeThi.com Kết quả: x  4955401.38751239 (0.50 điểm) Lãi xuất x  0.015 = 1.5% Thay số tính x (1.00... ; b = 12 góc nhọn hình thoi Ta có : 5 Tan() =   = arctan( ) 12 12 Gọi  (1.5 điểm) ThuVienDeThi.com Bài (2.0 điểm) : Cho ABC vng A có BC = 2,55m; A cạnh AB AC tỉ lệ với 15, AD phân giác góc... giác ABD là: BD + AD + AB = 3,19373m Câu 10: (2 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 450, góc B 590, AB – BC = 12cm a, Tính độ dài cạnh tam giác ABC ? b, Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC