XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VƠ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng: 1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ số hữu tỉ Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số Tập hợp số hữu tỉ tập hợp số vô tỉ ta biết :Nếu x số hữu tỉ x khơng phải số vô tỉ ngược lại, x số vô tỉ x khơng phải số hữu tỉ.Từ ta có nhận xét sau 2.tổng số hữu tỉ số vô tỉ số vô tỉ 3.tích số hữu tỉ số vơ tỉ số vô tỉ Thật vậy, x Q y R\Q mà x+y Q x+y+(-x) =y Q Vơ lí Cũng vậy, x Q y R\Q mà xy Q xy(x -1) =y Q Vơ lí Áp dụng nhận xét ta giải số tốn có liên quan, sau ví dụ minh họa Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm 3 3 Giải Gỉả sử x2+px+q (p,q số hữu tỉ )là phương trình phải tìm Do số ( )2 3 = = -4+ 15 nghiệm phương trình nên ( )2 ( )2 (-4+ 15 ) +p(-4+ 15 ) +q = 0, tức (31-4p+q)+(p-8) 15 =0 Ta thấy:vì p,q số hữu tỉ 15 số vô tỉ nên với nhận xét phương trình cuối tồn đồng thời có 31-4p+q=0 p-8=0 Suy p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2 +8x -1 = Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ phương trỉnh: y - z = 3 Giải Giả sử y z hai nghiệm hữu tỉ phương trình trên.Sau bình phương hai vế ta được: y +z -2 yz =2 -3 hay (y+z-2) =2 yz -3 (1) Từ (1) ta thấy (x+z-2)2.3 = 9+12yz -12 yz nên số yz số hữu tỉ Do từ (1) ta phải có y+z-2=0 yz -3 =0 Vì số y,z phải thỏa mãn đẳng thưc: DeThiMau.vn 3 hay chúng nghịêm phương trình x2 -2x + =0 Do y>z nên 4 phương trình có nghiệm y : z Đó nghiệm hữu tỉ 2 y+z=2 yz= Bài Tìm tất số nguyên dương x,y,z thỏa mãn phương trình: x2 = y + z Gỉải Giả sử x,y,z nghiệm nguyên dương phương trình cho: x = y + z Bình phương hai vế ta x+2 = y+z+2 yz x-(y+z) +2 = yz tiếp tục bình phương hai vế ta [x-(y+z) ]2 + [x-(y+z)] +12=4yz (1) từ (1) suy x=y+z x ≠ y+z x y z 12 yz số hữu tỉ,vơ lí 4x y z = Vậy x=y+z yz=3 y=3,z=1 y=1 ,z=3 *Với y = 3, z = ta x = *Với y=1, z = ta x=4 Thử lại ta (4,3,1) (4,1,3) nghiệm Bài Chứng minh u,v Q mà s = u 3 + v Q u = v = Giải Nếu v = ta suy u =s =0 (vì Nếu v ≠ ta có = p + q 3 (1) ta được: = p 3 + q (2) 3 số vô tỉ) ( p,q số hữu tỉ) Nhân hai vế (1) cho 3 thay (1) vào (2) ta đươc = p 3 + q(p + q 3 ) = p 3 + pq + q2 3 = pq +( p+q2) DeThiMau.vn 3 Từ suy :3= pq +( p+q2) 3 Để đẳng thức sảy ta phải có Pq = P+q2 =0 p = -q2 nên = -q3 q3 = -3 hay q = - 3 Điều khơng xảy (vì 3 số vô tỉ mà q số hữu tỉ) tức giả xử v ≠ không xảy đươc Vậy v = u = Bài 5: Tìm đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ mà f( 3 ) = + 3 giải Xét f(x) = ax +b với a,b số hữu tỉ.Ta có 3 f( ) = + a( 3 ) +b =3 + 3 (a-1) Theo ta có : a-1=0 a=0 3 +a = 3-b Q vơ nghiệm Vậy khơng có đa thức bậc thỏa mãn Xét f(x) = ax2+bx +c ta có f( 3 ) = 3+ 3 a( 3 )2+b( 3 )+c=3+ 3 (a+b) + (3a+b-1) 3 = 3-6a-c Đến áp dụng kết ta có: x - x 2 a+b=0 a= 3a+b-1=0 b= - đa thức phải tìm 3-6a-c=0 Bài Chứng minh đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận chia hết cho x2-3 Giải DeThiMau.vn Vậy f(x)= c=0 làm nghiệm Giả sử f(x) = (x2-3).h(x) + r(x) Vì x2 -3 bậc hai nên r(x) = ax + b Ta ph ải chứng minh r(x)=0 Thật ,ta có f( ) = h( ) + a + b = a + b (a,b Q) số vô tỉ từ a + b = ta có a=b=0 r(x) =0 v ây f(x) chia hết cho x2-3 Do Bài Hãy biểu thị dạng a+b với a,b số hữu tỉ Giải Giả sử = a+b với a,b Q ,b≠0 Lập phương hai vế ta được: 2+ =a3 + 3a2b +15ab2 +5b3 (1-3a2b-5b3) = a3+15ab2-2 Biểu thức c=(1-3a2b-5b3) số hữu tỉ, c≠0 c số vơ tỉ, mâu thuẫn với vế phải số hữu tỉ Vậy : 3a2b+5b3 =1 a3+15ab2 =2 Suy 6a2b+10b3 = a3 + 15ab2 a3 - 6a2b + 15ab2 -10b3 =0 Do b nên chia hai vế cho Vậy b3 a a a ta được: - + 15 -10 =0 b b b a =1 a=b Thay vào hệ ta a = b = b 2 = 1 Trên số toán mà lời giải có liên quan đến nhận xét nêu phần đầu.Các bạn thử áp dụng nhận xét để giải số tập sau DeThiMau.vn 1.Cho a,b,c số hữu tỉ cho a + b + c = Chứng minh a = b = c = Cho a,b,c số hữu tỉ cho a + b + c = chứng minh a = b = c = Chứng minh a,b,c a b c số hữu tỉ a , b , c số hữu tỉ Cho a,b hai số hữu tỉ Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + Biết đa thức có nghiệm + 5.Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm 2 2 Chứng minh đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận hết cho x2-5 Chứng minh biểu diễn p , q ,r Q, r >0 làm nghiệm chia dạng p+q r 8.Cho a b số hữu tỉ, c d số hữu tỉ dương,khơng phải bình phương số hữu tỉ khác.chứng minh : a + c = b + d a=b c=d TRẦN THANH HƯNG Trường THCS Nguyễn Du ,xuân Quang 3, Đồng Xuân ,Phú Yên DeThiMau.vn ... a=b Thay vào hệ ta a = b = b 2 = 1 Trên số tốn mà lời giải có liên quan đến nhận xét nêu phần đầu .Các bạn thử áp dụng nhận xét để giải số tập sau DeThiMau.vn 1.Cho a,b,c số hữu tỉ cho a +... có hệ số hữu tỉ cho nghiệm 2 2 Chứng minh đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận hết cho x2-5 Chứng minh biểu diễn p , q ,r Q, r >0 làm nghiệm chia dạng p+q r 8.Cho a b số hữu tỉ, c d số hữu tỉ. .. a,b,c số hữu tỉ cho a + b + c = chứng minh a = b = c = Chứng minh a,b,c a b c số hữu tỉ a , b , c số hữu tỉ Cho a,b hai số hữu tỉ Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + Biết đa thức có nghiệm