PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI VÒNG I, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Mơn Tốn – ( Thời gian làm 150 phút) Câu (4 điểm) a 2 a a a 4a 1 2x 1 2x b Tính A = với x = 1 1 2x 1 1 2x a2 a a Rút gọn biểu thức sau: M = n 1 a 3a n Câu (4 điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z x3 y z b Chứng minh a b c a b c b c a c a b chia hết cho 24, với a, b, c Z Câu (4 điểm) 3 a Với x 0, y Chứng minh bất đẳng thức: x y 2 2 x y xy b Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x 5 y x y Câu (2 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3xy + 3yz + 3zx – xyz x, y, z ba số dương thỏa mãn x3 y z Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC có CBA = 20 ACB = 110 đường phân giác BE Từ C kẻ CK vuông góc với EB cắt AB K cắt BE M Trên đoạn EB lấy điểm F cho EF = EA Chứng minh rằng: a) AF vng góc với EK b) CF = AK CF tia phân giác góc KCB c) CK BC AF BA Cho hình thoi ABCD, đường chéo AC BD cắt O Đường trung trực AB cắt BD, AC M, N Biết MB = a, NA = b Tính diện tích hình thoi theo a, b Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG I – NĂM HỌC 2015-2016 Hướng dẫn giải Câu a2 a a) Rút gọn biểu thức M: = n 1 a 3a n Biểu thức có nghĩa a 0;1; 1;3 a 2 a a a 4a 0,25 a a 1 a 1 a n a 3 a 1a 1 a a 1 a a 1 = a n a 3 a a a 1 a a 1 a = a = a n a 3 a a 1 a n 1 Ta có M = 1 1 1 = 1 3 3 1 1 1 = 1 1 2 0,5 1 1 1 3 0,5 a) x y z x3 y z 3x y z y z x 3z x y xyz 0,5 Do x y z x3 y z = x y x z y x y z z x z y xyz 0,5 3 = xyz y z z x z y x y y x x z xyz = yz x y z x y xy x y xz x y = x y yz z xy xz 0,25 0,25 0,25 = x y z z y x z y 0,25 = x y z y z x b) Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z Ta có: x + y + z = a + b – c + b + c – a + c + a – b = a + b + c x + y = 2b; x + z = 2a; y + z = 2c 3 3 Theo câu a: a b c a b c b c a c a b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = x y z x3 y z = x y y z z x 3.2a.2b.2c = 24abc 24 a) Áp dụng bất đẳng thức Cosi với hai số không âm a b ab với 0,25 3 0,75 0,25 1 1 2 0,75 2 Từ đó: A = 0,5 1 1 1 Tương tự: + 2x = = 0,5 1 = = 1 = 4 4 b) Ta có – 2x = - Biểu điểm 0,5 a 0, b Bằng cách triển khai x y x y2 xy 0,5 Do x 0, y x y cho ta áp dụng: 0,25 x y 0,5 xy x y 2 xy ThuVienDeThi.com Vậy x y 2 2 x y xy 0,5 b) Vì x = khơng thỏa mãn phương trình nên x 1, suy ra: x 5 y x y x x xy y 2 x2 5x 2 hay y x x 1 x 1 => x – ước Ư(2) = 2; 1;1; 2 y 0,25 0,5 0,5 0,5 Với x – = - => x; y 1; 4 Với x – = - => x; y 0; 2 Với x – = => x; y 2; 4 Với x – = => x; y 3; 2 Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn phương trình là: 0,5 1; 4 , 0; 2 , 2; 4 , 3; 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: x3 3x y3 y 0,5 z 3z Suy x y z x y z Do x3 y z nên x y z (1) Ta lại có x3 y z 3xyz = x y z x y z xy yz zx (2) 3 Chú ý vế phải (2) không âm, từ (1) (2) suy xyz x y z xy yz zx (3) Từ (3) (1) dẫn đến P x y z xy yz zx = x y z 32 = P = x y z 1 Vậy giá trị lớn P đạt x = y = z = 1 a) Từ giả thiết ta dễ thấy C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ABE CBE 100 E A M F B K BE đường trung trực CK 800 , (1) Từ tính MCB ACK 300 (2) CEK 1200 Từ (1) tính BEK CEK 600 AEK 600 (3) Ta thấy EK phân giác ứng với đáy tam giác cân AEF nên EK vng góc với AF b) Từ (1) (2) có EKC ECK 300 Xét tam giác AKE có AKE 1800 EAK AEK 1800 1100 700 Từ (1) (3) ta có CEF = KEA (c.g.c), suy CF = AK ECF EKA 700 Vì ECK 300 FCK 400 , BCF 400 nghĩa CF tia phân giác BCK CK EC Mặt khác BE đường phân giác AF EA EC BC CK BC tam giác ABC nên , suy EA BA AF BA c) CEK FEA (g.g), nên ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,5 Gọi H trung điểm AB Dễ thấy: B * AHN MHB => H N A O C HN = D M AN HN b => MB HB a 0,25 b b HB HA a a AH HN AO OB OB HN HN b b => OB = OA => OA AH HB a a * AHN AOB => 0,25 * AHN vuông => HN + HA = AN b2 a 2b 4a 2b 2 2 => HA 1 b HA 2 => AB = 4HA = 2 a b a b a b2 4a 2b * AOB vuông => OA + OB = AB => OA + OA2 2 a a b 2 2a b 2ab 4a b Do OA = => OA = 2 OB = 2 a b a b a b2 Mà diện tích hình thoi ABCD = S = 2OA.OB Vậy S = 8a 3b3 a b 2 Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang; - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa; - Bài hình, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hình ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG I – NĂM HỌC 2015- 2016 Hướng dẫn giải Câu a2 a a) Rút gọn biểu thức M: = n 1 a 3a n Biểu thức có nghĩa... Lưu ý: - Hướng dẫn chấm gồm 03 trang; - Thí sinh giải cách khác cho điểm tối đa; - Bài hình, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hình ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ... zx = x y z 32 = P = x y z 1 Vậy giá trị lớn P đạt x = y = z = 1 a) Từ giả thi? ??t ta dễ thấy C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ABE CBE 100 E A M F B K BE đường trung trực