Đề khảo sát học sinh giỏi năm 2016 2017 môn: Toán lớp 839104

PHÒNG GD – ĐT TƯ NGHĨA Ngày tháng năm 2016 Trương Quang An Nghĩa Thắng ,tư nghĩa ,quảng ngãi ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017 Mơn: Tốn - Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 3) 4x  21x y  y 1) x3 + 15x2 +10x 2) 9x  90x  225  x   4) x  x  x  10 x  12   3x Câu (6 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: P   2016    2016 2 2 2) Cho x y hai số thực thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị bé biểu thức P  x  y6 3) Tìm x : (x  4x  1)3  (x  x  1)3  (3x  2)3 4) Với a b số nguyên dương cho a + b + 2019 số chia hết a cho Chứng minh số  a  b chia hết cho Câu (4 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên x y : 1  x 1  y  4xy  x  y 1  xy  số phương 2 2) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức f (x)  (x  a)(x  4)  phân tích thành thừa số f (x)  (x  b)(x  c) Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F cho B trung điểm AD, C trung điểm BE, A trung điểm CF Gọi G giao điểm đường trung tuyến AM tam giác ABC với đường trung tuyến DN tam giác DEF I K trung điểm vủa GA GD Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MNIK hình bình hành 2) Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm D E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ThuVienDeThi.com - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn giải Câu Câu (4,0) 1) x  15x  10x  5x(x  3x  2)  5x(x  1)(x  2) Điểm 1đ 1đ 2) 9x  90x  225  x    9(x  5)  x    (3x  15  x  7)(3x  15  x  7) 2  (4x  8)(2x  22)  8(x  2)(x  11) 4x  21x y  y  4x  y  4x y  25x y 1đ 3)  (2x  y )  (5x y )  (2x  y  5x y )(2x  y  5x y ) 4) x  x  x  10 x  12   3x 1đ  4(x  17x  60)(x  16x  60)  3x  A Đặt x  16x  60  t A  4t(t  x)  3x  4t  4tx  3x  4t  4tx  x  4x  (2t  x)  4x  (2t  3x)(2t  x)  (2x  35x  120)(2x  31x  120)  (2x  35x  120)(2x  15)(x  8) Câu (6,0) 1) Tính giá trị biểu thức: P   +) Số hạng tổng quát: 2016    2016 2 2 k k 1 k    k với k nguyên dương 2k 2k 1 +) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được: k=1   21 k=2  1 2 2 k=3  2 3 2 k=4  3 4 2 ……………………… K=2016 2016 2017 2018  2015  2016 22016 2 Cộng vế với vế đẳng thức ta có ThuVienDeThi.com 1,5đ P 2016 2018 1009     2016   2016   2015 2 2 2 2) Cho x y hai số thực thỏa mãn: x  y  Tìm giá trị bé 1,5đ biểu thức P  x  y6 P  x  y  (x  y )(x  x y  y )  1.(x  x y  y )  (x  y )  3x y   3x y   3x (1  x )     3x  3x    x      12   2 1 1 1     x      x    0x  R 2 4 2   Dấu = xảy  x  KL: P  1 x y   2 1 1 1 1  (x; y)  ( ; );( ;  );( ; );( ;  ) 2 2 2 2 3) Tìm x : (x  4x  1)3  (x  x  1)3  (3x  2)3 Đặt  x  4x   a  3x   b  a   x  x 1  b 1,5đ ta được: a  b3  (b  a)3  a  b3  b3  3a b  3ab  a  3a b  3ab   3ab(a  b)   x    x  4x   a   1    b    x  x     x    3x   a  b    x  Kl… 4) Với a b số nguyên dương cho a + b + 2019 1,5đ số chia hết cho Chứng minh số 4a  a  b chia hết cho 4a  a  b  (4a  2)  (a  1)  (b  2019)  2022 +) (4a  2) chia hết cho +) 4a   (4a  1)   (4  1)(4a 1  4a    1)  nên chia hết cho ThuVienDeThi.com Vậy 4a  a  b chia hết cho 1  x 1  y  4xy  x  y 1  xy  Câu (4 điểm ) 2đ   x  x y  y  4xy  x  y 1  xy   (x  y  2xy)  (1  x y  2xy)  x  y 1  xy  1)  x  y   1  xy   x  y 1  xy  2  x  y   xy  Là số phương với x y nguyên 2)Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức f (x)  (x  a)(x  4)  2đ phân tích thành thừa số f (x)  (x  b)(x  c) Ta phải tìm a,b,c (x  a)(x  4)   (x  b)(x  c) x nguyên cho:  x  (a  4)x  4a   x  (b  c)x  bc x a   b  c a   b  c   4a   bc 4a   bc a  bc4   (b  4)(c  4)  39 … KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35); (6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1) Câu (4,0 điểm Câu Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F cho B trung điểm AD, C trung điểm BE, A trung điểm CF Gọi G giao điểm đường trung tuyến AM tam giác ABC với đường trung tuyến DN tam giác DEF I K trung điểm vủa GA GD Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MNIK hình bình hành 2) Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng ThuVienDeThi.com F A N I G C B E M K D 1)Tứ giác MNIK hình bình hành +) Giải thích AN// = BM suy tứ giác ANMB hình bình hành  MN // = AB 2đ +) Giải thích IK//= AB Suy tứ giác MNIK hình bình hành 2)Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng +) G nằm trung tuyến AM tam giác ABC +)AI= IG (Do I trung điểm vủa GA) GI=GM ( Do tứ giác MNIK hình bình hành  AI= IG= GM Vậy G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh tương tự G trọng tâm tam giác DEF Câu Câu 5: (2 điểm) 5: (2 Cho tam giác ABC Lấy điểm D E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O điểm giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song ) với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK ThuVienDeThi.com 2đ A K 1 x C B 2 O M E D +)Vẽ hình bình hành ABMC  AB = CM (1) +) BM//AE  góc E1 = góc B2 CB = CE CBE cân C  góc E1 = góc B1  góc B1 = góc B1  BO phân giác tam giác MBC Tương tự CO phân giác tam giác MBC  MO phân giác tam giác MBC  MO phân giác góc BMC hình bình hành ABMC +) Chỉ MO // phân giác Ax góc BAC  M, O, K thẳng hàng +) Chỉ tam giác CMK cân C  CK = CM (2) Từ (1) (2) suy AB = CK ThuVienDeThi.com 2đ ... tổng quát: 2016    2016 2 2 k k 1 k    k với k nguyên dương 2k 2k 1 +) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được: k=1   21 k=2  1 2 2 k=3  2 3 2 k=4  3 4 2 ……………………… K =2016 2016 2017 2018... 4 2 ……………………… K =2016 2016 2017 2018  2015  2016 22016 2 Cộng vế với vế đẳng thức ta có ThuVienDeThi.com 1,5đ P 2016 2018 1009     2016   2016   2015 2 2 2 2) Cho x y hai số thực thỏa