Đề thi vòng II, chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2015 2016 môn Toán21133

PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU ĐỀ THI VÒNG II, CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2015-2016 Mơn Tốn – ( Thời gian làm 150 phút) Bài (4 điểm) Tính giá trị biểu thức: A  3  44  16 B x    x 9 2  x Bài (4 điểm) a, Chứng minh rằng:  3 2  b, Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 3 2 3 a b   b 1 c 1 c  12 a 1 Bài (4 điểm) Giải phương trình: a, x  x   x  b, 2 ( x  1)( x  2)  x   x   ( x  1)( x  3) = Bài (6 điểm) 1, Cho đường tròn tâm O đường kính AB dây cung CD khơng đường kính Gọi M giao điểm tiếp tuyến đường tròn C D; N giao điểm đường thẳng AC BD Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC E, F Chứng minh: a MN vng góc với AB b NE = NF 2, Cho ∆ABC vuông A Biết: BC =  bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Tính số đo góc B góc C tam giác ABC Bài (2 điểm) Với số thực a, ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn khơng vượt q a kí hiệu a  Cho dãy số: x , x , x , x ,…,x n ,…(n  N) sác định công thức:  n  1  n  xn     với giá trị n Hỏi 2015 số {x , x1, x2,…, x 2014 } có bao    2 nhiêu số khác ? -Hết ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN VỊNG II – NĂM HỌC 2015-2016 Bài Hướng dẫn giải Câu Điểm 0,5 A= 3  (2  2) = =  3  0,5 (2  2)(2  2) 0,5 = 12  32 = - 20 B= x  x = (2  5)   x  3   x 0,5 0,5 x  (1  x ) = = a  (2  3)  x  2   x 1 x x 1 x = 0,5 0,5 Đặt: a = x + y , với x = 3 2, y = 3 2 0,5 0,5 Dễ thấy: x3 + y3 = x.y =   0,5  a  x3  y  xy ( x  y )   3a  a  3(1   a )  3.3 1.1.a (Vì: x > 1, y > nên: a > 1) Do đó: Vậy : b a  (32 )3 a  a8  36  3  3 2 0,5 3 0,5 Áp dụng bất đẳng thức Côsi với số dương: a b   b 1 c 1 có: c  33 a 1 Mạt khác, từ: a - a +   tương tự:  33 Vậy: b  b 1 a b c , , ta b 1 c 1 a 1 0,5 a b c b 1 c 1 a 1 a  4, a 1 0,5 c  c 1 a b c  3 4.4.4  12 b 1 c 1 a 1 a b   b 1 c 1 c  12 a 1 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 a Đặt: x  x 0,5 1 = t, (t  0)  x + = t + 4 1  x = 0,5 1 (t  ) = t + , (vì t  0) 2 Vậy phương trình cho trở thành: 0,5 1 t + t + =  (t + ) =  t + = , (vì t  0) 2 1  x  = t = - , giải ta được: x = - b Ta có: VT =( x   1) ( x   x  ) PT trở thành:( x   1) ( x   x  ) = 0, vì:  x 1 1 =  x = Vậy nghiệm phương trình là: x = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 2  x 3  P M F C Q D A N B O H E 1.a Gọi P giao điểm AD BC  N trực tâm  PAB  PN  0,5 AB Gọi giao điểm tiếp tuyến (O) D với PN M’ 0,5 ฀ ฀ ฀ ฀ Do: PDM ' = ABD  PDM ' = DPM '   PM’D cân M’  PM’ = DM’  M’ trung điểm PN 0,5 Tương tự tiếp tuyến C (O) cắt PN trung điểm M” PN 0,5  M’, M” trùng M  Đpcm 1.b Trên tia đối tia NB lấy điểm Q cho NQ = NB 0,5  QA // NO  QA  NE  A trực tâm  QNE  NA  QE ( H)  FB // EQ mà N trung điểm BQ  N trung điểm EF  NE = NF (Đpcm) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 A H I O B C K + Nếu: AB  AC Gọi I, H, K tiếp điểm đường tròn nội tiếp ∆ABC với cạnh AB, AC, BC Ta có: AB + AC = AI + AH + BI + CH = AI + AH + BK + KC 0,5 = + (1)  (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = BC2 + 2AB.AC = (8 + )2 0,5 (8  )  BC2  AB.AC =  24  16 (2) Từ (1) (2), kết hợp với AB < AC 0,5  AB = + ; AC = +  sin C  AB  ฀  300 ; B ฀  600    C BC  0,5 ฀  300 ;C ฀  600 + Tương tự, nếu: AB  AC Thì: B  n  1  n  Vì: a - < a   a, nên:  - <    2 n 1 n -( - 1) = +1 < 2 2 0,5   x n  1, vậy: x , x , x , x ,…,x 2014 nhận giá trị 0,5 Cho nên số số khác là: 0,5 2014 x k 0 k  2015   2014   2015          -   +   -   + +  -  =    2  2  2  2       = Mà: 1424< 2015  2015 