Tập giải đề thi học sinh giỏi môn Toán 639219

TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 01 Bài (2điểm) Giải phương trình sau: a) x(x + 1)(x2 + x + 1) = 42 b) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = Bài (1điểm) Giải bất phương trình sau: x3 + 5x2 + 3x – > Bài (2điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b2  c2  a  b  c  a)   3   b)  x  1 x  3 x   x     Bài (1,5điểm) M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, AC, AB điểm D, E, F Chứng minh: MD ME MF   1 AD BE CF Bài 5.(2điểm) Cho hình vuông ABCD Lấy điểm M cạnh BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD P Đường thẳng EF vng góc với AM E, F tương ứng nằm AB, CD Đường phân giác góc DAM cắt CD K Chứng minh : a) EF = BM + DK b) 1   2 AB AM AP Bài 6: (1,5điểm) a) Chứng minh : 52009 + 52007 chia hết cho 13 b) Tìm dư phép chia đa thức x20 + x11 – x2004 cho đa thức x2 – HẾT DeThiMau.vn TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 02 Bài 1.(3điểm) Tính giá trị biểu thức sau: a) A =  11  30  84  5  b) B =      Bài (1,5điểm) Cho P(x) = 2x5 + x3 – 3x2 + x – Tính P(1– ) Bài (4,5điểm) Giải phương trình bất phương trình sau: a) (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = b) x  3x  x    c) x2 – 9x + 20 > Bài (4điểm) Trên cạnh góc vng AB, AC tam giác vuông cân ABC lấy điểm M, N cho AM = AN Từ A M kẻ đường vng góc với đường thẳng BN cắt cạnh BC D E Chứng minh : DC = DE Bài 5.(4điểm) ฀ Cho hình thoi ABCD có BAD  1200 Tia Ax tạo với cạnh AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N Chứng minh : 1   2 AM AN AB Bài 6.(3điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: a  b  2ab  b  a với a > b > b) Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 HẾT DeThiMau.vn TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 03 Bài (4điểm) a) Cho hai số : a = 11  96 b = 2 1  (1điểm) Khơng dùng máy tính bảng số , so sánh a b b) Chứng minh đẳng thức : 14    2 c)Cho biểu thức :  x 3  (1điểm) x 2   P=    x      x x  x   x  x 1  Rút gọn biểu thức P  Tính giá trị P với x =  2 Bài (3điểm) Giải phương trình sau: a) x  x   x  (1điểm) (1điểm) (1điểm) (1điểm) b) x  x  y  y  13  c) x  x    x (1điểm) Bài (4điểm) Cho tam giác ABC vuông C, đường cao CH Gọi I trung điểm AB a)Chứng minh CH2 + AH2 = 2AH CI (1,5điểm) b)Kẻ hai tia Ax By nằm nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vng góc với AB Đường thẳng vng góc với CI C cắt Ax By E K D giao điểm CH EB Chứng minh ba điểm A, D, K thẳng hàng (2điểm) Bài 4.(4điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BM CN cắt H a) Chứng minh BH BM + CH CN = BC2 (1,5điểm) Bài (3điểm) a) Tìm hai số tự nhiên a b để số A = 5a0b chia hết cho 15 (1,5điểm) b) Tìm số nguyên Z cho : n + n – 17 bội n + (1,5điểm) HẾT DeThiMau.vn ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút Bài (4điểm) 1.Rút gọn biểu thức sau: a) A  10   10  ĐỀ SỐ 04 b) B = 10  60  24  40   40   60 Chứng minh đẳng thức: 2    32 4  Bài 2:(5điểm) Giải phương trình: x   x   Cho biểu thức A = x  xy  y  x  Tìm giá trị nhỏ A Chứng minh rằng: Nếu ax3 = by3 = cz3 1    thì: x y z ax  by  cz  a  b  c Bài (4điểm) Cho tam giác ABC vuông B với AB = 2BC Lấy điểm D thuộc cạnh AC cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB cho AD = AE Chứng minh AD2 = AB BE Bài 4.(4điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BM CN cắt H a) Chứng minh BH BM + CH CN = BC2 ฀ b) Giả sử BAC  300 Chứng minh : SAMN = 3SBCMN Bài 5.(3điểm) 1.Chứng minh n5 – n chia hết cho 30 với số nguyên n Tìm tất số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố HẾT DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 05 Bài (4điểm) Thực phép tính, rút gọn biểu thức sau: A = ( 2+ 2+ 2+ ổ2 B = ỗỗỗ + çè 3 ) + ( 2- 2- 2- ửổ 2+ ữ ữỗỗ + 2ữ ữỗ 2 øè ) ỉ ữ ữ(24 + 6)ỗỗ + ữ ỗ 2+ ÷ + 3ø è 2- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 3ø Bài 2.(6điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau: (x + y + x ) 2 ỉ a b a b 2 + - 3ỗỗ + ữ ữ ữ+ è b a b Giải phương trình: x + 7x + 14 = x + x + y + z2 ³ Bài (4điểm) Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M N trung điểm hai đáy BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD · Q Chứng minh MN tia phân giác góc PMQ Bài (4điểm) Cho tam giác ABC, trực tâm H trung điểm đường cao AD Chứng minh rằng: tgB tgC = Bài 5.(2điểm) Chứng minh rằng: 24n - 1M15 với số tự nhiên n hết DeThiMau.vn ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 06 Bài 1: (3điểm) Rút gọn biểu thức: M = 3+ 2+ 3+ + 32- 3-  a 2 a   1  a   Cho biểu thức: P = A   với a > , a ≠   a 1 a  a 1  a Rút gọn A b Tìm giá trị a để A > Bài (3điểm) 1.Chứng minh 2(a4 + b4 ) ³ ab3 + a3b + 2a2b2 , với a, b Chứng minh a - b2 + 2ab - b2 > a , với a > b > Bài (3điểm) 15 x 5x - 20x + 24 = - 2x + 8x - 1Giải phương trình : x - 4x + + x + 6x + = 2.Giải phương trình : 3x - 12x + 21 + Bài 4: (4điểm) Chứng minh với số nguyên n : A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) M5 Tìm tất số tự nhiên n cho n2 – 14n – 256 số phương Bài 5: (3điểm) Cho tam giác ABC có Aµ = 2Bµ Chứng minh : BC2 = AC2 + AB AC Bài 6.(4điểm) Từ điểm P nằm đường trịn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp tuyến PA PB với A B tiếp điểm Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC 1.Chứng minh PC cắt AH trung điểm E AH Giả sử PO = d Tính AH theo R d hết DeThiMau.vn ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 07 Bài (4điểm) 1 1 Cho x.y.z ≠ thoả mãn : x + y + z = xyz + + = x Tính giá trị biểu thức: P = x + y + y z z2 Cho a, b, c độ dài 3cạnh tam giác Chứng minh rằng: a Bài (6điểm) Tính : A = b+ c Cho A = 11 + + b c+ a + c a+b 36 4+ 2 96 B = 1+ - < - Không dùng máy tính so sánh A B Giải phương trình: x + - 2x - + x - + 2x - = 2 Bài (3,5điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi M N trung điểm AH BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh rằng: AN ^ CM AH2 = 4MC MO Bài (3,5điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh AB - AE = 4AF Bài 5.(3điểm) Chứng minh : 32010 + 52010 chia hết cho 13 Chứng minh : 16n – 15n – M225 với n Ỵ N ==Hết== DeThiMau.vn ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 08 Bài 1.(3điểm) 1.Với n chẵn ( n Ỵ N ) Chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n –  323 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 4n + 15n –  Bài 2.(3điểm) 1.Cho B = 5   49  20  52  11 2 Rút gọn biểu thức : A = Chứng minh B số nguyên  3 2 2 2 2 Bài (6điểm) Cho x + y + z = Chứng minh : 2( x5 + y5 + z5 ) = 5xyz(x2 + y2 + z2 ) Giải phương trình: x2 – 3x – + x   Với a > 0, b > 0; Chứng minh bất đẳng thức: a b  a b b a Bài (4điểm) Cho tam giác OAB có ฀ AOB  1200 , OC phân giác Chứng minh rằng: 1   OA OB OC Bài (4điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi AH, BI, CK đường cao tam giác Chứng minh rằng: S HIK   cos A  cos B  cos 2C S ABC ****HẾT**** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09 Bài 1.(2điểm ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (a + b – 2c)3 + ( b + c – 2a)3 + (c + a – 2b)3 Ch x + y + z = x , y , z khác Rút gọn phân thức sau: P= x2  y  z  x  y   y  z    z  x 2 Bài 2.(3điểm)  84 84   số nguyên Chứng minh :    1     a b c d    Cho a, b, c, d > S = abd abc bcd acd Chứng minh < S < Giải phương trình sau: x 1 x 25 x   2 4 x x 2 x 2 Bài (2điểm) Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB dây cung CD Từ A B kẻ AH BK vng góc với đường thẳng CD ( H K chân đường vng góc ) Chứng minh OH = OK Chứng tỏ điểm H K bên đường trịn (O) Bài (2điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD) O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD BC M N Chứng minh : 1   AB CD MN Cho biết SAOB = a2 ; SCOD = b2 Tính SABCD theo a b Bài (1điểm) Tìm số dư phép chia 20072007 cho 11 *** HẾT*** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 10 Bài 1.(2điểm) Rút gọn biểu thức sau : A= 2 2 42  2 2 42 B = 0, 25 961  10  15  Bài (2điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 2010 2009  2009  2009  2010 2010 Giải phương trình : x  x   x  Bài (1,5điểm) ฀ Cho tam giác ABC có BAC  600 ; kẻ đường cao BD CE Gọi M trung diểm BC Chứng minh tam giác EMD tam giác Bài (2,5điểm) Cho nửa đường trịn đường kính BC A điểm nửa đường tròn cho AB < AC Kẻ AH vng góc BC Giả sử AH = 12cm ; BC = 25cm Tính độ dài AB AC Gọi M điểm đối xứng B qua H Đường trịn tâm O đường kính MC cắt cạnh AC D Chứng minh HD tiếp tuyến đường tròn (O) Bài 5.(2điểm) Chứng minh : 32010 + 52010  13 Tìm số nguyên dương x , y phân biệt thỏa mãn:x3 + 7y = y3 + 7x ***hết*** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút Bài (3điểm) Rút gọn biểu thức : P=  1 ĐỀ SỐ 11 5  1    13 2001  2005 Tính giá trị biểu thức A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2009 x  1 1 1  1 1 Bài 2.(3điểm) Chứng minh : a  b  a  b Tìm giá trị bé biểu thức : Q =  x  x  x  12 x  Bài (4điểm) Giải phương trình sau: x    x  10 x     x  x  Bài 4.(4điểm) Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng với C qua E Đường thẳng d1 qua F song song với AD cắt AB I Đường thẳng d2 qua F song song với AB cắt AD K Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng Bài (4điểm) Cho tam giác ABC vuông A,đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với A qua B Gọi E điểm thuộc tia đối tia HA cho HE = 2HA ฀ Chứng minh DEC  900 Bài Chứng minh với n số tự nhiên ta ln có: 1 1      13 25 n   n  1 ***HẾT*** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 12 Bài (2điểm) Chứng minh đẳng thức : A3 + B3 + C3 = ( A + B + C )3 – 3(A + B)(B + C)(C + A) Rút gọn biểu thức : Q = (a + b + c)3 –(a + b –c)3 –(b + c –a)3 –(c + a –b)3 Bài (4điểm) 1 Trục thức mẫu biểu thức : A = Thu gọn biểu thức : a) B = 10  24  40  b) C =   10  15 60   15 2 3 6 84 2 3 Bài 3.(4điểm) Giải phương trình : (x – 2)4 + (x – 3)4 = Giải bất phương trình : (x2 + 4x + 10)2 – 7(x2 + 4x + 11) + < Bài (4điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao CE cắt đường cao AD H trung điểm AD 1.Chứng minh hệ thức : DA DH = DB DC Chứng minh tgB tgC = Bài (4điểm) Cho tam giác ABC có ฀A  B฀  4C฀ Chứng minh :   AB BC Bài 6.(2điểm) Chứng minh với số tự nhiên n khác 0, phân số phân số tối giản ***HẾT*** DeThiMau.vn CA 5n   2n  1 3n  1 Bài (2điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 13 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x8 + x + b) x10 + x5 + Cho x > y > z, Chứng minh biểu thức: A = x4(y – z) + y4(z –x) + z4(x –y) ln ln dương Bài (2điểm) 1.Tính giá trị biểu thức sau: 1   1  100 99  99 100 Rút gọn biểu thức: a  b  c  ac  bc  a  b  c  ac  bc Bài (2điểm) 1.Giải phương trình sau x2   x  x2  x Cho x  Z, Chứng minh x200 + x100 +  x4 + x2 + Bài (2điểm) Cho tam giác ABC có cạnh AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm Các đường cao, trung tuyến phân giác kẻ từ A chia tam giác ABC thành bốn phần Tính diện tích phần Bài (2điểm) Cho hình thang ABCD có đường chéo AC cạnh bên BC Một đường thẳng d qua trung điểm đáy lớn AB cắt đường thẳng AD BD theo thứ tự E F ฀ Chứng minh rằng: ฀ACE  FCB ***HẾT*** DeThiMau.vn PGD  ĐT THĂNG BÌNH SỞ GD QUẢNG NAM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC :2008-2009 Mơn : TỐN Thời gian : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ SỐ 14 Câu 1: ( điểm ) a) Tìm số dư phép chia (20082008 -1 ) : b) Chứng minh : 42n+2 -1 chia hết cho 15 (  n  N ) Câu 2: ( điểm ) Tính a) A = 2  2 b) B  7   2  2 10 5 2  20 (2điểm) (2điểm) (2 điểm) (2 điểm) c) Chứng minh a, b, c số không âm b số trung bình cộng a c ta có : 1 (1 điểm)   a b b c c a Câu 3: ( điểm ) a) Chứng minh : a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc b) Cho a  ; b  ; c  ; d  Chứng minh : E a b c d    1 bcd acd abd abc Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm M Chứng minh rằng: BM2 + CM2 =2AM2 Câu :(4 điểm ) Gọi M , N trung điểm cạnh AD BC hình chữ nhật ABCD Trên tia đối tia DC lấy điểm P Giao điểm AC đường thẳng PM Q ฀ ฀ Chứng minh : QNM  MNP Hết DeThiMau.vn Bài (4điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 15 Bài (4điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H trực tâm tam giác Một đường thẳng qua H cắt AB AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Chứng minh HM vng góc với PQ DeThiMau.vn ... b) Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 HẾT DeThiMau.vn TẬP GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 03 Bài (4điểm) a) Cho hai số : a = 11  96 b = 2 1  (1điểm)... minh rằng: S HIK   cos A  cos B  cos 2C S ABC ****HẾT**** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 09 Bài 1.(2điểm ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:... Bài (1điểm) Tìm số dư phép chia 20072007 cho 11 *** HẾT*** DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP MÔN TOÁN Thời gian: 150 phút ĐỀ SỐ 10 Bài 1.(2điểm) Rút gọn biểu thức sau : A= 2 2 42 