Bài tập Giải tích lớp 1239231

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K ⇔ (∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số – Tính y′ Tìm điểm mà y′ = y′ không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Baøi Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 +x− 4 a) y = − x + x + b) y = d) y = x − x + x − e) y = (4 − x )( x − 1)2 f) y = x − x + x − i) y = g) y = x − 2x2 − h) y = − x − x + k) y = 2x −1 x+5 l) y = n) y = x + x + 26 x +2 o) y = − x + − x −1 2− x Trang DeThiMau.vn c) y = x − x + x + x −2 10 10 m) y = − 1− x p) y = 1− x x − 15 x + 3x Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi Xét chi u biến thiên c a hàm số sau: a) y = −6 x + x − x − d) y = 2x −1 x b) y = e) y = x2 −1 x2 − x x − 3x + h) y = x − x g) y = x − − − x  π π  D ≤  a = b =  c ≤ • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔    a <  D ≤ 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c : • Nếu D   g(x) ln dấu với a b ) 2a • Nếu D > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • Nếu D = g(x) ln dấu với a (trừ x = − 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) = ax + bx + c với số 0: D >  • x1 < x2 < ⇔  P > S < D >  • < x1 < x2 ⇔  P > S > • x1 < < x2 ⇔ P < 5) Để hàm số y = ax + bx + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1❀ x2) d ta thực bước sau: • Tính y′ • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a ≠ D >  (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = d Trang DeThiMau.vn (2) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Baøi Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + x + 13 b) y = x3 − 3x + x + c) y = 2x −1 x+2 x2 + x − x − 2mx − e) y = x − sin(3 x + 1) f) y = d) y = x−m x +1 Baøi Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) y = sin x − cos x − 2 x Baøi Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y = x − 3mx + (m + 2) x − m b) y = mx + x+m Bài Tìm m để hàm số: d) y = x mx − − 2x +1 x − 2mx − e) y = x−m c) y = x+m x −m x − 2mx + 3m f) y = x − 2m a) y = x + x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài b) y = x − mx + mx − 3m + nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y = − x + (m − 1) x + (m + 3) x − đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + (m + 1) x − (m + 1) x + đồng biến khoảng (1 ∞) b) y = x − 3(2m + 1) x + (12 m + 5) x + đồng biến khoảng (2 c) y = mx + x + m2 (m ≠ ±2) đồng biến khoảng (1 d) y = x+m đồng biến khoảng (–1 x −m e) y = x − 2mx + 3m đồng biến khoảng (1 x − 2m f) y = −2 x − x + m nghịch biến khoảng 2x +1 ∞) ∞)    − ; +∞    Trang DeThiMau.vn ∞) ∞) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: • Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc ✁, ≥, ≤ ) Xét hàm số y = f(x) tập xác định đề định • Xét dấu f′ (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến • Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f′ (x) ta đặt h(x) = f′ (x) quay lại tiếp tục xét dấu h′ (x) … xét dấu thơi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) ✁ f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a✂ b) Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x − x3 < sin x < x , với x > b) π sin x + tan x > x , với < x < 3 π π d) sin x + tan x > x , với < x < 2 Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: c) x < tan x , với < x < a) tan a a π < , với < a < b < tan b b b) a − sin a < b − sin b, với < a < b < π π Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: c) a − tan a < b − tan b, với < a < b < a) sin x > 2x π , với < x < π b) x − x3 x3 x5 < sin x < x − + , với x > 6 120 π Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: c) x sin x + cos x > 1, với < x < a) e x > + x , với x > b) ln(1 + x ) < x , với x > ( ) d) + x ln x + + x ≥ + x , với x > 1+ x Baøi Chứng minh bất đẳng thức sau: c) ln(1 + x ) − ln x > a) tan 550 > 1, b) < sin 20 < 20 HD: a) tan 550 = tan(450 + 10 ) Xét hàm số f ( x ) = c) log > log3 1+ x 1− x b) Xét hàm số f ( x ) = x − x  1 f(x) đồng biến khoảng  − ;  ,sin 200 , ∈  2 20 c) Xét hàm số f ( x ) = log x ( x + 1) với x > Trang DeThiMau.vn  1 − ;   2 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (✯) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: • Chọn nghiệm x0 phương trình • Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (✯) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Bài Gi i ph ng trình sau: a) x + x−5 = b) x + x − − x + = c) x + x − + x + + x + 16 = 14 d) Baøi Giải ph a) ng trình sau: x +1 + x + + x + = c) x + x = x Baøi Giải b t ph a) x + 15 = x − + x + b) ln( x − 4) = − x d) x + x + x = 38 ng trình sau: x + + x − + x − + 13 x − < Baøi Giải h ph b) x + x + x + + x + x < 35 ng trình sau: 2 x + = y + y + y  a) 2 y + = z3 + z2 + z  z + = x3 + x2 + x 2  x = y3 + y2 + y −  b)  y = z3 + z2 + z −  = + + −2 z x x x  y3 = x − 12 x +  c) z = y − 12 y +  x = z2 − 12 z +  tan x − tan y = y − x  5π d) 2 x + 3y =   π π − < x , y <  2 sin x − sin y = x − 3y  π e)  x + y =   x, y > sin x − y = sin y − x f) 2 x + 3y = π  0 < x, y < π  cot x − cot y = x − y  g) 5 x + y = 2π 0 < x, y < π h) HD: a, b) Xét hàm số f (t ) = t + t + t c) Xét hàm số f (t ) = 6t − 12t + d) Xét hàm số f(t) = tant ✰ t Trang DeThiMau.vn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái ni m c c tr c a hàm số Giả sử hàm số f xác định tập D (D ⊂ R) x0 ∈ D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a b) ⊂ D x0 ∈ (a b) cho f(x) < f(x0), với ∀x ∈ (a b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a b) ⊂ D x0 ∈ (a b) cho f(x) > f(x0), với ∀x ∈ (a b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0 f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f′ (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a b)\{x0} a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a b) chứa điểm x0, f′ (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f′′ (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f′′ (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc ✶✄ Dùng định lí • Tìm f′ (x) • Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm • Xét dấu f′ (x) Nếu f′ (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí • Tính f′ (x) • Giải phương trình f′ (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) • Tính f′′ (x) f′′ (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f′′ (xi) ☎ hàm số đạt cực đại xi Nếu f′′ (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Trang DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Bài Tìm c c trị hàm số sau: a) y = x − x b) y = x − x + x − x4 − x2 + e) y = x − x + − x2 + 3x + 3x + x + h) y = g) y = x+2 x +1 Bài Tìm cực trị hàm số sau: d) y = 4x2 + 2x −1 a) y = ( x − 2)3 ( x + 1)4 b) y = d) y = x x − e) y = x − x + 2x2 + x − c) y = − x + x − 15 x x4 f) y = − + x2 + 2 x − x − 15 i) y = x −3 c) y = 3x + x + x2 + x + f) y = x + x − x Bài Tìm cực trị hàm số sau: 3 x2 2x +1 a) y = x + b) y = d) y = x − x + + ln x e) y = x − 4sin x c) y = e x + 4e − x f) y = x − ln(1 + x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị ✆✳ Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x0) = x0 khơng có đạo hàm ✷✳ Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f′ (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: ✝ ✝ y( x0 ) = ax03 + bx0 + cx0 + d y ( x0 ) = Ax0 + B , ❆x ✝ B phần dư phép chia y cho y′ ax + bx + c P( x ) • Hàm số y = = (aa′≠ 0) có cực trị ⇔ Phương trình y′ = có hai a' x + b' Q( x ) b' nghiệm phân biệt khác − a' Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách: P ( x0 ) P '( x ) y ( x0 ) = y ( x0 ) = Q ( x0 ) Q '( x ) • Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai • Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, định lí Vi–et Bài Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x − m b) y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + x + m(m − 1) x − m + c) y = x−m x + mx − m + d) y = x − m +1 Trang DeThiMau.vn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài Tìm m để hàm số: a) y = (m + 2) x + x + mx − có cực đại, cực tiểu b) y = x − 3(m − 1) x + (2 m2 − 3m + 2) x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu c) y = x − 3mx + (m − 1) x + đạt cực đại x = d) y = − mx + 2(m − 2) x + m − có cực đại x = 2 x − 2mx + e) y = đạt cực tiểu x = x−m x − (m + 1) x − m + 4m − f) y = có cực đại, cực tiểu x −1 x2 − x + m g) y = có giá trị cực đại x −1 Bài Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị: a) y = x − x + 3mx + 3m + − x + mx + c) y = x −3 Bài Tìm a, b, c, d để hàm số: b) y = mx + 3mx − (m − 1) x − x − (m + 1) x − m + 4m − d) y = x −1 a) y = ax + bx + cx + d đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = 27 b) y = ax + bx + c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x = x + bx + c đạt cực trị –6 x = –1 x −1 ax + bx + ab d) y = đạt cực trị x = x = bx + a ax + x + b e) y = đạt cực đại x = x2 + Bài Tìm m để hàm số : c) y = a) y = x + 2(m − 1) x + (m − m + 1) x − 2(m2 + 1) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 1 + = (x + x ) x1 x2 2 x − mx + mx − đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 − x2 ≥ 1 đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: c) y = mx − (m − 1) x + 3(m − 2) x + 3 x1 + x2 = b) y = Bài Tìm m để hàm số : x + mx − m + có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu x − m +1 x − (m + 1) x − m + 4m − b) y = có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực x −1 a) y = Trang DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số tiểu đạt giá trị nhỏ −x2 + 3x + m có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M − m = x−4 x2 + 3x + m − d) y = có yCĐ − yCT < 12 x+2 Bài Tìm m để đồ thị hàm số : c) y = 900m a) y = − x + mx − có hai điểm cực trị A, B AB = 729 2 b) y = x − mx + x + m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm x + mx + m − có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh x−m hai điểm cực trị ln ln nằm phía trục hồnh c) y = x + mx có khoảng cách hai điểm cực trị 10 1− x − x + mx + có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường e) y = x −1 thẳng y = 2x d) y = x2 + 2x + m + có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ x−m Bài Tìm m để đồ thị hàm số : f) y = a) y = x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung b) y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ c) y = x − 3mx + 4m có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): x − y + = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng x +1 (d): x − 3y − = d) y = Bài Tìm m để đồ thị hàm số : x − (m + 1) x + m − a) y = có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt x−m phẳng toạ độ mx + (4m + 1) x + 32 m2 + 2m b) y = có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x + 2m hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ mx − (m + 1) x + 4m + m có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ x−m điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ c) y = d) y = x + (2m + 1) x + m + có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (tung) x +1 Trang DeThiMau.vn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị 1) Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d • Chia f(x) cho f′ (x) ta được: f(x) = Q(x).f′ (x) ✞ ✥x ✞ B • Khi đó, giả sử (x1✟ y1), (x2✟ y2) điểm cực trị thì:  y1 = f ( x1 ) = Ax1 + B  y = f x = Ax + B ( 2)  2 ⇒ Các điểm (x1✟ y1), (x2✟ y2) nằm đường thẳng y = ✥x ✞ B P( x ) ax + bx + c 2) Hàm số phân thức y = f ( x ) = = Q( x ) dx + e P '( x0 ) • Giả sử (x0✟ y0) điểm cực trị y0 = Q '( x0 ) • Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực P '( x ) 2ax + b trị là: y = = Q '( x ) d Bài Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y = x − x − x + c) y = x − x − x + b) y = x − x 2x2 − x +1 x2 − x − e) y = x+3 x−2 Bài Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số: d) y = a) y = x − 3mx + 3(m2 − 1) x − m x + mx − x−m x + mx − m + d) y = x − m +1 b) y = c) y = x − 3(m − 1) x + (2m − 3m + 2) x − m(m − 1) Bài Tìm m để hàm số: a) y = x3 + 3(m − 1) x + 6(m − 2) x − có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + b) y = x3 + 3(m − 1) x + m(1 − 2m ) x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x c) y = x + mx + x + có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y = 3x – d) y = x − x + m x + m có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (D): y = x− 2 Trang 10 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định miền D (D ⊂ R)  f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ D a) M = max f ( x ) ⇔  D ✩ x ∈ D : f ( x ) = M  f ( x ) ≥ m, ∀x ∈ D b) m = f ( x ) ⇔  D ✩x ∈ D : f ( x0 ) = m Tính chất: a) Nếu hàm số f đồng biến [a b] max f ( x ) = f (b), f ( x ) = f (a) [ a;b ] [ a;b ] b) Nếu hàm số f nghịch biến [a b] max f ( x ) = f (a), f ( x ) = f (b) [ a;b ] [ a;b ] VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách ✠✡ Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng • Tính f′ (x) • Xét dấu f′ (x) lập bảng biến thiên • Dựa vào bảng biến thiên để kết luận Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a☛ b] • Tính f′ (x) • Giải phương trình f′ (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a☛ b] (nếu có) • Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) • So sánh giá trị vừa tính kết luận M = max f ( x ) = max { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [a;b] m = f ( x ) = { f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )} [ a;b] Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y = x + x + b) y = x − x d) y = x + x − e) y = x −1 x2 − x + x2 − x + 1 ( x > 0) h) y = x x2 + x + Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: g) y = x + c) y = x + x − f) y = i) y = x2 + x + x2 + x4 + x2 +1 x3 + x a) y = x3 + x − 12 x + [–1 5] b) y = x − x [–2 3] c) y = x − x + [–3 2] d) y = x − x + [–2 2] 3x − [0 2] x −3 x2 + 7x + g) y = [0 2] x+2 x −1 [0 4] x +1 − x + x2 h) y = [0 1] + x − x2 e) y = f) y = Trang 11 DeThiMau.vn ( x > 0) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng i) y = 100 − x [–6 8] k) y = + x + − x Bài Tìm GTLN, GTNN c a hàm số sau: sin x − 1 a) y = b) y = c) y = 2sin x − cos x + sin x + cos x + cos x + e) y = sin x + cos3 x d) y = cos x − sin x − g) y = x − x + + x − x + f) y = x2 −1 x4 − x2 +1 h) y = − x + x + x − x + VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách d✽a tr✽c tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số • Chứng minh bất đẳng thức • Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Baøi Giả sử D = {( x; y; z) / x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = 1} Tìm giá trị lớn biểu x y z + + x +1 y +1 z +1  1  HD: P = −  + +   x +1 y +1 z +1 thức: P=  1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [( x + 1) + ( y + 1) + ( z = 1)❪  + + ≥9  x +1 y +1 z +1 3 ⇒ P ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = Vậy P = D 4  5 Baøi Cho D = ( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y =  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  4 S= + x 4y 1 1 1  4  HD: ( x + x + x + x + y )  + + + +  ≥ 25 ⇔ 4( x + y )  +  ≥ 25  x x x x 4y   x 4y  Vậy minS = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y < 1} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ⇒ S ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = 1, y = P= x2 y2 + +x+y+ 1− x 1− y x+y 1 1 x2 y2 + (1 + y) + + −2 = + + −2 1− x 1− y x + y 1− x 1− y x + y  1  Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: [(1 − x ) + (1 − y) + ( x + y)❪  + + ≥9  1− x 1− y x + y  HD: P = (1 + x ) + ⇔ 1 + + ≥ 1− x 1− y x + y Trang 12 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 5 Dấu “=” xảy ⇔ x = y = Vậy minP = Baøi Cho D = {( x; y ) / x > 0, y > 0, x + y ≥ 4} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ⇒P≥ x + + y2 P= + 4x y2 HD: P =  y y x+y x + + 2 + +  + x 8 y Theo bất đẳng thức Cô–si: y ⇒P≥ + (1) x x + ≥ =1 x x (2) y y y y + ≥ 33 = 8 y2 8 (3) 9 Dấu “=” xảy ⇔ x = y = Vậy minP = 2 VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước Gọi y0 giá trị tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:  f ( x ) = y0 (1)  (2) x ∈ D Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thơng thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m ≤ y0 ≤ M (3) Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x ) = m; max f ( x ) = M D D Baøi Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a) y = x2 + x + x2 − x + 2sin x + cos x + d) y = cos x − sin x + b) y = x + x + 23 c) y = x + x + 10 2sin x + cos x + sin x − cos x + VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN GTNN hàm số PT HPT BPT Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có f ( x ) = m; max f ( x ) = M Khi đó: D  f ( x) = ❛ 1) Hệ phương trình  có nghiệm ⇔ m ≤ ❛ ≤ M x ∈ D  f ( x) ≥ ❛ 2) Hệ bất phương trình  có nghiệm ⇔ M ≥ ❛ x ∈ D  f ( x) ≤ ❜ 3) Hệ bất phương trình  có nghiệm ⇔ m ≤ ❜ x ∈ D 4) Bất phương trình f(x) ≥ ❛ với x ⇔ m ≥ ❛ 5) Bất phương trình f(x) ≤ ❜ với x ⇔ M ≤ ❜ Trang 13 DeThiMau.vn D Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Bài Giải phương trình sau: a) x −2 + 4− x = c) x + (1 − x )5 = b) x + x = x + 16 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) x + x + = m b) − x + + x − (2 − x )(2 + x ) = m + x + − x − (3 + x )(6 − x ) = m d) − x + + x − (7 − x )(2 + x ) = m Bài Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x ∈ R: c) a) x + x + > m b) m x + < x + m c) mx − x + m ≥ Baøi Cho bất phương trình: x − x + x − + m < a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0 2] Bài Tìm m để bất phương trình sau: a) mx − x − ≤ m + có nghiệm b) (m + 2) x − m ≥ x + có nghiệm x ∈ [0 2] c) m( x − x + 1) ≤ x + x + nghiệm với x ∈ [0 1] Trang 14 DeThiMau.vn Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: Điểm U ( x0 ; f ( x0 ) ) đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a x0) (x0 b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị Tính chất: • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f′′(x0) = f′′(x) đổi dấu x qua x0 U ( x0 ; f ( x0 ) ) điểm uốn đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) ln có điểm uốn tâm đối xứng đồ thị Bài Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau: a) y = x − x + x + b) y = x − x − x + c) y = x − x + x4 − 2x2 + e) y = x − 12 x + 48 x + 10 f) y = x − x + x − Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra: d) y = x3 + (m − 1) x + (m + 3) x − I(1 3) 3 2  d) y = x − mx + nx − I  ; −3  3  a) y = x − x + 3mx + 3m + I(1 2) b) y = − c) y = mx + nx + I(1 4) x3 e) y = − + 3mx − I(1 0) f) y = mx + 3mx + I(–1 2) m Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uốn: x + mx − x5 4 − x + (4m + 3) x3 + x − b) y = x2 + Baøi Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng: a) y = a) y = d) y = g) y = 2x +1 x2 + x + 2x +1 x2 + x − 3x b) y = e) y = x +1 x2 + x x2 + x2 + 3x h) y = x2 − 3x + x2 +1 Bài Tìm m, n để đồ thị hàm số: c) y = f) y = i) y = x − 3x x2 + x2 + x + x2 − x +1 x3 x2 − x + a) y = x − x − x + mx + m − có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1 –2) x3 − x + mx + có điểm uốn đường thẳng y = x + 3 c) y = − x + mx + n có điểm uốn Ox b) y = − Trang 15 DeThiMau.vn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa: • ng thẳng x = x0 gl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim + f ( x ) = +∞ lim + f ( x ) = −∞ lim − f ( x ) = +∞ lim − f ( x ) = −∞ x→ x0 x→ x0 x→ x0 x→ x0 • Đường thẳng y = y0 đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x ) = y0 lim f ( x ) = y0 x →+∞ x →−∞ • Đường thẳng y = ax + b, a ≠ đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f ( x ) điều kiện sau thoả mãn: lim x →+∞ [ f ( x ) − (ax + b)☞ = lim x →−∞ [ f ( x ) − (ax + b)☞ = Chú ý: a) Nếu y = f ( x ) = P( x ) hàm số phân thức hữu tỷ Q( x ) • Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thị có tiệm cận đứng x = x0 • Nếu bậc(P(x)) ≤ bậc(Q(x)) đồ thị có tiệm cận ngang • Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + đồ thị có tiệm cận xiên b) Để xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng cơng thức sau: f ( x) a = lim b = lim [ f ( x ) − ax ; x →+∞ x x →+∞ a = lim x →−∞ f ( x) ; x b = lim x →−∞ [ f ( x ) − ax Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y = 2x − x −1 b) y = 10 x + 1− 2x x2 − x + ( x − 2)2 e) y = 1− x x +1 Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: d) y = a) y = d) y = x x2 − x + x2 + 3x + b) y = 2+x − x2 x3 + x + e) y = x2 + x + x2 +1 Bài Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: 4x + b) y = a) y = x − x x2 − Trang 16 DeThiMau.vn 2x + 2− x 7x2 + x + f) y = − 3x c) y = c) y = f) y = c) y = x2 + x + x2 − x4 − x + x3 − 1 x2 − 4x + Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số x −1 e) y = x − x x +1 Bài Tìm ti m c n đồ thị hàm số sau: d) y = x f) y = x − 3x + x−2 e x − e− x c) y = ln( x − x + 6) x 2 −1 Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng: a) y = a) y = 2x + b) y = ln x + 2(2 m + 3) x + m − x −3 b) y = + x2 x + 2(m + 1) x + x −1 c) y = x +3 x + x +m−2 e) y = f) y = x + mx + m − x + 2(m + 2) x + m + x + 2(m − 1) x + m2 − Bài Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên: d) y = x + (3m + 2) x + m − mx + (2 m + 1) x + m + a) y = b) y = x+5 x+2 Bài Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau chắn hai trục toạ độ: 3x2 + x + −3 x + x − x2 + x − b) y = c) y = a) y = x −1 x −3 x+2 Baøi Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S ra: x + mx − x + (2m − 1) x − m + S=8 b) y = S=8 x −1 x +1 x + 2(2 m + 1) x + 4m − x + mx − c) y = S = 16 d) y = S=4 x +1 x −1 Bài Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số: a) y = a) y = x2 − x + x −1 b) y = x2 + 5x − x +3 Trang 17 DeThiMau.vn c) y = x2 + x − x −3 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số • Tìm tập xác định hàm số • Xét biến thiên hàm số: + Tính y′ + Tìm điểm đạo hàm y′ khơng xác định + Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có) + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số • Vẽ đồ thị hàm số: + Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y′′ – Tìm điểm y′′ = xét dấu y′′ + Vẽ đường tiệm cận (nếu có) đồ thị + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị khơng cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) : • Tập xác định D = R • Đồ thị ln có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng • Các dạng đồ thị: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt y ⇔ ’ = b2 – 3ac > a y I x I x y’ = có nghiệm kép ⇔ ’ = b2 – 3ac = y’ = vô nghiệm ⇔ ’ = b2 – 3ac < y y I I x Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (a ≠ 0) : Trang 18 DeThiMau.vn x Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số • Tập xác định D = R • Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng • Các dạng đồ thị: a>0 a y y y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ ab < 0 x x x y y y’ = có nghiệm ⇔ ab > 0 x ax + b (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) : cx + d  d • Tập xác định D = R \ −   c Hàm số nh t biến y = d a tiệm cận ngang y = Giao điểm c c hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số • Các dạng đồ thị: • Đồ thị có tiệm cận đứng x = − y y 0 x ad – bc > x ad – bc ✌0 ax + bx + c (a.a ' ≠ 0, tử không chia hết cho mẫu) : a' x + b'  b' • Tập xác định D = R \ −   a' Hàm số hữu tỷ y = • Đồ thị có tiệm cận đứng x = − b' tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm a' cận tâm đối xứng đồ thị hàm số • Các dạng đồ thị: a.a > Trang 19 DeThiMau.vn a.a ... d) Bài Giải ph a) ng trình sau: x +1 + x + + x + = c) x + x = x Baøi Giải b t ph a) x + 15 = x − + x + b) ln( x − 4) = − x d) x + x + x = 38 ng trình sau: x + + x − + x − + 13 x − < Baøi Giải. .. nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = −5 x + cot( x − 1) b) y = cos x − x c) y = sin x − cos x − 2 x Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định)... Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y = x + x + 13 b)